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10.2 双曲线的标准方程和离心率（讲义）
目录
1
知识点01 双曲线的定义............................................................................2
2
知识点02 双曲线的标准方程...................................................................2
3
知识点03 双曲线的离心率.......................................................................2
4
题型一、双曲线的标准方程.....................................................................3
5
题型二、双曲线的离心率.......................................................................19
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1 知识点01 双曲线的定义
1、定义：在平面内与两个定点
、
的距离之差的绝对值等于非零常数
（小于
）的点的轨迹叫做双曲线。两个定点
、
称为焦点；两焦点的距
离叫做双曲线的焦距，表示为
．
2、符号表示：||M F1|−|M F2||=2a,0<2a<|F1 F2|
2 知识点02 双曲线的标准方程
1、双曲线的两种标准方程
焦点在x 轴上
焦点在y 轴上
标准方程
－＝1(a>0，b>0)
－＝1(a>0，b>0)
性
质
图形
性
质
范围
x≤－a 或 x≥a，y∈
y≤－a 或 y≥a，x∈
对称性
对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点
A1(－a，0)，A2(a，0)
A1(0，－a)，A2(0，a)
轴
实轴：线段A1A2，长：；虚轴：线段B1B2，长：；
半实轴长：，半虚轴长：
渐近线
y＝±x
y＝±x
3 知识点03 双曲线的离心率
离心率
e = c
a =√
1+ b
2
a
2 (e>1)
离心率越大，双曲线的开口越开阔
离心率越接近 1，双曲线的开口越狭窄
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4 题型一、双曲线的标准方程
一、单选题
1．若椭圆
的焦点与双曲线
的焦点重合，则
的值
为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】求出椭圆的半焦距，利用双曲线
与该椭圆半焦距相等，
以及
之间的关系，即可求出结果.
【详解】由题知，椭圆
的半焦距为
，
所以
，解得
.
故选：D
2．若椭圆
与双曲线
的焦点相同，则
的值
为（ ）
A．25
B．16
C．5
D．4
【答案】C
【分析】通过双曲线求出焦点，根据椭圆中
的关系，得到
的
值.
【详解】双曲线焦点为
，所以
，
所以
，
故选：C.
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【点睛】
3．双曲线
的一个焦点为
，则
（ ）
A．
B．
C．3
D．
【答案】A
【分析】由双曲线中的平方关系
即可得出答案.
【详解】由题意得
，所以
．
故选：A.
4．已知双曲线
的焦距为6，则
为（ ）
A．5
B．
C．
D．32
【答案】A
【分析】由双曲线的相关概念求解即可.
【详解】因为双曲线
的焦距为6，
所以
，即
，且
，
，
所以
，故
，
故选：A
5．已知双曲线的上、下焦点分别为
，
，P 是双曲线上一
点且
，则双曲线的标准方程为（ ）
A．
B．
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C．
D．
【答案】C
【分析】由焦点坐标特征设出双曲线方程，根据双曲线定义得到
，得
到
，求出双曲线方程.
【详解】由题意得：双曲线的焦点在
轴上，设双曲线方程为
，
，故
，又
，
故
，
故双曲线的标准方程为：
.
故选：C
6．已知双曲线的上、下焦点分别为
，
，P 是双曲线上一
点且满足
，则双曲线的标准方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据双曲线的定义求得正确答案.
【详解】依题意
，
，
所以
，
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由于双曲线的焦点在
轴上，
所以双曲线的标准方程是
.
故选：D
7．已知点
，曲线上的动点
到
的距离之差为6，
则曲线方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】由题意可得
，根据双曲线的定义及焦
点的位置即可求解.
【详解】由题意可得
,
由双曲线定义可知，所求曲线方程为双曲线一支，且
,即
，
所以
.
又因为焦点在
轴上，所以曲线方程为
.
故选:A.
8．设
为定点，动点
满足
，则
动点
的轨迹方程为（ ）
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A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】由已知条件知，点
的运动轨迹是以
为焦点的
双曲线，从而可求得轨迹的方程.
【详解】
，
动点
的轨迹是以
为焦点的双曲线，且
，
，
双曲线的方程为
.
故选：B.
9．设
，
是平面内两个定点，动点P 满足
，
则P 点的轨迹方程是（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】利用双曲线的定义求解即可.
【详解】由双曲线的定义可知，点P 的轨迹是以
，
为焦点的双曲线，
因为
，
，所以
，
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所以其轨迹方程为
.
