文档文本内容
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1.2.3 充分条件、必要条件
课程标准
学习目标
1.理解充分条件、必要条件的概念；
2.正确判断p 是q 的充分条件或必要
条件；
3.理解充要条件的概念，并会判断和
证明p 是q 的充要条件.
1.理解充分条件、必要条件与判定定理、性质定理及
其数学概念之间的关系；
2.经历充分条件、必要条件概念的形成过程，体验有
具体到一般的思维方法；
3.会判断p 是q 的什么条件；
4.通过实例体会对理解抽象概念的作用；
5.通过对充分条件和必要条件与集合的关系的教学，
建立概念间的多元联系，培养同学们多角度审视问
题的习惯；
知识点01 充分条件与必要条件
“若p，则q”为真命题
“若p，则q”为假命题
推出关系
p⇒q
p⇏q
条件关系
p 是q 的充分条件
q 是p 的必要条件
p 不是q 的充分条件
q 不是p 的必要条件
定理关系
判定定理给出了相应数学结论成立的充分条件
性质定理给出了相应数学结论成立的必要条件
一般地，数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件．数学中的每一条性质定理
都给出了相应数学结论成立的一个必要条件．
注意：对于“p q”
⇒
，蕴含以下多种解释：
2
（1）“若p，则q”形式的命题为真命题；
（2）由条件p 可以得到结论 q；
（3）p 是q 的充分条件或q 的充分条件是p；
（4）只要有条件p，就一定有结论 q，即p 对于q 是充分的；
（5）q 是p 的必要条件或p 的必要条件是q；
（6）一旦q 不成立，p 一定也不成立，q 成立对于p 成立是必要的.
显然，p 是q 的充分条件与q 是p 的必要条件表述的是同一个逻辑关系，即p q
⇒，只是说法不同而已.
【即学即练1】（2024·江苏·高一假期作业）“
”是“
”的________条件，“
”是“
”的________条件（用“充分”“必要”填空）．
【答案】 必要 充分
【分析】由于
，再根据充分条件和必要条件的定义即可作答.
【详解】由于
，
所以“
”是“
”的必要条件，“
”是“
”的充分条件．
故答案为：必要；充分
【即学即练2】（2024·高一课时练习）关于x 的方程
有实根的一个充分条件是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据一元一次方程的求解即可判断
，由充分条件的定义即可求解.
【详解】由
，要使方程有实根，则
，
故
是方程
有实根的一个充分条件，
故选：B
知识点02 充分条件、必要条件与充要条件
如果p⇒q，则称p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件. 一般地，数学中的每一条判定定理都给出了相应数
学结论成立的一个充分条件；每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件；每一条数学定
义都给出了相应数学结论成立的一个充要条件
1、充分不必要条件：如果
且
，则称
是
的充分不必要条件；
2、必要不充分条件：如果
且
，则称
是
的必要不充分条件；
3、充要条件：如果
且
，则称
是
的充分必要条件，简称充要条件；
4、既不充分也不必要条件：如果
且
，则称
是
的既不充分也不必要条件
【即学即练3】（2023·高一单元测试）若a,b∈R，则“a>1,b>1”的充分不必要条件是（ ）
A．ab>1且a+b>2
B．ab>1且(a−1)(b−1)>0
3
C．a+b>2且(a−1)(b−1)>0
D．a+b>3且(a−1)(b−1)>0
【答案】D
【分析】对于选项A 和B，可通过对a,b取特殊值进行验证判断，从而判断出正误；对于选项C，利用选
项C 中的条件，得出a>1,b>1，从而得出选项C 是充要条件，从而判断出不符合结果，进而得出结论.
【详解】对于A，当a= 1
2 ,b= 4时，有ab>1且a+b>2，但a<1，故A 错误；
对于B，当a=−2,b=−3时，有ab>1且(a−1)(b−1)>0，但得不出a>1,b>1，故B 错误；
对于C，由(a−1)(b−1)>0，得到a>1且b>1或a<1且b<1，又a+b>2，故a>1且b>1，此时是充要条
件，故C 错误；
综上，可知符合条件的为选项D.
故选：D.
【即学即练4】（2023 秋·湖南邵阳·高一统考期末）对任意的实数x，y，则“x + y =0”是“x
2+ y
2=0”
的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】取特殊值可判断充分性，根据x
2+ y
2=0得x = y =0，从而可判断必要条件.
【详解】取x =−1, y =1，此时x + y =0，但x
2+ y
2=0，故“x + y =0”不是“x
2+ y
2=0”的充分条件.
当x
2+ y
2=0时，x = y =0，此时x + y =0，故“x + y =0”是“x
2+ y
2=0”的必要条件.
故“x + y =0”是“x
2+ y
2=0”的必要不充分条件.
故选:B.
知识点03 充分必要条件与集合的关系
若条件p，q 以集合的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，
则由A⊆B 可得，p 是q 的充分条件，
①若A
B，则p 是q 的充分不必要条件；
②若A⊇B，则p 是q 的必要条件；
③若A
B，则p 是q 的必要不充分条件；
④若A＝B，则p 是q 的充要条件；
⑤若A⊈B 且A⊉B，则p 是q 的既不充分也不必要条件．
充分必要条件判断精髓：
小集合推出大集合，小集合是大集合的充分不必要条件，大集合是小集合的必要不充分条件；
若两个集合范围一样，就是充要条件的关系；
【即学即练5】（2024·高一单元测试）已知全集
，集合
，
.
4
(1)当
时，求
和
；
(2)若“
”是“
”成立的充分不必要条件，求实数m 的取值范围.
【答案】(1)
，
(2)
【分析】（1）根据集合并集、交集、补集运算求解即可；
（2）根据充分不必要条件转化为集合的包含关系求解即可
【详解】（1）当
时，集合
，
因为
，所以
.
所以
，
（2）因为“
”是“
”成立的充分不必要条件，
所以
是
的真子集，而
不为空集，
所以
，因此
.
