文档文本内容
1
江浙尺规作图题集一
1. 浙江
图
（1 ）
图
（2 ）
1.
（1 ）
（2 ）
【解析】
已知点
，
，
在⊙
上，
，仅使用无刻度的直尺作图（保留痕迹）
在图中画一个含
的直角三角形
点
在弦
上，在图中画一个含
的直角三角形．
【答案】（1 ）
（2 ）
画图见解析．
画图见解析．
如图，
为所作：
图
如图，
为所作．
2
【标注】
图
【知识点】作直角三角形
（1 ）
（2 ）
2.
（1 ）
（2 ）
【解析】
已知
、
为⊙
的两条弦．
用直尺（没有刻度）和圆规作出弧
的中点
．
连接
，则
吗？若成立，请证明；若不成立，请添加一个适当的条件，使之成
立，再证明．
【答案】（1 ）
（2 ）
画图见解析．
不成立，添加：
是直径．
作法：①连接
，
②分别以
、
点为圆形，
为半径画弧，设两弧交于点
，
③连接
，设
与圆交于点
，
④则点
为所求作的点．
不成立，添加：
是直径，
证明：连接
，
，
∵点
为
的中点，
∴
，
∴
，
3
【标注】
∵
，
∴
，
∴
．
【知识点】作圆弧的中点
免疫区
扑杀区
（1 ）
（2 ）
3.
（1 ）
（2 ）
【解析】
高致病性禽流感是比
传染速度更快的传染病．为防止禽流感蔓延，政府规定：离疫点
范
围内为扑杀区；离疫点
～
范围内为免疫区，对扑杀区与免疫区内的村庄、道路实行全封闭
管理．现有一条笔直的公路
通过禽流感病区，如图，在扑杀区内公路
长为
．
请用直尺和圆规找出疫点
（不写作法，保留作图痕迹）．
求这条公路在免疫区内有多少千米？
【答案】（1 ）
（2 ）
画图见解析．
千米．
免疫区
扑杀区
如图
免疫区
扑杀区
4
【标注】
连接
、
，过点
作
于点
，
∴
，
，
在
中，
，
在
中，
，
∴
，
因此
（
）．
答：这条公路在免疫区内有
千米．
【知识点】勾股定理与实际问题
【知识点】作圆弧的中点
【思想】数形结合思想
【能力】抽象概括能力
（1 ）
（2 ）
（3 ）
4.
（1 ）
【解析】
如图，已知线段
，
．
作⊙
使得线段
，
为⊙
的两条弦（要求尺规作图，保留作图痕迹）．
在（）中的⊙
上找出点
，使得点
到
、
两点的距离相等．
在（）中，若
，⊙
的半径为，求
的面积．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
画图见解析．
如图所示，点
，
即为所求．
的面积为或
．
如图所示，⊙
即为所求．
5
（2 ）
（3 ）
【标注】
如图所示，点
，
即为所求．
如图所示，连接
，则
，
∵
，
，
∴
，
∴
中，
，
∴
，
，
∴
，
，
故
的面积为或
．
【知识点】圆内接四边形综合
5. 如图，点
是线段
的中点，根据要求完成下题：
6
（1 ）
（2 ）
（1 ）
（2 ）
【解析】
【标注】
在图中补画完成：
第一步，以
为直径的画出⊙
．
第二步，以
为圆心，以
为半径画圆弧，交⊙
于点
，连接点
，
．
设
，求扇形
的面积．（结果保留）
【答案】（1 ）
（2 ）
画图见解析．
．
⊙
，⊙
如图所示．
连结
，则
，
∴
是正三角形，
∴
，
∴
，
∴
．
【知识点】扇形的面积公式
【知识点】以已知线段为直径作圆
【能力】运算能力
扇形
（1 ）
（2 ）
6. 如图，要把残破的圆片修复完整，已知弧上的三点
、
、
．
用直尺和圆规作出过点
、
、
的圆（保留作图痕迹，不写做法）．
若
是等腰三角形，底边
，腰
，求圆片的半径
．
【答案】（1 ）
（2 ）
画图见解析．
．
7
（1 ）
（2 ）
【解析】
【标注】
①以
、
两点作为圆心，大于
长为半径作弧交于两点，连接两点即为
的垂直平分线；
②以同样方法做
垂直平分线；
③
与
垂直平分线交于点
；
④以
为圆心，
为半径作圆．
连接
交
于点
，连接
，
∵
，
∴
，
，
在
中，
∴
，
在
中，
设
