文档文本内容
专题16 妙解离心率问题
【目录】
..............................................................................................................................................2
...............................................................................................................................................3
..............................................................................................................................................4
..............................................................................................................................................4
............................................................................................................................................12
考点一：顶角为直角的焦点三角形求解离心率的取值范围问题..........................................................................12
考点二：焦点三角形顶角范围与离心率...............................................................................................................16
考点三：共焦点的椭圆与双曲线问题...................................................................................................................19
考点四：椭圆与双曲线的4a 通径体.....................................................................................................................21
考点五：椭圆与双曲线的4a 直角体.....................................................................................................................24
考点六：椭圆与双曲线的等腰三角形问题............................................................................................................26
考点七：双曲线的4a 底边等腰三角形..................................................................................................................28
考点八：焦点到渐近线距离为b............................................................................................................................32
考点九：焦点到渐近线垂线构造的直角三角形....................................................................................................36
考点十：以两焦点为直径的圆与渐近线相交问题................................................................................................38
考点十一：渐近线平行线与面积问题...................................................................................................................41
考点十二：数形结合转化长度角度.......................................................................................................................45
求椭圆或双曲线的离心率、与双曲线的渐近线有关的问题，多以选择、填空题的形式考查，难度中等．
考点要求
考题统计
考情分析
离心率
2023 年新高考I 卷第5、16 题，10 分
离心率问题一直是高考每年
2023 年甲卷第9 题，5 分
2022 年甲卷第10 题，5 分
2022 年浙江卷第16 题，4 分
2021 年甲卷第5 题，5 分
2021 年天津卷第8 题，5 分
