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1
【旋转之手拉手“正用”】 题集【A】
1.
【解析】
【标注】
如图，
是正方形
内一点，将
绕点
逆时针方向旋转后与
重合，若
，
．
【答案】
∵四边形
为正方形，
∴
，
，
∵
绕点
逆时针方向旋转后与
重合，
∴
，
，
∴
为等腰直角三角形，
∴
．
【知识点】利用旋转求线段长
2. 如图，
和
均为等腰直角三角形，连接
、
，请说明
和
的数量关系以及
所在直线的位置关系．
【答案】
，所在直线互相垂直．
2
【解析】
【标注】
∵
与
均是等腰直角三角形，
∴
，
，
，
∴
≌
，
由以上可知，
绕点
顺时针旋转
，可得到
，
∴
，
．
【知识点】等腰直角三角形的手拉手模型
1
2
（1 ）
1
2
（2 ）
3. 已知，点
是等边
内的任一点，连接
，
，
．
如图，已知
，
，将
绕点
按顺时针方向旋转
得
．
图
的度数是 ．
用等式表示线段
，
，
之间的数量关系，并证明．
设
，
．
当，满足什么关系时，
有最小值？请在图中画出符合条件的图
形，并说明理由．
图
若等边
的边长为，直接写出
的最小值．
【答案】
1
2
（1 ）
1
（2 ）
线段
，
，
之间的数量关系是
．
如图，当
时，
有最小值．
3
1
2
（1 ）
1
（2 ）
【解析】
2
当等边
的边长为时，
的最小值
．
∵
，
，
∴
．
由旋转的性质可知，
，
，
∴
．
故答案为：
．
线段
，
，
之间的数量关系是
．
如图，连接
．
∵
绕点
按顺时针方向旋转
得
，
∴
≌
，
．
∴
，
，
．
∴
是等边三角形．
∴
，
．
在
中，
，
∴
．
∴
．
图
如图，当
时，
有最小值．
作图如图的实线部分．
如图，将
绕点
按顺时针方向旋转
得
，连接
．
图
∴
≌
，
．
∴
，
，
，
4
2
【标注】
．
∴
是等边三角形．
∴
，
．
∵
，
∴
．
∴
．
∴
，
，
，
四点共线．
∴
时值最小．
∵
，
∴
．
∴
为
的中心，
∴四点
，
，
，
共线．
∴
，
将
绕点
按顺时针方向 旋转
，得
，
∴
，
∴
，
在
中，
，
∴
，
∴当等边
的边长为时，
的最小值
．
【知识点】旋转型全等
（1 ）
4. 如图，若四边形
、
都是正方形，显然图中有
，
．
图
当正方形
绕
旋转到如图的位置时，
是否成立？若成立，请给出证明，若
不成立，请说明理由．
5
1
2
（2 ）
（1 ）
1
（2 ）
【解析】
图
当正方形
绕
旋转到
，
，
在一条直线（如图）上时，连结
，设
分别交
、
于
、
．
求证：
．
如果
，
，求
的长．
【答案】（1 ）
1
2
（2 ）
成立．
证明见解析．
．
成立．
∵四边形
、四边形
是正方形，
∴
，
．
．
∴
．
∴
≌
．
∴
．
由（）可知
≌
，
∴
．
∵
，
，
∴
．
6
2
【标注】
∴
．
∴
．
过
作
于
．
∵
是正方形
的对角线，
∴
．
∴
．
∵
，
∴
．
在
中，由勾股定理，得
．
∴
．
【知识点】正方形与全等综合
图
图
图
（1 ）
（2 ）
（3 ）
5. 如图
已知
，
，将
顺时针旋转得到图
时，连结
和
，再将
、
分别延长至
、
，使
，
，得到图
，请解答下列问题．
在图
中，
与
的数量关系是 ．
在图
中，猜想
与
的数量关系，并证明你的猜想．
在图
中，直接写出
与
的数量关系，
与
的数量关系．
【答案】（1 ）相等
7
（1 ）
（2 ）
（3 ）
【解析】
【标注】
（2 ）
（3 ）
相等，证明见解析．
，
．
略．
由旋转的性质知
，
在
和
中，
，
≌
，
，
故答案为：
．
，
，
由
知
，
，
，
又
，
，
，
在
和
中，
，
，
，
，
即
，
为等腰三角形，且
．
故答案为：
，
．
【知识点】手拉手模型
≌
1
（1 ）
6. 如图，以平面上一点
为直角顶点，分别画出两个直角三角形，记作
和
，其中
，点
、
、
分别是
、
、
的中点，连接
、
．
回答下列问题
如图，当点
、
分别在
、
的延长线上，直接写出
和
的数量关系和位
置关系．
8
2
（2 ）
1
2
（1 ）
【解析】
如图，将图中的
绕点
沿顺时针方向旋转角（
）其它条件不
变，判断①中的结论是否仍然成立，说明理由．
如图，
，
，连接
，点
是线段
的中点，连接
，在将
绕
点
旋转的过程中，线段
的最大值为 ，最小值为 ．
【答案】
1
2
（1 ）
（2 ）
，
．
①中的结论仍难成立，证明见解析．
;
，
．
结论仍然成立．
证明：连接
，
，
交
于点
，
、
交于点
，
∵在
和
中，
，
∴
，
又∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
，
∵
，
∴
，
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（2 ）
【标注】
∴
，
∵
，
，
分别为
，
，
的中点，
∴
，且
，
且
，
∵
且
，
∵
且
，
即
，且
．
由（）可知，
为
，且
，
∴
，
又∵
为
中点，
∴
，
∴
为等边三角形，
∴
，
∴
最大是，
最大，
最小是，
最小，
∵
，
，
∴
的最大值为
，
的最小值为
．
【知识点】旋转性质综合应用
7.
【解析】
如图，
，
，
三点共线，且
与
是等边三角形，连接
，
分别交
，
于
，
点．求证：
．
【答案】证明见解析．
∵
与
都是等边三角形，
∴
，
及
．
∵
，
，
三点共线，
∴
，
．
∴
．
在
与
中，
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【标注】
，
∴
≌
，
∴
．
∵
，
，
∴
．
在
与
中，
，
∴
≌
，
∴
．
【知识点】等边三角形的手拉手模型
（1 ）
（2 ）
（3 ）
8. 如图，
与
都是以点
为顶点的等腰三角形，其中
，
．
图
与
的数量关系是 ．
将图中的
绕顶点
旋转到图的位置，连接
和
，请问（）中的数量关系是否
成立？若不成立，请说明理由；若成立，请给予证明．
图
如图，若
，延长
交
于点
，求证：
．
图
11
（1 ）
（2 ）
（3 ）
【解析】
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
成立，证明见解析．
证明见解析．
∵
，
∴
．
仍然成立．
证明：∵
，
∴
．
即
．
∵
与
等腰三角形，
∴
，
．
∴
≌
．
∴
．
由（）得
≌
．
∴
．
∵
，
∵
．
∴
．
∵
，
∴
．
∴
．
过点
作
交
的延长线于点
．
∴
．
∴
．
∴
．
由（）得
，
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【标注】
∵
．
∵
，
∴
≌
．
∴
．
【知识点】手拉手模型
【知识点】SAS
【知识点】对应角
【知识点】全等三角形的对应边与角
【知识点】全等三角形的性质
【知识点】等腰三角形的性质-等边对等角
【能力】推理论证能力
