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10.2 双曲线的标准方程和离心率（练习）
目录
1
题型一、双曲线的标准方程.....................................................................2
2
题型二、双曲线的离心率.......................................................................18
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1 题型一、双曲线的标准方程
一、单选题
1．实轴长为6，虚轴长为8，焦点在x 轴上的双曲线方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据双曲线的实轴长、虚轴长及焦点位置直接写出双曲线方程即
可.
【详解】由题设，双曲线方程可设为
，且
，即
，
所以双曲线方程为
.
故选：A
2．已知双曲线的一条渐近线方程为
，实轴长为4，则双曲线的方
程为（ ）
A．
B．
C．
或
D．
或
【答案】C
【分析】分焦点在x 轴和y 轴两种情况，结合公式求出答案.
【详解】实轴长
，
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若双曲线焦点在x 轴上，则
双曲线方程为
，
若双曲线焦点在y 轴上，则
双曲线方程为
.
故选：C．
3．双曲线的一个顶点为
，虚半轴长为
，则双曲线的标准方程是
（ ）.
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由双曲线的定点坐标及虚半轴长可得方程.
【详解】由已知双曲线的一个顶点为
，
可知双曲线的焦点在
轴上，且
，
又虚半轴长为
，
所以双曲线方程为
，
故选：C.
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4．双曲线的焦点坐标是
和
，实轴长是2，则其方程是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】确定
即可得双曲线方程.
【详解】双曲线的焦点坐标是
和
可得
，
实轴长是2 可得
，
所以
，
所以方程是
.
故选：B.
5．已知双曲线
的一条渐近线方程是
，实轴的长度为
，则双曲线
的标准方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】利用给定条件结合双曲线的性质求解双曲线方程即可.
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【详解】因为双曲线
实轴的长度为
，
所以
，因为双曲线的一条渐近线方程是
，
所以
，解得
，故双曲线
的标准方程为
，故
A 正确.
故选：A
6．已知中心在原点的双曲线
的一条渐近线的斜率为2，且一个焦点的坐
标为
，则
的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】由题意，判断双曲线焦点位置，求出
的值，即得双曲线方程.
【详解】由题意，双曲线的焦点在
轴上，且
，
，即
，
利用
可联立求得
，
故双曲线
的方程为：
.
故选：D.
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7．若双曲线
的一个焦点为
，则
等于（ ）
A．
B．
C．
D．8
【答案】D
【分析】根据双曲线标准方程和
分析可得到答案.
【详解】根据双曲线标准方程特点分析可知
，且
，
，
因为双曲线的一个焦点为
，所以
，
由
知：
，解得
，
故选：D
8．双曲线C 的离心率为2，右焦点为
，则C 的标准方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】利用已知可求得
，进而可求得
，可求双曲线C 的标准方程.
【详解】因为双曲线C 的右焦点为
，所以
，
又双曲线C 的离心率为2，所以
，解得
，所以
，
所以双曲线C 的标准方程为
.
故选：A.
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9．已知双曲线
，焦距为10，则实轴长为（ ）
A．1
B．2
C．
D．
【答案】C
【分析】利用双曲线中的关系式
，结合
，即可求解
.
【详解】由题意得：
，
，
，
联立可解得：
，即实轴长为
故选：C.
二、填空题
10．焦点在
轴上，虚轴长为
，且离心率
的双曲线的标准方程为
．
【答案】
【分析】根据题意，由双曲线的虚轴长可得
的值，又由双曲线的离心率
公式可得
，解可得
，又由双曲线焦点的
位置分析可得答案．
【详解】解：由题，因为焦点在
轴上，所以，设双曲线的方程为
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．
因为虚轴长为
，且离心率
，
所以
，
，
，
所以，
，解得
，
，
所以所求双曲线的标准方程为
．
故答案为：
11．若双曲线
的虚轴长为
，则该双曲线的离心率为
．
【答案】2
【解析】根据双曲线方程的几何性质可得结果，
【详解】由题得
，所以
，
又
，所以
，
所以
.
所以双曲线的离心率为
.
故答案为：
.
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12．双曲线
的虚轴长是实轴长的2 倍，则
等于 ．
【答案】
/
【分析】由双曲线的性质得出
.
