文档文本内容
重难点15 双曲线性质与离心率
内容导航
速度提升
技巧掌握
手感养成
重难考向聚焦
锁定目标 精准打击：快速指明将要攻克的核心靶点，明确主攻方向
重难考向保分攻略
授予利器 瓦解难点：总结瓦解此重难考向的核心方法论与实战技巧，精选同源试题巩固内化
重难冲刺练
模拟实战 挑战顶尖：挑战此重难点的中高难度题目，养成稳定攻克难题的“题感”
近三年：近三年（2023–2025）高考数学对双曲线的考查以小题（选择、填空）为主，每年 1 题、5
分，难度中档偏易，核心聚焦离心率、渐近线、标准方程、定义与焦点三角形，常与向量、圆、抛物线综
合。
全国卷、高考卷均为1 道小题（选择、 填空），5 分。难度定位在基础、 中档题为主。
预测2026 年：2026 年命题趋势：
核心稳定：离心率、渐近线、标准方程为绝对高频。
综合增强：常与向量、圆、抛物线、解三角形结合，考查几何转化与运算。
重定义与性质：淡化复杂联立，强调定义应用、焦点三角形、渐近线几何意义。
复习备考：
1.由方程求 e、渐近线；
2.由渐近线 、离心率求方程；
3.焦点三角形求 e；
4.焦点到渐近线距离综合。
。
考向01 定义1：轨迹
轨迹的求法核心分为定义法、相关点法（代入法）、直接法（直译法）三大类，其中双曲线轨
迹求解中定义法为高频考点，同时结合点差法可解决中点相关的轨迹问题，以下梳理各类方法
的常见步骤和适用场景，常见步骤：
1、找定点：确定轨迹对应的两个定点F1,F2，计算两定点间的距离∣F1F2∣=2c；
2、证定值：通过几何关系推导动点P 到两定点的距离差的绝对值为定值2a，且验证2a<2c（满
足双曲线定义）；
3、求参数：由c 和a，根据双曲线的参数关系b2=c2 a2
−
求出b2；
4、写方程：根据定点的位置（如在x 轴 /y 轴），写出双曲线的标准轨迹方程；
5、去杂点：剔除轨迹中不满足题意的点（如与坐标轴的交点、双曲线的虚轴端点等）。
1．（2026 高三·天津·专题练习）在平面直角坐标系
中，
，动点
和
分别位于
正
半轴和负半轴上，若
，则
和
的交点
的轨迹方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（25-26 高二上·山西太原·期末）已知
、
，
是圆
（
为坐标原点）上任
意一点，
是圆
外一点，若
，且
，则点
的轨迹方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（25-26 高三全国专题练习）已知圆
，点
在圆A 上运动，设线段PB 的垂直
平分线和直线PA 的交点为
，则
点的轨迹方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2025·黑龙江辽宁·模拟预测）若圆
上恰有三个点到直线
的距
离为1，则动点
的轨迹方程是（ ）
A．
B．
C．
D．
考向02 定义2：第一定义
双曲线定义：动点P 满足：||PF1|－|PF2||＝2a，|F1F2|＝2c 且a＜c (其中a，c 为常数且a>0，c>0).