故选：B
10．已知点
，
，动点
满足
，则
的轨
迹方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据双曲线的定义确定轨迹，即可得轨迹方程.
【详解】因为
，所以
的轨迹为双曲线，且
焦点在
轴上
设该双曲线的方程为
，则
，
，
.
所以
的轨迹方程为
.
故选：D.
11．若双曲线
：
上的某点到两个焦点的距离之差为
4，则双曲线的渐近线的方程为（ ）
A．
B．
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C．
D．
【答案】C
【分析】由双曲线定义求出
，再由双曲线方程求出其渐近线方程.
【详解】双曲线
：
上的某点到两个焦点的距离之差为
4，
则有
，得
，
所以双曲线
的渐近线的方程为
.
故选：C
二、填空题
12．以双曲线
的焦点为顶点,以双曲线
的顶点为焦
点的椭圆方程为 .
【答案】
【分析】根据题意双曲线的焦距和实轴长分别为椭圆的长轴长和焦距,依据
双曲线方程求解即可得到椭圆的方程.
【详解】设椭圆方程为
,焦距为
,
因为双曲线方程为
,
所以焦距为
,即
,
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所以
,
又
,即
,
所以
,
所以椭圆方程为
.
故答案为:
.
13．双曲线
的虚轴长为 .
【答案】
【分析】根据双曲线的方程求出
，进而求解结论．
【详解】
双曲线的方程为：
，
可得
，
双曲线
的虚轴长为：
．
故答案为：
．
14．若双曲线
的焦距为4，则实数
的值为 ．
【答案】
0
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【分析】根据双曲线的焦距求得
，进而求得
.
【详解】由于方程
表示双曲线，所以
，
双曲线的焦距为
，所以
.
故答案为：
15．双曲线
的渐近线方程为
，则
.
【答案】
【分析】先根据双曲线的方程求出
，
；再根据双曲线的渐近线建立方
程，即可求解.
【详解】由双曲线
的方程可得：
，解得：
.
故双曲线
的焦点在
轴上.
则
，
.
又因为双曲线
的渐近线方程为
，
所以
，解得：
.
故答案为：
.
1
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三、解答题
16．已知双曲线
（
，
）的右焦点为
，渐近
线方程为
．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)过双曲线的右焦点，倾斜角为
的直线交双曲线于
，
两点，求
．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据双曲线渐近线方程可得
，再应用焦点坐标结合
可求得
，即可得解；
2
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（2）求出直线方程，与双曲线方程联立可得关于x 的一元二次方程，韦达
定理求出
、
，直接代入弦长公式即可.
【详解】（1）因为双曲线的渐近线方程为
，所以
，即
.
又点
是双曲线的右焦点，∴
，得
，所以
∴双曲线的方程为
（2）由（1）知，双曲线
的右焦点为
，
∴经过双曲线的右焦点
且倾斜角为30°的直线l 的方程为
，
联立直线与双曲线方程
，消y 得
，
设
，
，则
，
，
所以
.
3
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17．与双曲线
有共同的焦点的椭圆
的
离心率为
．
(1)求椭圆
的方程；
(2)过点
的直线交椭圆
于
、
两点，交
轴于点
，点
关
于
轴的对称点为
，直线
交
轴于点
．求
的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）依题意可得
，再由离心率求出
，解得
、
4
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即可；
（2）设直线
，
，则
，从而得到
直线
的方程，从而表示出
点坐标，联立直线与椭圆方程，由
求出
的取值范围，列出韦达定理，即可得到
，则
，
利用基本不等式计算可得.
【详解】（1）由题知
，所以
．
又
，所以
．
解得
，则椭圆
的方程为
（2）由已知直线的斜率存在且不为
，设直线
，则
．
设
，则
，直线
的方程：
．
令
，得点
的横坐标为
①，
5
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由
得
，
则
，解得
，
且
．
代入①，则
．
从而
，
当且仅当
，即
时取等号．
所以
的取值范围为
.
18．双曲线
焦点是椭圆C：
顶点，且椭
圆与双曲线的离心率互为倒数.
(1)求椭圆C 的方程；
(2)设动点
在椭圆C 上，且
，记直线
在
轴上的截
距为
，求
的最大值.
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【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意，由双曲线方程可得椭圆方程中的
，再由离心率
公式可得
，从而得到椭圆方程；
（2）根据题意，设直线
的方程为
，联立直线与椭圆方程，
再由弦长公式代入计算，结合基本不等式，即可得到结果.