难点：充分条件、必要条件、充要条件的应用
已知p：2x2－3x－2≥0，q：x2－2(a－1)x＋a(a－2)≥0，若p 是q 的充分不必要条件．求实数a 的取值
范围．
思路分析：
【解析】 令M＝{x|2x2－3x－2≥0}＝{x|(2x＋1)(x－2)≥0}＝{x| x ≤−1
2
x
或≥2}；
N＝{x|x2－2(a－1)x＋a(a－2)≥0}＝{x|(x－a)[x－(a－2)]≥0}＝{x|x≤a－2 或x≥a}，
由已知p⇒q 且q
p，得MN.
∴{
a−2≥−1
2 ，
a<2
或{
a−2>−1
2 ，
a≤2，
解得3
2≤a<2 或3
2<a≤2，即3
2≤a≤2，
5
即所求a 的取值范围是[
3
2 ，2].
方法归纳：根据充分条件、必要条件、充要条件求参数的取值范围时，主要根据充分条件、必要条件、
充要条件与集合间的关系，将问题转化为相应的两个集合之间的包含关系，然后建立关于参数的不等式
(组)进行求解．
【题型1：充分条件、必要条件、充要条件的判断】
例1.（2024·全国·高一专题练习）“不到长城非好汉，屈指行程二万”，出自毛主席1935 年10 月所写的一
首词《清平乐·六盘山》，反映了中华民族的一种精神气魄，一种积极向上的奋斗精神.从数学逻辑角度分
析，其中“好汉”是“到长城”的（ ）
A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】设
为不到长城，推出
非好汉，即
，
则
，即好汉
到长城，
故“好汉”是“到长城”的充分条件，故选：A．
变式1.（2024·江苏·高一假期作业）已知
，
，则
是
的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】设命题
:
对应的集合为
,
命题
:
对应的集合为
,
因为AB,所以命题
是命题
的充分不必要条件.
变式2.（2024·江苏·高一假期作业）下列命题中，p 是q 的什么条件？
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(1)p：四边形的对角线相等，q：四边形是矩形；
(2)p：
，q：
.
【答案】(1)必要不充分条件．
(2)充分不必要条件．
【分析】（1）根据矩形和等腰梯形的对角线相等，得到
，
，故p 是q 的必要不充分条件；
（2）解方程
，得到
或3，故p 是q 的充分不必要条件．
【详解】（1）∵等腰梯形的对角线相等，故
，
又因为矩形的对角线相等，故
，
∴p 是q 的必要不充分条件．
（2）当
时，
，
∴
，
，解得
或3.
故
，
∴p 是q 的充分不必要条件．
变式3.（2023 春·山东滨州·高二校考阶段练习）指出下列各组命题中，p 是q 的什么条件？q 是p 的什么条
件？（在“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分又不必要”中选一种作答）
(1)p：x 为自然数，q：x 为整数；
(2)p：
，q：
；
(3)p：同位角相等，q：两直线平行；
(4)p：四边形的两条对角线相等，q：四边形是平行四边形．
【答案】(1)p 是q 的充分不必要条件；q 是p 的必要不充分条件
(2)p 是q 的必要不充分条件；q 是p 的充分不必要条件
(3)p 是q 的充要条件；q 是p 的充要条件
(4)p 是q 的既不充分也不必要条件；q 是p 的既不充分也不必要条件
【分析】（1）由自然数和整数的概念作出判断；
（2）
，而
，得到结论；
（3）两者可互相推出，故可得到结论；
（4）举出反例，得到结论.
【详解】（1）x 为自然数，则
为整数，但
为整数，不妨令
，则
不是自然数，
故p 是q 的充分不必要条件，q 是p 的必要不充分条件；
（2）
，而
，
故p 是q 的必要不充分条件；q 是p 的充分不必要条件；
（3）同位角相等，可得到两直线平行，反之，两直线平行，可得到同位角相等，
p 是q 的充要条件；q 是p 的充要条件；
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（4）若四边形的两条对角线相等，则四边形可能为等腰梯形，故充分性不成立，
若四边形是平行四边形但不是矩形，则两条对角线不相等，故必要性不成立.
故p 是q 的既不充分也不必要条件；q 是p 的既不充分也不必要条件.
变式4.（2024·四川遂宁·四川省遂宁市第二中学校校考模拟预测）明——罗贯中《三国演义》第49 回“欲
破曹公，宜用火攻;万事倶备，只欠东风”，比喻一切都准备好了，只差最后一个重要的条件.你认为“东
风”是“赤壁之战东吴打败曹操”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据充分条件、必要条件的定义，结合题意即可下结论.
【详解】“东风”是“赤壁之战东吴打败曹操”的必要条件，但不是充分条件.
故选：B.
变式5.（2024·江苏·高一假期作业）“
”是“
”的 条件．
【答案】充分不必要
【分析】根据集合的包含关系即可结合充分不必要条件进行求解.
【详解】设
，因为
，所以“
”是“
”的充分不必要条件．
故答案为：充分不必要
变式6.（2023 春·河北保定·高二定州市第二中学校考阶段练习）设
，则“
”是“
”的
（ ）
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】先解分式不等式，再结合充分条件、必要条件的定义判断即可.
【详解】由
，得
或
；由
，得
，
则“
”是“
”的必要不充分条件．
故选：C
变式7.（2023 春·浙江温州·高二校联考期中）“
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据充分必要条件的概念求解.
【详解】由
，得
，即
，
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但若
，取
，则
不成立，
所以“
”是“
”的充分不必要条件；
故选:A.
变式8.（2023 春·河北沧州·高二统考期末）若
，则“
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合不等式的性质分析判断即可.
【详解】当
时，显然
，
，所以
，
当
时，若
，则
，
所以“
”是“
”的充分不必要条件，
故选：A
变式9.（2024·全国·高一假期作业）设
：
或
；
：
或
，则
是
的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】分别写出
对应的取值范围，再由范围大小即可确定选项.
【详解】根据题意可得
，
，
易知
是
的真子集，所以
，
因此，
是
的充分不必要条件.