5．（2025·武汉·模拟预测）已知双曲线
的左、右焦点分别为
，
，过
的直
线与双曲线C 的两条渐近线分别交于A，B 两点，与双曲线C 的右支交于点P．若
，
，
，
为
的角平分线，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（2025·江西抚州·模拟预测）点
、
分别是双曲线
的左、右焦点，点
在双曲线上，则
的内切圆半径的取值范围是
A．
B．
C．
D．
7．（25-26 高三·湖南·模拟预测）设点
是抛物线
的焦点，点
是双曲线
的左焦点，
点
是
上第一象限内的一动点，则下列结论正确的是（ ）
A．
的最大值是
B．
的最小值是
C．
的最大值是
D．
的最小值是
8．（2025·贵州黔东·模拟预测）已知双曲线
的左、右焦点分别为
，
，点
在双曲线
的左支上，且
的周长为9.设
为双曲线
右支上的动点，则
面积的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
考向03 定义3：第三定义与中点弦
椭圆：设直线和椭圆
x
12
a2 +
y
12
b2 =1的两个交点A(x1, y1)，B( x2, y2)，代入椭圆方程，得
x
12
a2 +
y
12
b2 =1
；
x
22
a2 +
y
22
b2 =1；将两式相减，可得
x
12−x
22
a2
+
y
12−y
22
b2
=0 ；
( x1+x2)( x1−x2)
a2
=−( y1+ y2)( y1−y2)
b2
；
最后整理得：1=−a2( y1+ y2)( y1−y2)
b2( x1+x2)( x1−x2) ⇒
1=−k⋅a2
b2⋅y0
x0
同理，双曲线用点差法，式子可以整理成：1=a2( y1+ y2)( y1−y2)
b2( x1+x2)( x1−x2) ⇒
1=k⋅a2
b2⋅y0
x0
抛物线：设直线和曲线的两个交点A(x1, y1)，B( x2, y2)，代入抛物线方程，得y
12=2 px 1；
y
22=2 px 2 ；
可得
13．（2022·四川南充·一模）双曲线
，点A，B 均在E 上，若四边形
为平行
四边形，且直线OC，AB 的斜率之积为3，则双曲线E 的渐近线的倾斜角为（ ）
A．
B．
或
C．
D．
或
14．（2022·贵州贵阳·模拟预测）已知双曲线
的左右焦点分别为
､
过左焦点
作斜率为2
的直线与双曲线交于A，B 两点，P 是AB 的中点，O 为坐标原点，若直线OP 的斜率为
，则b 的值是
（ ）
A．2
B．
C．
D．
15．（2025·浙江台州·模拟练习）已知双曲线：
，点
的坐标为
，斜率为
的
直线与双曲线的左右两支分别交于
，
两点，直线
交双曲线于另一点
，直线
交双曲线于另一点
.当直线
的斜率为
时，此双曲线的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
16．（2023·四川成都·模拟预测）已知圆锥曲线统一定义为“平面内到定点F 的距离与到定直线l 的距离
（F 不在l 上）的比值e 是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线”．过双曲线
的左焦点
的直线l（斜率为正）交双曲线于A，B 两点，满足
．设M 为AB 的中点，则直线OM 斜率的最
小值是（ ）
A．
B．
C．
D．
考向04 焦点三角形1：焦半径
焦半径：
双曲线的焦半径是指双曲线上任意一点到其一个焦点的距离，公式分焦点在 x 轴和焦点在 y 轴两种形
式，且需区分点在左 、 右支（x 轴）、上、 下支（y 轴），核心依托双曲线的第一定义和第二定义
推导，是解决焦点三角形、焦半径最值等问题的关键公式。
焦点在 x 轴上的双曲线
设双曲线的左焦点F1(−c,0)，右焦点F2(c,0)（c2=a2+b2），双曲线上任意一点P(x0,y0)：
点P 在右支上（x0≥a）：右焦半径：∣PF2 =ex
∣
0−a 左焦半径：∣PF1 =ex
∣
0+a
点P 在左支上（x0≤−a）：右焦半径：∣PF2 =−ex
∣
0+a 左焦半径：∣PF1 =−ex
∣
0−a
1．（25-26 高三上·天津西青·期末）已知双曲线
的左顶点为
，过
的直线与
的右支交于点
，若线段
的中点在圆
上，且
，则双曲线
的渐近线方程
为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．2025·浙江绍兴·模拟预测）已知
为双曲线
上一点，过
作直线
，分别交双曲线的渐近线于M，N 两点，O 为坐标原点，则下列说法不正确的是（ ）
A．
B．
C．
的最小值为
D．
的最小值为
3．（25-26 高三上·天津滨海新区·月考）已知
为坐标原点，双曲线
的左、右焦
点分别是
，点
是
的右支上异于顶点的一点，过
作
的平分线的垂线，垂足是
，且
，又过
作一条渐近线的垂线，垂足为点
（点
在第二象限），且
，则双曲线的
方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（25-26 高二上·河南濮阳·期末）若一个椭圆与一个双曲线的焦点相同，且离心率之积为1，则称椭圆为