【详解】由题意得
，因为虚轴长是实轴长的2 倍，所以
，所以
．
故答案为：
13．已知双曲线
的实轴长为
，离心率为2，则双曲线的标
准方程为
【答案】
【分析】由题意列出关于a、b、c 的方程组，即可计算出双曲线标准方程.
【详解】由题得
.
故答案为：
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三、解答题
14．已知双曲线
：
（
，
）的实轴长为
，离心率
.
(1)求双曲线
的方程；
(2)直线与双曲线
相交于
，
两点，弦
的中点坐标为
，求
直线的方程.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由已知条件可得
，
，
，解方程
求得
的值即可求解；
0
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（2）设
，
，则
，
，利用点差法
求出直线的斜率，再由点斜式可得的方程.
【详解】（1）由题意可得
，解得：
，所以双曲线
的方程为：
.
（2）设
，
，
因为弦
的中点坐标为
，所以
，
，
将点
，
代入双曲线
可得：
，两式相减可得：
即
，所以
，
所以直线的斜率为：
，
所以直线的方程为：
即
.
15．已知双曲线
（
，
）的右焦点为
，离心率
1
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，虚轴长为
.
(1)求
的方程；
(2)过右焦点
，倾斜角为
的直线交双曲线于
､
两点，求
.
【答案】(1)
；
(2)
.
【分析】（1）由题意可得
，
，
，解方程
组求出
的值即可求解；
（2）设
，
，
直线
的方程为：
与双曲线方程联立消去
可得
，
，再由弦长公式即可
求弦长
.
2
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【详解】（1）由题意可得：
，解得：
，所以双曲线
的方程为
.
（2）由（1）知：
，所以
，可得直线
的方程为：
，
设
，
，由
可得：
，
所以
，
，
所以
，
所以弦长
.
16．已知双曲线
的中心为原点
，焦点在
轴上，直线
是
的
一条渐近线， 且虚轴长为
3
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(1)求
的标准方程
(2)记
的左右焦点为
，点
在双曲线右支上，若
的周长为
，求
的大小
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由虚轴长为
求得b，再根据渐近线
，设双曲线
方程为
求解
（2）设
，由
，结合余弦定理求
解.
【详解】（1）解：因为双曲线
的虚轴长为
，
所以
，
4
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又因为双曲线
的一条渐近线为
，
令双曲线方程为
，
即
，
∴
，
∴双曲线
的标准方程为
；
（2）不妨记
∴
，
由余弦定理，
，
所以
.
17．已知双曲线
的一条渐近线为
，且双
曲线
的虚轴长为
．
(1)求双曲线
的方程；
(2)记
为坐标原点，过点
的直线与双曲线
相交于不同的两点
、
，若
的面积为
，求直线的方程．
5
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【答案】(1)
(2)
或
【分析】（1）根据已知条件求出
、
的值，即可得出双曲线
的方程；
（2）分析可知，直线的斜率存在，设直线的方程为
，设点
、
，将直线的方程与双曲线
的方程联立，根据题意得
出
，求出
的取值范围，列出韦达定理，利用三角
形的面积公式以及韦达定理求出
的值，即可得出直线的方程.
【详解】（1）解：由题意可得
，可得
，
因此，双曲线
的方程为
.
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（2）解：若直线与
轴重合，则直线与双曲线
没有交点，不合乎题
意，
所以，直线的斜率存在，设直线的方程为
，设点
、
，
联立
可得
，
由题意可得
，解得
，
由韦达定理可得
，
，
则
，
7
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，解得
，合乎题意，
所以，直线的方程为
或
.
18．在直角坐标系
中，已知双曲线
的离心
率为
，且
的实轴长为4．
(1)求
的标准方程；
(2)设
的上焦点为
，过第一象限
上一点
分别作直线
与
的垂线，垂足分别为点
，直线
交
于另一点
，当四边形
的面积为8 时，求
的值．
【答案】(1)
8
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(2)11
【分析】（1）由条件结合离心率定义，
关系列方程，解方程求
，
可得结论；
（2）设
，求点
到直线
，
的距离，
再求四边形
的面积，列方程可求
，结合弦长公式证明结论.