故选：A
变式10.（2024·全国·高三专题练习）
是方程
有实根
且
的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】由一次函数与一次不等式的关系结合充分条件与必要条件的概念即可得出答案.
【详解】方程
有实根
且
函数
的图象在
时与
轴有交点，
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则
或
，解得
或
.
结合集合法易得
是方程
有实根
且
的充分不必要条件.
故选：A
变式11.（2023 春·四川德阳·高二德阳五中校考阶段练习）已知命题
：
，
，则“
”是“
是真命题”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】由
，
求出
的范围，然后可得“
是真命题”对应的
的范围，然后可判断
出答案.
【详解】由
，
可得
，
，
所以“
是真命题”对应的
的范围是
，
所以“
”是“
是真命题”的充分不必要条件，
故选：A
变式12.【多选】（2023 春·湖南常德·高一统考期末）下列命题正确的是（ ）
A．“
”是“
”的充分不必要条件
B．命题“
”的否定是“
”
C．
的充要条件是
D．若
，则
至少有一个大于1
【答案】BD
【分析】根据必要条件与充分条件的概念、全称量词的否定、不等式的性质依次判定即可.
【详解】对于A 选项，若
则得不到
，故不是充分条件；
对于B 选项，由全称量词的否定可判断其正确；
对于C 选项，若
则得不到
，故不是充要条件，C 选项错误；
对于D 选项，若
均不大于1，则
，故
至少有一个大于1，故D 选项正确；
故选：BD.
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变式13.【多选】（2023 秋·江西赣州·高一统考期中）下列结论正确的是（ ）
A．“
”是“
”的充分不必要条件
B．“
”是“
”的必要不充分条件
C．“
，有
”的否定是“
，使
”
D．“
是方程
的实数根”的充要条件是“
”
【答案】ACD
【分析】根据不等式的范围判断A；根据交集的概念判断B；全称量词命题的否定是存在量词命题判断
C；将1 代入方程求解判断D.
【详解】对于A，因为
，所以
或
，所以“当
”时，“
”成立，反之不成立，
故“
”是“
”的充分不必要条件，正确；
对于B，“
”一定有“
”成立，反之不成立，
故“
”是“
”的充分不必要条件，错误；
对于C，命题“
，有
”是全称量词命题，
其否定是存在量词命题，即“
，使
”，正确；
对于D，当
时，1 为方程
的一个根，故充分；
当方程
有一个根为1 时，代入得
，故必要，正确；
故选：ACD
变式14.（2023 秋·江苏连云港·高一连云港高中校考阶段练习）已知下列所给的各组
，
中，
是
的充
要条件的为（ ）
A．
，
B．
：两个三角形全等，
：两个三角形的两边及其夹角分别对应相等
C．
，
D．
：两直角三角形的斜边相等，
：两直角三角形全等
【答案】B
【分析】直接利用充分条件和必要条件判断A、B、C、D 的结论．
【详解】对于A 选项，
，解得：
或
，
所以
，但
，
故
为
的充分不必要条件，故A 错误；
B 选项：根据全等三角形的性质及判定可知，
，故
是
的充要条件，故B 正确；
C 选项，由
可得
或
，
，则
为
的充分不必要条件，故C 错误；
D 选项，两直角三角形全等，则两直角三角形的斜边相等，
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但两直角三角形的斜边相等，但两直角三角形不一定全等，
例如：
中
，
，斜边
，
中
，
，则斜边
，
故
为
的必要不充分条件．
故选：B．
【方法技巧与总结】
充分条件、必要条件、充要条件的判断方法
（1）定义法
①分清命题的条件和结论：分清哪个是条件，哪个是结论．
②找推式：判断“p⇒q”及“q⇒p”的真假．
③根据推式及条件得出结论．
（2）等价转化法
①等价法：将命题转化为另一个与之等价的且便于判断真假的命题．
②逆否法：这是等价法的一种特殊情况．
若¬p ¬
⇒q，则p 是q 的必要条件，q 是p 的充分条件；
若¬p ¬
⇒q，且¬q
¬p，则p 是q 的必要不充分条件；
若¬p
¬
⇔q，则p 与q 互为充要条件；
若¬p
¬q，且¬q
¬p，则p 是q 的既不充分也不必要条件．
（3）集合法：写出集合A＝{x|p(x)}及B＝{x|q(x)}，利用集合间的包含关系进行判断．
若条件p，q 以集合的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，
则由A⊆B 可得，p 是q 的充分条件，
①若A
B，则p 是q 的充分不必要条件；
②若A⊇B，则p 是q 的必要条件；
③若A
B，则p 是q 的必要不充分条件；
④若A＝B，则p 是q 的充要条件；
⑤若A⊈B 且A⊉B，则p 是q 的既不充分也不必要条件．
（4）传递法：若问题中出现若干个条件和结论，应根据条件画出相应的推式图，根据图中推式的传
递性进行判断．
（5）特殊值法：对于选择题，可以取一些特殊值或特殊情况，用来说明由条件(结论)不能推出结论
(条件)，但是这种方法不适用于证明题．
注：充分必要条件判断精髓：
小集合推出大集合，小集合是大集合的充分不必要条件，大集合是小集合的必要不充分条件；若两个
集合范围一样，就是充要条件的关系；
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【题型2：求条件(充分条件、必要条件和充要条件)】
例2．（2024·湖南衡阳·高二校联考学业考试）使不等式
成立的一个充分不必要条件是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据充分不必要条件的知识确定正确答案.
【详解】不等式
成立的一个充分不必要条件是
，
是
的必要不充分条件，
是
的非充分非必要条件，
是
的充分必要条件.
故选：A
变式1.（2024·全国·高三专题练习）已知p：
，那么p 的一个充分不必要条件是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】A 选项：
，错误；B 选项：
，错误；
C 选项：
，
，正确；
D 选项：
，错误.故选：C.
变式2.（2024·全国·高三对口高考）给出以下四个条件：①
；②
或
；③
；④
且
．其中可以作为“若
，则
”的一个充分而不必要条件的是 ．
【答案】③④
【分析】根据不等式的性质，结合充分不必要条件的判定方法，逐个判定，即可求解.