该双曲线的伴生椭圆.已知双曲线
的左焦点为
，
的伴生椭圆
与
在第一象限的交点为
，则
（ ）
A．4
B．
C．
D．6
考向05 焦点三角形2：焦点圆
焦点圆：
圆心为双曲线的中心（原点），半径为双曲线的半焦距c，与双曲线的半实轴a、半虚轴b
满足勾股定理c2=a2+b2。性质本质是：
根据圆的性质，焦点圆上任意一点P 满足∠F1PF2=90∘（直径所对圆周角为直角），即PF1 垂直
PF2，此结论为焦点圆与双曲线交点问题的核心突破口。
5．（2022·江西·模拟预测）已知
分别是双曲线
的左右焦点，以线段
､
为
直径的圆与双曲线及其渐近线在第一象限分别交于
两点，若
两点的横坐标之比是
，则该双
曲线的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（19-20 高三下·天津南开·月考）设
，
为双曲线
的左、右焦点，以
为直径的圆与双
曲线左、右两支在x 轴上方的交点分别为M，N，则
的值（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（24-25 高三上·四川成都·期中）设双曲线
的左，右焦点分别为F1，F2，以
F1F2为直径的圆与双曲线在第一象限内的交点为 P ，直线 PF1与双曲线的渐近线在第二象限内的交点为
Q .若点Q 恰好为线段PF1的中点，则直线 PF2的斜率的值为（ ）
A．−2
B．
C．
D．
8．（2021·全国·模拟预测）已知双曲线
的离心率为
，左右焦点分别为
､
，
，
以
为直径的圆与双曲线右支的一个交点为
.若
，则该双曲线的标准方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
考向06 焦点三角形3：渐近线
渐近线：
渐近线的对称性
双曲线的两条渐近线关于x 轴、y 轴、原点中心对称，且双曲线的对称轴（x 轴、y 轴）为渐近线的角
平分线；推论：渐近线的夹角被双曲线的实轴平分，夹角θ 满足tanθ/2=b/a（焦点在 x 轴），tanθ/2
=a/b（焦点在 y 轴）。
性质 2：焦点到渐近线的距离为定值b（秒杀结论）
性质 3：渐近线与焦点圆的交点为(a,b)（第一象限）
9．（25-26 高二上·山东济南·期末）双曲线具有如下光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲
线反射后，反射光线的反向延长线经过另一个焦点．已知
为双曲线
的左、
右焦点，从
发出的光线经过双曲线右支上的点
反射后，反射光线与入射光线垂直，且
，则
的渐近线方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
10．（2024·四川绵阳·模拟预测）已知点
，
是双曲线
：
的左、右焦点，点
在
的右支上，连接
作
且与
轴交于点
，若
则
的渐近线方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
11．（22-23 高三上·河南三门峡·期末）如图，已知双曲线C：
的左、右焦点分别为
，
，以
为直径的圆与双曲线C 的渐近线在第一象限的交点为P，线段
与另一条渐近线交于点
Q，且
的面积是
面积的2 倍，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
考向07 焦点三角形4：切线
解答圆锥曲线的最值问题的方法与策略：
（1）几何转化代数法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用圆锥曲线的定
义、图形、几何性质来解决；
（2）函数取值法：若题目的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求这个函数的最
值（或值域），常用方法：
（1）配方法；（2）基本不等式法；（3）单调性法；（4）三角换元法；（5）导数法等，要特别注意
自变量的取值范围.
12．（2026·湖南永州·一模）已知
分别为双曲线
：
的左、右焦点，
为
右支上的一点，线段
与
轴交于点
为坐标原点，过点
作
，垂足为
为
线段
上的一点，满足
，则
的渐近线方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
13．（20-21 高三下·河南·月考）已知双曲线
，点
在双曲线
上，点
在直线
上，
的倾斜角
，且
，双曲线
在点
处的切线与平行，则
的面积的最大
值为（ ）
A．
B．
C．
D．
14．（2023·福建 模拟预测）过双曲线
上任意点
作双曲线
的切线，交双曲线
两条渐近线
分别交于
两点，若
为坐标原点，则
的面积为（ ）
A．4
B．3
C．2
D．1
15．（2024·广东广州·模拟预测）若双曲线
的右支上存在两点
，
使直线
垂直于双
曲线在点
处的切线，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
16．（2025·河南·二模）过双曲线
右支上的点
作
的切线l，
，
分别为
的左、
右焦点，
为切线上的一点，且
（O 为坐标原点）.若