必考，对圆锥曲线概念和几
何性质的考查为主，一般不
会出太难，二轮复习我们需
要掌握一些基本的性质和常
规的处理方法，挖掘椭圆双
曲线的几何性质下手．
求离心率范围的方法
一、建立不等式法：
1、利用曲线的范围建立不等关系．
2、利用线段长度的大小建立不等关系．
为椭圆
的左、右焦点，
为椭圆
上的任意一点，
；
为双曲线
的左、右焦点，
为双曲线
上的任一点，
．
3、利用角度长度的大小建立不等关系．
为椭圆
的左、右焦点，
为椭圆上的动点，
若
，则椭圆离心率的取值范围为
．
4、利用题目不等关系建立不等关系．
5、利用判别式建立不等关系．
6、利用与双曲线渐近线的斜率比较建立不等关系．
7、利用基本不等式，建立不等关系．
1．（2023•新高考Ⅰ）设椭圆
，
的离心率分别为
，
．若
，
则
A．
B．
C．
D．
【答案】
【解析】由椭圆
可得
，
，
，
椭圆
的离心率为
，
，
，
，
，
或
（舍去）．
故选：
．
2 ．（2023• 甲卷）已知双曲线
的离心率为
，
的一条渐近线与圆
交于
，
两点，则
A．
B．
C．
D．
【答案】
【解析】双曲线
的离心率为
，
可得
，所以
，
所以双曲线的渐近线方程为：
，
一条渐近线与圆
交于
，
两点，圆的圆心
，半径为1，
圆的圆心到直线
的距离为：
，
所以
．
故选：
．
3．（2022•甲卷）椭圆
的左顶点为
，点
，
均在
上，且关于
轴对称．若
直线
，
的斜率之积为
，则
的离心率为
A．
B．
C．
D．
【答案】
【解析】已知
，设
，
，则
，
，
，
，
故
①，
，即
②，
②代入①整理得：
，
．
故选：
．
4．（2021•甲卷）已知
，
是双曲线
的两个焦点，
为
上一点，且
，
，
则
的离心率为
A．
B．
C．
D．
【答案】
【解析】设
，
，
则根据题意及余弦定理可得：
，解得
，
所求离心率为
．
故选：
．
5．（2021•天津）已知双曲线
的右焦点与抛物线
的焦点重合，抛物
线的准线交双曲线于
，
两点，交双曲线的渐近线于
，
两点，若
，则双曲线的离心
率为
A．
B．
C．2
D．3
【答案】
【解析】解由题意可得抛物线的准线方程为
，
由题意可得：
，渐近线的方程为：
，
可得
，
，
，
，
所以
，
，
由
，
解得：
，即
，
所以双曲线的离心率
．
故选：
．
6．（2022•甲卷）已知椭圆
的离心率为
，
，
分别为
的左、右顶点，
为
的上顶点．若
，则
的方程为
A．
B．
C．
D．
【答案】
【解析】由椭圆的离心率可设椭圆方程为
，
则
，
由平面向量数量积的运算法则可得：
，
，
则椭圆方程为
．
故选：
．
7．（2022•全国）若双曲线
的一条渐近线与直线
垂直，则
的离心率
为
A．5
B．
C．
D．
【答案】
【解析】由双曲线
的方程可得渐近线方程为
，
由题意可得
，
所以双曲线的离心率
，
故选：
．
8．（多选题）（2022•乙卷）双曲线
的两个焦点为
，
，以
的实轴为直径的圆记为
，过
作
的切线与
交于
，
两点，且
，则
的离心率为
A．
B．
C．
D．
【答案】
【解析】当直线与双曲线交于两支时，设双曲线的方程为
，
设过
的切线与圆
相切于点
，
则
，
，又
，
所以
，
过点
作
于点
，
所以
，又
为
的中点，
所以
，
，
因为
，
，所以
，
所以
，则
，
所以
，
由双曲线的定义可知
，
所以
，可得
，即
，
所以
的离心率
．
情况二：当直线与双曲线交于一支时，
如图，记切点为
，连接
，则
，
，
过
作
于
，则
，因为
，所以
，
，
，即
，
所以
，
正确．
故选：
．
9．（2023•新高考Ⅰ）已知双曲线
的左、右焦点分别为
，
．点
在
上，
点
在
轴上，
，
，则
的离心率为 ．
【答案】
【解析】（法一）如图，设
，
，
，
设
，则
，
又
，则
，可得
，
又
，且
，
则
，化简得
．
又点
在
上，
则
，整理可得
，
代
，可得
，即
，
解得
或
（舍去），
故
．
（法二）由
，得
，
设
，由对称性可得
，
则
，
设
，则
，
所以
，解得
，
所以
，
在△
中，由余弦定理可得
，
即
，则
．
故答案为：
．
10．（2022•浙江）已知双曲线
的左焦点为
，过
且斜率为
的直线交双曲线于
点
，
，交双曲线的渐近线于点
，
且
．若
，则双曲线的离心率是
．
【答案】
．
【解析】（法一）如图，过点
作
轴于点
，过点
作
轴于点
，
由于
，
且
，则点
在渐近线
上，不妨设
，
设直线
的倾斜角为
，则
，则
，即
，则
，
，
又
，则
，
又
，则
，则
，
点
的坐标为
，
，即
，
．
（法二）由
，解得
，
又
，
所以点
的纵坐标为
，
代入方程
中，解得
，
所以
，代入双曲线方程中，可得
，
所以
．
故答案为：
．
考点一：顶角为直角的焦点三角形求解离心率的取值范围问题
顶角为直角的焦点三角形求解离心率的取值范围问题，如图所示：
椭圆：
e=
1
sinα+cosα =
1
√2sin(α+ π
4 )
，根据α 范围求解值域．
双曲线：
e=
1
cosα−sinα =
1
√2cos(α+ π
4 )
，根据α 范围求解值域．
【例1】（2024·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考阶段练习）已知椭圆
上一点
，它关
于原点的对称点为
，点
为椭圆右焦点，且满足
，设
，且
，则该椭圆的
离心率的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】如图所示，设椭圆得左焦点为
，连接
，
则四边形
为矩形，
则
，
所以
，
在
中，由
，
得
，
所以
，
所以
，
因为
，所以
，
所以
，
所以
.
