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1
复式双曲线：几何不变性及常见图形【题集B】
1.
【解析】
【标注】
如图，直线
（
）与反比例函数
，
的图象分别交于
，
两点，
为轴上
的任意一点，则
的面积为 ．
【答案】
把
分别代入
，
，得
，
，
∴
，
，
∴
，
∵
为轴上的任意一点，
∴点
到直线
的距离为，
∴
的面积
．
【知识点】反比例函数与三角形综合
（1 ）
2. 如图，在轴的上方，
，
的两边分别与函数
、
的图象交于
、
两点．
若将直角
绕原点
按顺时针方向旋转，则
的大小的变化趋势为（ ）．
2
A. 逐渐变小
B. 逐渐变大
C. 时大时小
D. 保持不变
（2 ）
（1 ）
（2 ）
【解析】
【标注】
若已知
，则
和之间的数量关系是 ．
【答案】（1 ）
（2 ）
D
略．
略．
【知识点】反比例函数与三角形综合
3.
【解析】
如图，点
，
分别在函数
（
）与
（
）的图象上，线段
的中点
在
轴上．若
的面积为，则
的值是 ．
【答案】
作
轴于
，
轴于
，
∴
轴，
∵
是
的中点，
∴
，
设
，
，
代入得：
，
，
∵
，
3
【标注】
∴
，
∴
，
∴
，
故选：．
【知识点】反比例函数的系数k的几何意义
4.
【解析】
【标注】
如图，在平面直角坐标系中，点
为轴正半轴上一点，过点
的直线
轴，且直线分别与反比
例函数
和
的图象交于
、
两点，若
，则的值
为 ．
【答案】
∵
，
∴
，
∴
，
由图可知，
，
∴
．
【知识点】反比例函数的系数k的几何意义
5. 如图，在平面直角坐标系中，过点
的直线与轴平行，且直线分别与反比例函数
和
的图象交于点
、点
．
4
（1 ）
（2 ）
（1 ）
（2 ）
【解析】
【标注】
求点
的坐标．
若
的面积为，求的值．
【答案】（1 ）
（2 ）
．
．
∵
轴，
∴点
的纵坐标为，
把
代入
得
，
∴
点坐标为
．
∵
，
∴
，
∴
，
而
，
∴
．
【知识点】反比例函数的系数k的几何意义
6. 如图，
是平行四边形，对角线
在轴正半轴上，位于第一象限的点
和第二象限的点
分
别在双曲线
和
的一支上，分别过点
、
作轴的垂线，垂足分别为
和
，则有以
下的结论：
①
．
②阴影部分面积是
．
③当
时，
．
④若
是菱形，则两双曲线既关于轴对称，也关于轴对称．
其中正确的结论是 （把所有正确的结论的序号都填上）．
5
【解析】
【答案】①④
作
轴于
，
轴于
，如图，
∵四边形
是平行四边形，
∴
，
∴
，
∴
，
∵
，
，
∴
，所以①正确．
∵
，
，
∴
，
而
，
，
∴
，所以②错误．
当
，
∴四边形
是矩形，
∴不能确定
与
相等，
而
，
∴不能判断
≌
，
∴不能判断
，
∴不能确定
，所以③错误．
若
是菱形，则
，
而
，
∴
≌
，
∴
，
阴影部分
阴影部分
6
【标注】
∴
，
∴
，
∴两双曲线既关于轴对称，也关于轴对称，所以④正确．
【知识点】反比例函数的系数k的几何意义
A.
：
B.
：
C.
：
D.
：
7.
【解析】
在平面直角坐标系
中，函数
（
，
）、函数
（
，
）的图
象分别经过平行四边形
的顶点
、
，点
在轴正半轴上，
轴于点
，
轴于点
，若
：
：，则
：
的值为（ ）．
【答案】D
作
于
，如图所示：
则
，
，
，
∴
，
∵四边形
是平行四边形，
∴
，
，
∴
，
∴
，
在
和
中，
，
∴
≌
（
），
∴
，
7
【标注】
∴
，
∵
的面积
，
的面积
，
：
：，，
∴
．
故选：
．
【知识点】反比例函数与四边形综合
的面积
的面积
8.
【解析】
如图，
是坐标原点，
是反比例函数
的图象上的一点，
是反比例函数
的图象上的一点，则
的面积的最小值为 ．
【答案】
作
轴于点
，作
轴于点
．
设
，
其中
，
．
∴
四边形
8
【标注】
∴
最小值为．
【思想】数形结合思想
【知识点】反比例函数的系数k的几何意义
【知识点】反比例函数系数与图象关系
9.
【解析】
【标注】
如图，在平面直角坐标系中，直线
轴，且直线分别与反比例函数
和
的图象交于点
、
，连接
、
，则
的面积为 ．
【答案】
如图，
∵直线
轴，
∴
，
，
∴
．
【知识点】平行线的性质
10. 如图，
，且
、
分别与函数
、
的图象交于
、
两点，则
的值是（ ）．
9
A.
B.
C.
D.
【解析】
【标注】
【答案】B
过点
作
轴于
，过点
作
轴于
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
又点
在反比例函数
的图象上，点
在反比例函数
的图象上，
可得
，
，
∴
，即
，
∴
，
故选．
【知识点】反比例函数与三角形综合
11. 如图，在
中，
，
，反比例函数
的图象经过点
，反
比例函数
的图象经过点
，则等于 ．
10
【解析】
【标注】
【答案】
构造相似三角形，易知
．
则
，
则
．
【知识点】反比例函数与三角形的相似
A.
B.
C.
D.
12. 两个反比例函数
和
在第一象限内的图象如图所示，点
在
的图象上，
轴
于点
，交
的图象于点
，
轴于点
，交
的图象于点
，当点
在
的图象
上运动时，下列结论错误的是（ ）．
与
的面积相等
当点
是
的中点时，点
一定是
的中点
只有当四边形
为正方形时，四边形
的面积最大
【答案】C
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A
选项：
B
选项：
C
选项：
D
选项：
【解析】
【标注】
由于点
和点
均在同一个反比例函数
的图象上，所以
，
；故
与
的面积相等，故本选项正确；
连接
，点
是
的中点，
则
和
的面积相等，
∵
的面积
的面积
，
与
的面积相等，
∴
与
的面积相等，
∴
和
面积相等，
∴点
一定是
的中点，故本选项正确；
由于矩形
、三角形
、三角形
为定值，则四边形
的面积不会发
生变化，故本选项错误；
故选
C
.
【知识点】反比例函数的系数k的几何意义
设
，则
，
，则
，
，
，
，
故
，
，所以
，故
正确．
