41.三角形的重心与应用
一．基本原理
1.重心：三角形三条中线的交点.
2.重心是三角形中线上靠近底边的三等分点.
3.重心的向量形式
（1）重心为
O
0
OC
OB
OA
证明：
是
所在平面内一点，
=0
点G 是△ABC 的重心.
G
ABC
GC
GB
GA
证明:作图如右，图中
，连结BE 和CE，则CE=GB，BE=GC
BGCE 为平行四边
GE
GC
GB
形
D 是BC 的中点，AD 为BC 边上的中线.将
代入
=0，得
GE
GC
GB
GC
GB
GA
=0
，故G 是△ABC 的重心.（反之亦然（证略））
EG
GA
GD
GE
GA
2
（2）
是△ABC 所在平面内任一点.G 是△ABC 的重心
.
P
)
(
3
1
PC
PB
PA
PG
证明：
CG
PC
BG
PB
AG
PA
PG
)
(
)
(
3
PC
PB
PA
CG
BG
AG
PG
∵G 是△ABC 的重心∴
=0
=0，
GC
GB
GA
CG
BG
AG
即
，由此可得
.（反之亦然（证略））
PC
PB
PA
PG
3
)
(
3
1
PC
PB
PA
PG
4.重心的坐标形式（凌晨讲数学）
假设三角形三个顶点坐标分别为：
，那么该三角形的重心坐标
)
,
(
),
,
(
),
,
(
3
3
2
2
1
1
y
x
y
x
y
x
为：
1
2
3
1
2
3
,
3
3
x
x
x
y
y
y
G
证明：设重心
，由
，可得
( , )
G m n
0
GA
GB
GC
，故
1
1
2
2
3
3
,
,
,
(0,0)
x
m y
n
x
m y
n
x
m y
n
，所以重心
1
2
3
1
2
3
3
0,
3
0
x
x
x
m
y
y
y
n
1
2
3
1
2
3
,
3
3
x
x
x
y
y
y
G
5.重心的一个重要特征
如图，已知点G 是
的重心，过G 作直线与AB，AC 两
ABC
边分别交于M，N 两点，且
，
，则
AM
xAB
AN
yAC
.
1
1
3
x
y
证明：点G 是
的重心，知
O，
ABC
GA
GB
GC
得
O，有
.又M，N，G 三点共线
(
)
(
)
AG
AB
AG
AC
AG
1 (
)
3
AG
AB
AC
（A 不在直线MN 上），于是存在
，使得
，
,
(
1)
AG
AM
AN
且
有
=
，得
，于是得
AG
xAB
yAC
1 (
)
3 AB
AC
1
1
3
x
y
1
1
3
x
y
6.重心的距离最值：
在
中，设点
，到
的3 个顶点距离的平方和最小的
ABC
V
(
,
), (
,
),
(
,
)
A
A
B
B
C
C
A x
y
B x
y
C x
y
ABC
V
点为
的重心.
ABC
V
证明：设点
，其中
，
( , )
P x y
,
R
x y
则
2
2
2
2
2
2
2
2
2
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
A
A
B
B
C
C
PA
PB
PC
x
x
y
y
x
x
y
y
x
x
y
y
2
2
2
2
2
2
2
2
3
2(
)
(
)
3
2(
)
(
)
A
B
C
A
B
C
A
B
C
A
B
C
x
x
x
x
x
x
x
x
y
y
y
y
y
y
y
y
当
且
时，
取得最小值，此时点
为
3
A
B
C
x
x
x
x
3
A
B
C
y
y
y
y
2
2
2
PA
PB
PC
( , )
P x y
重心.
ABC
V
二．典例分析
例1．已知
的顶点都在抛物线
上，且
的重心为抛物线的焦点F，则
ABC
V
2
4
y
x
ABC
V
（ ）
AF
BF
CF
A．3
B．6
C．9
D．12
解析：由题意得
,
，设
，
，
，
2
p
10
F
,
1
1
,
A x y
2
2
,
B x
y
3
3
,
C x
y
点是
的重心，
，
，
F
ABC
V
1
2
3
1
2
3
,
3
3
x
x
x
y
y
y
F
1
2
3
3
x
x
x
根据抛物线的定义可得
.
