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1
【等腰梯形】【选讲】题集【B】
1. 等腰梯形的性质定理
性质定理1
性质定理1：等腰梯形在同一底上的两个内角相等．
符号语言：
四边形
是等腰梯形，
，
性质定理2
性质定理2：等腰梯形的两条对角线相等．
符号语言：
四边形
是等腰梯形，
推论：
①设
与
相交于点
，则
都是等腰三角形；
②
，
≌
1.
方法一：
【解析】
如图，在等腰梯形
中，
，
，则等腰梯形
的面积为
．
【答案】
过点
作
，交
的延长线于点
，
2
方法二：
【标注】
又
，
∴四边形
是平行四边形，又等腰梯形ABCD
∴
，
，
∵
，
∴
，
∴
是等腰直角三角形，
∴
．
故答案为：
．
∵
是
和
的公共底边，
又
，
∴
的高
的高，
∴梯形
的面积
面积
面积
．
故答案为：
．
【知识点】等腰梯形
等腰梯形
A.
B.
C.
D.
2.
【解析】
如图所示，梯形
是等腰梯形，
，
，
，
交
的延长线
于点
，
交
的延长线于点
，下列结论：①
；②
；③
；④
，其中正确的个数有（ ）．
【答案】D
根据四边形
是等腰梯形，可得出的条件有：
，
（可通过全等三角形
和
得出），
，
，
（三角形
和
全等）．
①要证
就要得出
，而
，
，因此
，此结论成立；
3
【标注】
②由于
，
，而
，因此
，此结论成立．
③在直角三角形
中，
，
，
因此可得出
，因此
，那么
就是直角三角形
斜边
的中点，由于
，因此
就是三角形
的中位线，那么
就是
的中点，因此此结论也成立．
④由③可知
，而
．那么
，因此此结论也成立．
【知识点】等腰梯形
A.
B.
C.
D.
3.
【解析】
如图，在等腰梯形
中，
，对角线
于点
，
，
，垂足分
别为
、
．若
，
，则四边形
的周长是（ ）．
【答案】A
根据题意，先作如图所示的辅助线，由四边形
是等腰梯形可得：
，且
，
，
作
，交
的延长线于
．
∵
，
，
∴四边形
是平行四边形，
∴
，
．
∵
，
，
∴
．
4
【标注】
在
中，
，
，
∴
是等腰直角三角形，
∴
．
在
中，
，
，
∴
是等腰直角三角形，
∴
．
由题意易得四边形
是矩形，
故其周长为：
．
故选：
．
【知识点】等腰梯形
A.
B.
C.
D.
4.
【解析】
如图，在等腰梯形
中，
，对角线
于点
，
，
，垂足分
别为
、
，
，
，则
（ ）．
【答案】B
如图，
，
，
易知
为等腰三角形，
，
．
故选．
5
【标注】【知识点】梯形中的辅助线-与对角线有关
5.
【解析】
【标注】
如图，等腰梯形
中，
，
，且
，则梯形
的面积
为 ．
【答案】
略
【知识点】等腰梯形
6.
【解析】
如图，已知等腰梯形
中，
，对角线
，
，
，
于
，试求
的长．
【答案】
．
过
点作
交
延长线于点
，
∵
，
∴
，
∵
，
，
∴四边形
为平行四边形，
∴
，
∴
，
，
∵
，
∴
，
∴
．
6
【标注】【知识点】等腰梯形
7.
【解析】
在四边形
中，
，
，
，
为
的中点，
为
的中点，
为
的中点，试判断
的形状并说明理由．
【答案】
为等边三角形，理由见解析．
如图，连接
、
，
∵
，
，
∴四边形
为等腰梯形，
∴
，
在
与
中，
，
∴
≌
．
∴
，
，而
，
∴
为等边三角形，
，
∵
，
∴
，
为直角三角形，
∵
，
∴
，同理可求：
．
∵
为
的中点，
为
的中点，
∴
为
的中位线，
7
【标注】
∴
，而
，
∴
，
∴
为等边三角形．
【知识点】等腰梯形
（1 ）
（2 ）
8.
（1 ）
（2 ）
【解析】
如图，在梯形
中，
，
，
．
A
D
B
C
求证：
．
若
，求梯形
的面积．
【答案】（1 ）
（2 ）
证明见解析．
．
易证
，
则
，
即
．
过点
作
于点
，
∵
，
∴
，
又
，
∴
，
∴
，
∵
，
，
∴
，
∴
．
8
【标注】【知识点】等腰梯形
【能力】推理论证能力
（1 ）
（2 ）
9.
（1 ）
（2 ）
【解析】
【标注】
如图，等腰梯形
中，
，
、
分别是
、
的中点，
、
分别是
、
的中点．
求证：四边形
是菱形．
若四边形
是正方形，请探索等腰梯形
的高和底边
的数量关系，并证明你
的结论．
【答案】（1 ）
（2 ）
证明见解析．
等腰梯形
的高是底边的一半．
∵四边形
为等腰梯形，
∴
，
.