【详解】（1）由
的实轴长为4，得
，
由双曲线
的离心率为
，知
，
得
，
故
的标准方程为
．
（2）设
，
点
到直线
的距离
，同理点
到直线
的距离
，
9
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因为直线
与
互相垂直，所以四边形
为矩形，
其面积为
，
由点
在
上，得
，所以
，
所以
，
因为
在第一象限，所以
，代入
的方程得
，
所以
，又
，
所以直线
的方程为
，
与
联立消
整理得
，
由
，得
，
所以
．
2 题型二、双曲线的离心率
一、单选题
1．若双曲线
的离心率是
，则椭圆
的离心率是（ ）
0
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A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】根据双曲线的离心率关系可得
，然后再根据椭圆的离心
率为
，即可求出结果.
【详解】因为双曲线
的离心率是
，所以
，所以
；
因为椭圆
的离心率为
，所以
，故椭圆
的离心率为
.
故选：A.
【点睛】本题主要考查了椭圆和双曲线的离心率的概念，属于基础题.
2．已知双曲线
的离心率为
，则其渐近线方
程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
1
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【分析】根据双曲线
的离心率为
，利用
求解.
【详解】因为双曲线
的离心率为
所以
，
又因为焦点在
轴上
所以渐近线方程为
.
故选：A
【点睛】本题主要考查双曲线的几何性质，还考查了运算求解的能力，属
于基础题.
3．若双曲线
的离心率为2，则其渐近线方程为
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】将双曲线的方程化为标准方程，运用离心率公式可得
，即可得
到所求双曲线的渐近线方程．
2
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【详解】依题意，将
化成标准形式为
，
由
，且
，
，
由
，得
，
所以双曲线的方程为
，
显然该双曲线的焦点在
轴上，从而其渐近线方程为
．
故选：
．
【点睛】本题考查双曲线标准方程、离心率和渐近线方程，意在考查学生
对这些知识的理解掌握水平和计算能力．
4．已知双曲线
的离心率为
，焦点到渐近距离
为2，则双曲线
实轴长（ ）
A．
B．2
C．
D．4
【答案】C
【分析】由焦点到渐近线得距离为
，可得：
，再代入
离心率公式，即可得解.
3
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【详解】焦点到渐近线得距离为
，
又∵
，
∴
，
∴长轴为
.
故选：C.
【点睛】本题考查了双曲线的离心率、渐近线和实轴，属于基本量的考查，
是基础题.
5．已知双曲线
的离心率为
则b 的值为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】B
【分析】由双曲线的离心率公式和
，即可求解.
【详解】由题知
，
，
，
.
故选：B.
【点睛】本题主要考查双曲线离心率问题，解题的关键是熟练掌握离心率
公式，属于基础题.
6．已知双曲线
的离心率为2，则
的渐近线
方程是（ ）
A．
B．
C．
4
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D．
【答案】D
【分析】根据离心率可求
，故可求渐近线方程.
【详解】因为离心率为2，故
，故
，
故渐近线方程为：
，
故选：D.
7．已知双曲线
的实半轴长为
，焦距为
，则
的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据双曲线的性质，代入离心率公式，即可求解.
【详解】因为
，所以
.
故选：C
8．双曲线
的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】结合题意由双曲线离心率的定义可得.
【详解】由题意可知，
，故离心率
.
故选：B.
5
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9．双曲线
的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据双曲线离心率的求法求得正确答案.
【详解】依题意，双曲线的焦点在
轴上，
.
故选：B
10．双曲线
的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据给定的方程，利用双曲线离心率的意义直接求解.
【详解】双曲线
的实半轴长
，虚半轴长
，则半
焦距
，
所以所求离心率
.
故选：D
二、填空题
6
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11．已知双曲线
，则双曲线的离心率是 ，渐近线方程是
．
【答案】
【分析】根据双曲线方程判断焦点位置，求出
的值，即可求出离心
率和渐近线方程.
【详解】由
可得，双曲线焦点在
轴上，且
，则
，
于是离心率为：
渐近线方程为：
.
故答案为：
；
.
