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10.2 双曲线的标准方程和离心率（讲义）
目录
1
知识点01 双曲线的定义............................................................................2
2
知识点02 双曲线的标准方程...................................................................2
3
知识点03 双曲线的离心率.......................................................................2
4
题型一、双曲线的标准方程.....................................................................3
5
题型二、双曲线的离心率.........................................................................7
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1 知识点01 双曲线的定义
1、定义：在平面内与两个定点
、
的距离之差的绝对值等于非零常数
（小于
）的点的轨迹叫做双曲线。两个定点
、
称为焦点；两焦点的距
离叫做双曲线的焦距，表示为
．
2、符号表示：||M F1|−|M F2||=2a,0<2a<|F1 F2|
2 知识点02 双曲线的标准方程
1、双曲线的两种标准方程
焦点在x 轴上
焦点在y 轴上
标准方程
－＝1(a>0，b>0)
－＝1(a>0，b>0)
性
质
图形
性
质
范围
x≤－a 或 x≥a，y∈
y≤－a 或 y≥a，x∈
对称性
对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点
A1(－a，0)，A2(a，0)
A1(0，－a)，A2(0，a)
轴
实轴：线段A1A2，长：；虚轴：线段B1B2，长：；
半实轴长：，半虚轴长：
渐近线
y＝±x
y＝±x
3 知识点03 双曲线的离心率
离心率
e = c
a =√
1+ b
2
a
2 (e>1)
离心率越大，双曲线的开口越开阔
离心率越接近 1，双曲线的开口越狭窄
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4 题型一、双曲线的标准方程
一、单选题
1．若椭圆
的焦点与双曲线
的焦点重合，则
的值
为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．若椭圆
与双曲线
的焦点相同，则
的值
为（ ）
A．25
B．16
C．5
D．4
3．双曲线
的一个焦点为
，则
（ ）
A．
B．
C．3
D．
4．已知双曲线
的焦距为6，则
为（ ）
A．5
B．
C．
D．32
5．已知双曲线的上、下焦点分别为
，
，P 是双曲线上一
点且
，则双曲线的标准方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
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6．已知双曲线的上、下焦点分别为
，
，P 是双曲线上一
点且满足
，则双曲线的标准方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
7．已知点
，曲线上的动点
到
的距离之差为6，
则曲线方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
8．设
为定点，动点
满足
，则
动点
的轨迹方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
9．设
，
是平面内两个定点，动点P 满足
，
则P 点的轨迹方程是（ ）．
A．
B．
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C．
D．
10．已知点
，
，动点
满足
，则
的轨
迹方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
11．若双曲线
：
上的某点到两个焦点的距离之差为
4，则双曲线的渐近线的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
二、填空题
12．以双曲线
的焦点为顶点,以双曲线
的顶点为焦
点的椭圆方程为 .
13．双曲线
的虚轴长为 .
14．若双曲线
的焦距为4，则实数
的值为 ．
15．双曲线
的渐近线方程为
，则
.
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三、解答题
16．已知双曲线
（
，
）的右焦点为
，渐近
线方程为
．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)过双曲线的右焦点，倾斜角为
的直线交双曲线于
，
两点，求
．
17．与双曲线
有共同的焦点的椭圆
的
离心率为
．
(1)求椭圆
的方程；
(2)过点
的直线交椭圆
于
、
两点，交
轴于点
，点
关
于
轴的对称点为
，直线
交
轴于点
．求
的取值范围．
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18．双曲线
焦点是椭圆C：
顶点，且椭
圆与双曲线的离心率互为倒数.
(1)求椭圆C 的方程；
(2)设动点
在椭圆C 上，且
，记直线
在
轴上的截
距为
，求
的最大值.
19．已知
，
，点
满足
，记点
的轨
迹为
.
(1)求轨迹
的方程；
(2)当
时，求
的面积.
(3)求
的取值范围.
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5 题型二、双曲线的离心率
一、单选题
1．与椭圆
有公共焦点，且离心率
的双曲线的方程为
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．已知双曲线
的离心率是2，则
（ ）
A．12
B．
C．
D．
3．已知双曲线
（
）的离心率为
，则
（ ）
A．2
B．
C．
D．
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4．若双曲线
的离心率为
，则
（ ）
A．2
B．
C．1
D．
5．已知双曲线
：
的离心率为
，则
的值为（ ）
A．3
B．
C．12
D．
6．设双曲线
的离心率为
则a 的值为（ ）
A．4
B．3
C．2
D．1
7．双曲线
的离心率为
，则
（ ）
A．
B．
C．4
D．2
8．已知双曲线
的离心率为
，则
的渐近
线方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
二、填空题
9．已知双曲线
的一条渐近线方程为
，则
．
10．若双曲线
（
）的一条渐近线方程为
，则
．
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11．双曲线
的一条渐近线方程为
，则
．
三、解答题
12．已知双曲线
的离心率为
，实轴长为2.
(1)求双曲线
的标准方程
(2)设直线
与双曲线
交于
两点，是否存在
满足
（其中
为坐标原点）若存在，求出
的值；若不存在，说明理由.
13．已知双曲线
的离心率
，实轴长
.
(1)求
的方程；
(2)过
的右焦点且倾斜角为
的直线交
于
，
两点，求
；
0
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14．已知双曲线C：
离心率为2，且经过点
．
(1)求C 的方程；
(2)双曲线C 的两个焦点是
，
，双曲线上有一点P，
，
求
的面积．
15．已知双曲线
的焦距为
，离心率为
．
(1)求C 的方程；
(2)若A 是C 的左顶点，直线
与C 交于P，Q 两点，求
的面积．
1
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16．已知双曲线
的左顶点为
，离心率为3，
是
上的两点.
(1)求
的标准方程；
(2)若线段
的中点为
，求直线
的方程；
(3)若
（
不在直线
上），证明：直线
过定点.
2