【详解】对于①中，由
，则可能
且
，此时
，所以充分性不成立；
对于②中，例如
，
满足
或
，此时
，所以充分性不成立；
对于③中，由
，可得
，反之不成立，
所以
是
的充分不必要条件；
对于④中，由
且
，则
，反之：若
，不一定得到
且
，
所以
且
是
的充分不必要条件.
故答案为：③④
变式3.（2023 春·陕西商洛·高二校考阶段练习）不等式“
在
上恒成立”的一个充分不
必要条件是（ ）
A．
B．
C．
D．
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【答案】A
【分析】先计算已知条件的等价范围，再利用充分条件和必要条件的定义逐一判断即可.
【详解】因为“不等式
在
上恒成立”，所以等价于二次方程的
判别式
，即
.
所以A 选项,
是
充分不必要条件，A 正确；
B 选项中，
不可推导出
，B 不正确；
C 选项中，
不可推导出
，故C 不正确；
D 选项中，
不可推导出
，故D 不正确.
故选：A.
变式4.（2024·全国·高三专题练习）不等式
（
）恒成立的一个充分不必要条件是
（ ）
A．a≥1
B．a＞1
C．
D．a＞2
【答案】D
【分析】先求得不等式
（
）恒成立的充要条件，再找其充分不必要条件.
【详解】不等式
（
）恒成立，显然
不成立，
故应满足
，解得
，所以不等式
（
）恒成立的充要条件是
，
A、C 选项不能推出
，B 选项是它的充要条件，
可以推出
，但反之不成立，故
是
的充分不必要条件.
故选：D
变式5.（2024·重庆·统考模拟预测）命题“
”是真命题的一个必要不充分条件是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据恒成立问题分析可得命题“
”是真命题等价于“
”，结合充分、
必要条件分析判断.
【详解】若命题“
”是真命题，则
，
可知当
时，
取到最大值
，解得
，
所以命题“
”是真命题等价于“
”.
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因为
，故“
”是“
”的必要不充分条件，故A 正确；
因为
，故“
”是“
”的充要条件，故B 错误；
因为
，故“
”是“
”的充分不必要条件，故C 错误；
因为
与
不存在包含关系，故“
”是“
”的即不充分也不必要条件，故D 错
误；
故选：A.
变式6.（2023 秋·高一课时练习）方程
有实根的充要条件是 ，方程
有实根
的一个充分而不必要条件可以是 .
【答案】
(答案不唯一)
【分析】由方程
有实根，可得判别式非负，从而可得到其充要条件，当
时方程有实根，
而方程有实根时不一定有
，从而可得到其一个充分不要条件，其实只要
的取值能使判别式非负即可.
【详解】解：因为方程
有实根，
所以
，即
，解得
，
反之，当
时，
，则方程
有实根，
所以
是方程
有实根的充要条件，
当
时，方程
有实根
，
而当方程
有实根时不一定是
，
所以
是方程
有实根的一个充分不要条件.
故答案为：
；
(答案不唯一).
变式7.【多选】（2024·全国·高一假期作业）设全集为U，在下列选项中，是
的充要条件的是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BCD
【分析】利用维恩图解决集合运算问题.
【详解】
由维恩图可知，A 不是
的充要条件，B，C，D 都是
的充要条件，
故选：BCD．
15
变式8.（2023 秋·甘肃兰州·高一校考期末）命题“
”是真命题的充要条件是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】将问题转化为
在
上恒成立，可求出结果.
【详解】因为命题“
”是真命题，
所以
在
上恒成立，
所以
，即
，
所以命题“
”是真命题的充要条件是
.
故选：C
【方法技巧与总结】
探求充要条件一般有两种方法
(1)先寻找必要条件，即将探求充要条件的对象视为结论，寻找使之成立的条件；再证明此条件是该对象的
充分条件，即从充分性和必要性两方面说明．
(2)将原命题进行等价变形或转换，直至获得其成立的充要条件，探求的过程同时也是证明的过程，因为探
求过程每一步都是等价的，所以不需要将充分性和必要性分开来证．
【题型3：充分条件、必要条件、充要条件的应用】
例3．（2024·上海长宁·统考二模）若“
”是“
”的充分条件，则实数
的取值范围为
．
【答案】
【分析】由充分条件定义直接求解即可.
【详解】
“
”是“
”的充分条件，
，
，
即实数
的取值范围为
.
故答案为：
.
变式1.（2023 秋·陕西安康·高一校联考期末）已知条件
，条件
，且
是
的必要条件，求
的取值集合．
【答案】
【分析】根据一元二次方程的解法解命题p 可得A={－3,2}，B={x|mx＋1＝0}，结合必要条件的定义可得
B⊆A，分类讨论B 的情况即可求值.
【详解】条件p：{x|x2＋x－6＝0}＝{－3,2}＝A，条件q：{x|mx＋1＝0}＝B，
因为p 是q 的必要条件，所以B⊆A.
16
所以
或{－3}或{2}．
当m＝0 时，
满足题意．
当m≠0 时，
若B＝{－3}，则－3m＋1＝0，解得m＝
.
若B＝{2}，则2m＋1＝0，解得m＝－
.
综上可得，m 的取值集合是
.
变式2.（2024·全国·高一专题练习）已知P＝{x|a－4<x<a＋4}，Q＝{x|1<x<3}，“x∈P”是“x∈Q”的必要条
件，求实数a 的取值范围．
【答案】{a|－1≤a≤5}
【解析】因为“x∈P”是“x∈Q”的必要条件，所以Q⊆P。
所以解得－1≤a≤5，
即a 的取值范围是{a|－1≤a≤5}。
变式3.（2024·全国·高一专题练习）已知
:
或
，
:
，若
是
的充分不必要条件，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】设
表示的集合为
或
，
表示的集合为
，
由
是
的充分不必要条件，可得
是
的真子集，利用数轴作图如下：
所以
，故选：D.
