文档文本内容
1
等腰三角形 题集【B】
1. 等腰三角形的定义及性质
【注意】
．等腰三角形两腰相等是证明两底角相等的依据；“三线合一”是证明两角相等、两线段相等及两直
线互相垂直的依据；
．等腰三角形中顶角平分线、底边上的中线、底边上的高这三个条件中已知一个条件可直接得到另外
两个条件
性质
等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等
角”）
性质
等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边
上的高相互重合
（简写成“三线合一”）
A.
B.
C.
D.
1.
【解析】
如图，
为
内一点，
平分
，
，垂足为点
，交
于点
，
，
，
，则
的长为（ ）．
【答案】A
∵
平分
，
，
∴
．
又∵
，
∴
．
∴
．
∵
，
，
∴
．
2
【标注】
故选：
．
【知识点】等腰三角形的性质-三线合一
A.
B.
C.
D.
2.
【解析】
【标注】
如图，四边形
中，
，且
，若
，则
（ ）．
【答案】B
过
作
，交
于
，过
作
，交的延长线于
，
∵
，
，
∴
，
∴
，
，
又∵
，
，
∴
，
，
∴
，
∵
，
，
∴
，
在
和
中，
，
∴
≌
（
），
∴
，
∴
．
【知识点】构造简单辅助线证明全等
3.
3
【解析】
如图，等腰
中，
，
于点
，
的平分线分别交
、
于
、
两点，
为
的中点，
的延长线交
于点
，连接
，下列结论：①
；②
为等腰三角形；③
平分
；④
，其中正确的结论是 （直接填
序号）．
【答案】①②③④
∵
，
，
，
∴
，
，
，
∴
，
∵
平分
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
，
∴
，
∴
，
在
和
中，
，
∴
≌
，
∴
，∴①正确，
在
和
中，
，
∴
≌
，
∴
，
∵
，∴
，∴④正确，
4
【标注】
∵
，
∴
、
、
、
四点共圆，
∴
，
∴
，
∴
平分
，∴③正确，
答案：①②③④．
【知识点】等腰直角三角形与全等
（1 ）
（2 ）
4.
（1 ）
（2 ）
【解析】
如图，
中，
，
，
，
交边
于点
．
求
的度数．
求证：
．
【答案】（1 ）
（2 ）
．
证明见解析．
∵
，
∴
（等边对等角），
又∵
，
（三角形内角和定理），
∴
，
∵
，
，
∴
．
过点
作
于点
．
在
中， 由
，得
．
∵
，
∴
，
∴
．
在
与
中，
，
5
【标注】
∴
≌
，
∴
．
∵
，
，
∴
，
∴
，
∴
．
【能力】推理论证能力
【能力】运算能力
【知识点】30°特殊角的性质应用
【知识点】等腰三角形的性质-等边对等角
5. 探究：如图，
中，
，
，
为
边的中点，
于
，
交
延长线于点
.
求证：
垂直平分
．
小辉在研究此题时通过已知条件已经写出了前半部分过程如下：
证明：∵
，
，
∴
．
又∵
，
∴
．
∴
是
的角平分线．
小辉发现：
由于等腰三角形有三线合一性质，要想证明
垂直平分
，只需证明
为等腰三角形，
即
．（填边）
请根据提示，完成后半部分过程．
【答案】
；
；
；证明见解析．
6
【解析】
【标注】
∵
，
．
∴
．
∵
，
．
∴
．
∴
，
∵
，
∴
≌
，
∴
．
∵
，
∴
．
∴
为等腰三角形．
∵
，
．
∴
．
∵
，
∴
．
∴
，即
是
的平分线．
又∵
．
【知识点】等腰三角形的性质-三线合一
（1 ）
（2 ）
6.
（1 ）
【解析】
如图所示，在
中，
，
，
平分
，
于点
，且
于点
，交
于点
．
求证：
．
探究
与
的大小关系，并证明．
【答案】（1 ）
（2 ）
证明见解析．
延长
交
的延长线于
．
7
（2 ）
【标注】
∵
，
，
．
∴
≌
．
∴
．
∵
，
，
∴
．
又∵
，
，
∴
≌
，
∴
．
∵
，
∴
．
即
．
连接
，
中，
，
，
∴
．
【知识点】等腰直角三角形与全等
（1 ）
（2 ）
7. 如图，
中，
，
，点
在斜边
上 ，且
，过点
作
交直线
于点
．
求
的度数．
求证：
．
8
（1 ）
（2 ）
【解析】
【标注】
【答案】（1 ）
（2 ）
．
证明见解析．
∵
，
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
．
作
于点
，
∵
，
∴
，
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
∵
，
，
∴
，
在
和
中，
，
∴
≌
（
），
∴
，即
，
∴
．
【知识点】等腰三角形的性质-三线合一
（1 ）
8. 定义：如果两条线段将一个三角形分成个小等腰三角形．我们把这两条线段叫做这个三角形的三分
线．
如图，在
中，
，点
在
边上，且
，求
的大小．
9
（2 ）
（3 ）
（1 ）
（2 ）
【解析】
图
在图中过点
作一条线段
，使
，
是
的三等分线，在图中画出顶角为
的等腰三角形的三分线，并标注每个等腰三角形顶角的度数．
图
在
中，
，
和
是
的三分线，点
在
边上，点
在
边
上，且
、
，请直接写出
所有可能的值．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
．
画图见解析．
或
．
∵
，
∴
，
∵
，
∴
，
，
设
，
则
，
，
可得
，
解得：
，
则
．
图：
平分
；
图
图：设
，作
交
于
，过
作
交
于
，
10
（3 ）
【标注】
图
则
，
，
．
设
，则
，
，
①当
时，
，
∴
．
②当
时，
中，
，
∴
．
③当
时，
得
，与
矛盾．
综上，
或
．
【知识点】等腰三角形的性质-等边对等角
（1 ）
9.