1
2
3
1
2
3
3
6
2
2
2
2
p
p
p
p
AF
BF
CF
x
x
x
x
x
x
故选：B.
例2．如图所示，已知点
是
的重心，过点
作直线分别交
，
两边于
G
ABC
G
AB
AC
N
M ,
两点，且
，
，则
的最小值为_________（凌晨讲数学）
AB
x
AM
AN
yAC
uuur
uuur
2x
y
解析；根据条件：
，因为G 是
的重心，
，
1
1
,
AC
AN AB
AM
y
x
ABC
1
1
3
3
AG
AB
AC
，又
三点共线，
.
，
1
1
3
3
AG
AM
AN
x
y
N
G
M
,
,
1
1 =1
3
3
x
y
0,
0
x
y
，当且仅当
，即
1
1
2
2
3
2 2
2
(2
)(
+
)
1
1
2
3
3
3
3
3
3
3
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
y
x
y
x
2
3
3
x
y
y
x
时取等号成立.
的最小值为
，故答案为：
．
2
y
x
2x
y
3
2 2
3
3
2 2
3
例3 ．在
中，记
为
的重心，过
的直线分别交边
于
两点，设
ABC
A
G
ABC
A
G
,
CA CB
,
M N
，则下列说法正确的是（ ）
,
CM
CA CN
CB
A．
B．
C．
D．
1
1
6
4
9
4
3
2
2
8
9
解析：
设
为
的中点，则
，
D
AB
1
1
2
2
CD
CA
CB
又因为
，所以
，
2
3
CG
CD
1
1
1
1
3
3
3
3
CG
CA
CB
CM
CN
因为
三点共线，所以
，所以
；A 错，
,
,
M G N
1
1
1
3
3
1
1
3
所以
，所以
，当且仅当
时取等号；B 对，
1
1
1
3
2
4
9
2
3
所以
，
1
1
1
1
4
1
4
4
4
5
5
2
3
3
3
3
当且仅当
时取等号；C 对，
1 ,
1
2
，当且仅当
时取等号；D 对，
2
2
8
2
9
2
3
故选：BCD
例4．如图，函数
的图象与坐标轴交于点
，直
2sin
(
0 0
π)
f x
x
，
, ,
A B C
线
交
的图象于点
，
坐标原点为
的重心三条边中线的交点，其中
BC
f x
D
(
O
)
ABD
△
(
)
，则
（ ）
π,0
A
OB
A．
B．
C．
D．
1
2
1
3
3
2
解析：根据题意可知，点
是
的一个对称中心，又直线
交
的图象于点
，
C
f x
BC
f x
D
利用对称性可知
两点关于
点对称；不妨设
，由重心
,
B D
C
,
,
,
,
,
B
B
C
C
D
D
B x
y
C x
y
D x
y
坐标公式可得
，又
，即可得
；由最小正周期公式可得
π
0
3
B
D
x
x
2
B
D
C
x
x
x
π
2
Cx
，解得
，即
；将
代入
可得
π
π
π
2
2
T
2
3
2
2sin 3
f x
x
π,0
A
f x
，又
，所以
；即
，所以
2
2sin
π
0
3
0
π
2π
3
2
2
2sin
π
3
3
f x
x
.故选：C（凌晨讲数学）
2
2sin 0
π
3
3
0
B
OB
y
f
例5．已知抛物线
：
，过焦点的直线交抛物线于
，
两点，
为坐标原点，
C
2
4
y
x
l
A
B
O
P
为平面上一点，
为
的重心，则
的面积的取值范围为（ ）
O
ABP
A
ABP
A
A．
B．
C．
D．
1,
3,
6,
12,
解析：由
：
，则焦点坐标为
，设
，
、
，
C
2
4
y
x
(1,0)
:
1
l x
my
A(x1,y1)
B(x2,y2)
联立
，得
，
，则
，
，
2
4
1
y
x
x
my
2
4
4
0
y
my
2
16
16
0
m
1
2
4
y
y
m
1
2
4
y y
由
为
的重心，则有
，点
到直线
的距离为
O
ABP
A
3
ABP
ABO
S
S
A
A
O
AB
2
2
1
1
1
1
d
m
m
，
则
2
2
2
1
2
1
2
2
1
1
1
1
4
16
16
2
2
1
ABO
S
m
y
y
y y
m
m
A
，故
.故选：C.