变式4．（2023 秋·湖北武汉·高一期中）已知p：x>1 或x<-3，q：x>a(a 为实数)．若¬q 的一个充分不必要
条件是¬p，则实数a 的取值范围是 ．
【答案】
【分析】由充分不必要条件的概念转化为集合真子集的关系求解参数的取值范围即可.
【详解】由已知得¬p：-3≤x≤1，¬q：x≤a．
设
，
若¬p 是¬q 的充分不必要条件，则¬p ¬
⇒q，¬q ¬
⇒p，
所以集合
是集合
的真子集.
所以
．
17
故答案为：
.
变式5.（2024·全国·高三专题练习）已知集合
，
．若“
”是“
”的
充分不必要条件，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】若“
”是“
”的充分不必要条件，则
，列出不等式组求解即可.
【详解】若“
”是“
”的充分不必要条件，则
，
所以
，解得
，即
的取值范围是
.
故选：B.
变式6.（2023 秋·云南大理·高一统考期末）若“不等式
成立”的充要条件为“
”，则实数
的值为 .
【答案】
【分析】解不等式
，根据充要条件的定义可得出关于
的等式，解之即可.
【详解】解不等式
得
，
因为“不等式
成立”的充要条件为“
”，所以
，解得
，
所以，
.
故答案为：.
变式7.（2024·江苏·高一假期作业）已知
，
，若p 是q 的必要不充分
条件，求实数m 的取值范围．
【答案】
．
【分析】由题意可得
是
的真子集，从而有
或
，求
解即可.
【详解】因为p 是q 的必要不充分条件，
所以
是
的真子集，
故有
或
解得
.
又
，所以实数m 的取值范围为
．
变式8.（2023 秋·河南濮阳·高一濮阳一高校考期中）已知
，
或
，若
的必
要不充分条件是
，则
的取值范围是 .
18
【答案】
【分析】根据充分必要条件的定义求解.
【详解】由题可得
，
，
因为
的必要不充分条件是
，
所以
，
故答案为:
.
变式9.（2024·高一单元测试）已知集合
，集合
．
(1)当
时，求
；
(2)当B 为非空集合时，若
是
的充分不必要条件，求实数
的取值范围．
【答案】(1)
或
(2)
【分析】（1）分别求出集合
，然后计算
，最后
；
（2）由题意知集合
是集合
的真子集，建立不等式组求解即可.
【详解】（1）∵
，
∴
．
当
时，
．
∴
，
所以，
或
．
（2）∵
为非空集合，
是
的充分不必要条件，
则集合
是集合
的真子集，
∴
，
解得：
，
∴m 的取值范围是
．
变式10.（2024·高一单元测试）已知全集
，集合
，
.
(1)当
时，求
和
；
(2)若“
”是“
”成立的充分不必要条件，求实数m 的取值范围.
【答案】(1)
，
19
(2)
【分析】（1）根据集合并集、交集、补集运算求解即可；
（2）根据充分不必要条件转化为集合的包含关系求解即可
【详解】（1）当
时，集合
，
因为
，所以
.
所以
，
（2）因为“
”是“
”成立的充分不必要条件，
所以
是
的真子集，而
不为空集，
所以
，因此
.
变式11.（2024·全国·高一专题练习）设集合
，命题
，
命题
(1)若
是
的充要条件，求正实数
的取值范围；
(2)若
是
的充分不必要条件，求正实数
的取值范围.
【答案】(1)
(2)
.
【分析】（1）根据
是
的充要条件转化为
求解即可；
（2）根据
是
的充分不必要条件，得
真包含于
，列出不等式求解即可.
【详解】（1）由条件
，
是
的充要条件，
得
，即
，解得
，
所以实数
的取值范围是
.
（2）由
是
的充分不必要条件，得
真包含于
，
所以
，或
，解得
，
综上实数
的取值范围是
.
变式12.（2023 秋·云南昆明·高一统考期中）已知集合
，
，
请在①充分条件，②必要条件，③充要条件这三个条件中任选一个，补充在下面问题（2）中，若问题
（2）中的实数
存在，求出
的取值范围；若不存在，请说明理由．
(1)若
，求实数
的取值范围；
(2)若
是
的________条件，判断实数
是否存在？
20
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）由集合运算得出集合关系，通过包含得出结果；
（2）分别将题目中给出的三个不同条件转化为集合之间的包含（或相等）关系，根据集合之间的包含
（或相等）关系，得出结果.
【详解】（1）若
，则
，
则
，解得
，
所以实数
的取值范围是
．
（2）若选择条件
，即
是
的充分条件，则
，
所以
，解得
，
所以实数
的取值范围是
；
若选择条件
，即
是
的必要条件，则
，
所以
，解得
．
又
，所以
，
所以实数
的取值范围是
；
若选择条件
，即
是
的充要条件，则
，
所以
，方程组无解，
所以不存在满足条件的实数
．
变式13.（2023 春·陕西西安·高二西安市第三中学校考期末）已知命题
，当命题
为真命题时，实数
的取值集合为A．
(1)求集合A；
(2)设集合
，若
是
的必要不充分条件，求实数
的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题意可知
有解，利用其判别式大于等于0 即可求得答案；
（2）结合题意推出
且
，讨论B 是否为空集，列出相应不等式（组），求得答案.
【详解】（1）因为
为真命题，所以方程
有解，即
，
21
所以
，即
；
（2）因为
是
的必要不充分条件，所以
且
，
i）当
时，
，解得
；
ii）当
时，
，且
等号不会同时取得，
解得
，
综上，
.