，则
，
∴
，
∴
．
【知识点】圆与勾股
7. 已知
是⊙
的弦，点
为圆上一点．
8
（1 ）
（2 ）
（3 ）
（1 ）
（2 ）
（3 ）
【解析】
用直尺与圆规作⊙
．
作以
为底边的圆内接等腰三角形．
若已知圆的半径
，
，求所作等腰三角形底边上的高．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
画图见解析．
画图见解析．
或．
如图所示，连接
，分别作
、
的中垂线，交点即为圆心
，然后以
为圆
心，
为半径作圆即可，
∴⊙
就是所要求作的圆．
如图所示，若
的中垂线与⊙
交点分别为
，
，则
与
均为以
为
底的内接等腰三角形．
连接
，由圆的半径
，
，
由作图可知：
，
，
由勾股定理可得
，
9
【标注】
∴
中，
，
中，
，
∴所作等腰三角形底边上的高为或．
【知识点】圆与勾股
（1 ）
（2 ）
8.
（1 ）
（2 ）
【解析】
如图，以已知线段
为弦作⊙
，使其经过已知点
．
利用直尺和圆规作圆（保留作图痕迹，不必写出作法）．
若
，
，求过
、
、
三点的圆的半径．
【答案】（1 ）
（2 ）
画图见解析．
．
，
，
如图，作
于点
，连接
，
∵
，
∴
，
∴
为
中点，连接
，
、
、
共线，
，
，
∴
，
10
【标注】
设半径
，则
，
解得
．
【知识点】垂径定理以及应用
（1 ）
（2 ）
9.
（1 ）
（2 ）
【解析】
【标注】
如图，
的网格中，每个小正方形的边长为．
请画出将图中的
绕着点
旋转
度得到的图形．
用直尺和圆规画出
的外接圆．
【答案】（1 ）
（2 ）
画图见解析．
画图见解析．
如图．
如图．
【知识点】作出旋转后的图形
（1 ）
10. 下图是两张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为，
各顶点
与方格纸中的小正方形顶点重合．请分别画出符合要求的图形：
请在图中，画出
的外接圆⊙
．
11
图
图
（2 ）
图
（1 ）
图
（2 ）
【解析】
请在图中，画出一个与
相似的
（
的各顶点与方格纸中的小正方形顶
点重合），且相似比不为．
【答案】（1 ）
（2 ）
画图见解析．
画图见解析．
如图所示：⊙
即为所求．
如图所示：
即为所求．
12
【标注】【能力】空间想象能力
【知识点】已知三边作三角形
【知识点】作三角形的外接圆
（1 ）
（2 ）
（3 ）
11.
（1 ）
（2 ）
【解析】
如图，在
中，已知
，
．
用直尺和圆规作出
的外接圆
（不写作法，保留作图痕迹）．
求
的度数．
求
的半径．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
．
．
如图，
即为所求；
在优弧
上取点
，连接
，
，
13
（3 ）
【标注】
∵
，
∴
，
∴
．
过点
作
于点
，
∵
，
∴
．
∵
，
．
∴
，
∴
．
【知识点】作三角形的外接圆
【知识点】圆周角定理以及应用
【知识点】垂径定理以及应用
【思想】数形结合思想
【能力】推理论证能力
【能力】空间想象能力
12. 回答下列问题：
14
（1 ）
（2 ）
（3 ）
（1 ）
（2 ）
（3 ）
【解析】
【标注】
尺规作图：作
的外接圆⊙
．（保留作图痕迹，不写画法）
若
，⊙
的半径为，求
的长．
求所作的⊙
中弧
和弦
围成的区域面积．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
画图见解析．
．
．
如图，⊙
为所作．
连结
，
，
∵
，
∴
，
又∵
，
∴
是等腰直角三角形，
∴
．
．
【知识点】扇形的面积公式
【知识点】圆周角定理以及应用
【知识点】勾股定理
【知识点】直接用勾股求边长
【知识点】作三角形的外接圆
【能力】分析和解决问题能力
弓形
扇形
13.
