76.圆的双切线模型及应用
圆的双切线模型是圆中常见的一类考题，由于其结论丰富，变化多端，颇受命题人的
热爱，2020 年的理数全国一卷的选择题11 题就是一个典例应用.尽管如此，在实际应用
中，学生对该模型中的相关几何结论的理解和使用仍然显得办法不多，因此，本文将系统
的梳理一下圆的双切线模型中的常见结论及应用，希望提升同学们对这类问题的解决能
力.
一．基本原理
如图1，从圆外任一点
向圆引两条切线，圆心
，两切点
，我们把线段
)
,
(
0
0 y
x
P
C
B
A,
的长度叫做切线长，设圆的半径为
，则四边形
具有如下的性质：
PB
PA，
r
PABC
1.
；
.
PAC
PBC
PB
PA
2.切线长的计算：
,当半径给定，切线长最小等价于
最小.
2
2
r
PC
PB
PA
PC
3.
四点共圆
，
的
C
B
A
P
AP
CA
BP
BC
,
,
,
,
180
ACB
APB
C
B
A
P
,
,
,
外接圆以
为直径
（托勒密定理）.
PC
PC
AB
AP
BC
PB
AC
4.
平分
.
PC
ACB
APB
，
5.
，当半径给定，四边形
最小等价于
2
2
2
r
PC
r
PB
BC
S
S
PBC
PABC
PABC
最小.
PC
6.假设
且
.由基本的三角恒等关系可知：
2
APC
BPC
PC
r
PC
BC
sin
，故可得：
2
2
)
(
2
1
sin
2
1
2
cos
PC
r
2
cos
|
|
|
|
PA
PB
PB
PA
.对
使用均值不等式可得
最小
2
2
4
2
2
2
2
3
2
]
)
(
2
1[
)
(
r
PC
r
PC
PC
r
r
PC
2
PC
PB
PA
值.
图1
7.若
是圆
上一点,则圆
的过点
的切线方程是
0
0
0
,
P x
y
2
2
2
:
O x
y
r
O
0P
.
2
0
0
x x
y y
r
证明：因为点
在圆
上,所以
,即
0
0
0
,
P x
y
2
2
2
:
O x
y
r
2
0x
2
2
0y
r
,从而点
在直线
上.又因为圆心
到直线
2
0
0
0
0
x
x
y
y
r
0P
2
0
0
x x
y y
r
O
的距离
，所以
是圆
的过点
的切线方
2
0
0
x x
y y
r
2
2
2
0
0
r
d
r
x
y
2
0
0
x x
y y
r
O
0P
程.
当点
在圆
外时,方程
表示怎样的直线呢?如图1,过
0
0
0
,
P x
y
O
2
0
0
x x
y y
r
0
0
0
,
P x
y
作圆
的两条切线,切点分别为A,B.设
,则直线
的方程为
O
1
1
2
2
,
,
,
A x y
B x
y
0P A
，因为
在直线
上,所以
2
1
1
x x
y y
r
0
0
0
,
P x
y
0P A
2
1
0
1
0
x x
y y
r
故
满足方程
即点
在直线
上.同理点
在直线
1
1
,
x y
2
0
0
,
x x
y y
r
A
2
0
0
x x
y y
r
B
上.所以
是直线AB 的方程,即切点弦所在直线的方程.
2
0
0
x x
y y
r
2
0
0
x x
y y
r
一般地，假设
，圆
的方程为
（
)
,
(
0
0 y
x
P
C
0
2
2
F
Ey
Dx
y
x
0
4
2
2
F
E
D
）
则切点弦
的方程为：
.