变式14.（2024·全国·高一专题练习）已知p：
，q：
．
（1）若p 是q 的必要不充分条件，求实数m 的范围；
（2）若
是
的必要不充分条件，求实数m 的范围．
【答案】（1）
，
；（2）
，
．
【解析】（1）解不等式
得
，
是
的必要不充分条件，
，解得，
，
即实数
的范围为
，
；
（2）
是
的必要不充分条件，
是
的充分不必要条件，
故
，解得，
，
即实数
的范围为
，
．
【方法技巧与总结】
根据充分条件、必要条件、充要条件求参数的取值范围
根据充分条件、必要条件、充要条件求参数的取值范围时，主要根据充分条件、必要条件、充要条件
与集合间的关系，将问题转化为相应的两个集合之间的包含关系，然后建立关于参数的不等式(组)进行求
解．
【题型4：充分性与必要性的证明】
例4.（2024·全国·高一专题练习）已知
，求证：
的充要条件是
．
22
【答案】见解析
【解析】证明必要性：
因为
，所以
．
所以
．
证明充分性：
因为
，
即
，
又
，所以
且
．
因为
，所以
，即
．
综上可得当
时，
的充要条件是
．
变式1.（2023 秋·上海黄浦·高一格致中学校考阶段练习）“关于
的方程
有实数根”是
“
”的什么条件？请证明你的结论．
【答案】必要非充分条件，证明见解析.
【分析】根据一元二次函数的判别式和充分条件、必要条件的定义判断即可.
【详解】“关于
的方程
有实数根”是“
”必要非充分条件．
证明：
先证充分性不成立：
取
，此时方程
有实数根
，
但此时
，因此充分性不成立．
再证必要性成立：
当
时，
恒成立，
所以方程
有实数根，
即必要性成立.
所以“关于
的方程
有实数根”是“
”必要非充分条件．
变式2.（2023 秋·高一课时练习）已知x，y R
∈，求证:xy=0 是x2+y2=0 的必要不充分条件.
【答案】证明见解析
【分析】根据充分必要条件的定义证明．
【详解】必要性：对于x，y R
∈，若x2+y2=0，
则x=0，y=0，即xy=0，
故xy=0 是x2+y2=0 的必要条件.
充分性：对于x，y R
∈，若xy=0，例如x=0，y=1，但x2+y2≠0，充分性不成立，
23
故xy=0 不是x2+y2=0 的充分条件.
综上所述，对于x，y R
∈，xy=0 是x2+y2=0 的必要不充分条件.
变式3.（2024·全国·高一专题练习）证明：“
”是“关于
的方程
有一正一负根”的充
要条件.
【答案】证明见解析
【解析】充分性：若
，则关于
的方程
有一正一负根，证明如下：
当
时，
，
所以方程
有两个不相等的实根，
设两根分别为
，
，则
，
所以方程
有一正一负根，故充分性成立，
必要性：若“关于
的方程
有一正一负根”，则
，证明如下：
设方程
一正一负根分别为
，
，
则
，
所以
，所以若“关于
的方程
有一正一负根”，
则
，故必要性成立，
所以“
”是“关于
的方程
有一正一负根”的充要条
变式4.（2023 秋·安徽淮南·高一校联考阶段练习）已知集合
，
．
(1)若“
，
”为假命题，求
的取值范围；
(2)求证：
至少有2 个子集的充要条件是
，或
．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）由已知，先求解出集合
，然后根据
，将集合
分为
和
两
种情况讨论，分别列式求解即可；
（2）由已知，先有
或
，证明
至少有2 个子集，即证明充分性，然后再根据
至少有2 个子
集，求解参数的范围与
或
比较即可证明其必要性.
【详解】（1）由已知，集合
，所以集合
．
因为“
，
”为假命题，所以
．
当
时，
，解得
；
24
当
时，要使
，则
，
，且
，
，
即
，解得
或
或
或
．
综上，实数m 的取值范围为
．
（2）证明：充分性：若
，或
，则
至少有2 个子集．
当
，或
时，
，方程
有解，
集合
至少有1 个元素，
至少有2 个子集，充分性得证；
必要性：若
至少有2 个子集，则
或
．
若
至少有2 个子集，则
至少有1 个元素，
方程
有解，
，解得
或
，
必要性得证．
综上，
至少有2 个子集的充要条件是
或
．
变式5.（2023 秋·河南许昌·高一校考阶段练习）求证：方程
与
有一个公共实数
根的充要条件是
.
【答案】证明见解析.
【分析】分充分性和必要性证明，先由两方程有一个公共实数根求出参数的取值，证出必要性，再证明充
分性即可．
【详解】必要性：若方程
与
有一个公共实数根，设为
，
则
两式相减得：
或
若
，两个方程均为
无解，
故
，代入可得
.
充分性：当
时，
，解得
；
，解得
；
两个方程有公共根为1.
综上所述，方程
与
有一个公共实数根的充要条件是
.
【方法技巧与总结】
充分、必要、充要条件的证明
25
1、证明“充分不必要条件”“必要不充分条件”，一般先证明一个方面，然后验证另一个方面不成
立。
2、证明“充要条件”一般应分两个步骤，即分别证明“充分性”与“必要性”，但千万要注意
“谁”是“谁”的充分条件，“谁”是“谁”的必要条件。
尽管证明充要条件问题中前者可以是后者的充分条件也可以是必要条件，但还是不能把步骤颠倒了。
一般地，证明
成立的充要条件为
，在证明充分性时，应以
为“已知条件”，
是在该步中要证
明的“结论”，即
；在证明必要性时，则是以
为“已知条件”，
在该步中要证明的“结论”，
即
一、单选题
1．（23-24 高一上·广东佛山·阶段练习）关于
的一元二次方程
有实数解的一个必要不充分条
件的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】由
可得
，根据充分、必要条件的定义，结合选项即可求解.
【详解】因为一元二次方程
有实根，
所以
，解得
.
又
是
的真子集，
所以“
”是“
”的必要不充分条件.
故选：A
2．（23-24 高二下·黑龙江·期末）褐马鸡，属于马鸡的一种，是中国特产珍稀的鸟类.若甲是一只鸟，则
“甲是马鸡”是“甲是褐马鸡”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据充分、必要条件的判定方法进行判定.
【详解】由“甲是马鸡”不能推出“甲是褐马鸡”，由“甲是褐马鸡”可推出“甲是马鸡”，
26
所以“甲是马鸡”是“甲是褐马鸡”的必要不充分条件.
故选：B
3．（2024·山西朔州·模拟预测）设
，则“
且
”是“
”的（ ）.
