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高中数学|一道双曲线离心率选择题:重心条件藏端点,一个＂退化点＂挖空区间.
靖競｜高中数学
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01导语
离心率范围的题目，最怕两件事：不等式列少了漏解，列多了解不出来。这道题把重心条件压在双曲线上——先把它翻译成”中点坐标”，再用中点位置卡出下界，最后还得排查一个会让三角形”塌掉”的退化点。区间为什么被挖去一个点，正是本题最值得琢磨的地方。
02原题
设双曲线的右焦点为F，M(0,3b)，若直线l与E的右支交于A,B两点，且F为的重心，则E的离心率的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
答案
A（即）．
03解析
第一步｜重心条件→中点坐标。
设D(x₀,y₀)为AB的中点。重心在中线上，所以M、F、D三点共线，且（重心分中线成2:1）。代入F(c,0)，M(0,3b)：
(c,−3b)=2(x₀−c,y₀)，解得，，即。
第二步｜中点位置→下界。
直线l与右支交于A,B两点，弦的中点D必须落在双曲线的内部区域（即内），于是
，整理得，即。
所以（负根舍去——离心率恒为正）。
第三步｜点差法→斜率被e唯一确定。
设A(x₁,y₁)，B(x₂,y₂)，两点都在E上，两式相减：
，所以。
可见弦的斜率由离心率唯一决定——这是排查退化点的钥匙。
第四步｜排查退化：时三角形”塌了”。
若，则直线l与直线MF重合，l过焦点F，A,B,F三点共线，不存在。令
。
验证：时，，此时x₁+x₂=3c，，点差法给出；而，两者确实相等，该点必须挖去。
综上：，故选A。
04思维升华
方法总结（离心率问题的三板斧）：
1.定义法：通过已知条件列出方程组，求得a,c的值，根据离心率的定义直接求解——适合能解出a,c具体值的题目；
2.齐次式法：由已知条件得出关于a,c的二元齐次方程或不等式，转化为关于e的一元二次方程或不等式求解——本题正是两用：中点位置给齐次不等式（下界），斜率相等给齐次方程（挖去）；
3.特殊值法：根据特殊点与圆锥曲线的位置关系，取特殊值或特殊位置探路——选择题里常用它快速排除区间端点。
两个易错点：一是只列不等式忘挖退化点，选出形如B的”连续区间”就错；二是把”中点在内部”写成”中点在曲线上”——中点恰在双曲线上时l是切线，根本交不出两点，所以端点取不到。