12．双曲线
的离心率为 .
【答案】
7
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【分析】求出
的值，即可得出该双曲线的离心率的值.
【详解】在双曲线
中，
，
，则
，
故该双曲线的离心率为
.
故答案为：
.
13．双曲线
的离心率为 ，
【答案】7√6
12 / 7
12 √6
【分析】求出
，求出离心率.
【详解】由题意得
，故
，
又
，
故离心率为
.
故答案为：
14．已知双曲线的方程为
，则其离心率
.
【答案】√105
7
/1
7 √105
【分析】直接由双曲线方程结合离心率定义求解即可.
8
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【详解】因为
，所以
，
所以
，所以
.
故答案为：
15．已知双曲线C：
的焦点到其渐近线的距离为
，则C 的离心率为 .
【答案】2
【分析】先求出渐近线方程，根据距离得到基本量的关系，故可求离心率.
【详解】双曲线的渐近线方程为
，由对称性不妨取右焦点
，
则
到渐近线的距离为
，故离心率
.
故答案为：2.
16．若双曲线
的虚轴长为6，则
的离心率为 .
【答案】
9
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【分析】本题可先根据双曲线虚轴长求出
的值，再结合双曲线中
的关系求出
的值，最后根据离心率公式计算出离心率.
【详解】因为双曲线
的虚轴长为6，
所以
，
，
因为
，
.
所以
的离心率
.
故答案为：
.
三、解答题
17．已知双曲线
的一条渐近线过点
.
(1)求双曲线的离心率；
(2)若双曲线的一个焦点在抛物线
的准线上，求双曲线的方程.
0
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【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先写出双曲线
的渐近线为
，将点
代入渐近线方程即可得到
，再结合
即可求解；
（2）根据双曲线的一个焦点在抛物线
的准线上，可得
，
进而求解.
【详解】（1）双曲线
的渐近线为
，
将点
代入得
，于是
，
因为
，所以
，得
，
所以双曲线的离心率
.
（2）抛物线
的准线为
.
因为双曲线的一个焦点在抛物线
的准线上，所以
，
又因为
，所以
，
，
1
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.
18．已知
是双曲线
上的一点，
分别是
的
左、右焦点，若
．
(1)求双曲线
的离心率；
(2)当
时，求
的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据双曲线的定义可得
，进而由离心率公式即可求
解，
（2）根据数量积的坐标运算，即可求解.
【详解】（1）由
可得
，所以
，
2
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故
，离心率为
（2）
，
，
所以
，
由于
，所以
，
解得
，
19．已知双曲线的两个焦点分别为
，
，双曲线上一点
与
，
的距离差的绝对值等于6.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)求双曲线的顶点，实轴长，虚轴长，焦距，渐近线方程、离心率.
3
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【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）利用给定条件结合双曲线中基本量的性质得到基本量的值，
再写出方程即可.
（2）利用双曲线的性质求解目标元素即可.
【详解】（1）因为双曲线的两个焦点在
轴上，
所以设双曲线方程为
，
因为双曲线的两个焦点分别为
，
，
所以
，由题意得双曲线上一点
与
，
的距离差的绝对值等于
6，
故
，由双曲线的定义得
，解得
，
得到
，故双曲线的标准方程为
.
（2）对于双曲线
，其实轴长为
，虚轴长为
，
焦距为
，离心率为
,
渐近线方程为
，顶点为
.
20．已知
，
是双曲线
的左右焦点，且两
4
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顶点间的距离是4，虚轴长是实轴长的
.
(1)求双曲线C 的离心率；
(2)直线
与双曲线交于A，B 两点，若四边形
的面积为
，求
.
【答案】(1)
(2)6
【分析】（1）根据条件可求
的值，进而求双曲线的离心率.
（2）根据双曲线的对称性可得三角形
的面积为
，进而可得点
的纵坐标，进而求
.
【详解】（1）
，
，
，
.
，
.
5
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双曲线的离心率
.
（2）
直线
与双曲线交于A，B 两点，
如图：
两点关于原点为O 对称，设
，
.
又
，
三角形
的面积为
.
，
.
又点
在双曲线
上，则
.
所以
，
所以
.
6
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7