15
（1 ）
（2 ）
（1 ）
（2 ）
【解析】
【标注】
小明家的房前有一块矩形的空地，空地上有三棵树
、
、
，小明想建一个圆形花坛，使三棵树都
在花坛的边上．
请你帮小明把花坛的位置画出来（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）．
在
中，
米，
，试求小明家圆形花坛的半径长．
【答案】（1 ）
（2 ）
画图见解析．
米．
如图所示，
即为所求作的圆形花坛的位置；
连接
，
，
∵
，
∴
，
∵
米，
∴
米．
即小明家圆形花坛的半径长
米．
【能力】抽象概括能力
16
【能力】运算能力
【知识点】勾股定理
【知识点】等腰直角三角形的性质
【知识点】作三角形的外接圆
【知识点】圆周角定理以及应用
（1 ）
（2 ）
14.
（1 ）
（2 ）
【解析】
如图，
中，
，
，
．
用直尺和圆规作
的外接圆⊙
；（说明：要求保留作图痕迹，不要求写作法）
求它的外接圆的半径．
【答案】（1 ）
（2 ）
画图见解析．
．
如图，连结
，
，
交
于
．
∵
，
∴
，且
，
在
中，由勾股定理得：
，
设圆
的半径是，则
，
，
17
【标注】
在
中，由勾股定理得
，所以
，
解得
，
即外接圆的半径是
．
【知识点】圆与勾股
15.
【解析】
【标注】
已知等腰
，
，
，请用圆规和直尺作出
的外接圆．并
计算此外接圆的半径．
【答案】半径为，画图见解析．
画图如下：
∵
，
，
，
∴
，
∴
为等边三角形，
∴
的外接圆的半径为．
【知识点】等边三角形的性质
【知识点】作三角形的外接圆
【能力】运算能力
16. 如图，
18
（1 ）
（2 ）
（1 ）
（2 ）
【解析】
【标注】
作
的外接⊙
（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）．
若
，
，求⊙
的半径．
【答案】（1 ）
（2 ）
画图见解析．
．
如图，⊙
即为所求．
∵
，
，
∴
，
∴
，
设
，则
，
在
中，
∵
，即
，解得
．
【知识点】圆与勾股
（1 ）
（2 ）
17.
（1 ）
【解析】
尺规作图：已知
，如图．
求作：
的外接圆⊙
．
若
，
，则
的外接圆⊙
的半径为 ．
【答案】（1 ）
（2 ）
画图见解析．
作法如下：
①作线段
的垂直平分线，
19
（2 ）
【标注】
②作线段
的垂直平分线，
③以两条垂直平分线的交点
为圆心，
长为半圆画圆，则圆
即为所求作的圆．
连接
，
，
∵
，
∴
，
∵
，
∴
是等边三角形，
∵
，
∴
，即圆的半径是，
故答案为．
【知识点】作三角形的外接圆
（1 ）
（2 ）
18.
（1 ）
【解析】
如图，在四边形
中，
．
用直尺和圆规作⊙
，使它经过点
、
、
．
检验点
是否在⊙
上，并说明理由．
【答案】（1 ）
（2 ）
图画见解析．
在
上，理由见解析．
如图所示．
20
（2 ）
【标注】
∵
，
∴经过
、
、
三点，圆以
为直径，
∴
的中点
为圆心，
连接
，
∵
，
为
的中点，
∴
，
∴
在
上．
【知识点】点与圆的位置关系
（1 ）
（2 ）
19.