2
2
1
2
m
3
6
ABP
ABO
S
S
A
A
例6．已知抛物线C：
的焦点为F，过点
的直线垂直x 轴于Q，
2
2
0
y
px p
1,2
P
为等腰直角三角形.
PQF
△
(1)求抛物线C 的方程；
(2)若直线l 交抛物线C 于A，B 两点，且F 恰为
的重心，求直线l 的方程.
PAB
A
解析：（1）因为过点
的直线垂直x 轴于Q，
为等腰直角三角形，
1,2
P
PQF
△
所以
，即
，所以抛物线C 的方程为
；
1
2
2
p
2
p
2
4
y
x
（2）由题可设直线
，由
，可得
，则
:l x
ty
m
2
4
x
ty
m
y
x
2
4
4
0
y
ty
m
，即
，设
，
，
2
4
4 4
0
t
m
2
0
t
m
1
1
2
2
,
,
,
A x y
B x
y
1
2
1
2
4 ,
4
y
y
t y y
m
又
，
，F 恰为
的重心，∴
，即
10
F
,
1,2
P
PAB
A
1
2
1
2
1
3,
2
0
x
x
y
y
，所以
，解得
1
2
1
2
4,
2
x
x
y
y
1
2
1
2
1
2
2
4,
4
2
x
x
t y
y
m
y
y
t
，满足
，所以直线l 的方程为
，即
.
1
3
,
2
2
t
m
2
0
t
m
1
3
2
2
x
y
2
3
0
x
y
例7．在△
中，角
的对边分别为
，已知
ABC
A
B
C
，，
a
b
c
，，
2
cos2
cos2
2sin
2sin sin
B
A
C
B
C
(1)求
;
A
(2)若
分别为边
上的中点，
为
的重心，求
的余
2
3
b
c
P
Q
，
，，
a
b
，
G
ABC
V
PGQ
弦值.
解析：（1）因为
，所以
2
cos2
cos2
2sin
2sin sin
B
A
C
B
C
，即
由正弦定
2
2
2
1
2sin
1
2sin
2sin
2sin sin
B
A
C
B
C
2
2
2
sin
sin
sin
sin sin
A
B
C
B
C
理得
，由余弦定理得
，因为
2
2
2
a
c
b
bc
1
cos
2
A
π
0
π
3
A
A
，
，
（2）设
，
依题意可得
AB
c AC
b
，
1
cos
2 3
3
2
b c
b
c
A
，所以
1
1
2
2
AP
b
c
BC
b
c BQ
b
c
，
，
2
2
2
2
1
1
19
2
2
2 3
3
2
2
2
AP
b
b c
c
2
2
1
1
4
3
9
7
4
4
BQ
b
b c
c
所以
2
2
1
1
1
1
1
4
3
9
17
2
2
4
4
2
4
4
2
4
AP BQ
b
c
b
c
b
b c
c
.
17 133
cos
266
AP BQ
PGQ
AP
BQ
例8．已知过点
的直线与抛物线
交于
两点，
为坐标原点，当
1,0
2
:
2
0
E y
px p
,
A B
O
直线
垂直于
轴时，
的面积为
.
AB
x
AOB
V
2
(1)求抛物线
的方程；
E
(2)过曲线
上一点
作两条互相垂直的直线，分别交曲线
于
（异于
E
0
0
1 ,
0
2
P
y
y
E
,
S T
点
）两点，求证：直线
恒过定点；
P
ST
(3)若
为
的重心，直线
分别交
轴于点
，记
的面积分别
O
ABC
V
,
AC BC
y
,
M N
,
MCN
AOB
A
A
为
，求
的取值范围.
1
2
,
S S
1
2
S
S
解析：（1）当
时，
，
，所以
，
1
x
2
2
y
p
2
y
p
2 2
AB
p
由题意可知，
，
1 1 2 2
2
2
AOB
S
p
A
所以
，所以抛物线
的方程为
1
p
E
2
2
y
x
（2）根据题意
,设直线
方程为
,联立
，得到
，所
1
( ,1)
2
P
ST
x
my
t
2
2
y
x
2
2
2
0
y
my
t
以
，由于两条直线垂直，则
.