，则
（ ）
A．
B．2
C．3
D．4
考向08 离心率1：定义型
定义法求离心率：
知焦点三角形
的边长关系、角度、周长，或结合垂直、中点、角平分线等几何条件，能通过第
一定义表示出∣PF1∣、∣PF2∣、2c 的数量关系。
核心步骤：
1.定左右支位置设长：判断点P 在双曲线左 / 右支，设∣PF1∣=m，∣PF2∣=n；
右支：m−n=2a；左支：n−m=2a；
2.列出几何等式：结合题设条件（周长、勾股、余弦定理、中点 / 垂直性质），列出m、n、2c 的第二
个等式；
3.消元求a,c：联立第一定义式和几何等式，消去m、n，得到仅含a、c 的齐次等式；
4.求离心率：将等式两边同除a2（或a），转化为关于e=c/a的方程，求解并保留e>1 的解。
1．（2026 高三·保定·专题练习）已知F 是双曲线
的右焦点，直线
与双曲
线C 交于
两点，其中M 在第一象限，
，且
，则双曲线C 的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（25-26 高三下·江苏泰州·开学考试）在平面直角坐标系
中，圆
与双曲线
相交于A，B，C，D 四点，若点A，B，C，D 构成圆O 圆周的四等分点，圆O
的直径长度是双曲线C 实轴长的3 倍，则双曲线C 的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2026 高三·天津·专题练习）已知双曲线
的左焦点为
，横截距大于
的直线
与
右支交于
两点，
，
，若的斜率为，则双曲线
的离心率为（ ）
A．
B．
C．2
D．
4．（2026·黑龙江大庆·二模）已知双曲线
的左右焦点分别是
､
，过点
的
直线与双曲线
的右支交于
两点，若
，则双曲线
离心率的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
考向09 离心率2：中点与点差型
点差法求双曲线离心率，核心是利用点差法推导的中点弦斜率公式，结合题中中点、平行、垂直、线段
比例等条件，建立弦斜率与双曲线a,b 的关系，再通过c2=a2+b2转化为离心率e=c/a的方程，是求解中点
弦相关离心率的专属方法， 也是双曲线离心率求解的常见技巧。
主要是第三定义公式：
5．（24-25 高二下·贵州遵义·月考）已知
，
是双曲线C：
的左、右焦点，过点
的直线与双曲线左，右两支分别交于点P，Q，若
，右焦点
在线段PQ 的中垂线上，则双曲
线C 的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．2
6．（25-26 高三上·山东济宁·月考）若双曲线
不存在以点
为中点的弦，则该
双曲线离心率的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（2025 高三·天津·专题练习）已知
是双曲线
的左焦点，
为圆
上一点，直线
的倾斜角是
，直线
与双曲线的两条渐近线交于
、
两点，且
恰为
的中点，则双曲线
的离心率为（ ）
A．
B．
C．2
D．
8．（2024·云南曲靖·一模）已知双曲线
，过其右焦点
作一条直线分别交两条
渐近线于
两点，若
为线段
的中点，且
，则双曲线
的渐近线方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
考向10 离心率3：渐近线型
小题常用 “秒解” 组合
1. 给渐近线 + 过一点 直接设
⇒
2. 给焦点到渐近线距离 直接得
⇒
b
3. 给渐近线斜率 直接得
⇒
b/a
⇒立刻算 e
4. 求离心率：优先找 b/a，比硬算 a,c 快很多
9．（25-26 高三下·安徽阜阳·开学考试）已知双曲线
的右焦点为
，过点
作垂
直于
轴的直线，
分别是与双曲线
及其渐近线在第一象限内的交点，若
是线段
的中点，
则双曲线
的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
10．（25-26 高二上·江苏常州·期末）已知双曲线
，若圆
上存在点
使得
的中点在
的渐近线上，则
离心率的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
11．（2026 高三·广东汕头·专题练习）已知双曲线
的左右焦点分别为
､
，点
是其渐近线上一点，若
，
，则该双曲线的离心率为（ ）
A．
B．2
C．
D．4
12．（25-26 高三上·重庆·开学考试）已知双曲线
的右焦点为
，右顶点为
，过
点
的直线与双曲线
的一条渐近线交于点
，与其左支交于点
，且点
与点
不在同一象限，直线
与直线
为坐标原点）的交点在双曲线
上，若
，则双曲线
的离心率为（ ）
A．
B．
C．2
D．3
考向11 离心率4：构造a、b、c 齐次型
求双曲线离心率或其取值范围的方法：
（1）直接求出
的值，利用离心率公式直接求解；
（2）列出含有
的齐次方程（或不等式），借助于
消去
，再借助于
，转化为含有
的方程（或不等式）求解．
13．（2026 高三·山东临沂·专题练习）
是双曲线
的左、右焦点，直线l 为双
曲线C 的一条渐近线，
