文档文本内容
1
等边三角形 题集【B】
1. 等边三角形的定义及性质
性质
性质1
等边三角形的_________都相等
性质2
等边三角形的_________都相等，并且每一个角都等
于_____
性质3
等边三角形每条边上的_____、______、所对角
________互相重合
（______组“三线合一”）
（1 ）
（2 ）
1.
（1 ）
【解析】
如图，
是等边三角形
内的一点，连接
、
、
，以
为边作
，且
，连接
．
观察并猜想
与
之间的大小关系，并写出理由．
若
，
，
，连接
，试判断
的形状，并说明理由．
【答案】（1 ）
（2 ）
；证明见解析．
为直角三角形；证明见解析．
∵
为等边三角形，
∴
，
．
∵
，
∴
，
∴
，即
．
在
和
中，
2
（2 ）
【标注】
，
∴
≌
（
），
∴
．
∵
，
，
∴
为等边三角形，
∴
．
∵
，
∴
．
在
中，
，
∴
为直角三角形．
【能力】推理论证能力
【能力】运算能力
【知识点】全等三角形的对应边与角
【知识点】SAS
【知识点】勾股逆定理的应用
【知识点】勾股定理的逆定理
【知识点】等边三角形的性质
（1 ）
（2 ）
2.
（1 ）
【解析】
如图，以
的两边
、
向外作等边三角形
和等边三角形
，连接
、
，相
交于
．
试写出图中和
相等的一条线段并说明你的理由．
写出
和
的夹角大小，若改变
的形状，这个夹角的度数会发生变化吗？请说明
理由．
【答案】（1 ）
（2 ）
与
相等．
，不会改变．
与
相等．
3
（2 ）
【标注】
证明：∵
和
是等边三角形，
∴
，
，
，
∴
，
即
．
在
和
中，
，
∴
≌
，
∴
．
，不会改变．
证明：同（）可得，
≌
．
∴
，
又∵
，
∴
，
∵
，
∴
．
【知识点】等边三角形与全等
A.
个
B.
个
C.
个
D.
个
3.
方法一：
【解析】
如图，点
，
，
在一条直线上，
，
均为等边三角形，连接
和
，
分别交
、
于点
、
，
交
于点
，连接
，
．
下列结论：①
≌
；②
；③
为等边三角形；④
平分
．
其中结论正确的有（ ）．
【答案】D
∵
、
为等边三角形，
∴
，
，
，
4
方法二：
∴
，
，
在
和
中，
，
∴
≌
，
∴①正确；
∵
≌
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴②正确；
在
和
中，
，
∴
≌
，
∴
，
又
，
∴
．
∴
为等边三角形，
∴③正确；
过
作
于
，
于
，
∵
≌
，∴
，
，
∴
，
∴
，
∴
，即
平分
，
∴④正确．
综上所述，正确的结论有个．
∵
、
为等边三角形，
5
【标注】
∴
，
，
，
∴
，
，
在
和
中，
，
∴
≌
，
∴①正确；
∵
≌
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴②正确；
在
和
中，
，
∴
≌
，
∴
，
又
，
∴
为等边三角形，
∴③正确；
∵
，
∴
，
∴
，
∴
、
、
、
四点共圆，
∵
，
∴
，
∴
，
即
平分
，
∴④正确．
综上所述，正确的结论有个．
【知识点】等边三角形的手拉手模型
4. 如图，已知
，分别以
和
为边向外作等边
和等边
，连接
、
．
6
（1 ）
（2 ）
（1 ）
（2 ）
【解析】
求证：
．
若
所在直线垂直平分
，求
的大小．
【答案】（1 ）
（2 ）
证明见解析．
．
∵
和
为等边三角形，
∴
，
，
，
∴
，即
，
在
和
中
，
∴
≌
，
∴
．
延长
交
于点
，
∵
为等边三角形，
为等边三角形，
∵
垂直平分
，
∴
，
，
∴
．
7
【标注】【能力】运算能力
【能力】推理论证能力
【知识点】等边三角形的性质
【知识点】SAS
【知识点】全等三角形的对应边与角
1
2
（1 ）
（2 ）
5.