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．
既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据题意结合充分、必要条件分析判断.
【详解】若
且
，则
，即充分性成立；
若
，例如
，满足
，
但不满足
且
，即必要性不成立；
综上所述：“
且
”是“
”的充分不必要条件.
故选：A.
4．（23-24 高三上·江苏无锡·阶段练习）已知
，若集合
，
，则“
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据题意，分别验证充分性以及必要性即可得到结果.
【详解】若
，则
，所以
，故充分性满足；
若
，则
或，显然必要性不满足；
所以“
”是“
”的充分不必要条件．
故选：A.
5．（23-24 高一下·湖南·期末）已知集合
，若
是
的充要条件，
则整数
（ ）
A．4
B．3
C．2
D．1
【答案】D
【分析】解绝对值不等式，根据
是
的充要条件，得到不等式，解得
，得到答案.
【详解】
，
由于
是
的充要条件，
，
所以
，解得
，
故整数
.
故选：D
27
6．（23-24 高一上·上海·期末）
的一个充要条件是（ ）
A．
B．
C．
，
D．
，
【答案】A
【分析】根据不等式的基本性质，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解.
【详解】由不等式
，可得
，即
，所以A 符合题意；
由
，可得
或
，所以选项B 是
的充分不必要条件；
选项C 和D 都为
的既不充分也不必要条件.
故选：A.
二、填空题
7．（2023 高三·全国·专题练习）已知命题
，若
是
的充要条件，则
．
【答案】-1
【分析】设
，
，由
是
的充要条件，得
求解即可.
【详解】由题意得，
，得
，
设
，
，由
是
的充要条件，得
，
即
，得
．
故答案为：-1
8．（24-25 高一上·上海·期中）不等式
成立的充分非必要条件是
，则m 的取值范围
是 ．
【答案】
【分析】根据
成立的充分非必要条件是
，列不等式组求解即可.
【详解】由题知
是
的真子集，
所以
且等号不同时成立，
解得
，
所以m 的取值范围是
.
故答案为：
.
9．（24-25 高一上·上海·课后作业）已知
，设
；
．若
是
的充分不必要条
28
件，则实数
的取值范围是 ．
【答案】
【分析】利用给定条件得到
，
，再转化为子集问题求解即可.
【详解】若
是
的充分不必要条件，则
，
，
故有
，解得
，又
，故
.
故答案为：
10．（24-25 高一上·上海·随堂练习）下列“若
，则
”形式的命题中，
是
的充分条件的有 ．
（1）若
，则
；
（2）若两个三角形的三边成比例，则这两个三角形相似；
（3）若
，则
；
（4）若
，则
，
．
【答案】（1）（2）（3）
【分析】根据充分条件的定义逐一判断即可.
【详解】（1）由
，可以推出
，所以命题（1）符合题意；
（2）由两个三角形的三边对应成比例，可以推出这两个三角形相似，所以命题（2）符合题意；
（3）由
，可以推出
，所以命题（3）符合题意；
（4）由
，得
或
，所以
不一定推出
，所以命题（4）不符合题
意.
故答案为：（1）（2）（3）
三、解答题
11．（24-25 高一上·上海·课后作业）下列命题中，判断条件
是条件
的什么条件．
(1)
，
；
(2)
是直角三角形，
是等腰三角形；
(3)
：四边形的对角线互相平分，
：四边形是矩形；
(4)
或
，
；
(5)
，
：方程
有实数根．
【答案】(1)必要非充分条件
(2)既非充分又非必要条件
(3)必要非充分条件
(4)充要条件
29
(5)充分非必要条件
【分析】（1）利用绝对值的性质判断即可.
（2）利用等腰三角形和直角三角形的定义判断即可.
（3）利用矩形的性质判断即可.
（4）解根式方程证明即可.
（5）利用一元二次方程的判别式判断即可.
【详解】（1）∵
，但
，∴
是
的必要非充分条件．
（2）∵
是直角三角形
是等腰三角形；
是等腰三角形
是直角三角形，
∴
是
的既非充分又非必要条件．
（3）∵四边形的对角线互相平分
四边形是矩形；
四边形是矩形
四边形的对角线互相平分，∴
是
的必要非充分条件．
（4）
或
；
或
，所以
是
的充要条件．
（5）
，即方程有实根；
而方程
有实根，即
，
所以
是
的充分非必要条件．
12．（24-25 高一上·上海·课堂例题）用“
”表示下列陈述句
与
之间的推出关系：
(1)
：
，
：
；
(2)
：
既是2 的倍数又是5 的倍数，
：
是10 的倍数；
(3)
：
是偶数
，
：
是偶数
．
【答案】(1)
，
．
(2)
，
．
(3)
，
．
【分析】（1）求解方程即可.
（2）利用偶数和倍数的性质求解即可.
（3）利用偶数的性质求解即可.
【详解】（1）若
，则
，那么必有
，∴
；
反之，若
，则
，不能推出
，综合得
，
．
（2）“
既是2 的倍数又是5 的倍数”，则有“
是10 的倍数”，
30
反之显然也成立．综合得
，
．
（3）若
是偶数，则
、
同为偶数或
、
同为奇数，
若
、
同为偶数，根据偶数的三次幂为偶数，且偶数与偶数的和为偶数，
可知
也为偶数；同理，若
与
同为奇数，根据奇数的三次幂为奇数，
且奇数与奇数的和为偶数，可知
也为偶数，∴
；
反之，当
是偶数时，有
、
同奇或同偶，∴
与
同奇或同偶．
∴
为偶数，∴
．综合得
，
．
13．（23-24 高一上·江苏连云港·期末）已知集合
，
，全集
(1)当
时，求
(2)若“
”是“
”的必要条件，求实数
的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】
（1）根据交集定义直接求解即可；
（2）根据必要条件定义可得
，由包含关系可构造不等式组求得结果.
【详解】（1）当
时，
，
.
（2）
“
”是“
”的必要条件，
，
又
，
，解得：
，即实数
的取值范围为
.