AB
0
2
2
0
0
0
0
F
y
y
E
x
x
D
y
y
x
x
二．典例分析
例1.（2023 年新高考1 卷） 过点
与圆
相切的两条直线的夹角为
0, 2
2
2
4
1
0
x
y
x
，则
（ ）
sin
A．1
B．
C．
D．
15
4
10
4
6
4
解析：因为
，即
，可得圆心
，半径
，
2
2
4
1
0
x
y
x
2
2
2
5
x
y
2,0
C
5
r
过点
作圆C 的切线，切点为
，因为
，则
0, 2
P
,
A B
2
2
2
2
2 2
PC
，可得
，
2
2
3
PA
PC
r
5
10
3
6
sin
,cos
4
4
2 2
2 2
APC
APC
则
，
10
6
15
sin
sin 2
2sin
cos
2
4
4
4
APB
APC
APC
APC
，即
为
2
2
2
2
6
10
1
cos
cos2
cos
sin
0
4
4
4
APB
APC
APC
APC
APB
钝角，所以
；
15
sin
sin π
sin
4
APB
APB
例2.若
是直线：
上一动点，过
作圆
：
的两条切
P
l
3
4
9
0
x
y
P
C
2
2
4
0
x
y
x
线，切点分别为
，
，则四边形
面积的最小值为（）
A
B
PACB
A．
B．
C．
D．
5
2 5
7
2 7
解析：考察性质5.因为直线与圆相切，所以
，且
90
PAC
PBC
PAC
PBC
A
A
≌
所以四边形
面积
，又
PACB
1
2
2
2
2
PAC
S
S
AC
PA
PA
A
，所以当
最小时，
最小，四边形
面积的
2
2
2
4
PA
PC
AC
PC
PC
PA
PACB
最小值，由图象可得，
最小值即为点
到直线
的距离，
PC
C
3
4
9
0
x
y
所以
，所以
，所以四边形
面积的最
min
2
2
3 ( 2)
9
3
3
4
PC
min
9
4
5
PA
PACB
小值
，故选：B
2
2 5
S
PA
例3.（2020 全国1 卷）已知⊙M：
，直线：
，
2
2
2
2
2
0
x
y
x
y
l
2
2
0
x
y
为上的动点，过点
作⊙M 的切线
，切点为
，当
最小时，
P
l
P
,
PA PB
,
A B
|
| |
|
PM
AB
直线
的方程为（ ）
AB
A．
B．
C．
D．
2
1
0
x
y
2
1
0
x
y
2
1
0
x
y
2
1
0
x
y
解析：综合考察性质3，5,7.
圆的方程可化为
，点
到直线的距离为
2
2
1
1
4
x
y
M
l
，所以直线与圆相离．依圆的知识可知，四点
四
2
2
2 1 1
2
5
2
2
1
d
l
, , ,
A P B M
点共圆，且
，所以
AB
MP
，而
，
1
4
4
4
2
PAM
PM
AB
S
PA
AM
PA
A
2
4
PA
MP
当直线
时，
，
，此时
最小．
MP
l
min
5
MP
min
1
PA
PM
AB
∴
即
，由
解得，
．
1
:
1
1
2
MP y
x
1
1
2
2
y
x
1
1
2
2
2
2
0
y
x
x
y
1
0
x
y
所以以
为直径的圆的方程为
，即
，
MP
1
1
1
0
x
x
y y
2
2
1
0
x
y
y
两圆的方程相减可得：
，即为直线
的方程．
2
1
0
x
y
AB
例4.P 是直线
上的一个动点，过点P 作圆
的两条切线，A，B 为切点，则
2
y
2
2
1
x
y
（ ）（凌晨讲数学）
A．弦长
的最小值为
B．存在点P，使得
|
|
AB
3
90
APB
C．直线
经过一个定点
D．线段
的中点在一个定圆上
AB
AB
解析：依题意
，即
，设
，则
为
的中
2
2
2
OP
AP
AO
2
2
1
OP
AP
AB
OP
C
C
AB
点，且
，
OP
AB
所以
，所以
，
，又
AP
AO
AP
AC
OP
OP
2
1
2
2 1
AB
AC
OP
1
sin
2
OA
APB
OP
OP
，
2,
OP
所以
，
，所以
，
，故A 正确，
1
sin
0,
2
2
APB
3,2
AB
min
3
AB
max
60
APB
B 不正确；
设
，则
，所以以
为直径的圆的方程为
，
,2
P t
2
4
OP
t
OP
2
2
2
1
1
1
2
4
t
x
y
