文档文本内容
1
【等边三角形与手拉手】题集【B】
【核心考点】：
和
均为等边三角形，
三点共线．
结论：
（）
≌
；
（）
；
（）
；
（）
≌
；
（）
；
（）
≌
；
（）
；
（）
为等边三角形；
（）
；
（
）
平分
．
（1 ）
1
（2 ）
1. 如图，在
中，
，点
从点
出发沿射线
方向，在射线
上运动．在点
运
动的过程中，连接
，并以
为边在射线
上方，作等边
，连接
．
图
当
时，
．
请添加一个条件：__________，使得
为等边三角形．
如图，当
为等边三角形时，求证：
．
2
2
（1 ）
1
2
（2 ）
【解析】
如图，当点
运动到线段
之外时，其他条件不变，①中结论
还成立
吗？请说明理由．
图
【答案】（1 ）
1
2
（2 ）
证明见解析．
成立．
当
时，
，
∴
．
添加条件：
．
∵
与
是等边三角形，
∴
，
，
，
∴
，
即
．
在
，
∴
≌
，
∴
．
成立．
∵
与
是等边三角形，
∴
，
，
，
∴
，
即
．
在
和
中，
，
3
【标注】
∴
≌
，
∴
．
【能力】推理论证能力
【知识点】等边三角形的性质
【知识点】30°特殊角的性质应用
【知识点】SAS
【知识点】全等三角形的性质
图
（1 ）
（2 ）
图
（3 ）
2.
图
（1 ）
【解析】
如图，
，
，
，
、
相交于点
，连接
．
求证：
．
用含的式子表示
的度数．
当
时，取
、
的中点分别为点
、
，连接
，
，
，如图，判断
的形状，并加以证明．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
证明见解析．
．
为正三角形，证明见解析．
如图，
∵
，
∴
，
在
和
中，
，
∴
≌
（
），
4
（2 ）
图
（3 ）
【标注】
∴
．
∵
≌
，
∴
，
在
中，
，
∴
，
∴在
中，
，
即
为所求．
为正三角形，
：如图，由（）可得：
，
∵
、
的中点分别为点
、
，
∴
，
∵
≌
，
∴
，
在
和
中，
，
∴
≌
（
），
∴
，且
，
又∵
，
∴
，
∴
，
∴
为正三角形．
【知识点】等边三角形的判定
1
（1 ）
3. 已知
为等边三角形，点
为直线
上一动点（点
不与点
、点
重合）．以
为边作等
边
，连接
．
如图，当点
在边
上时，
图
求证：
≌
．
5
2
（2 ）
（3 ）
1
2
（1 ）
【解析】
直接写出
、
、
之间的数量关系 ．
如图，当点
在边
的延长线上时，其他条件不变，请写出
、
、
之间存在的数
量关系，并写出证明过程．
图
如图，当点
在边
的延长线上时，且点
、点
分别在直线
的异侧，其他条件不变，
直接写出
、
、
之间存在的数量关系 ．
图
【答案】
1
2
（1 ）
（2 ）
（3 ）
证明见解析．
，证明见解析．
∵
和
是等边三角形，
∴
，
，
，
∴
，
∴
．
在
和
中
，
∴
≌
．
∵
≌
，
∴
，
6
（2 ）
（3 ）
【标注】
∵
，
∴
．
∵
和
是等边三角形，
∴
，
，
，
∴
，
∴
．
在
和
中
，
∴
≌
．
∴
，
∵
，
∴
．
∵
和
是等边三角形，
∴
，
，
，
∴
，
∴
．
在
和
中
，
∴
≌
．
∴
，
∵
，
∴
．
【知识点】全等三角形的对应边与角
1
（1 ）
4. 已知：
是等边三角形．
点
在线段
上（不包括
、
两点），
，
．
如图，当点
是线段
的中点时，判断线段
与
的数量关系，请直接写出结论
（不必证明）．
7
2
（2 ）
1
2
（1 ）
【解析】
图
如图，当点
是线段
上的任意一点时，请用等式表示线段
，
，
之间的
数量关系，并证明．
图
点
在
的延长线上，
，
．如图，若
，
时，求
线段
的长．
图
【答案】
1
2
（1 ）
（2 ）
．
．
．
．
∵
，
，
∴
为等边三角形，
∴
，
．
8
（2 ）
【标注】
又∵等边
，
∴
，
，
∴
．
在
和
中，
，
∴
≌
，
∴
，
∴
．
连接
．
∵
，
，
∴
是等边三角形，
∴
，
，
∴
．
在
和
中，
，
∴
≌
，
∴
．
【能力】推理论证能力
【知识点】作三角形的高，中线和角平分线
【知识点】判断三角形的高，中线和角平分线
【知识点】等边三角形的性质
【知识点】SAS
5. 如图，平面直角坐标系中，
，
为等边三角形．
9
（1 ）
（2 ）
（3 ）
（1 ）
（2 ）
（3 ）
【解析】
如图，若
，
为等边三角形，
，求
的度数．
如图，若
为轴正半轴上一点，且
在
的右侧，
为等边三角形，
的延长线交
轴于
，求
的值．
如图，若
为轴正半轴上一点，且
在
的右侧，
为等边三角形，
与
交于
，求证：
．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
．
．
证明见解析．
如图，∵
和
是等边三角形，
∴
，
，
，
∴
，
在
和
中，
，
∴
≌
（
），
∴
，
，
∵
，
，
∴
，
∴
．
如图，∵
和
是等边三角形，
∴
，
，
，
∴
，
在
和
中，
，
∴
≌
（
），
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
即
．
如图，将
顺时针旋转
得到
，
10
【标注】
则
≌
，
，
∴
，
，
∴
是等边三角形，
∴
，
∴
，即
．
【知识点】旋转性质综合应用
（1 ）
（2 ）
6.
（1 ）
【解析】
三条边都相等的三角形叫做等边三角形，它的三个角都是
．
是等边三角形，点
在
所
在直线上运动，连接
，在
所在直线的右侧作
，交
的外角
的角平
分线所在直线于点
．
如图，当点
在线段
上时，请你猜想
与
的大小关系，并给出证明．
如图，当点
在线段
的反向延长线上，依据题意补全图形，请问上述结论还成立吗？请
说明理由．
【答案】（1 ）
（2 ）
．
成立．
∵
为等边三角形，
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（2 ）
【标注】
∴
，
，
∴
，
∵
平分
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
≌
，
∴
．
∵
为等边三角形，
∴
，
，
∴
，
∵
平分
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
≌
，
∴
．
【能力】推理论证能力
【知识点】等边三角形的性质
【知识点】对应边
【知识点】全等三角形的对应边与角
【知识点】角分线性质定理