（1 ）
【解析】
已知
顶点都在
的正方形网格格点上，如图所示．
请画出
的外接圆，并标明圆心
的位置．
这个圆中弦
所对的圆周角的度数是 ．
【答案】（1 ）
（2 ）
画图见解析．
或
如图，∵
，
，
∴
是等腰直角三角形，
∴⊙
即为所求．
21
（2 ）
【标注】
∵
是等腰直角三角形，
∴
，
∴
．
故答案为：
或
．
【知识点】作三角形的外接圆
【知识点】等腰直角三角形的性质
【知识点】圆周角定理以及应用
【能力】分析和解决问题能力
【思想】分类讨论思想
（1 ）
（2 ）
20.
（1 ）
（2 ）
【解析】
如图，是数轴的一部分，其单位长度为，已知
中，
，
，
．
用直尺和圆规作出
（要求：使点
，
在数轴上，保留作图痕迹，不必写出作法）
记
的外接圆的面积为
，
的面积为
，试说明
．
【答案】（1 ）
（2 ）
画图见解析．
证明见解析．
∵
的外接圆的面积为
，
∴
，
的面积
，
∴
．
圆
圆
圆
圆
22
【标注】【知识点】作三角形的外接圆
【知识点】已知三边作三角形
【能力】推理论证能力
（1 ）
（2 ）
21.
（1 ）
（2 ）
【解析】
如图，已知
．
用直尺和圆规作出⊙
，使⊙
经过
，
两点，且圆心
在
边上（不写作法，保留作图痕
迹）
在（）中，若
，
且⊙
的半径为，试求出
的长．
【答案】（1 ）
（2 ）
画图见解析．
．
如图所示，⊙
即为所求．
如图所示，连接
，
∵
，
，
23
【标注】
∴
，
又∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
．
【知识点】作线段的垂直平分线
【知识点】作三角形的外接圆
【知识点】垂径定理以及应用
【能力】推理论证能力
【能力】运算能力
（1 ）
（2 ）
22.
图
（1 ）
【解析】
如图，已知一块等边三角形钢板
的边长为
厘米．
用尺规作出能从这块钢板上截得的最大圆（作出图形，保留痕迹），并求出此圆半径．
用一个圆形纸板完全覆盖这块钢板，这个圆的最小半径是多少?
【答案】（1 ）
（2 ）
，作图见解析．
．
如图，分别作
、
的角平分线交于一点
，过
作
的垂线，垂足为
，
连接
，以
为圆心，
为半径所得圆即为最大圆，其半径为．
由
，
24
（2 ）
【标注】
，
又∵
，
∴
．
如图分别作
、
的中垂线交于点
，连接
，以
为圆心，
为半径所得圆就能够
将钢板完全覆盖．
为
中点，∴
．又∵三线合一，可
得
平分
．
∴
，
三边满足
．
∴
．
【知识点】三角形内切圆
（1 ）
（2 ）
23.