t
则
，即
，所以直线
的方程为
2
2
2
2
2
1
1
1 1
2
4
x
x
y
t
y
t
2
1
tx
y
AB
2
1
tx
y
，所以直线
过定点
，故C 正确；
AB
1
0, 2
M
又
，
，所以
的中点
在以
为直径的圆上，故D 正确；
OC
MC
1
2
OM
AB
C
OM
故选：ACD
例5．已知直线
交
轴于点P，圆
，过点P 作圆M 的两条
:
2
l y
k x
y
2
2
:
2
1
M
x
y
切线，切点分别为A，B，直线
与
交于点C，则（ ）
AB
MP
A．若直线l 与圆M 相切，则
15
15
k
B．当
时，四边形
的面积为
2
k
PAMB
2 19
C．直线
经过一定点
AB
D．已知点
，则
为定值
7 ,0
4
Q
CQ
解析：对于A，若直线l 与圆M 相切，则圆心到直线的距离
，解得
，
2
4
1
1
k
k
15
15
k
所以A 正确；
对于B，当
时，
，
，
，因为
为圆的两条切
2
k
0,4
P
2,0
M
16
4
2 5
PM
,
PA PB
线，所以
，所以四边形
的面积
90
PAM
PBM
PAMB
，所以B 错误；
2
2
1
1
19
PAM
S
S
AM
PA
PM
△
对于C，因为
，
，且
，所以
四点共圆，且
0,2
P
k
2,0
M
90
PAM
PBM
,
, ,
A M B P
为直径，所以该圆圆心为
，半径为
，所以圆的方程为：
PM
1,k
2
2
4
4
1
2
k
k
，因为
是该圆和圆
的相交弦，所以直线
的方程为两圆方
2
2
2
1
1
x
y
k
k
AB
M
AB
程相减，即
，化简可得：
，
2
2
2
2
2
1
2
1
1
x
y
k
x
y
k
: 2
2
3
0
AB
x
ky
所以直线
经过定点
，所以C 正确；
AB
3 ,0
2
N
对于D，因为
，所以
，因为
在直线
上，所以
PM
AB
90
MCA
3 ,0
2
N
AB
90
MCN
即点C 在以
为直径的圆上，因为
，
，所以圆心为
，半径为
MN
2,0
M
3 ,0
2
N
7 ,0
4
，
1
1
4
2
4
所以圆的方程为：
，圆心为
，因为点C 在该圆上，所以
2
2
7
1
4
16
x
y
7 ,0
4
Q
1
4
CQ
为定值
，所以D 正确．故选：ACD
1
4
例6．已知点
为圆
的两条切线，切点分别为
，
0, 2 ,
,
A
AM AN
2
2
:
4
1
0
C x
y
x
,
M N
则下列说法正确的是（ ）
A．圆
的圆心坐标为
，半径为
C
2,0
5
B．切线
7
AM
C．直线
的方程为
MN
2
2
1
0
x
y
D．
15
sin
8
MAN
解析：对于A 项，由
可得：
，知圆心为
,半径为
2
2
:
4
1
0
C x
y
x
2
2
(
2)
5
x
y
(2,0)
C
，
5
故A 项正确；
如图，点
为圆
的两条切线, 切点分别为
.
0, 2 ,
A
,
AM AN
2
2
:
4
1
0
C x
y
x
,
M N
对于B 项，分别连接
,在
中，
,则
,
CM AC
Rt ACM
A
2
2
|
|
2
2
2 2
AC
,故B 项错误；
2
2
|
|
|
|
|
|
8
5
3
AM
AC
CM
对于C 项，设过点
的圆的切线方程为：
，即：
，由圆心
0, 2
A
2
y
kx
2
0
kx
y
到直线
的距离
，解得：
，取
(2,0)
C
2
0
kx
y
2
| 2
2 |
5
1
k
d
k
4
15
k
4
15
k
，则切线方程为
代入
整理得：
( 4
15)
2
y
x
2
2
:
4
1
0
C x
y
x
，解得：
，代入
可得：
2
(32
8 15)
(12
4 15)
3
0
x
x
3
15
4
x
( 4
15)
2
y
x
，即得：
，
5
15
4
y
3
15
5
15
(
,
)
4
4
N
因
,直线
的斜率为1，则直线
的斜率为
，故直线
的方程为：
MN
AC
AC
MN
1
MN
，即：
，故C 项正确；
5
15
3
15
(
)
4
4
y
x
2
2
1
0
x
y
对于D 项，由对称性可知
,由上分析知，
,则
2
MAN
MAC
5
10
sin
4
2 2
MAC
，于是，
.故D 项错误.故选：AC.