故选：B.
【变式1-1】（2024·高三单元测试）已知椭圆
（a＞b＞0）上有一点A，它关于原点的对称点为
B，点F 为椭圆的右焦点，且AF⊥BF，设
，且
，则该椭圆的离心率e 的取值范围为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】如图所示，
设椭圆的左焦点为
，连接
，
．
则四边形
为矩形．
因此
．
．所以
，
．
．
，
，
，
，
其中
，
．
．
故选：A．
【变式1-2】（2024·宁夏银川·高三银川二中校考阶段练习）已知椭圆
上有一点
，它
关于原点的对称点为
，点
为椭圆的右焦点，且满足
，设
，且
，则该椭
圆的离心率的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】设椭圆的左焦点为
，连接
，
，可知四边形
为矩形，从而可知
，
且
，由
，可得
，
，结合
，可
得
，根据
，求出范围即可.如图所示，设椭圆的左焦点为
，连接
，
，
则四边形
为矩形，
所以
，
，
由
，可得
，
，
，即
，
∵
，
，
，
，
.
故选：A.
【变式1-3】（2024·河南驻马店·高三统考期末）已知双曲线
右支上非顶点的一点
关
于原点
的对称点为
，
为其右焦点，若
，设
且
，则双曲线
离心率
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
如图所示，设双曲线的左焦点为
，连接
，
因为
，所以四边形
为矩形，
所以
，
因为
，
，
，
所以
，
所以
，
∵
，∴
，
，
∴
，
故选：C
考点二：焦点三角形顶角范围与离心率
是椭圆
x2
a2 + y2
b2 =1(a>b>0)
的焦点，点
在椭圆上，∠F1PF 2=θ，则cosθ≥1−2e2（当且仅当
动点为短轴端点时取等号）．
【例2】（2024·辽宁葫芦岛·高三统考期末）已知点
分别是椭圆
的左、右焦点，
点
是椭圆上的一个动点，若使得满足
是直角三角形的动点
恰好有6 个，则该椭圆的离心率为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由题意知，椭圆的最大张角为
，所以
，所以
，所以
，
故选：C．
【变式2-1】（2024·江西抚州·高三统考期末）设
是椭圆的两个焦点,若椭圆上存在点
,使
,则椭圆离心率的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】F1（-c，0），F2（c，0），c＞0，设P
，则|PF1|=a+ex1，|PF2|=a-ex1．
在△
中，由余弦定理得
，
解得
．∵
，∴0≤
＜a2，即
．且
∴
．故椭圆离心率的取范围是 e∈
【变式2-2】（2024·宁夏·高三校联考阶段练习）已知
，
是椭圆
的两个焦点，
若椭圆C 上存在点
，使得
，则椭圆的离心率的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】若椭圆C 上存在点
，使得
，即以
为直径的圆与椭圆
有交
点，设
，
，解得
，即
，
，又
，
故
.
故选：B.