又
为
的中点，故
，
∴
≌
，得
．
∵
分别为
、
的中点，
∴
且
，
同理
，且
，
∴四边形
为平行四边形，又
∴
为菱形．
联结
，∵
，
，
∴
∴
为梯形
的高．
又四边形
为正方形，
∴
为直角三角形．又
为
的中点，
∴
．
【知识点】菱形的判定-从平行四边形
9
（1 ）
（2 ）
（3 ）
10.
（1 ）
（2 ）
【解析】
回答下列各题：
如图，等腰梯形
中，
，
，对角线
与
相交于点
，
，
，
．求等腰梯形
的面积．
等腰梯形
，
．如图，若
，
，
，求证：
．
已知：在梯形
中，
，
，
．求
及
的
长．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
．
证明见解析．
，
．
过点
作
，垂足为
，
根据条件易得
，
，
≌
，
∴
，
∴
，
∴
．
过
作
交
延长线于
，
∴
，
∵
，
∴四边形
为平行四边形，
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（3 ）
【标注】
∴
，
，
∵
，
∴
，
∵
，
，
，
∴
，
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
．
作双高，可得
，
在
中，
∵
，
∴
，
∵
，
∴
，
∵
，由勾股定理，得
，
∴
，
．
【知识点】等腰梯形
2. 等腰梯形的判定定理
定义
定义：两腰相等的梯形是等腰梯形
（这也是判定定理）
符号语言：
梯形
，且
梯形
是等腰梯形
判定定理1
判定定理1：在同一底边上的两个内角相等的梯形是等腰梯形
符号语言：
11
梯形
，
梯形
是等腰梯形
，
判定定理2
判定定理1：对角线相等的梯形是等腰梯形
符号语言：
梯形
，
梯形
是等腰梯形
，
1.
【解析】
【标注】
在
中，
是斜边
的中点，
是
的中点，
，交
的延长线于
，求证：四
边形
是等腰梯形．
【答案】证明见解析．
，
∴
是平行四边形，∴
，
又∵
(直角三角形斜边中线等于斜边一半），
∴
，
∵
，
与
相交，∴
与
不平行
∴
是等腰梯形．
【知识点】中位线定理及其应用
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2.
【解析】
【标注】
点
、
、
分别是
三边的中点，
于点
，求证：四边形
是等腰梯形.
【答案】证明见解析．
可知：
，
又∵
，且
与
相交，∴
与
不平行，
∴
是等腰梯形．
【思想】数形结合思想
【知识点】等腰梯形
【方法】图象法
【能力】推理论证能力
3.
【解析】
在梯形
中，
，
，
且
为锐角，若
，
，
为
上一点问：当
分别为何值时，四边形
是等腰梯形？直角梯形？请分别说明理
由．
A
B
C
D
【答案】当
时，四边形
是等腰梯形．
当
时，四边形
是直角梯形．
当
时，四边形
是等腰梯形．
理由如下：在
上截取，
，联结
，
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【标注】
A
B
C
D
E1
∵
，
∴
在
和
中，
∴
≌
（
）， ∴
，
∴四边形
是等腰梯形；
当
时，四边形
是直角梯形．
理由如下：在
上取一点
，使
，联结
，
A
B
C
D
E2
∵
，
∴
又∵
，
，
∴
不平行于
∴四边形
是直角梯形
【知识点】直角梯形
4. 如图，已知在四边形
中，
，
，
，
，
，动点
从点
开始沿
边向点
以
/ 的速度运动，动点
从点
开始沿
边向
点
以
/ 的速度运动，
，
分别从点
，
同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之
停止运动，设运动的时间为秒．
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（1 ）
（2 ）
（3 ）
（1 ）
（2 ）
【解析】
当为何值时，四边形
为矩形．
当为何值时，四边形
为平行四边形．
当为何值时，四边形
为等腰梯形．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
当
时，四边形
为矩形．
当
时，四边形
为平行四边形．
当
时，四边形
为等腰梯形．
设运动时间为，
∵
（
），
（
），
∴
（
），
∵
，
∴当
时，四边形
为平行四边形，
又∵
，
∴四边形
为矩形，
即
，
，
∴当
时，四边形
为矩形．
∵
，
∴当
时，四边形
为平行四边形，
，
，
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（3 ）
【标注】
∴当
时，四边形
为平行四边形．
当四边形
为等腰梯形时，如图所示：
作
于
，
于
，在
上找一点
，使得：
．
在
和
中，
，
∴
≌
（
），
∴
，
∴
，
，
．
∵
，
，
∴
，
∴
，
，
当
时，四边形
为等腰梯形．
【知识点】动点与特殊平行四边形问题
