文档文本内容
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【全等模型之一线三等角】题集【A】
1. 一线三垂直
1.
【解析】
【标注】
如图，
是等腰直角三角形，
点坐标为
，
点坐标为
，过
作轴的垂线，垂足为
点，则
．
x
y
O
A
B
C
D
【答案】
由三垂直模型易证
≌
，
∴
．
【知识点】坐标与距离；三垂直模型
2.
【解析】
如图，
为等腰直角三角形，
点坐标为
，
点坐标为
，过
作轴的垂线，垂足为
点，则
点坐标为 ．
【答案】
由三垂直模型易证
≌
，
∴
，
，
∴
点坐标为
，
2
【标注】
故答案为：
．
【知识点】根据坐标描点、根据点写坐标；三垂直模型
3.
【解析】
【标注】
如图，
，
，点
在第一象限内．若
、
，则点
的坐标
为 ．
【答案】
做
轴，
轴，
由三垂直模型可知，
≌
，
∴设
，则
，
∴
，
∴
，
∴
．
【知识点】辅助线综合运用
4. 如图，
，
，
，
，垂足分别为
、
，若
，
，则
．
3
【解析】
【标注】
【答案】
∵
，
∴
，
又∵
，
，
∴
，
∴
，
∴
，
在
和
中，
，
∴
≌
（
），
∴
，
，
∵
，
∴
，
∴
【知识点】AAS
A.
B.
C.
D.
5. 如图，
且
，
且
，请按照图中所标注的数据，计算图中实线
所围成的图形的面积是（ ）．
4
方法一：
方法二：
【解析】
【标注】
【答案】A
∵
，
，
∴
，
∵在
和
中，
，
∴
≌
（
），
同理
≌
（
），
∴
，
，
，
，
∵梯形
的面积
，
，
，
∴图中实线所围成的图形的面积
．
∵
且
，
，
，
，
，
∴
，
，
≌
，
∴
，
．
同理证得
≌
得
，
．
故
，
故
．
故选：
．
【知识点】三垂直模型
（1 ）
6. 如图，
中，
，
，
是过点
的一条直线，且点
，
在
的同侧
时，
于
，
于
．
求证：
．
5
（2 ）
（1 ）
（2 ）
【解析】
变成如图，
，
在
的异侧时，
，
，
关系如何？并加以证明．
【答案】（1 ）
（2 ）
证明见解析．
．
．
∵
，
，
，
∴
，
∴
，
∴
．
∵
，
在
和
中，
，
∴
≌
，
∴
，
，
∴
．
∵
，
∴
．
成立．
∵
，
，
，
∴
．
∵
，
，
∴
．
∵
，
在
和
中，
，
∴
≌
，
6
【标注】
∴
，
．
∵
，
∴
．
【能力】推理论证能力
【能力】分析和解决问题能力
【知识点】全等三角形的性质
【知识点】AAS
（1 ）
（2 ）
（3 ）
7. 如图，已知点
是直线
上的一个动点，在点
运动的过程中，始终保持
，并且
于
，
于
，
．
如图的位置时，请你判断线段
、
、
之间的数量关系，并且证明你的结论．
当直线
绕点
旋转到如图的位置时（
），请你判断线段
、
、
之间
的数量关系是否有变化？并且证明你的结论．
当直线
绕点
旋转到图的位置时（
），试问：
、
、
有怎样的数量
关系？请直接写出这个数量关系．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
，证明见解析．
有变化，
，证明见解析．
．
7
（1 ）
（2 ）
（3 ）
【解析】
【标注】
．
∵
，
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
．
在
和
中，
，
∴
≌
（
），
∴
，
∴
．
．
同（）可证明
≌
，
∴
，
，
∴
．
∴线段
、
、
之间的数量关系有变化，
．
．
同（）可证明
≌
，
∴
，
，
∴
．
【知识点】三垂直模型
2. 一线三等角
1. 如图，已知
中，点
为
上一点，
、
两点分别在边
、
上，若
，
，
，
，则
．
A
C
B
F
D
E
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【解析】
【标注】
【答案】
∵
，
，
∴
,
在
和
中，
，
∴
≌
，
∴
，
∵
，
，
∴
．
【知识点】一线三等角模型
2.
【解析】
如图，在等腰三角形
中，
，
．点
在边
上，
，点
，
在
线段
上，
．若
的面积为，则
与
的面积之和
为 ．
【答案】
∵
，∴
与
等高，底边比值为
，
∴
与
面积比为
，
又
的面积为，∴
与
面积分别为和．
∵
，∴
．
∵
，
，∴
．
在
和
中，
，∴
≌
．
∴
，∴
．
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【标注】【知识点】三角形的周长与面积问题
（1 ）
（2 ）
3. 如图，
是经过
顶点
的一条直线，
，
、
分别是直线
上两点，且
．
若直线
经过
的内部，且
、
在直线
上，请解决下面两个问题：
①如图①，若
，
，则
；
（填
“
”、“
”、“
”）；
图
②如图②，若
，请添加一个关于
与
关系的条件 ，使①
中的两个结论仍然成立，并证明这两个结论．
图
如图③，若直线
经过
的外部，
，请提出
、
、
三条线段数
量关系的合理猜想（不要求证明）．
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【标注】
图
【答案】（1 ）
（2 ）
（）
；
．
，先证明
，再证明
≌
．
．
【知识点】全等三角形的性质