【变式2-3】（2024·高三课时练习）已知椭圆
的两个焦点分别为
，若椭圆上存
在点
使得
是钝角，则椭圆离心率的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
当动点
从椭圆长轴端点处沿椭圆弧向短轴端点运动时，
对两个焦点的张角
渐渐增大，当且仅当
点位于短轴端点
处时，张角
达到最大值．
∵椭圆上存在点
使得
是钝角，∴
中，
，
∴
中，
，∴
，
∴
，∴
，∴
，
∵
，∴
．椭圆离心率的取值范围是
，故选B．
考点三：共焦点的椭圆与双曲线问题
sin2 α
2
e
椭2
+
cos2 α
2
e
双2
=1
，与基本不等式联姻求解离心率的取值范围
【例3】（2024·全国·高三专题练习）已知椭圆和双曲线有共同的焦点
，
，
是它们的一个交点，且
，记椭圆和双曲线的离心率分别为
，
，则当
取最大值时，
，
的值分别是（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
【答案】A
【解析】不妨设椭圆与双曲线的标准方程分别为：
，
，
，
．
设
，
．
．则
，
，∴
，
．
因为
，
所以
，
即
．
∴
，∴
，
∴
，则
，当且仅当
，
时取等号．
故选：A．
【变式3-1】（2024·湖南·高三校联考期末）已知椭圆和双曲线有共同的焦点
，
，
，
分别是它们在
第一象限和第三象限的交点，且
，记椭圆和双曲线的离心率分别为
，
，则
最小值等
于 ．
【答案】
【解析】设椭圆长半轴为
，双曲线实半轴为
，
，
，
为两曲线在第一象限的交点，
为两曲线在第三象限的交点，如图，
由椭圆和双曲线定义与对称性知
，
，
四边形
为平行四边形，
，
，而
，则
，因此
，
即
，于是有
，则
，
，
所以
，当且仅当
，
时取
等号．
故答案为：
【变式3-2】（2024·湖北咸宁·校考模拟预测）已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左右焦点分别
为
，且两条曲线在第一象限的交点为
，
是以
为底边的等腰三角形，若
，椭圆
与双曲线的离心率分别为
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
设椭圆与双曲线的半焦距为c，椭圆长半轴为
，双曲线实半轴为
，
，
，
是以
为底边的等腰三角形，点
在第一象限内，
，
即
，
，且
，
，
，
，解得：
．
在双曲线中，
，
；
在椭圆中，
，
；
；
，
，则
，
，
可得：
，
的取值范围为
.
故选：B.
考点四：椭圆与双曲线的4a 通径体
椭圆与双曲线的4a 通径体
如图，若
，易知
，若
，则一定有
，根据
可得
，即
【例4】（2024·河南新乡·高三统考期末）设双曲线
的左、右焦点分别是
、
，
过
的直线交双曲线
的左支于
、
两点，若
，且
，则双曲线
的离心率是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】如下图所示：
，由双曲线的定义可得
，
所以，
，则
，
由余弦定理可得
，
，
因为
，
故
，整理可得
，故该双曲线的离心率为
.
故选：B.
【变式4-1】（2024·甘肃庆阳·高三校联考阶段练习）已知
，
分别是椭圆
：
的
左、右焦点，过点
的直线交椭圆C 于M，N 两点.若
，且
，则椭圆C 的离
心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因为
，
所以可设
，
，
，
因为
，所以
，解得
，
因为
，所以
，
，
，
所以
，
在
中，
，
，
由
，可得
，
即椭圆
的离心率为
.
故选：B.
【变式4-2】（2024·湖南衡阳·校联考模拟预测）已知椭圆
的左､右焦点分别为
、
，过
作直线与椭圆相交于
、
两点，
，且
，则椭圆的离心率为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】如图所示，设
，
，设
，则
，
在
中，
，
由椭圆定义可知
，
，
，解得
，
所以
，
，
在
中，可得
，
在
中，由余弦定理可得
，
，
，即
0，
解得
，所以椭圆离心率
.
故选：D.
考点五：椭圆与双曲线的4a 直角体
如左图，若AF 2⊥AB ，AB 过原点，且⃗AF 1=λ⃗F1B ，∠AF 1F2=α ，则
ecosα=|λ−1|
λ+1 可得离心率．
如右图，若BF 2⊥AC ，AB 过原点，且⃗AF 2=λ⃗F2C(0<λ<1)，通过补全矩形，可得AF 1⊥AC ，
|AF 2|= λ+1
2 ⋅b2
a ，借助公式
ecosα=|λ−1|
λ+1 可得离心率．
【例5】（2024·山东济南·校联考）设
，
分别是椭圆
的左、右焦点，过
的直
线交椭圆于
，
两点，且
，
，则椭圆
的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】因为
，不妨令
，
过
的直线交椭圆于
，
两点，由椭圆的定义可得，
，
，
则
，
，
又
，所以
，则
和
都是直角三角形，
则
，即
，解得
，
所以
，
，又
，
，
所以
，因此
，所以椭圆
的离心率为
.