,
2
2
S
T
S
T
y
y
m y y
t
1
PS
PT
k k
即
2
2
1
1
1
1
2
2
4
1
1
1
1
1
1
1
1
2
2
2
2
2
S
S
T
S
S
T
S
T
T
S
T
T
S
T
y
y
y
y
y
y
x
y
y
y y
y
y
x
化简整理得到
所以
，代入
得
，故直线
2
2
5
0.
m
t
5
2
t
m
x
my
t
5
1
2
x
m y
ST
恒过定点
.
5
(
, 1)
2
（3）如图，
设
，因为
为
的重心，所以
1
1
2
2
3
3
,
,
,
,
,
A x y
B x
y
C x
y
O
ABC
V
；因为
，
1
2
3
0,
AOB
AOC
BOC
x
x
x
S
S
S
A
A
A
3
3
1
3
2
3
,
MOC
NOC
AOC
BOC
MC
NC
S
x
S
x
S
AC
x
x
S
BC
x
x
A
A
A
A
且.
.；
1
2
,
MOC
NOC
AOC
BOC
S
S
S S
S
S
A
A
A
A
所以
；
2
2
1
2
1
2
3
3
1
1
2
1
2
2
2
1
3
2
3
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
3
3
2
2
2
2
2
x
x
x
x
x
x
S
x
x
x
x
S
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x x
设
，与
联立得：
，所以
，所以
:
1
AB x
ty
2
2
y
x
2
2
2
0
y
ty
1
2
2
y y
，则
；所以
；所以
的取
2
1
2
1
2
1
4
y y
x x
1
2
1 2
2
2
x
x
x x
1
2
2
1
2
3
4 3
,
1
3 2
2
S
S
x
x
1
2
S
S
值范围为
.
4 3
,
3 2
三．习题演练
1．直线
与x 轴的交点F 为抛物线
的焦点，若点
:
2
0
l x
my
m
R
2
:
2
0
C y
px p
O 为坐标原点，l 与C 交于A、B 两点．则（ ）
A．
8
p
B．
12
OA OB
C．以线段
为直径的圆被y 轴截得的弦长为定值
AB
D．
重心横坐标的最小值为
OAB
△
4
3
2．斜率为1 的直线与双曲线
交于两点
，点
是
上的一
2
2
2
2
:
1(
0,
0)
x
y
E
a
b
a
b
,
A B
C
E
点，满足
的重心分别为
的外心为
.记直线
，
,
,
AC
BC
OAC
OBC
△
△
,
,
P Q
ABC
△
R
,
OP OQ
的斜率为
.若
，则双曲线
的离心率为
.
OR
1
2
3
,
,
k k k
1
2
3
27
k k k
E
3．已知
是
的重心，
的面积是
，则
的最小值是
O
ABC
V
120 ,
BAC
ABC
A
18 3
OB
OC
_______.
4．已知在
中，角
的对边分别为
.若
为
的重
ABC
V
, ,
A B C
, , ,2sin
cos ,
2
a b c
A
a
C c
G
ABC
V
心，则
的最小值为___________.