【详解】（1）双曲线
的焦点坐标为
，离心率为
.
因为双曲线
的焦点是椭圆
：
的顶点，
且椭圆与双曲线的离心率互为倒数，所以
，且
，
解得
.
故椭圆
的方程为
.
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（2）
因为
，所以直线
的斜率存在.
因为直线
在
轴上的截距为
，所以可设直线
的方程为
.
代入椭圆方程
得
.
因为
，
所以
.设
，
，
根据根与系数的关系得
，
.
.
因为
，即
.
8
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整理得
.令
，则
.
所以
.
等号成立的条件是
，此时
，
满足
，符合
题意.
故
的最大值为
19．已知
，
，点
满足
，记点
的轨
迹为
.
(1)求轨迹
的方程；
(2)当
时，求
的面积.
(3)求
的取值范围.
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【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由题意可得
，可求得轨迹
的方程；
（2）由余弦定理得
，给合
，可求得
的面积；
（3）设
，分别用
向量表示
，由题意可求得
的取值范围.
【详解】（1）因为
，所以点
的轨迹为以
为焦点的双曲线，
设此双曲线方程为
，
易知
，又由
，解得
，
即轨迹
的方程为：
；
（2）∵
为双曲线E:
上的一点，
0
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∴
，平方得
①，
在
中，由余弦定理，得
，
即
②，
由
，得
，即
，
所以
的面积
.
（3）设
，则
，所以
，
.
所以
的取值范围是
.
5 题型二、双曲线的离心率
一、单选题
1．与椭圆
有公共焦点，且离心率
的双曲线的方程为
1
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（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据已知条件求得双曲线的实半轴、虚半轴，从而求得双曲线方
程.
【详解】椭圆
的焦点为
．
因为所求双曲线的离心率
，
所以其实半轴长为2，虚半轴长为
，
故所求双曲线的方程为
．
故选：B
2．已知双曲线
的离心率是2，则
（ ）
A．12
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据双曲线离心率公式即可求出结果.
【详解】由题意可得
，
解得
，
故选：B.
2
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3．已知双曲线
（
）的离心率为
，则
（ ）
A．2
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据双曲线方程求出
、
，再由离心率公式计算可得.
【详解】双曲线
（
）中
，所以
，
则离心率
，解得
，所以
（负值舍去）.
故选：B
4．若双曲线
的离心率为
，则
（ ）
A．2
B．
C．1
D．
【答案】C
【分析】根据双曲线的离心率与
、
、
关系求解即可.
【详解】由题意
，双曲线的离心率
，
所以
.
故选：C.
5．已知双曲线
：
的离心率为
，则
的值为（ ）
A．3
B．
C．12
D．
3
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【答案】D
【分析】根据双曲线的知识求得正确答案.
【详解】双曲线
：
，即
，所以
，
所以
.
故选：D
6．设双曲线
的离心率为
则a 的值为（ ）
A．4
B．3
C．2
D．1
【答案】C
【分析】利用双曲线的离心率公式来求解即可.
【详解】由双曲线方程
的离心率为
可得：
，平方解得：
，
又因为
，所以
，
故选：C.
7．双曲线
的离心率为
，则
（ ）
A．
B．
C．4
D．2
【答案】C
【分析】由双曲线方程求出
，再利用离心率为
列方程
求解即可.
4
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【详解】由双曲线方程
可得
，焦点在
轴上，
则
，
所以离心率为
，
故选：C.
8．已知双曲线
的离心率为
，则
的渐近
线方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据双曲线的离心率为
，求出
，从而可得双曲线
的
渐近线方程.
【详解】因为双曲线
的离心率为
，
故
，
则
，
故双曲线的渐近线方程为
，即
，
故选：B.
5
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二、填空题
9．已知双曲线
的一条渐近线方程为
，则
．
【答案】
【分析】根据双曲线的方程写出渐近线方程，对照条件可求答案．
【详解】因为双曲线为
，所以它的渐近线方程为
，
因为有一条渐近线方程为
，所以
．
故答案为：
.
10．若双曲线
（
）的一条渐近线方程为
，则
．
【答案】3
【分析】由焦点落在
轴上的双曲线方程渐近线为
，即可得
，即可求得
的值.
【详解】由双曲线
（
）可知双曲线焦点在
轴上，则
，得
.
6
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故答案为：3.