故选：C.
【变式5-1】（2024·安徽池州·高三统考期末）设
分别是椭圆
的左、右焦点，
过点
的直线交椭圆
于
两点，若
，且
，则椭圆
的离心率是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】设
，再由
是等腰直角三角形
，故选D,
【变式5-2】（2024·湖北黄冈·高三统考期末）已知椭圆
的左、右焦点分别为
，
，过
的直线交椭圆于A，B 两点，
，且
，椭圆
的离心率为
，则实数
（ ）
A．
B．2
C．
D．3
【答案】D
【解析】因为
，设
，由椭圆的定义可得：
，则
，因为
，所以
，
所以
，即
，又因为椭圆
的离心率为
，
所以
，则有
，
所以
，则
，则
，
由
，所以
，因为
，所以
，
所以
，即
，解得：
，
故选：
.
考点六：椭圆与双曲线的等腰三角形问题
同角余弦定理使用两次
【例6】已知椭圆C 的焦点为
，过F2的直线与C 交于A，B 两点.若
，
，则C 的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】法一：如图，由已知可设
，则
，由椭圆的定义有
．在
中，由余弦定理推论得
．在
中，由余弦定理得
，解得
．
所求椭圆方程为
，故选B．
法二：由已知可设
，则
，由椭圆的定义有
．在
和
中，由余弦定理得
，又
互补，
，两式消去
，得
，解得
．
所求椭圆方程为
，故选B．
【变式6-1】（2024·江西九江·高三九江一中校考期末）已知双曲线
左右焦点为
，
，过
的直线与双曲线的右支交于P，Q 两点，且
，若
为以Q 为顶角的等腰三角形，
则双曲线的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由题意
，
又
，所以
，从而
，
，
，
中，
，
中．
，
所以
，
，所以
，
故选：C．
【变式6-2】（2024·辽宁沈阳·高三沈阳二中校考阶段练习）已知双曲线
左右焦点为
，
，过
的直线与双曲线的右支交于
，
两点，且
，若
为以
为顶角的等腰三角形，
则双曲线的离心率为（ ）
A．3
B．2
C．
D．
【答案】C
【解析】由题意
，
又
，所以
，从而
，
，
，
中，
，
中．
，
所以
，
，所以
，
故选：C．
考点七：双曲线的4a 底边等腰三角形
当
或者
时，令
,则一定存在①
，②
【例7】（2024·河南·高三校联考阶段练习）设
为双曲线
：
（
，
）的右焦点，直
线：
（其中为双曲线
的半焦距）与双曲线
的左、右两支分别交于
，
两点，若
，则双曲线
的离心率是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】设双曲线
的左焦点为
，如图，取线段
的中点
，连接
，则
．因为
，所以
，即
，则
．设
．因为
，所以
，则
，从而
，故
，解得
．因为直线的斜
率为
，所以
，整理得
，即
，
故选：D．
【变式7-1】（2024·贵州·校联考模拟预测）设
为双曲线C：
的右焦点，直线l：
（其中c 为双曲线C 的半焦距）与双曲线C 的左、右两支分别交于M，N 两点，若
，则双曲线C 的离心率是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】设双曲线C 的左焦点为
，如图，取线段
的中点H，连接
，则
．
因为
，所以
，即
，则
．
设
．因为
，
所以
，则
，从而
，故
，解得
．
因为直线l 的斜率为
，所以
，整理得
，即
，则
，故
．
故选：C
【变式7-2】（2024·全国·高三长垣市第一中学校联考开学考试）设双曲线
的左､右
焦点分别为
，过点
作斜率为
的直线与双曲线
的左､右两支分别交于
两点，且
，则双曲线
的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．2
【答案】A
【解析】如图，设
为
的中点，连接
.