1
2
（1 ）
（2 ）
【解析】
已知
为等边三角形，点
为直线
上一动点(点
不与点
，点
重合)．以
为边作等边
三角形
，连接
．
图1
图2
如图，当点
在边
上时．
直接判断结论
是否成立（不需证明）．
求证：
≌
如图，当点
在边
的延长线上时，其他条件不变，请写出
，
，
之间存在的数
量关系，并写出证明过程．
【答案】
1
2
（1 ）
（2 ）
成立．
证明见解析．
，证明见解析．
成立．
在
和
中，
，
∴
≌
．证明：
≌
，
∴
，故证：
．
＝
＋
8
【标注】【知识点】全等三角形的对应边与角
【知识点】SAS
【知识点】对应边
【知识点】等边三角形的性质
图
图
图
6.
【解析】
阅读下列材料
下面是小明同学“作一个角等于
的直角三角形”的尺规作图过程．
已知：线段
（如图）．
求作：
，使
，
．
作法：如图，
（1）分别以点
，点
为圆心，
长为半径画弧，
两弧交于点
，连接
；
（2）连接
并延长，使得
；
（3）连接
．
就是所求的直角三角形．
证明：连接
．
由作图可知，
，
，
∴
是等边三角形（等边三角形定）．
∴
（等边三角形每个内角都等于
）．
∴
．
∴
（等边对等角）．
在
中，
（三角形的内角和等于
）．
∴
．
∴
（三角形的内角和等于
），即
．
∴
就是所求作的直角三角形．
请你参考小明同学解决问题的方式，利用图再设计一种“作一个角等于
的直角三角形”的尺规
作图过程（保留作图痕迹），并写出作法，证明，及推理依据．
【答案】证明见解析．
作法：如图，
（1）延长
至
，使得
；
9
图
【标注】
（2）分别以点
，点
为圆心，
长为半径画弧，两弧交于点
；
（3）连接
，
．
就是所求的直角三角形．
证明：连接
．
由作图可知，
，
，
∴
是等边三角形（等边三角形定义）．
∴
（等边三角形每个内角都等于
）．
∴
于点
（等边三角形一边上的中线与这边上的高相互重合）．
∴
就是所求作的直角三角形．
【知识点】等腰三角形的性质-三线合一
2. 等边三角形的判定
判定
判定1
利用定义来判定：_________的三角形是等边三角形
（从边入手）
判定2
_____________的三角形是等边三角形
（或证明两个角都为
）（从角入手）
判定3
有一个角是______的______三角形是等边三角形
（从边角入手）
（1 ）
（2 ）
1. 如图，点
、
、
分别是等边
各边上的点，且
，
．
求证：
是等边三角形．
若
，求等边
的周长．
【答案】（1 ）
（2 ）
证明见解析．
．
10
（1 ）
（2 ）
【解析】
【标注】
∵
为等边三角形，
∴
，
∵
，
，
∴
≌
（
），
∴
，
∵
，
∴
，
∴
是等边三角形．
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
由（）得：
≌
，
∴
，
∴
，
∴等边
的周长为
．
【知识点】等边三角形与全等
（1 ）
（2 ）
2.
（1 ）
【解析】
如图，已知
是等边三角形，
、
、
分别是射线
、
、
上一点，且
，连接
、
、
．
求证：
．
试判断
的形状，并简要说明理由．
【答案】（1 ）
（2 ）
证明见解析．
是一个等边三角形．
∵
为等边三角形，且
，
∴
，
，
11
（2 ）
【标注】
∴
，
，
在
与
中，
，
∴
≌
（
），
∴
．
同理可得：
≌
≌
（
），
∴
，
∴
是一个等边三角形．
【知识点】等边三角形的判定
（1 ）
（2 ）
3.
（1 ）
（2 ）
【解析】
已知，如图，延长
的各边，使得
，
，顺次连接
，
，
，得到
为等边三角形．
求证：
≌
．
求证：
为等边三角形．
【答案】（1 ）
（2 ）
证明见解析．
证明见解析．
∵
，
，
∴
．
∵
是等边三角形，
∴
．
又∵
，
∴
≌
．
由
≌
，得
，
∵
，
是等边三角形，
12
【标注】
∴
，
∴
，
同理可得
．
∴
是等边三角形．
【知识点】SSS
（1 ）
（2 ）
4.
