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直线与圆、圆与圆的位置关系—知识讲解（基础）
责编：常春芳
【学习目标】
1.理解并掌握直线与圆、圆与圆的各种位置关系；
2.理解切线的判定定理、性质定理和切线长定理，了解三角形的内切圆和三角形的内心的概念，并熟练
掌握以上内容解决一些实际问题；
3.了解两个圆相离(外离、内含)，两个圆相切(外切、内切)，两圆相交，圆心距等概念．理解两圆的位
置关系与d、r1、r2数量关系的等价条件并灵活应用它们解题．
【要点梳理】
要点一、直线和圆的位置关系
1．直线和圆的三种位置关系：
(1) 相交：直线与圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交．这时直线叫做圆的割线．
(2) 相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切．这时直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫
做切点．
(3) 相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离．
2．直线与圆的位置关系的判定和性质．
直线与圆的位置关系能否像点与圆的位置关系一样通过一些条件来进行分析判断呢？
由于圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，因此研究直线和圆的位置关系，就可以转化为直线和点
(圆心)的位置关系．下面图(1)中直线与圆心的距离小于半径；图(2)中直线与圆心的距离等于半径；图
(3)中直线与圆心的距离大于半径．
如果⊙O 的半径为r，圆心O 到直线的距离为d，那么
要点诠释：
这三个命题从左边到右边反映了直线与圆的位置关系所具有的性质；从右边到左边则是直线与圆的位
置关系的判定．
要点二、切线的判定定理、性质定理和切线长定理
1．切线的判定定理：
经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
要点诠释：
切线的判定定理中强调两点：一是直线与圆有一个交点，二是直线与过交点的半径垂直，缺一不可.
2．切线的性质定理：
圆的切线垂直于过切点的半径.
3．切线长：
经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长.
要点诠释：
切线长是指圆外一点和切点之间的线段的长，不是“切线的长”的简称.切线是直线，而非线段.
4．切线长定理：
从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.
要点诠释：
切线长定理包含两个结论：线段相等和角相等.
5．三角形的内切圆：
与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆.
6．三角形的内心：
三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心. 三角形的内心到三边的距
离都相等.
要点诠释：
(1) 任何一个三角形都有且只有一个内切圆，但任意一个圆都有无数个外切三角形；
(2) 解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积
的一半，即
(S 为三角形的面积，P 为三角形的周长，r 为内切圆的半径).
(3) 三角形的外心与内心的区别：
名称
确定方法
图形
性质
外心(三角形外
接圆的圆心)
三角形三边中垂线的
交点
(1) 到三角形三个顶点的距
离相等，即OA=OB=OC；(2)外
心不一定在三角形内部
内心(三角形内
切圆的圆心)
三角形三条角平分线
的交点
(1)到三角形三边距离相等；
(2)OA、OB、OC 分别平分
∠BAC、∠ABC、∠ACB； (3)内
心在三角形内部.
要点三、圆和圆的位置关系
1．圆与圆的五种位置关系的定义
两圆外离：两个圆没有公共点，且每个圆上的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆外离.
两圆外切：两个圆有唯一公共点，并且除了这个公共点外，每个圆上的点都在另一个圆的外部时，叫
做这两个圆外切.这个唯一的公共点叫做切点.
两圆相交：两个圆有两个公共点时，叫做这两圆相交.
两圆内切：两个圆有唯一公共点，并且除了这个公共点外，一个圆上的点都在另一个圆的内部时，叫
做这两个圆内切.这个唯一的公共点叫做切点.
两圆内含：两个圆没有公共点，且一个圆上的点都在另一个圆的内部时，叫做这两个圆内含.
2．两圆的位置与两圆的半径、圆心距间的数量关系：
设⊙O1的半径为r1，⊙O2半径为r2， 两圆心O1O2的距离为d，则：
两圆外离
d＞r1+r2
两圆外切
d=r1+r2
两圆相交
r1-r2＜d＜r1+r2 (r1≥r2)
两圆内切
d=r1-r2 (r1＞r2)
两圆内含
d＜r1-r2 (r1＞r2)
要点诠释：
(1) 圆与圆的位置关系，既考虑它们公共点的个数，又注意到位置的不同，若以两圆的公共点个数
分类，又可以分为：相离(含外离、内含)、相切(含内切、外切)、相交；
(2) 内切、外切统称为相切，唯一的公共点叫作切点；
(3) 具有内切或内含关系的两个圆的半径不可能相等，否则两圆重合.