关于直线l 的对称点为
，且点
在以F2为圆心、以半虚轴长b 为半径的圆上，
则双曲线C 的离心率为
A．
B．
C．2
D．
14．（25-26 高二上·山东青岛·期中）已知双曲线
的左、右焦点分别是
、
，
过点
的直线与双曲线
的右支交于
、
两点，若
，则双曲线
离心率的取值范围
是（ ）
A．
B．
C．
D．
15．（2024 高三·全国·专题练习）已知双曲线
，
，
分别为
的右焦点和左顶
点，点
在双曲线的左支上，且
，则双曲线
的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
16．（23-24 高二上·湖北·期末）已知双曲线
的右焦点为
，过点
作双曲线的
一条渐近线的垂线，垂足为
，若直线与双曲线
的另一条渐近线交于点
，且
（
为坐标原点），则双曲线
的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
考向12 离心率5：焦点三角形型
双曲线焦点三角形求离心率，主要思维：
用定义把边写成 a，用余弦定理把角和边绑在一起，最后全部换成 abc 齐次式，直接解方程
17．（23-24 高二上·山东青岛·月考）双曲线
：
的左、右焦点分别为
，
，直线
过
且与双曲线C 左支交于点P，原点O 到直线的距离为
，且
，则双曲线C 的离心率为
（ ）
A．
B．
C．2
D．
18．（2024·浙江台州·模拟预测）已知双曲线
的左顶点为
，过
的直线与
的右支交于点
，若线段
的中点在圆
上，且
，则双曲线
的离心率为
（ ）
A．
B．
C．2
D．3
19．（2022·江西景德镇·模拟预测）点F 是双曲线
的左焦点，斜率为
的直线l
过点F 且与双曲线C 的右支交于点P，过切点P 的切线与x 轴交于点M.若
，则双曲线C 的离心
率e 的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
20．（2021·重庆·三模）已知双曲线
的左右焦点分别为
，
，过
的直线交双
曲线C 的左支于P，Q 两点，若
，且
的周长为
，则双曲线C 的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
考向13 离心率6：双三角形余弦定理型
焦点弦型双三角形双余弦定理，常见的一般模型如下图：
圆锥曲线具有中心对称性质，内接焦点四边形性质：
1.
焦点四边形具有中心对称性质。
2.
焦点四边形可分割为两个焦点三角形，具有焦点三角形性质。
3.
焦点四边形可分割为两个余弦定理形双三角形，可以用双余弦定理求解
21．（2022·全国·模拟预测）已知双曲线
的左、右焦点分别是
，
，过
的直
线l 交双曲线C 于P，Q 两点且使得
．A 为左支上一点且满足
，
，
的面积为
，则双曲线C 的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
22．（2024·浙江台州·二模）设
，
是双曲线
：
的左、右焦点，点
分别在
双曲线
的左、右两支上，且满足
，
，则双曲线
的离心率为（ ）
A．2
B．
C．
D．
23．（2024 江苏·模拟预测）已知双曲线
：
的左、右焦点分别为
，
，过
作
与x 轴不垂直的直线与双曲线C 的右支交于P，Q 两点，若
是周长为
的等腰三角形，则双曲线
C 的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
24．（2025 高三全国练习）设
分别是双曲线
的左、右焦点，
是
的右支
上的点，射线
平分
,过原点
作
的平行线交
于点
,若
,则双曲线
的离心
率为（ ）
A．
B．
C．
D．
考向14 离心率7：共焦点椭圆与双曲线
椭圆与双曲线共焦点
、
，它们的交点
对两公共焦点
、
的张角为
，椭圆与双曲
线的离心率分别为
、
，则．
25．（23-24 高三全国专题练习）设椭圆
：
与双曲线
：
的离心率分别
为
，
，且双曲线
的渐近线的斜率小于
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
26．（25-26 高三·湖南张家界·专题练习）已知椭圆
与双曲线
有相同的焦点
，椭圆
的离心率为
，双曲线
的离心率为
，点
为
椭圆
与双曲线
的交点，且
，则当
取最大值时，
（ ）
A．
B．
C．
D．
27．（25-26 广州深圳模拟预测）已知椭圆
与双曲线
有相同的左、右焦点
，若点
是
与
在第一象限内的交点，且
，设
与
的离心率
分别为
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
28．（25-26 高二上·江西鹰潭·期末）已知椭圆
与双曲线
有公共的焦点
，A 为
曲线
在第一象限的交点，且
的面积为2，若椭圆
的离心率为
，双曲线
的离心率为
，
则
的最小值为（ ）
A．
B．16
C．7
D．8
考向15 离心率8：焦点三角形内心型
双曲线中，焦点三角形的内心
的轨迹方程为
.
证明：设内切圆与
的切点分别为
，则由切线长定理可得
,因为
，
，所以
，所以点
的坐标为
，所以点
的横坐标为定值a.
