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第13 讲 破解离心率问题之第二、三定义及双曲线交点个数类
参考答案与试题解析
一．选择题（共15 小题）
1．已知椭圆
的左、右顶点分别为
和
，
是椭圆上不同于
，
的一点．设直线
，
的斜率分别为
，
，则当
取
最小值时，椭圆
的离心率为
A．
B．
C．
D．
【解答】解：根据题意可得
，
，设
，
则
，
而
，
，
所以
，
又
，
令
，
则
，
所以
，
所以当
时，
最小，即
，
所以
，
故选：
．
2．已知椭圆
的左、右顶点分别为
和
，
是椭圆上不同于
，
的一点．设直线
，
的斜率分别为
，
，则当
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取最小值时，椭圆
的离心率为
A．
B．
C．
D．
【解答】解：
，
，设
，
，则
，
则
，
，
，
则
．
令
，
，
，
故
时，
取最小值，
椭圆
的离心率为
．
故选：
．
3．已知椭圆
的左，右顶点分别为
，
，点
是椭圆
上与
，
不重合的动点，若直线
，
斜率之积为
，则椭圆
的离心率为
A．
B．
C．
D．
【解答】解：由题意可得
，
，设
，
，
则由
在椭圆上可得
，①
直线
与
的斜率之积为
，
，②
把①代入②化简可得
，
，
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故选：
．
4．设
，
为椭圆
的左、右顶点，
为椭圆上异于
，
的点，直
线
，
的斜率分别为
，
，若
，则该椭圆的离心率为
A．
B．
C．
D．
【解答】解：由题意可得
，
，设
，
，
则由
在椭圆上可得
，①
直线
与
的斜率之积为
，
，②
把①代入②化简可得
，
，
离心率
．
故选：
．
5．已知双曲线
，
，
是双曲线上关于原点对称的两点，
是双
曲线上的动点，直线
，
的斜率分别为
，
，若
的最小值为
2，则双曲线的离心率为
A．
B．
C．
D．
【解答】解：设
，
，
，
，
，
两式相减，得
，
，
，
，当且仅当
时取等号，
又
当
时，
，
，
三点共线不符合条件，
当
时取等号，
的最小值为2，
，
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，
离心率
．
故选：
．
6．双曲线
，
为双曲线上关于原点对称的两点，
为双曲线上
的点，且直线
，
斜率分别为
，
，若
，则双曲线离心率为
A．
B．2
C．
D．
【解答】解：由题意，设
，
，
，
，则
，
，
，
，
两式相减可得
，即
，
，
，
，
．
故选：
．
7．双曲线
，
、
为双曲线上关于原点对称的两点，
为双曲线
上的点，且直线
、
斜率分别为
、
，若
，则双曲线离心率为
A．
B．
C．2
D．
【解答】解：由题意，设
，
，
，
，则
，
，
，
，
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两式相减可得
，
，
，
，
．
故选：
．
8．设直线与双曲线
交于
，
两点，若
是线段
的中点，
直线与直线
是坐标原点）的斜率的乘积等于2，则此双曲线
的离心率为
A．2
B．3
C．
D．
【解答】解：设
，
，
，
，
是线段
的中点，
，
，
把
，
，
，
分别代入双曲线
，
得
，
，
直线的斜率
，
，
，
，
的斜率
，
与
的斜率的乘积等于2，
，
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，
此双曲线的离心率
．
故选：
．
9．过双曲线
的右焦点
作倾斜角为
的直线交双曲线右支于
，
两点，若
，则双曲线的离心率为
A．
B．
C．2
D．
【解答】解：设双曲线
的左焦点为
，连结
，
，设
，则
，
所以
，
．
在△
中，由余弦定理得
，
，
化简消去，可得
，
解得
．
故选：
．
10．已知双曲线
的右焦点为
，若存在过点
的直线与双
曲线的右支交于不同的两点，与双曲线的一条渐近线交于第一象限内的点
，且
，
则双曲线
的离心率的取值范围是
A．
，
B．
C．
，
D．
【解答】解：设
，根据双曲线的一条渐近线交于第一象限内的点
，且
，
，
，
若存在过点
的直线与双曲线的右支交于不同的两点，需保证
．
，则
，
．
根据双曲线的渐近线为
，则
，
根据双曲线
的离心率
，
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根据双曲线
的离心率
，
．
故选：
．
11．已知斜率为
的直线分别交双曲线
的左、右支于点
，
，
线段
的中点为
，若
（点
为坐标原点）的斜率为2，则双曲线的离心率为
A．
B．
C．2
D．
【解答】解：设
，
，
，
，
，
，则
，
，
因为
（点
为坐标原点）的斜率为2，
所以
，所以
，
因为
，
，
，
在双曲线
上，
所以
，
两式相减得
，
所以
，
所以
，所以
，
所以
，
所以离心率为
，
故选：
．
12．已知椭圆
上关于原点对称的两点为
，
，点
为椭圆
上
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异于
，
的一点，直线
和直线
的斜率之积为
，则椭圆