（1 ）
（2 ）
【解析】
如图，在
中，
，
，
．
作
的外接圆（只需作出图形，并保留作图痕迹）；
求它的外接圆直径．
【答案】（1 ）
（2 ）
分别作出
，
的垂直平分线，根据垂直平分线上的点，到线段两端点距离相
等，可得：
，
∴交点即是圆心；
分别作出
，
的垂直平分线，根据垂直平分线上的点，到线段两端点距离相
等，可得：
，
∴交点即是圆心；
由题意得：
25
【标注】
∵
，
，
，
∴
，
，
，
∴
是等边三角形，
∴
，
∴
，
，
．
∴外接圆直径是
．
【能力】抽象概括能力
【知识点】已知点和圆的位置关系，求半径
【知识点】作三角形的外接圆
【知识点】等边三角形的判定
【知识点】等边三角形的性质
（1 ）
（2 ）
（3 ）
24. 完成下列小题：
尺规作图：作
的外接圆⊙
．（保留作图痕迹，不写画法）
若
，⊙
的半径为 ，求
的长．
求所作的⊙
中弧
和弦
围成的区域面积．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
作图见解析．
．
．
26
（1 ）
（2 ）
（3 ）
【解析】
【标注】
如图，
⊙
为所作；
连结
，
，
∵
，
∴
，
又∵
，
∴
是等腰直角三角形，
∴
；
．
【知识点】作三角形的外接圆
【知识点】等腰直角三角形的判定
【知识点】扇形的面积公式
【思想】数形结合思想
【能力】运算能力
【能力】推理论证能力
弓形
扇形
A
E
C
（1 ）
（2 ）
25.
（1 ）
【解析】
已知
中，
，请按如下要求进行操作和判断：
尺规作图：作
的外接圆
，并标出圆心
（不写画法）．
延长
，在
的延长线上取点
，使
，连结
，设
与
的交点为
（标
出字母
、
），判断：图中
与
相等吗？请说明理由．
【答案】（1 ）
（2 ）
画图见解析．
与
相等．
如图所示，
即为所求
27
A
E
C
O
（2 ）
【标注】
延长
，在
的延长线上取点
，使
，连结
，则
即为所求，
∵
，
，
，
∴
≌
，
∴
，
∴
与
相等．
A
E
C
O
B
D
【知识点】圆与全等
（1 ）
（2 ）
26.
（1 ）
【解析】
如图，已知等边
．
用直尺和圆规作出
的外接圆．
若
，求
的外接圆半径
．
【答案】（1 ）
（2 ）
画图见解析．
外接圆半径
．
如图所示：⊙
即为所求．
28
（2 ）
【标注】
当
是正三角形时，
的垂直平分线过
点，
连接
，
，
∵
是正三角形，
，
∴
，
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
设
，则
，
，
解得：
或
（舍），
∴
．
【知识点】方程思想在勾股定理的应用
【知识点】等边三角形的性质
【知识点】垂径定理以及应用
【知识点】作三角形的外接圆
（1 ）
（2 ）
27. 如图，
中，
．
用直尺和圆规作出
的外接圆⊙
（不写作法，保留作图痕迹）．
若
，
，求⊙
的外接圆中劣弧
的长．
29
（1 ）
（2 ）
【解析】
【标注】
【答案】（1 ）
（2 ）
画图见解析．
的长为
．
连结
，
，
∵
，∴
，
∴
，
∴
是等腰直角三角形，
∴
，
∴
的长为
．
【知识点】弧、弦、圆心角关系
（1 ）
（2 ）
28.
（1 ）
【解析】
如图，已知
．
用直尺和圆规作出
的外接圆
．
若
，
，求⊙O的半径．
【答案】（1 ）
（2 ）
作图见解析．
．
作法如下：
①作线段
的垂直平分线 ，
②作线段
的垂直平分线，
③以两条垂直平分线的交点
为圆心，
长为半径画圆，圆
即为所求作的圆．
30
（2 ）
【标注】
连接
交
于点
，连接
，
由已知
，得
且
，
在
中，
，
，
由勾股定理得
，
设⊙
的半径为，
则在
中，
，
，
，
由勾股定理得
，
解得
．
【知识点】圆与勾股
（1 ）
（2 ）
29.