6
cos
4
MAC
10
6
15
sin
2
4
4
4
MAN
例7．过点
作圆
：
的两条切线，切点分别为A，
，若直线
与圆
0
0
,
P x
y
O
2
2
9
x
y
B
AB
：
相切，则
________.
C
2
2
1
1
x
y
2
0
0
18
y
x
解析：圆
：
的圆心为
，半径
；圆
：
的圆心为
O
2
2
9
x
y
O(0,0)
3
r
C
2
2
1
1
x
y
，半径
；由题意可知：
，可知点
在以
为直径的圆
1,0
C
1
R
,
OA
PA OB
PB
,
A B
OP
上，
以
为直径的圆为
，整理得
，结合圆
OP
2
2
2
2
0
0
0
0
2
2
4
x
y
x
y
x
y
2
2
0
0
0
x
y
x x
y y
：
，两圆方程作差，可得直线
的方程为
，即
O
2
2
9
x
y
AB
0
0
9
0
x x
y y
，
0
0
9
0
x x
y y
若直线
与圆
：
相切，则
，整理得
.故答案
AB
C
2
2
1
1
x
y
0
2
2
0
0
9
1
x
x
y
2
0
0
18
81
y
x
为：81.
例8 ．如图，已知圆
，动点
，过点P 引圆的两条切
2
2
:
4
3
0
C x
y
y
, 1
R
P m
m
线，切点分别为
．
,
A B
（1）求证：直线
过定点；
AB
（2）若两条切线
与
轴分别交于
两点，求
的面积的最小值．
,
PA PB
x
,
E F
PEF
!
解析：（1）由题知，圆的标准方程为
，所以圆心
，半径
，
2
2
2
1
x
y
0,2
C
1
r
因为
是圆
的两条切线，所以
，
，所以A，B 在以PC 为直径的圆
,
PA PB
C
PA
CA
PB
CB
上，又因为
，且PC 的中点为
，所以以PC 为直径的圆M 的方程为
2
9
PC
m
1
,
2 2
m
M
，化简可得
，所以AB 为圆C 与圆M 的
2
2
2
1
9
2
2
4
m
m
x
y
2
2
2
0
x
y
mx
y
公共弦，所以直线AB 的方程为
，令
，解得
，所以直线
3
5
0
mx
y
0
3
5
0
x
y
0
5
3
x
y
过定点
；
AB
5
0, 3
（2）当PA，PB 有一条斜率不存在，即
时，不妨设PA 的斜率不存在，则直线PA 的
1
m
方程为
，此时
，
，设直线PB 的方程为
，
=
1
x
1,0
E
1, 1
P
3
1
1
y
k
x
由圆心
到PB 的距离
，解得
，所以直线PB 的方程为
0,2
3
2
3
3
1
1
k
k
d
3
4
3
k
，
4
3
1
0
x
y
所以
，此时
，
；同理
斜率不存在时
；
1 ,0
4
F
3
4
|
|
EF
1
3
3
1
2
4
8
PEF
S
A
PB
3
8
PEF
S
△
当PA，PB 斜率均存在，即
时，设过点
的切线方程为
1
m
, 1
1
P m
m
，即
，因为PA，PB 与圆C 相切，所以圆心C 到直线的距
1
y
k x
m
1
0
kx
y
km
离
，
2
3
1
1
km
d
k
即
，
，设PA，PB 的斜率分别为
，
2
2
1
6
8
0
m
k
mk
2
2
2
36
32
1
4
32
0
m
m
m
1k
，
2k
则
，
，又点
在直线
上，点
在直线
1
2
2
6
1
m
k
k
m
1
2
2
8
1
k k
m
E
1
1
y
k
x
m
F
上，
，
，所以
2
1
y
k
x
m
1
1
E
x
m
k
2
1
F
x
m
k
1
2
1
2
1
2
1
2
1
1
1
1
E
F
k
k
EF
x
x
m
m
k
k
k
k
k k
而
，所以
2
2
2
1
2
1
2
1 2
2
2
2
2
36
32
2
8
4
1
1
1
m
m
k
k
k
k
k k
m
m
m
2
2
2
2
2
8
1
8
8
4
1
m
m
m
EF
m
．
又因为
且
，所以当
时，
，此时
．综
R
m
1
m
0
m
min
2
2
EF
1
2
2
1
2
2
4
PEF
S
A
上，
面积的最小值为
．
PEF
!