11．双曲线
的一条渐近线方程为
，则
．
【答案】16
【分析】利用双曲线的渐近线方程直接求解即可.
【详解】由题意知：双曲线的渐近线方程为值，
，
所以
，得
，
.
故答案为：16
三、解答题
12．已知双曲线
的离心率为
，实轴长为2.
(1)求双曲线
的标准方程
(2)设直线
与双曲线
交于
两点，是否存在
满足
（其中
为坐标原点）若存在，求出
的值；若不存在，说明理由.
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【答案】(1)
(2)不存在；理由见解析；
【分析】（1）根据离心率以及实轴长计算可得结果；
（2）联立直线与双曲线方程，由根与系数得关系以及向量数量积的坐标表
示求出
，并结合交点个数可判断结论.
【详解】（1）由实轴长为2 可得
，即
；
再由离心率为
可得
，即
，
所以
，
可得双曲线
的标准方程为
；
（2）如下图所示：
联立
，整理可得
，
显然
，且
，解得
且
；
设
，可得
，
8
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所以
，
即
，解得
，不满足
且
，不合题意；
因此不存在
满足
.
13．已知双曲线
的离心率
，实轴长
.
(1)求
的方程；
(2)过
的右焦点且倾斜角为
的直线交
于
，
两点，求
；
【答案】(1)
；
9
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(2)
.
【分析】（1）根据已知得
、
，即可得双曲线方程；
（2）由题设可得
，联立双曲线方程，应用韦达定理及
弦长公式求
.
【详解】（1）由题设
，又
，
所以
，则
.
（2）由右焦点为
，则
，
联立双曲线方程，得
，整理得
，
显然
，则
，
，
所以
.
14．已知双曲线C：
离心率为2，且经过点
．
(1)求C 的方程；
(2)双曲线C 的两个焦点是
，
，双曲线上有一点P，
，
0
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求
的面积．
【答案】(1)
；
(2)
.
【分析】（1）利用双曲线的离心率和其所过的点即可求出
，
；
（2）利用双曲线定义、余弦定理、三角形面积公式即可求解．
【详解】（1）双曲线
的离心率为
，
可得
，∴
，①
又因为双曲线经过点
，则
，②
联立①②解得
，
则双曲线
的方程为
.
1
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（2）点
为双曲线上一点，
，设
，
，由
（1）知
，
由双曲线的定义可得：
，则有
，③
又由
，得
，④
联立③④解可得
，
则△
的面积
.
15．已知双曲线
的焦距为
，离心率为
．
(1)求C 的方程；
(2)若A 是C 的左顶点，直线
与C 交于P，Q 两点，求
的面积．
【答案】(1)
；
2
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(2)
.
【分析】（1）根据给定条件，求出
即可.
（2）求出点
到直线的距离，再联立直线与双曲线方程求出弦长即可求
出三角形面积.
【详解】（1）依题意，双曲线
的半焦距
，由离心率
，
解得
，
，
所以双曲线
的方程为
.
（2）由（1）知双曲线
的左顶点
，点
到直线
的距离
，
由
消去
得
，解得
，
，
则
，所以
的面积
.
16．已知双曲线
的左顶点为
，离心率为3，
是
上的两点.
3
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(1)求
的标准方程；
(2)若线段
的中点为
，求直线
的方程；
(3)若
（
不在直线
上），证明：直线
过定点.
【答案】(1)
(2)
.
(3)证明见解析
【分析】（1）利用离心率公式和双曲线
的关系得到双曲线方程；
（2）根据点差法结合线段中点坐标解得直线的斜率，从而解得答案；
（3）设直线
的方程为
，联立方程组消元得到
通过韦达定理有
，
4
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，结合
，化简得
，解得
或
，
当
和
时，分别分析直线
的方程，进而求得定点；
【详解】（1）因为
，
，
所以
，故
的标准方程为
·
（2）
设
，
，根据题意易得
.
因为
是
上的两点，所以
两式相减得
，即
因为
，
所以
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所以直线
的方程为
经检验，此时直线
与双曲线C 有两个交点，满足题意，则直线
的
方程为
.
（3）证明：依题意可设直线
的方程为
.
由
，得
则
，
，
，由（2）知
，
因为
，所以
即
即
即
，得
，
解得
或
.
当
时，直线
，直线
过点
，不符合题意，
舍去；
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当
时，直线
，满足
，则直线
过定点
故直线
过定点
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