的离心率为
A．
B．
C．
D．
【解答】解：如图，
设
，
，
，
，
，
，
，
，两式相减得：
，即
．
直线
，
斜率之积为
，
，
．
椭圆的离心率
．
故选：
．
13．如图，已知
，
，
是双曲线
上关于原点对称的两点，
点
为双曲线
上异于
，
且不与
，
关于坐标轴对称的任意一点，若直线
，
的斜率之积为
，且双曲线
的焦点到渐近线的距离为
，则双曲线
的离
心率为
A．2
B．
C．
D．
【解答】解：设
，
，
，则
，
，
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则
，
，
由题意知
，
所以
，
故选：
．
14．已知
，
分别为椭圆
的左、右顶点，
，
是椭圆上的不
同两点且关于
轴对称，设直线
，
的斜率分别为
，
，若
，则该椭
圆的离心率为
A．
B．
C．
D．
【解答】解：由题意可得
，
，设
，
，则
，
，
因为
在椭圆上，所以
，
所以
由
题
意
所以可得
，
所
以
椭
圆
的
离
心
率
，
故选：
．
15．已知
、
分别是椭圆
的左、右顶点，
、
是椭圆
上两点关于轴对称，若
、
的斜率之积为
，则椭圆
的离心率是
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A．
B．
C．
D．
【解答】解：由已知
、
两点关于
轴对称，设
，
，则
，
，且
，
即
．又
，
，
故
、
的斜率之积为
，故
，
所以椭圆
离心率是
．
故选：
．
二．填空题（共10 小题）
16．椭圆
的右焦点
，其右准线与
轴的交点为
，在椭圆上存在点
满足线段
的垂直平分线过点
，则椭圆离心率的取值范围是
．
【解答】解：由题意，椭圆上存在点
，使得线段
的垂直平分线过点
，
即
点到
点与
点的距离相等，
而
，
，
于
，
，即
，
，又
，故
故答案为：
17．已知
是椭圆
的一个焦点，
是短轴的一个端点，线段
的延长线交
于点
，
且
，则
的离心率为
．
【解答】解：如图，
，
作
轴于点
，则由
，得
，所以，
，
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即
，由椭圆的第二定义得
又由
，得
，
，解得
，
故答案为：
．
18．如图，已知
是椭圆
的一个焦点，
是短轴的一个端点，线段
的延长线交椭圆
于点
，且
，则椭圆
的离心率为
．
【解答】解：如图，
，
作
轴于点
，则由
得：
，
所以，
，
即
，
由椭圆的第二定义得
，
又由
，得
，
，解得
，
故答案为：
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19．已知
是椭圆
的一个焦点，
是短轴的一个端点，线段
的延长线交椭圆
于点
，且
，则椭圆
的离心率为
．
【解答】解：如图，
，
作
轴于点
，则由
，得
，所以，
，
即
，由椭圆的第二定义得
又由
，得
，
，解得
，
故答案为：
．
20．设椭圆
的左、右顶点分别为
，
，点
在椭圆上且异于
，
两点，
为坐标原点．若直线
与
的斜率之积为
，则椭圆的离心率为
．
【解答】解：设点
的坐标为
，
．
由题意，有
，①
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由
，
，得
，
．
由
，可得
，
代入①并整理得
．
由于
，故
，于是
，
椭圆的离心率
．
故答案为：
．
21．已知双曲线
，
，
是双曲线上关于原点对称的两点，
是双
曲线上的动点，直线
，
的斜率分别为
，
，若
的最小值
为1，则双曲线的离心率为
．
【解答】解：由题意，可设点
，
，
．
，且
．
两式相减得
．
再由斜率公式得：
．
根据
的最小值为1，可知
，
，
故答案为：
．
22．在平面直角坐标系
中，已知点
是双曲线
上的异于顶点的
任意一点，过点
作双曲线的切线，若
，则双曲线离心率
等于
．
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【解答】解：设
，
，则
，
由于双曲线在
点的切线方程为：
，即在
点切线的斜率
，
因为
，所以
，
所以
，又
，
所以
，可得离心率
，
故答案为：
23．过双曲线
右顶点且斜率为2 的直线，与该双曲线的右支交于两
点，则此双曲线离心率的取值范围为
．
【解答】解：由题意过双曲线
，
右顶点且斜率为 2 的直线，
与该双曲线的右支交于两点，可得双曲线的渐近线斜率
，
，
，
双曲线离心率的取值范围为
．
故答案为：
．
24．经过双曲线
的右焦点，倾斜角为
的直线与双曲线有且只有
一个交点，则此双曲线的离心率为
2
．
【解答】解：
经过双曲线
的右焦点，
倾斜角为
的直线与双曲线有且只有一个交点，
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根据双曲线的几何性质，所给直线应与双曲线的一条渐近线
平行，
，即
，
，
．
故答案为：2．
25．已知双曲线
，若存在过右焦点
的直线与双曲线
相交于
、
两点，
且
，则双曲线
的离心率的最小值为
2
．
【解答】解：由题意，
在双曲线的左支上，
在右支上，
设
，
，
，
，右焦点
，
，
，
．
，
，
，
，
，
双曲线离心率的最小值为2，
故答案为：2．
