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初中数学学霸秘籍16:三条切线围住半个圆,原来是“一线三等角”
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【MJ16-261107】半圆 ＋ 三切线
【题目】如图，点 A、B 是半圆 ⊙O 的直径所在直线上的两点，OA=OB，AC、CD、DB 均为半圆 ⊙O 的切线，切点分别为 E、F、G。若 AC = 9，BD = 16，则 AB =______。
三段切线把半圆围在中间——9 和 16 一乘，直径自己跳出来
先说答案：AB = 24。戏路是「切线三件套」：切线⊥半径送直角（HL 全等），同点双切线送角平分（攒了一仓库的角），最后一线三等角相似，把 9 × 16 直接变成 AO²。三个数各司其职，一步都不浪费。
1第一步：HL 送一对全等，∠A = ∠B
切线⊥半径，连 OE、OG：∠OEA = ∠OGB = 90°。看两只直角三角形 △OEA 与 △OGB：斜边 OA = OB（已知），直角边 OE = OG（都是半径）——HL，全等成立：
∠A = ∠B，∠AOE = ∠BOG = α
再连 OC、OF、OD。同一点引出的两条切线等长（CE = CF、DF = DG），配上 OE = OF = OG，SSS 把 △OCE 与 △OCF、△ODF 与 △ODG 分别焊死——OC 平分 ∠EOF、OD 平分 ∠FOG。记 ∠EOC = ∠COF = β，∠DOF = ∠DOG = γ。全图的角都存在 O 处了。
图 2 切线三件套：三只直角（HL 用）＋ 两组角平分（角的仓库）
2第二步：平角清账，α＋β＋γ = 90°
A、O、B 共线，O 处是一个平角。把 O 处的角从头到尾摆一遍：∠AOE＋∠EOG＋∠GOB = 180°，其中 ∠EOG = ∠EOF＋∠FOG = 2β＋2γ，∠GOB = ∠AOE = α：
2α＋2β＋2γ = 180° ⟹ α＋β＋γ = 90°
这一下两个相似条件同时到账。看 △AOC 与 △BOD 的角：
∠AOC = α＋β = 90°−γ = ∠BDO∠BOD = α＋γ = 90°−β = ∠ACO
（其中 ∠BDO = 90°−γ、∠ACO = 90°−β 分别来自 Rt△ODG 与 Rt△OEC 的两锐角互余。）加上第一步的 ∠A = ∠B，条件富余得可以挑着用。
图 3 △AOC 与 △BOD：蓝色角相等（α＋β = 90°−γ），橙色角相等（α＋γ = 90°−β）
3第三步：相似一列，AO² = AC × BD
两角相等，△AOC ∽ △BOD（A↔B、C↔O、O↔D）。对应边成比例：
AO / BD = AC / OB ⟹ AO · OB = AC · BD
而 OA = OB，代入 9 × 16：
AO² = 9 × 16 = 144 ⟹ AO = 12 ⟹ AB = 2AO = 24
所以 AB = 24。回头品一下这个结构：AC · BD = AO² 是这类「双切线夹半圆」构型的恒等式——根本不用知道半径是多少、F 在哪里，两个切线段一乘，答案自己出来。
一句话记住这题的骨架：切线⊥半径送 HL 全等，同点双切线送角平分，平角把 α＋β＋γ 钉死在 90°——△AOC∽△BOD 一列，AO² = AC·BD，9 × 16 = 144，AB = 24。
三句话带走
·切线三件套 —— ⊥半径（直角）、同点等长（全等原料）、连心平分夹角（角的仓库），见切线先搬这三样。
·平角是记账总表 —— O 处一排角加起来 180°，对折一下就是 α＋β＋γ = 90°，两组相似角同时到账。
·乘积恒等式 —— 双切线夹圆的构型里 AC·BD = AO²，与半径、切点位置都无关；本题 9×16 = 144 ⟹ AB = 24。
— END —
答案：24。哪一步卡住了，留言说一声。
学习加总结可成学霸。
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