易知
，所以
，所以
.
因为
为
的中点，所以
.
设
，因为
，所以
.
因为
，所以
.
所以
.
因为
是
的中点，
，所以
.
在Rt
中，
；
在Rt
中，
.
所以
，解得
.
所以
.
因为直线的斜率为
，
所以
，所以
，
，所以离心率为
.
故选：A
【变式7-3】（2024·全国·模拟预测）已知
，
分别为双曲线
的左、右焦点，
过
的直线与双曲线
的左支交于
，
两点，连接
，
，在
中，
，
，则双曲线
的离心率为（ ）
A．3
B．
C．
D．2
【答案】D
【解析】设
，则由双曲线定义可得
，
，
，由
可得
，再在
中根据余弦定理即可列出式子求出离心率.设
，则由双曲线定义可得
，
，则
，
则
，解得
，从而
.
在
中，
，
即
，解得
.
故选：D.
考点八：焦点到渐近线距离为b
双曲线的特征三角形，如图所示，设渐近线
，
，过右焦点作
，
，
由于渐近线方程为
，故
，且斜边
，故
，故
，
.
【例8】（2024·河南新乡·高三校联考阶段练习）已知双曲线
的左、右焦点分别为
，过
作双曲线
的一条渐近线的垂线，垂足为
，直线与双曲线
的左支交于
点 ，且
恰为
线段
的中点，则双曲线
的离心率为 （ ）
A．
B．
C．2
D．
【答案】D
【解析】连结
，因为点
分别为
和
的中点，
所以
，且
设点
到一条渐近线
的距离
，所以
，又
，所以
，
中，满足
，
整理为：
，
双曲线的离心率
.
故选：D
【变式8-1】（2024·吉林白山·高三校联考阶段练习）已知双曲线
的左右焦点分别为
，
，以
为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点
（异于坐标原点
），若线段
交双曲线于点
，
且
则该双曲线的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】不妨设渐近线的方程为
，因为
，
为
的中点，
所以
为
的中点，
将直线
，
的方程联立
，可得
，
又
，所以
即
，
又
点在双曲线上，所以
，解得
，
所以该双曲线的离心率为
，
故选：A.
【变式8-2】（2024·山西运城·高三统考期末）已知双曲线
的左、右焦点分别为
、
，
以
为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点
，若线段
交双曲线于点
，且
，则双
曲线的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】根据题意，不妨取点
在第二象限，题中条件，得到
，记
，求出
，根据双曲线定义，得到
，
，在
中，由余弦定理，即可得出结果.
因为以
为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点
，不妨取点
在第二象限，
所以
，则
，
因为双曲线
的渐近线方程为
，则
，所以
；
记
，则
，由
解得
，
因为
，由双曲线的定义可得
，所以
，
，
由余弦定理可得：
，
则
，所以
，整理得
，解得
，
所以双曲线的离心率为
.
故选：C.
【变式8-3】（2024·辽宁·统考模拟预测）已知双曲线
：
的一个焦点为
，过
作双
曲线
的一条渐近线的垂线，垂足为
.若
(
为坐标原点)的面积等于
( 为双曲线
的半焦距)，
则双曲线
的离心率为（ ）
A．
B．
C．2
D．
【答案】A
【解析】设双曲线
：
的右焦点
，
双曲线
的一条渐近线方程设为
，
可得
，
，
的面积为
，即有
，
化为
，
，解得
.
故选：A.
【变式8-4】（2024·广西南宁·统考）已知双曲线
的左焦点为
，过点
的直线
与两条渐近线的交点分别为
两点(点
位于点M 与点N 之间)，且
，又过点
作
于P(点O 为坐标原点)，且
，则双曲线E 的离心率
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】不妨设
在第二象限，
在第三象限，如下图所示：
因为
，
，所以
，
所以
，
，
又
，所以
，
所以
，所以
，
因为
，所以
，
所以
，所以
.
