高中数学知识体系 选择性必修第一册第三章 圆锥曲线的方程之双曲线

选择性必修第一册第三章「圆锥曲线的方程」，椭圆之后轮到双曲线。还是那套做法：把「到两定点距离之差的绝对值为定值」翻译成「坐标系里的方程」，再从方程读回几何性质。定义、方程、性质、应用四个板块之外，这一轮把常考二级结论和推导也一并放全，手稿十三张，按框架页排开的顺序推进。

双曲线的定义。手稿这一页把三种定义摆在一张纸上：代数定义 |PF₁−PF₂|＝2a（附 a＜c 的推导）、第二定义「到定点与定直线距离之比为定值 e（e＞1）」、第三定义「斜率积为定值」。三种说法各有用武之地，做题时哪个好使换哪个。

双曲线的方程。横版 x²/a²−y²/b²＝1、竖版 y²/a²−x²/b²＝1 两套标准方程，连同一般式与参数方程一并整理；焦点在谁身上、c² 与 a²/b² 谁加谁，横竖版对照着看最不容易混。

几何性质。实轴虚轴、顶点焦点、渐近线、离心率，横竖版全要素对照表一张；「图形」一行把渐近线与虚线矩形的关系画了出来——渐近线恰好穿过矩形两对角的顶点，这是双曲线画图与记性质的核心。

求方程的方法。先定横竖版，再设方程：待定系数、共渐近线、焦点位置分类讨论等 5 个常用技巧，每条附易错备注。

常考二级结论及其推导。第 06～11 页集中放了九条：通径、焦渐距、渐近线斜率与离心率的关系、焦半径长度范围、焦点三角形面积、弦中点、中点弦推广、切线与切点弦、焦点三角形内心、椭圆与双曲线共焦点。每条结论都带推导过程（蓝色部分），结论从哪一步来、为什么双曲线和椭圆长得不一样，推导里看得到，推导思路参考椭圆篇。

口算公式。这套计算体系能很大程度上降低解析几何联立的计算量（谁用谁知道）。相比于其他硬解定理，这套口算公式的好处是应用范围更广：椭圆横竖版、双曲线横竖版都可以使用；第二个好处是用图形符号代替了抽象的代数式，极大程度上降低了记忆难度。双曲线与椭圆只有两处区别——弦长公式的分母要加绝对值、判别式对应「＜0」（因为此时的 a²、b² 一正一负），手稿里已用红色标出，其余部分与椭圆完全一致。

以上就是双曲线的全部手稿：三种定义、两套方程、一张性质对照表、五个求方程技巧、九条带推导的二级结论，再加一套与椭圆共用的口算公式。第三章还剩抛物线，下一轮补齐。

高中数学知识体系 选择性必修第一册第三章 圆锥曲线的方程之椭圆