高中数学|顶点张直角的弦恒过定点:把＂垂直＂翻译成点乘再收网

这道题的动点条件很别致：不告诉直线怎么动，只说从下顶点M看弦的两端，视角永远是直角。“张直角”是圆的直径定理的逆定理在椭圆上的回声——把垂直翻译成向量点乘，韦达定理代进去，直线的”住址”自己浮出水面。第一问的周长条件也是老朋友：焦点三角形周长恒为2a+2c，与P在哪儿毫无关系。

已知椭圆的离心率为，F₁、F₂分别为椭圆的左、右焦点，P为椭圆上在第一象限内的任意一点，且的周长为．

第一问：焦点三角形周长是”伪装的2a“。

的周长=|PF₁|+|PF₂|+|F₁F₂|=2a+2c——前两项正是椭圆定义的和，与P的位置无关（P在第一象限只是保证三角形真实存在、不退化）。于是

配合，即：

顺手认个门：M(0,−1)恰是下顶点——第二问的直角顶点站在顶点上，这不是巧合。

第二问：把”垂直”翻译成点乘，剩下的交给韦达。

即∠ AMB=90°：从M看弦的两端，视线永远垂直。

设l:y=kx+m（l不过M，即m≠−1；竖直线最后单独验证）。代入x²+4y²=4：

(1+4k²)x²+8kmx+4m²−4=0,

设A(x₁,y₁)，B(x₂,y₂)，韦达：，．

点乘展开（M(0,−1)，故，）：

=(1+k²)x₁x₂+km(x₁+x₂)+m²+k(x₁+x₂)+2m+1.

代入韦达并通分（乘1+4k²），k²m²、k²m、k²的各项又一次成对湮灭，只剩

两处分流：

竖直线单独验证：，否则过M)与椭圆交于上下对称两点(t,± y₀)，则

恒不为零——竖直线本就不满足垂直约束，不在约束内的直线无需过定点，逻辑闭环。

存在性回检：在椭圆内部（），过它的直线与椭圆必交于两点；交点不会是M（l不过M），也不会退化为一点。定点与M(0,−1)同在y轴上、分居原点两侧——一个在顶点下方，一个缩在原点上方不远处。

其一，“张直角”先翻译成点乘，几何意义后置。的几何身份是”M在以AB为直径的圆上”——这个视角能一眼看出定点应与M同在y轴上（对称性），但代数主战场仍是点乘展开加韦达；先翻译、再动笔，方向不会错。

其二，焦点三角形的周长永远等于2a+2c。不管P跳到哪里，|PF₁|+|PF₂|=2a由定义锁死，周长条件实际只给了一个方程a+c=常数——和离心率联立恰好两个未知数两个方程。见到”焦点三角形周长”，直接写2a+2c，不要重新推导。

其三，顶点张直角的弦，定点位置有通式。对椭圆x²/a²+y²/b²=1，从下顶点M(0,−b)张直角的弦恒过

本题a²=4，b²=1：，严丝合缝（换成，定点预言在，数值验证同样成立）——同类的题刷三道，不如把这条通式推一遍，考场上直接验算答案。

回到本题：从下顶点望出去，每一根满足垂直约束的弦都乖乖穿过y轴上处——垂直是圆的语言，定点是椭圆的回答。