故选：C.
考点九：焦点到渐近线垂线构造的直角三角形
利用几何法转化
【例9】（2024·江西九江·高三九江一中校考阶段练习）
是双曲线
的左焦点，过
点
作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为
，交另一条渐近线于点
．若
，则此双曲线的离心
率为（ ）
A．2
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由题意得：
，双曲线渐近线方程为：
若
为直线
与
交点，
为直线
与
交点
则
直线
方程为：
，与
联立可得：
直线
方程与
联立可得：
由
得：
，即
，即
，解得：
或（舍）
由双曲线对称性可知，当
为直线
与
交点，
为直线
与
交点时，结论一致
故选：
【变式9-1】（2024·广西玉林·校考模拟预测）过双曲线C：
(a>0，b>0)的右焦点F 引一条渐近
线的垂线，与另一条渐近线相交于第二象限，则双曲线C 的离心率的取值范围是（ ）
A．(
，+∞)
B．(
，+∞)
C．(2，+∞)
D．(3，+∞)
【答案】A
【解析】由题意双曲线C：
的渐近线
，右焦点
，
不妨设过右焦点
与双曲线的一条渐近线垂直的直线方程为
与
联立得
，所以
，
，所以交点坐标为
，因
为交点在第二象限，所以
，因为
，
，
，所以
，
，所以
，
即
，因为
，所以
，即
故选：A
【变式9-2】（2024·江西新余·统考）已知双曲线
，过右焦点
作
的一条渐近
线的垂线，垂足为点
，与
的另一条渐近线交于点
，若
，则
的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】如下图所示：
双曲线的渐近线方程为
，即
，
所以，
，则
，
因为
，则
，
设
，则
，所以，
，
，
，
由二倍角的正切公式可得
，即
，可得
，
因此，
.
故选：A.
考点十：以两焦点为直径的圆与渐近线相交问题
以F1F2为直径作圆，交一条渐近线
y=b
a x
于点B ，BF 1交另一条渐近线于点A ，则令∠BOF 2=α ,则
∠BF 1F2=α
2 ，e=√1+tan2α
【例10】（2024·全国·校联考）过双曲线
的右焦点
作
轴的垂线，与双曲线
及
其一条渐近线在第一象限分别交于
两点，且
为坐标原点），则该双曲线的离心率是
( )
A．2.
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】设双曲线的半焦距为，由
得到
，由
得到
，
而
，
，即点A 是线段FB 的中点，
所以
，所以
.
故选：D
【变式10-1】（2024·山西晋城·统考）设
，
是双曲线
：
的左、右焦点，以线
段
为直径的圆与直线
在第一象限交于点
，若
，则双曲线
的离心率为
（ ）
A．
B．
C．
D．2
【答案】A
【解析】由题意可得
，
即有
为等腰三角形，
设
，
则
，
所以
即为
，
所以
，
故选：A
【变式10-2】（2024·河北衡水·高三河北衡水中学校考阶段练习）已知双曲线
的
左，右焦点分别为F1，F2，若以F1F2为直径的圆和曲线C 在第一象限交于点P，且△POF2恰好为正三角形，
则双曲线C 的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】连接
， 设
，
则由题意可得
是直角三角形，
由
恰好为正三角形得，
，
∴
，∴
，
，
．
故选：C．
【变式10-3】（2024·陕西宝鸡·统考）已知双曲线
的左､右焦点分别为
，
，
且以
为直径的圆与双曲线
的渐近线在第四象限交点为
，
交双曲线左支于
，若
，则
双曲线的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】写出圆方程，与渐近线方程联立解得得
点坐标，由
可表示出
点坐标，
点坐标代
入双曲线方程整理后可求得．
，圆方程为
，
由
， 由
，
，解得
，即
，
设Q(x0，y0)，由
，
，得
，
，
因为
在双曲线上，
∴
，
，
解得
（
舍去），
故选：A
考点十一：渐近线平行线与面积问题
①双曲线C：
上的任意点P 到双曲线C 的两条渐近线的距离的乘积是一个常数
a2b2
c2
②双曲线C：
上的任意点P 作双曲线C 的两条渐近线的平行线，分别交于A ，B 两点，则
|PA||PB|是一个常数
c2
4 ，
SAOBP =ab
2 ，⃗
OA⋅⃗OB = a2−b2
4
【例11】（2024·北京·人大附中校考）已知
，
分别为双曲线C：
的左、右焦点，
过
作C 的两条渐近线的平行线，与渐近线交于M，N 两点．若
，则C 的离心率为（ ）
A．2
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】易知MN 关于x 轴对称，令
，
，
∴
，
，∴
，∴
．
，
，
，
∴
，
∴
．
故选: C.