2
2
2
GA
GB
GC
参考答案
1.解析：A：易知直线
与
轴交于点
，即
，所以
，解得
:
2
0
l x
my
x
2,0
2,0
F
2
2
p
，故A 错误；
4
p
B：由选项A 知抛物线
，设
，
，
2
:
8
C y
x
1
1
,
A x y
2
2
,
B x
y
由
，得
，所以
，
2
2
0
8
x
my
y
x
2
8
16
0
y
my
1
2
1
2
8
16
y
y
m
y y
得
，所以
，故B 正确；
2
1
2
1
2
4
64
y y
x x
1
2
1
2
12
OA OB
x x
y y
C：设
的中点为
，则
，
，所以
AB
0
0
,
M x
y
2
0
2
1
4
2
2
x
x
x
m
2
1
2
4
8
8
AB
x
x
m
以
为直径的圆的方程为
，
AB
2
2
2
0
0
|
|
4
AB
x
x
y
y
即
，设该圆与y 轴交
，
，令
2
2
2
4
2
4
2
4
16
32
16
x
m
y
m
m
m
3
3
,
P x
y
4
4
,
Q x
y
，得
，所以
，
，
0
x
2
8
12
0
y
my
3
4
8
y
y
m
3
4
12
y y
所以
，
2
2
2
3
4
3
4
3
4
4
64
48
4 4
3
y
y
y
y
y y
m
m
所以以
为直径的圆被y 轴所截的弦长为
，不是定值，故C 错误．
AB
2
4 4
3
m
D：由选项B 知
的重心的横坐标为
，
OAB
△
2
1
2
1
2
4
0
8
4
4
3
3
3
3
m y
y
x
x
m
当且仅当
时，等号成立，故D 正确；故选：BD
0
m
2.解析：不妨取
的中点
.因为
的重心为
，且
在中线
上，
,
AC BC
,
M N
OAC
A
P
P
OM
所以
.由中点弦结论知，
，
1
2
,
OP
OM
OQ
ON
k
k
k
k
k
k
2
2
OM
AC
ON
BC
b
k
k
k
k
a
，
，因为
，所以
，
2
1
2
2
AC
BC
b
k k
k k
a
2
2
1
2
2
(
)
AC
BC
b
k k
k k
a
AC
BC
1
AC
BC
k
k
，又由
，可得
的外心
为
的中点，于是由中点弦结论
2
2
1
2
2
b
k k
a
AC
BC
ABC
V
R
AB
知
，又
，所以
，即
.由
得，
，
2
2
OR
AB
b
k
k
a
1
AB
k
2
2
OR
b
k
a
2
3
2
b
k
a
1
2
3
27
k k k
3
2
2
27
b
a
解得
，所以双曲线
的离心率
.
2
2
3
b
a
E
2
2
1
2
b
e
a
3.解析：如图，取
的中点
，连接
.设
的内角
的对边分别为
.
BC
D
AD
ABC
V
, ,
A B C
, ,
a b c
因为
是
的重心，所以
在线段
上，且
.因为
的面
O
ABC
V
O
AD
2
AO
OD
120 ,
BAC
ABC
A
积是
，所以
，解得
.因为
是
的中点，所以
18 3
1
sin
18 3
2 bc
BAC
72
bc
D
BC
，所以
，即
，
2AD
AB
AC
2
2
2
2
2
4
2
AD
AB
AB AC
AC
b
c
bc
bc
2
4
72
AD
当且仅当
时，等号成立，则
.因为
是
的中点，所以
b
c
3 2
AD
D
BC
，所以
.
2
2
3
OB
OC
OD
AD
2
2 2
3
OB
OC
AD
4.解析：由
及
可得
，由正弦定理可得
2sin
cos
A
a
C
2
c
sin
cos
c
A
a
C
sin sin
sin cos
C
A
A
C
，
又
，故
，即
，而
，故
；
(0,π),sin
0
A
A
sin
cos
C
C
tan
1
C
(0,π)
C
π
4
C
由余弦定理得
，故
，故
2
2
2
π
2
cos 4
c
a
b
ab
2
2
2
2
2
4
2
4
2
a
b
ab
a
b
，当且仅当
时，取等号；设
为
的中点，连接
，
2
2
8
4 2
a
b
4
2 2
a
b
D
BC
AD
则G 在
上，如图，则
，
，
AD
2
2
2
4
cos
2
2
a
AD
b
ADC
a
AD
2
2
2
4
cos
2
2
a
AD
c
ADB
a
AD
由
可得
，则
cos
cos
0
ADC
ADB
2
2
2
2
2
2
4
b
c
a
AD
2
2
2
2
2
2
2
2
3
9
b
c
a
GA
AD
，
同理可得
，故
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
,
9
9
a
c
b
a
b
c
GB
GC
2
2
2
2
2
2
2
2
1
20
1
5
9
9
9
GA
GB
GC
c
a
b
a
b
，当且仅当
时，取等号，故
20
1
12
4 2
8
4 2
9
9
9
4
2 2
a
b
的最小值为
，故最小值为
.故答案为：
2
2
2
GA
GB
GC
12
4 2
9
12
4 2
9
12
4 2
9