【典型例题】
类型一、直线与圆的位置关系
【高清ID 号： 356966 关联的位置名称（播放点名称）：经典例题1-2】
1．（2015•盐城）如图，在△ABC 中，∠CAB=90°，∠CBA=50°，以AB 为直径作⊙O 交BC 于点D，
点E 在边AC 上，且满足ED=EA．
（1）求∠DOA 的度数；
（2）求证：直线ED 与⊙O 相切．
【答案与解析】
（1）解；∵∠DBA=50°，
DOA=2 DBA=100°
∴∠
∠
，
（2）证明：连接OE．
在△EAO 与△EDO 中，
，
EAO
EDO
∴△
△
≌
，
EDO= EAO
∴∠
∠
，
BAC=90°
∠
∵
，
EDO=90°
∴∠
，
DE
∴
与⊙O 相切．
【总结升华】本题考查了切线的判定，连接OE 构造全等三角形是解题的关键．
举一反三：
【高清ID 号： 356966 关联的位置名称（播放点名称）：经典例题1-2】
【变式】如图，P 点是∠AOB 的平分线OC 上一点，PE⊥OA 于E，以P 为圆心，PE 为半径作⊙P .求证：⊙P 与
OB 相切.
【答案】作PF⊥OB 于F，则可证明△OEP≌△OFP，所以PF=PE，即F 在圆P 上，故⊙P 与OB 相切.
2．（2015•黄石）如图，⊙O 的直径AB=4，∠ABC=30°，BC 交⊙O 于D，D 是BC 的中点．
（1）求BC 的长；
（2）过点D 作DE AC
⊥
，垂足为E，求证：直线DE 是⊙O 的切线．
【思路点拨】（1）根据圆周角定理求得∠ADB=90°，然后解直角三角形即可求得BD，进而求得BC 即可；
（2）要证明直线DE 是⊙O 的切线只要证明∠EDO=90°即可．
【答案与解析】
证明：（1）解：连接AD，
AB
∵
是⊙O 的直径，
ADB=90°
∴∠
，
又∵∠ABC=30°，AB=4，
BD=2
∴
，
D
∵
是BC 的中点，
BC=2BD=4
∴
；
（2）证明：连接OD．
D
∵
是BC 的中点，O 是AB 的中点，
DO
∴
是△ABC 的中位线，
OD AC
∴
∥
，则∠EDO= CED
∠
又∵DE AC
⊥
，
CED=90°
∴∠
，∠EDO= CED=90°
∠
DE
∴
是⊙O 的切线．
【总结升华】此题主要考查了切线的判定以及含30°角的直角三角形的性质．解题时要注意连接过切点的
半径是圆中的常见辅助线．
类型二、圆与圆的位置关系
3．(1)已知两圆的半径分别为3cm，5cm，且其圆心距为7cm，则这两圆的位置关系是( )
A．外切 B．内切 C．相交 D．相离
(2)已知⊙O1与⊙O2相切，⊙O1的半径为3cm，⊙O2的半径为2cm，则O1O2的长是( )
A．1cm B．5cm C．1cm 或5cm D．0.5cm 或2.5cm
【答案】（1）C ； （2）C.
【解析】(1)由于圆心距d＝7cm，R+r＝5+3＝8(cm)，R-r＝5-3＝2(cm)．
∴ R-r＜d＜R+r，故这两圆的位置关系是相交．
(2)两圆相切包括外切和内切，当⊙O1与⊙O2外切时，d＝O1O2＝R+r＝3+2＝5(cm)；
当⊙O1与⊙O2内切时，d＝O1O2＝R-r＝3-2＝1(cm)．
【总结升华】由数量确定位置或由位置确定数量的依据是：①两圆外离d＞R+r；②两圆外切d＝
R+r；③两圆相交R-r＜d＜R+r；④两圆内切d＝R-r；⑤两圆内含d＜R-r．
4．已知：如图，⊙O1与⊙O2外切于A 点，直线l 与⊙O1、⊙O2分别切于B，C 点，若⊙O1的半径r1=2cm，
⊙O2的半径r2=3cm．求BC 的长．
【思路点拨】首先连接O1B，O2C，O1O2，过点O1作O1D⊥O2C 于D，由直线l 与⊙O1、⊙O2分别切于B，C 点，可得
四边形O1BCD 是矩形，即可知CD=O1B=r1=2cm，BC=O1D，然后在Rt△O2DO1中，利用勾股定理即可求得O1D 的
长，即可得BC 的长．
【答案与解析】
解：连接O1B，O2C，O1O2，过点O1作O1D⊥O2C 于D，
∵直线l 与⊙O1、⊙O2分别切于B，C 点，
∴O1B⊥BC，O2C⊥BC，
∴四边形O1BCD 是矩形，
∴CD=O1B=r1=2cm，BC=O1D，
∴O2D=O2C-CD=3-2=1（cm），
∵，⊙O1与⊙O2外切于A 点，
在Rt△O2DO1中，O2O1=r1+r2=2+3=5（cm），
∴O1D=2
（cm），
∴BC=2
cm．
【总结升华】此题考查了相切两圆的性质、切线的性质、矩形的判定与性质以及勾股定理．此题难度适中，
解题的关键是准确作出辅助线，掌握相切两圆的性质．
举一反三：
【变式】如图所示，在△ABC 中，AB＝BC＝2，以AB 为直径的⊙O 与BC 相切于点B，则AC 等于( )
A．
B．
C．
D．
【答案】因为以AB 为直径的⊙O 与BC 相切于点B ，所以∠ABC ＝90° ，在Rt△ABC 中，
，故选C．