（1 ）
【解析】
请回答下列各题：
用直尺和圆规作出
的外接圆O(不写作法，保留作图痕迹)．
若
，
，求⊙
的半径长．
【答案】（1 ）
（2 ）
画图见解析．
．
如图所示：
31
（2 ）
【标注】
连接
，
，
∵
，
∴
，
∵
是
的垂直平分线，
，
∴
，
，
∴
，
∴
．
【知识点】作三角形的外接圆
【知识点】与圆有关的计算
（1 ）
30. 如图，在
的正方形网格中(每个小正方形的边长都为个单位)，
的三个顶点都在格点
上．建立如图所示的直角坐标系．
请在图中标出
的外接圆的圆心
的位置，并填写：圆心
的坐标：
( ， )．
32
（2 ）
（1 ）
（2 ）
【解析】
【标注】
将
绕点
逆时针旋转
得到
，画出图形，并求
扫过的图形的面积．
【答案】（1 ）
（2 ）
;
扫过的图形的面积：
．
如图所示：
点
即为所求，圆心
的坐标为
．
故答案为：、．
如图所示，
为所求三角形，
由勾股定理得：
，
扫过的图形的面积：
．
【知识点】坐标与面积
31. 如图，在
中，
，
．
33
（1 ）
（2 ）
（1 ）
（2 ）
【解析】
【标注】
用尺规作图法作出
的外接圆（保留作图痕迹，不写作法）．
求
的外接圆半径．
【答案】（1 ）
（2 ）
画图见解析．
．
如图所示：
过
作
，连接
，
则
，
，
设
的外接圆的半径，
得：
，
解得：
．
【知识点】作三角形的外接圆
【知识点】垂径定理以及应用
【能力】推理论证能力
32. 如图，在
中，
，
，
．
34
（1 ）
（2 ）
（1 ）
（2 ）
【解析】
【标注】
用直尺和圆规作
的内切圆（保留痕迹，不写作法）．
若随意抛掷一枚不计大小的骰子在三角形区域内，则落在内切圆的概率是多少？
【答案】（1 ）
（2 ）
画图见解析.
．
，
由
，
得
，
∵
，
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
（骰子落在内切圆内）
．
【知识点】几何概型
33. 用圆规可以作出许多美丽的图案．传说拿破仑曾考他的大臣：只用圆规把圆四等分．有位大臣是这
样回答的：
①将半径为的
六等分，依次得到
，
，
，
，
，
六个分点；
②分别以点
，
为圆心，
长为半径画弧,G是两弧的一个交点；
35
（1 ）
（2 ）
（1 ）
（2 ）
【解析】
③…．
图
图
根据大臣的作法，
的长是多少．
请在图中，只用圆规把圆四等分．（不写作法，保留作图痕迹）
【答案】（1 ）
（2 ）
．
以
为半径画弧，画图见解析．
由题意知：
，
，
，
故答案为：
．
以
为圆心，
为半径作弧交
于点
，
，即
，
，
，
为
的四分点．
36
【标注】【能力】分析和解决问题能力
【能力】运算能力
【知识点】圆周角定理以及应用
【知识点】圆中对称性
【知识点】正多边形与圆
【知识点】作圆的内接正多边形
（1 ）
（2 ）
34.
（1 ）
（2 ）
【解析】
回答下列各题：
尺规作图：作三角形的内切圆．
若
，
，
求该三角形内切圆与外接圆的半径之和．
【答案】（1 ）
（2 ）
画图见解析．
．
∵
，
，
∴
∴
的外接圆圆心是斜边
的中点
∴外接圆半径
的内切圆半径为
，依据关系式
有
∴该三角形内切圆与外接圆的半径之和为
．
37
【标注】【知识点】圆与勾股
（1 ）
（2 ）
35.
（1 ）
（2 ）
【解析】
【标注】
一座圆形花坛的半径为，中间喷水池是面积为的正方形 .
用关于的代数式写出该花坛的实际种花面积，并求出当
时花坛的实际种花面积( 取
，结果精确到
) .
现需要将喷水池缩小为面积为的正方形，请在图中画出缩小后的正方形，使它的顶点在网格
的格点上 .
【答案】（1 ）
（2 ）
实际种花面积为
当
时原式
．
缩小为面积为的正方形，则正方形的边长为
，图案如图：
【知识点】正方形的周长与面积