14．（24-25 高一上·上海·课堂例题）已知
是实数，集合
，
．求证：“
”是
“
”的充要条件．
【答案】证明见解析
【分析】利用充分性和必要性的定义求解即可.
【详解】充分性：当
时，
，
则
；
必要性：若
，则
，
所以
，即
；
综上，“
”是“
”的充要条件．
15．（23-24 高一上·云南德宏·期末）设集合
，集合
或
．
(1)当
时，求
，
；
31
(2)设命题
，命题
，若p 是q 的充分不必要条件，求实数
的取值范围．
【答案】(1)
，
或
(2)
【分析】（1）根据交集、并集的知识求得正确答案.
（2）根据充分不必要条件列不等式，由此求得
的取值范围.
【详解】（1）当
时，
；
所以
，
或
．
（2）若
是
的充分不必要条件，则
是
的真子集；
∴
或
，解得：
或
，
所以，实数
的取值范围是
．
16．（23-24 高二下·河北·期末）已知
或
.
(1)若命题
是真命题，求实数
的取值范围；
(2)若
是
的必要不充分条件，求实数
的取值范围.
【答案】(1)
；
(2)
.
【分析】（1）根据题意得到
是假命题，结合一元二次方程的性质，列出不等式即可求解；
（2）根据（1）的结论，得出命题
是真命题的范围，再将问题转化为集合间的真子集关系，从而得到不
等式组即可求解.
【详解】（1）因为命题
是真命题，所以命题
是假命题，即关于
的方程
无实数根.
当
时，方程无解，符合题意；
当
时，
，解得
.
故实数
的取值范围是
.
（2）由（1）知若命题
是真命题，则
或
.
因为命题
是命题
的必要不充分条件，
所以
或
⫋
或
，
则
解得
，
所以实数
的取值范围是
.
32
17．（24-25 高一上·全国·课堂例题）证明：
是一元二次方程
有两个异号实根的
充要条件．
【答案】证明见解析
【分析】先证明充分性，再证明必要性即可．
【详解】证明：充分性：若
，则
，
方程有两个实根
，
，
根据根与系数的关系得
．
所以方程有两个异号实根．
必要性：若一元二次方程
有两个异号实根
，
，
则
，即
．
所以
是一元二次方程
有两个异号实根的充要条件．
18．（23-24 高一上·辽宁葫芦岛·期末）已知集合
，集合
，集合
，且
．
(1)求实数a 的值组成的集合；
(2)若
，
是
的充分不必要条件，求实数m 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先求出集合
，然后根据
得到
，由此分析集合
并求解出
的值，则结果
可知；
（2）先求解出
，然后将问题转化为“
是C 的真子集”，由此列出关于
的不等式，则结果可
求.
【详解】（1）因为
，
由
，知
，则
或
或
，
当
时，所以
，
当
时，所以
，
33
当
时，所以
，
所以
的取值集合为
．
（2）由题意得，
，故
，
又
是
的充分不必要条件，
所以
是
的真子集，于是
，
解得：
，经检验符合条件，
综上，实数m 的取值范围是
．
19．（23-24 高一上·甘肃武威·阶段练习）已知
或
．
(1)若
是
的充分条件，求实数
的取值范围；
(2)若
是
的必要不充分条件，求实数
的取值范围．
【答案】(1)
或
(2)
【分析】（1）先求出
范围，依题意
是
的充分条件，由集合之间的包含关系，列出不等式求解即可；
（2）先写出
的范围，由p 是
的必要不充分条件，则
表示的集合是
所表示集合的真子集，列出
不等式求解即可.
【详解】（1）因为p：
，所以p：
，即
，
因为p 是q 的充分条件，所以
或
，
解得
或
，即实数
的取值范围是
或
；
（2）依题意，
：
，由（1）知p：
，
又p 是
的必要不充分条件，所以
，
解得
，即实数m 的取值范围是
．
20．（23-24 高二下·宁夏银川·期末）已知p:关于x 的方程
有实数根，
．
34
(1)若命题
是假命题，求实数a 的取值范围；
(2)若p 是q 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由命题
是假命题，可得命题
是真命题，则由
，求出
的取值范围；
（2）由
是
的必要不充分条件，可得出两个集合的包含关系，由此列出不等式求解即可.
【详解】（1）因为命题
是假命题，则命题
是真命题，
即关于
的方程
有实数根，
因此
，解得
，
所以实数
的取值范围是
.
（2）由（1）知，命题
是真命题，即
，
因为命题
是命题
的必要不充分条件，则
，
因此
，解得
，
所以实数
的取值范围是
.
21．（19-20 高一上·上海宝山·阶段练习）已知集合
(1)判断8，9，10 是否属于集合A；
(2)已知集合
，证明：“
”的充分条件是“
”；但“
”不是“
”的必要条件；
(3)写出所有满足集合A 的偶数.
【答案】(1)
，
，
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）由
，
即可证
，若
，而
，列方程组判断是否存在整数解，即可判断10 是否属于A.
（2）由
，结合集合A 的描述知
，由（1）
，而
，即可证结论；
（3）由集合A 的描述：
，讨论m，n 同奇或同偶、一奇一偶，即可确定
35
的奇偶性，进而写出所有满足集合A 的偶数.
【详解】（1）
，
，故
，
，
假设
，
，则
，且
，
由
，得
或
，显然均无整数解，
∴
，
综上，有：
，
，
；
（2）集合
，则恒有
，
∴
，即一切奇数都属于A，即
，则必有
；
又
，而
，即
，推不出
，
∴“
”的充分条件是“
”；但“
”不是“
”的必要条件；
（3）集合
，
，
①当m，n 同奇或同偶时，
均为偶数，
为4 的倍数；
②当m，n 一奇一偶时，
均为奇数，
为奇数，
综上，所有满足集合A 的偶数为
．
【点睛】关键点睛：解答本题的关键在于根据集合的性质，应用因式分解、恒等转化、代数式的奇偶性讨
论，判断元素与集合的关系，证明条件间的充分、必要关系，确定满足条件的数集.