29．（23-24 高三下·重庆沙坪坝·月考）如图，双曲线
的左右焦点分别为
，
，若存在过
的直线交双曲线
右支于
，
两点，且
，
的内切圆半径
，
满足
，则双曲
线
的离心率取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
30．（25-26 高二上·浙江衢州·期末）已知双曲线
：
（
，
）的左右焦点分别为
，
，
为双曲线右支上一点，当
时，
的内切圆半径为
，则双曲线
的离心率为
（ ）
A．
B．
C．
D．
31．（2026·重庆·一模）已知双曲线
的左、右焦点分别为
为双曲线右支上一
点，
的内切圆圆心为
，连接
并延长交
轴于点
，若
，则双曲线的
离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．4
32．（20-21 高三下·湖南长沙·月考）如图，已知双曲线
的左、右焦点分别为
，
，过右焦点作平行于一条渐近线的直线交双曲线于点
，若
的内切圆半径为
，则双曲线的离心
率为（ ）
A．
B．
C．
D．
冲刺练
（建议用时：60 分钟）
一、单选题
1．（25-26 高三下·北京西城·月考）已知双曲线
，直线
，若直线l 与双曲线C
有且仅有一个公共点，则a 的取值有（ ）
A．4 个
B．3 个
C．2 个
D．1 个
2．（25-26 高三下·青海西宁·开学考试）已知
，点P 满足
，记点P 的轨迹
为E．直线
与轨迹E 交于A，B 两点，则
（ ）
A．6
B．8
C．10
D．12
3．（2026·天津河东·一模）已知双曲线
与抛物线
有相同的焦
点
，抛物线的准线与双曲线交于
，
两点，三角形
为等边三角形，双曲线的一条渐近线与抛物线
交于原点
与另一点
，三角形
的面积为
，则双曲线的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（25-26 高三下·北京·开学考试）正方体绕对角线旋转一圈形成如下空间几何体，其中曲线
部
分是双曲线的局部．此双曲线的离心率是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2026·山东临沂·一模）已知双曲线
的左右焦点分别为
，
，经过
的直
线与C 的右支交于A，B 两点，且
，
，则C 的离心率是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（2026·山西朔州·一模）已知双曲线
的左右焦点分别为
､
，过点
的直
线与
的右支交于点
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（2026·广东汕头·模拟预测）若双曲线
存在以
为中点的弦，则离心率的
取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（22-23 高三上·全国·开学考试）设双曲线
的左右焦点分别为
､
，过点
作斜率为
的直线与双曲线
的左右两支分别交于
､
两点，且
，则双曲线
的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．2
二、多选题
9．（2026·山东淄博·一模）已知双曲线
：
的上、下焦点分别为
和
，下顶点为
，
为第一象限内
上的动点，当
时，
的面积为
，则下列说法正确的是（ ）
A．双曲线
的离心率
B．双曲线
的渐近线方程为
C．
D．
的内心
满足
10．（2026·山西晋中·模拟预测）已知双曲线
的左右焦点分别为
､
，过点
的直线与
在第一四象限的交点分别为
､
，与
轴的交点为
，若
，且
，
则下列说法正确的有（ ）
A．
B．
的离心率为
C．直线
的斜率为2
D．点
到
上的点的距离的最小值为
11．（25-26 高三上·湖南长沙·期末）双曲线
的左､右焦点分别为F₁，F₂，具有公共焦
点的椭圆与双曲线在第一象限的交点为P，双曲线和椭圆的离心率分别为
，
，
的内切圆的圆心
为I，过
作直线PI 的垂线，垂足为D，则（ ）
A．若PI 的延长线交x 轴于点N，则
B．点D 的轨迹在圆上
C．若
则
D．若
，则
三、填空题
12．（2027 高三·全国·专题练习）已知双曲线
的离心率为
，
，
为
的两个焦点，过
作
的一
条渐近线的垂线，垂足为
，
为坐标原点，则
________．
则
，
，
，
可得
，
．
在
中，由余弦定理可得，
，
即
，所以
．
故答案为：
.
13．（2026 高三下·重庆·专题练习）设双曲线
的左、右焦点分别为
，左、
右顶点为
，已知P 为双曲线一条渐近线上一点，若
，则双曲线C 的离心率
_________．
14．（2026·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知双曲线
：
的左焦点为
，左顶
点为
．以原点
为圆心，分别以
，
为半径作圆
，
．设
是圆
与
在第一象限的交点，连
接
交圆
于
，
两点．若
，则
的离心率为_________．
结束