【变式11-1】（2024·山东潍坊·高三统考期末）已知双曲线
上一点
坐标为
为双曲线
的右焦点，且
垂直于
轴.过点
分别作双曲线
的两条渐近线的平行线，
它们与两条渐近线围成的图形面积等于，则该双曲线的离心率是 .
【答案】
或
【解析】由题意知，
，
双曲线
的渐近线方程为
，
设过点
且与渐近线
平行的直线与渐近线
相交于点
，如图所示，
直线
的方程为
，
将其与
联立，解得
，
，即
，
，
，
点
，
到直线
的距离为
，
所围图形面积等于1，
，即
，
化简得
，
点
，
在双曲线上，
，即
，
，
又
，
，
或
，
，
离心率
或
．
故答案为：
或
．
【变式11-2】（2024·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考阶段练习）过双曲线
：
（
，
）
右支上一点
作两条渐近线的平行线分别与另一渐近线交于点
，
，
为坐标原点，设
的面积
为，若
，则双曲线
的离心率取值范围为 ．（用区间作答）
【答案】
【解析】设
，
是过P 与渐近线
平行的直线，交y 轴于
点，与渐近线
交于
，
则
，即
，
联立
解得
，
则
，由题知四边形
是平行四边形，
又
在双曲线上，应满足
，即
则
则
，解得
，
可得离心率
所以离心率的范围为
，
故答案为：
考点十二：数形结合转化长度角度
数形结合
【例12】（2024·四川泸州·高三四川省泸县第一中学校考阶段练习）已知
分别为双曲线
的左、右焦点，
是
左支上一点，
，若存在点
满足
，则
的离心率为 .
【答案】
【解析】
因为
，所以
是
的中点，又
为
的中点，
所以
，因为
，所以
，所以
，
设
，则
，
，且
在双曲线上，
则
，即
，又
，即
，
所以
.
故答案为：
.
【变式12-1】（2024·内蒙古赤峰·高三校考期末）已知双曲线
的左、右焦点分别
为
，点
在
上，且
，射线
分别交
于
两点（
为坐标原点），若
，则
的离心率为 ．
【答案】
【解析】由双曲线的对称性得
，由
，得
，
不妨设点
在
的右支上，且
，
在
中，由双曲线定义知
，
由勾股定理得
，
则
，
且
又
，
，所以
，
则在
中，由
，得
，
化简得
，
即
，所以
，
所以
，化简得
.
所以
的离心率为
.
故答案为：
.
【变式12-2】（2024·福建龙岩·高三福建省连城县第一中学校考期末）如图，已知双曲线
的左、右焦点分别为
是C 上位于第一象限内的一点，且直线
轴的正半轴交于A 点，
的内切圆在边
上的切点为N，若
，则双曲线C 的离心率为 .
【答案】
【解析】设
的内切圆在边
的切点分别为
，如图：
则
得
，
又
，则
，
得
，
又
，得
，所以双曲线的离心率为
，
故答案为：
.