（1 ）
【解析】
如图，
，点
是
的中点，
平分
，
，垂足为
．
求证：
．
若
，试判断
的形状，并说明理由．
【答案】（1 ）
（2 ）
证明见解析．
是等边三角形，理由见解析．
∵
，点
是
的中点，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
∵
平分
，
∴
，
在
和
中，
，
∴
≌
（
），
13
（2 ）
【标注】
∴
．
是等边三角形，理由如下：如图，
∵
，
∴
，
∵
，点
是
的中点，
∴
，
∴
，
∴
是等边三角形．
【知识点】等边三角形的判定
3. 直角三角形定理
定理
定理：
在直角三角形中，如果一个锐角等于
，那么它所对的直角边等于斜边的一半．
符号语言：
在
中，
【注意】
此性质适用的大前提“直角三角形”，所以无直角时，必须依据条件构造符合性质特征的直角三角形，
才能根据角的大小，得到边的倍分关系．
，
1. 如图，已知：
，点
、
、
在射线
上，点
、
、
在射线
上，
、
、
均为等边三角形，若
，则
的边长
为 ．
14
【解析】
【标注】
【答案】
∵
是等边三角形，
∴
，
，
∴
，
∵
，
∴
，
又∵
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∵
、
是等边三角形，
∴
，
，
∵
，
∴
，
，
∴
，
，
∴
，
，
∴
，
，
，
以此类推：
．
故答案是：
．
【能力】推理论证能力
【知识点】等边三角形的性质
2.
15
【解析】
如图，已知：
，点
、
、
……在射线
上，点
、
、
……在射线
上，
、
、
……均为等边三角形，从左边第个等边三角形的边长记为
，第个等边三角形的边长记为
，以此类推，若
，则
，
．
【答案】 ;
∵
是等边三角形，
∴
，
．
∴
．
∵
，
∴
．
又∵
，
∴
．
∵
，
∴
．
∴
．
∵
、
是等边三角形，
∴
，
．
∵
，
∴
，
，
∴
，
．
∴
，
．
∴
．
．
16
【标注】
．
以此类推：
，
．
【知识点】等边三角形的性质
3.
【解析】
【标注】
如图，在
中，
，
，
为
的垂直平分线，交
于点
，交
于点
．求证：
．
【答案】证明见解析．
连接
，
为
的垂直平分线，
，
又
，
，
，
，
，
．
【知识点】等腰三角形的性质-三线合一
4. 如图，
是等边三角形，
是中线，过点
作
于
交
边延长线于
，
，
求
的长．
17
【解析】
【标注】
【答案】
．
∵
为等边三角形，
∴
，
，
∴
．
在
中，
，
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
．
在
中，
，
，
∴
．
【知识点】等边三角形的性质
【能力】推理论证能力
【能力】运算能力
（1 ）
（2 ）
5.
（1 ）
【解析】
如图，
为等边三角形，
，
与
相交于点
，
于点
．
求证：
．
若
，
，求
的长．
【答案】（1 ）
（2 ）
证明见解析．
．
：∵
为等边三角形，
∴
，
，
在
和
中，
，
18
（2 ）
【标注】
∴
≌
，
∴
．
∵
≌
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴在
中，
，
又∵
，
∴
．
【能力】推理论证能力
【知识点】全等三角形的对应边与角
【知识点】SAS
【知识点】等边三角形的性质
（1 ）
（2 ）
6. 如图，在等边
中，点
，
，
，分别在边
，
，
上，且
，连接
，
，
．
求证：
．
求
的度数．
【答案】（1 ）
（2 ）
证明见解析．
．
19
（1 ）
（2 ）
【解析】
【标注】
∵
为等边三角形，
∴
，
．
又∵
，
∴
，
可得：
≌
≌
，
∴
．
由（）中全等关系可得：
，
∴
为等边三角形，
则
．
【知识点】全等三角形的对应边与角；全等三角形的性质