2
4
三．习题演练
1．过点
作圆
：
的两条切线，切点分别为
，
，则原点
到
0,1
M
1
O
2
2
2
2
1
x
y
A
B
O
直线
的距离为（ ）
AB
A．
B．
C．
D．
5
2
3
2 2
【详解】由图可知，
，
，则
四点共圆，圆的直径是
，点
1
O A
MA
1
O B
MB
1
, ,
,
M A O B
1
MO
，
，
，
的中点坐标为
，所以四边形
0,1
M
1 2,2
O
2
2
1
2
2 1
5
MO
1
MO
3
1, 2
的外接圆的方程为
，即
，圆
1
MAO B
2
2
3
5
1
2
4
x
y
2
2
2
3
2
0
x
y
x
y
，两式相减得直线
的方程
，
2
2
1 :
4
4
7
0
Q
x
y
x
y
AB
2
5
0
x
y
则原点到直线
的距离
.故选：A
2
5
0
x
y
2
2
5
5
2
1
d
2．已知圆
与直线
，过上任意一点
向圆
引切
2
2
:
2
0
C x
x
y
:
2
0
l y
mx
m m
l
P
C
线，切点为
和
，若线段
长度的最小值为
，则实数
的值为（ ）
A
B
AB
2
m
A．
B．
C．
D．
2 7
7
7
7
14
2
14
7
【详解】圆
的标准方程为
，圆心为
，半径为，如下图所示：
C
2
2
1
1
x
y
1,0
C
1
由圆的几何性质可知
，
，因为
，
，
，所
AC
PA
BC
PB
PA
PB
AC
BC
PC
PC
以，
，所以，
，则
，设
，则
为
的
PAC
PBC
A
A
≌
APC
BPC
PC
AB
AB
PC
E
E
AB
中点，由勾股定理可得
，由等面积法可得
2
2
2
1
PA
PC
AC
PC
，所以，当
取最小值时，
取最
2
2
2
1
2
1
2
2 1
PC
PA
AC
AB
AE
PC
PC
PC
|PC|
|AB|
小值，由
，可得
，所以，
的最小值为
，当
与直线垂
2
1
2 1
2
PC
2
PC
|PC|
2
PC
l
直时，
取最小值，则
，因为
，解得
.故选：D.
|PC|
2
3
2
1
m
m
0
m
14
7
m
3．已知圆
，点
为直线
上一动点，过
点向圆
引两条切
2
2
:
4
O x
y
Q
: 3
4
20
0
l
x
y
Q
O
线
和
，其中
，
为切点，则下列说法正确的是（ ）
QA
QB
A
B
A．
的最小值为
|
|
QA
2 3
B．
的最大值为
AQB
π
3
C．当
最小时，直线
的方程为
|
| |
|
QO
AB
AB
3
4
10
0
x
y
D．原点
到动直线
距离的最大值是1
(0,0)
AB
【详解】
对于A，因为
，即当
最小时，
最小，由点
为直
2
2
2
2
|
|
|
|
|
|
|
|
4
QA
OQ
OA
OQ
|
|
OQ
|
|
QA
Q
线
上一动点，
，所以
: 3
4
20
0
l
x
y
min
2
2
20
|
|
4
3
4
OQ
min
|
|
16
4
12
2 3
QA
，A 正确；
对于B，由题易知
，
，则当
π
2
,
0, 2
AQB
AQO
AQO
2
sin
OA
AQO
OQ
OQ
|
|
OQ
最小时，
最大，
最大，则
最大，因为
，所以
sin
AQO
AQO
AQB
min
|
|
4
OQ
，即
，
的最大值为
，B 正确；
max
2
1
sin
4
2
AQO
π
6
AQO
AQB
π
3
对于C，由对称性可得，
，则
为四边形
面积的2 倍，
AB
OQ
|
| |
|
QO
AB
AQBO
S
，由题知，
，此时
最小值，
2
2
AOQ
S
S
OA
AQ
AQ
A
min
2 3
AQ
|
| |
|
QO
AB
此时直线
与
垂直，则
方程为
，联立解得
，
OQ
: 3
4
20
0
l
x
y
OQ
4
3
y
x
12 16
(
,
)
5
5
Q
所以直线
的方程为
，C 错误；
AB
12
16
4
3
4
5
0
5
5
x
y
x
y
对于D，由圆的几何性质知，当
最大时，
最小，此时原点
到动直线
AQB
AOB
(0,0)
AB
距离的最大，由C 知，
的方程为
，原点
到直线
距离
AB
3
4
5
0
x
y
(0,0)
AB
5
1
5
d
，D 正确；故选：A
