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1
【旋转之对角互补】题集【B】
一、对角互补的全等-课堂练习（B）
1.
【解析】
【标注】
如图，等腰直角三角形
中，
，
，
为
中点，
．求证：
为定值．
【答案】证明见解析．
连结
由上可知，
，
，
，
而
，
．
∴
≌
，
∴
，
∴
．
【知识点】ASA
2. 已知：如图，平面直角坐标系
中，正方形
的边长为，它的顶点
在轴的正半轴上运
动，顶点
在轴的正半轴上运动（点
，
都不与原点重合），顶点
，
都在第一象限，且对角线
，
相交于点
，连接
．
2
（1 ）
（2 ）
（3 ）
（1 ）
（2 ）
【解析】
当
时，点
的坐标为 ，
．
当
时，求证：
平分
．
设点
到轴的距离为，则在点
，
运动的过程中，的取值范围是 ．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
;
证明见解析．
∵四边形
为正方形，
∴
是等腰直角三角形，
又∵
，
∴
是等腰直角三角形，
∴四边形
是正方形，
∵正方形
的边长为，
∴
，
∴
，
∴点
的坐标为
，
．
如图，过点
作
轴于点
，
轴于点
，
∵四边形
是正方形，
∴
，
，
∵
轴于点
，
轴于点
，
∴
，
3
（3 ）
【标注】
∵
，
∴四边形
中，
，
∴
，
∵
，
，
∴
，
∵在
和
中，
，
∴
≌
（
），
∴
，
∴
平分
．
当
、
重合时，点
到轴的距离最小，
，
当
时，点
到轴的距离最大，
，
∵点
，
都不与原点重合，
∴
．
【知识点】坐标系中的动点问题（非函数）
3.
【解析】
已知：在四边形
中，过点
作
于点
，并且
，
，若
，
，则
的长是 ．
【答案】
延长
到
使得
，
∵
，
，
4
【标注】
∴
，
在
和
中，
，
∴
≌
（
）
∴
，
在
与
中，
．
∴
≌
（
）．
∴
，
∴
．
【知识点】截长补短
4.
【解析】
在四边形
中，
，
，
于
，四边形
的面积
为，求
的长．
【答案】
．
根据
、
将
绕点
逆时针方向旋转
，
如图，
∵
，
∴
，
∴
、
、
共线，
又∵
，
，
∴四边形
为正方形，且面积为，
5
【标注】
∴
．
【知识点】旋转性质综合应用
（1 ）
（2 ）
（3 ）
5. 在四边形
中，
，对角线
平分
．
如图，若
，且
，试探究边
、
与对角线
的数量关系并说
明理由．
图
如图，若将（）中的条件“
”去掉，（）中的结论是否成立？请说明理由．
图
如图，若
，探究边
、
与对角线
的数量关系并说明理由．
图
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
；证明见解析．
（）中的结论成立；证明见解析．
．
6
（1 ）
（2 ）
（3 ）
【解析】
在四边形
中，
，
，
∴
．
∵
，
平分
，
∴
，
∵
，
∴
，同理
，
∴
．
以
为顶点，
为一边作
，
的另一边交
延长线于点
，
∵
，
∴
为等边三角形，
∴
，
∵
，
，
∴
，
∴
，
∴
≌
∴
．
图
．理由如下：
图
过点
作
交
的延长线于点
，
∵
，
，
∴
，
∵
，
∴
，
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【标注】
又∵
平分
，
∴
，
∴
．
∴
．
又∵
，
，
∴
≌
．
∴
，
∴
．
在
中，
，
∴
，
∴
．
【能力】推理论证能力
【知识点】对应边
【知识点】全等三角形的对应边与角
【知识点】角分线性质定理
【知识点】解直角三角形的综合应用
【知识点】三角形内角和的应用
【知识点】等边三角形的性质
【知识点】等边三角形的判定
图
图
1
2
（1 ）
6. 如图，
，
平分
，点
是射线
上一定点，点
在直线
上运动，连接
，将
的两边射线
和
分别绕点
顺时针旋转
，旋转后角
的两边分别与射线
交于点
和点
．
如图，当点
在射线
上时，
请判断线段
与
的数量关系，直接写出结论．
请探究线段
，
和
之间的数量关系，写出结论并证明．
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（2 ）
1
2
（1 ）
【解析】
如图，当点
在射线
的反向延长线上时，
交射线
于点
，若
，
，请直接写出线段
和
的长．
【答案】
1
2
（1 ）
（2 ）
．
，证明见解析．
，
．
如图中，作
于
，
于
．
图
∵
，
平分
，
于
，
于
，
∴
，
，
∴
，
∵
，
∴
≌
，
∴
．
∵
，
，
∴
，
∴
，∵
，
∴
，
，
∵
≌
，
∴
，
∵
，
，
∴
≌
，
9
（2 ）
【标注】
∴
，
∴
，
∴
．
如图中，作
于
，
于
，
于
．
图
由（）可知，
≌
，
≌
，
易知
，
，
，
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，设
，则
，
，
∵
，
，
∴
，
∴
，
∴
，
解得
或
（舍弃），
∴
．
【知识点】解直角三角形的综合应用
7. 已知四边形
中，
，
，
，
，
，
绕
点旋转，它的两边分别交
，
（或它们的延长线）于
，
．
当
绕
点旋转到
时（如图），易证
；
10
图1
【解析】
当
绕
点旋转到
时，在图和图这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请
给予证明；若不成立，线段
，
，
又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．
图2
图3
【答案】图成立，证明见解析；图不成立，
、
、
的关系是
．
∵
，
，
，
，
在
和
中，
，
∴
≌
（
），
∴
，
．
∵
，
，
∴
，
∴
，
．
∵
，
，
∴
为等边三角形，
∴
，
∴
．
图成立，图不成立．
证明图：
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【标注】
延长
至点
，使
，连接
，
在
和
中，
，
∴
≌
，
∴
，
．
∵
，
，
∴
，
∴
，
∴
．
在
和
中，
，
∴
≌
，
∴
，
∴
，
即
．
图不成立，
、
、
的关系是
．
【知识点】对角互补模型