中，
，
，点
，
分别在
，
上，且
，
．
如图，连
，求
的度数．
11
（2 ）
（3 ）
（1 ）
（2 ）
【解析】
如图，过
作
于
，求证：
．
在（）的条件下，若
，求
的长．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
．
证明见解析．
．
∵
，
，
∴
，
∵
，
，
∴
，
∴
，
∴
，
在
和
中，
，
∴
≌
，
∴
．
由（）有
，
∵
，
12
（3 ）
【标注】
∴
，
∴
，
由（）有，
≌
，
∴
，
∴
，
∴
，
即：
．
如图，
由（）知
，
∴
，
∴
，
过
作
于
，
∴
，
，
∵
，
，
∴
，
∵
，
，
∴
，
∴
，
∴
．
【知识点】全等三角形的对应边与角
（1 ）
（2 ）
10. 如图，
，
平分线分别交
、
的延长线于点
、
，且
是
的中点．
求证：
≌
．
连接
，判断
与
的位置关系并说明理由．
13
（1 ）
（2 ）
【解析】
【标注】
【答案】（1 ）
（2 ）
证明见解析．
．
∵
，
∴
，
∵
是
的中点，
∴
，
在
和
中，
，
∴
≌
．
∵
≌
，
∴
，
，即
是
的中点，
∵
平分
，
∴
，
∴
，即
是等腰三角形，
又∵
是
的中点，
∴
．
【知识点】ASA
【知识点】全等三角形的性质
【知识点】等腰三角形的性质-三线合一
2. 等腰三角形的判定
14
【注意】：
（1）判定等腰三角形的定理只有上述两种
①两条边等→等腰；②等角对等边→等腰
（2）如若知道“顶角角分线、底边垂线、底边中线”的任意两组，也是可以判定其为等腰三角形的，
但是，必须通过证全等来导出边等或角等才可以得到等
判定
利用定义来判定：有两条边相等的三角形叫做等
腰三角形．
判定
如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所
对的边也相等
（简称“等角对等边”）
（1 ）
（2 ）
1.
（1 ）
（2 ）
【解析】
如图，在
中，已知点
在线段
的反向延长线上，过
的中点
作线段
交
的平
分线于
，交
于
，且
．
求证：
是等腰三角形．
若
，
，
，求
的周长．
【答案】（1 ）
（2 ）
证明见解析．
．
∵
，
∴
，
∵
平分
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
是等腰三角形．
∵
是
的中点，
∴
，
，
15
【标注】
∵
，
∴
．
由对顶角相等可知：
．
在
和
中
，
∴
≌
．
∴
．
∵
，
∴
．
∴
．
∴
的周长
．
【知识点】全等三角形的对应边与角
【知识点】角分线性质定理
【知识点】等腰三角形的判定-等角对等边
【知识点】三角形的周长与面积问题
【知识点】三角形的三边关系
【知识点】平行线的性质
【能力】运算能力
【能力】推理论证能力
【思想】数形结合思想
（1 ）
（2 ）
2.
（1 ）
【解析】
如图，在
中，
，
，
是
的垂直平分线．
求证：
是等腰三角形．
若
的周长是，
，求
的周长．（用含，的代数式表示）
【答案】（1 ）
（2 ）
证明见解析．
．
∵在
中，
，
，
16
（2 ）
【标注】
∴
，
又∵
是
的垂直平分线，
∴在
中，
，
∴
，则
，
∴
，
故
是等腰三角形．
由（）知
是等腰三角形，即
，
∴
，
∵
是
的垂直平分线，
∴
，
又∵
的周长是，
∴
，
，
∴
的周长
．
【知识点】等腰三角形的判定-两边相等
【知识点】等腰三角形的性质-三线合一
【知识点】等腰三角形的性质-等边对等角
【知识点】线段的垂直平分线的性质定理
【能力】推理论证能力
（1 ）
（2 ）
3. 如图，
中，
，
于
点，
交
于点
，点
在
延长线上，
且
．
求证：
．
求证：
．
【答案】（1 ）
（2 ）
证明见解析．
证明见解析．
17
（1 ）
（2 ）
【解析】
【标注】
∵
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
．
∵
，
，
∴
，
∵
，
∴
．
在
和
中，
，
∴
≌
（
）．
∴
．
【知识点】全等三角形的对应边与角
（1 ）
（2 ）
4. 如图，在
中，
，点
是边
上的一个动点，过点
作
于点
，过点
作
于点
，
和
交于点
．
图
填空：直接写出一个和
相等的角是 ．
连接
，如图，若
，判断
的形状，并给出证明．
18
（3 ）
（1 ）
（2 ）
（3 ）
【解析】
图
在（）的条件下，若
，
，求
的长．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
为等腰三角形，证明见解析．
．
∵
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∵
∴
．
过
作
交
于
，交
于
，
∵
∴
，
∵
∴
∵
∴
∴
∴
∴
为等腰三角形．
过
作
于
，
在
和
中，
19
【标注】
∵
∴
≌
∴
∵
，
∴
在
和
中，
∵
∴
≌
∴
∵
，
∴
．
【能力】推理论证能力
【知识点】对应边
【知识点】全等三角形的对应边与角
【知识点】AAS
【知识点】等腰三角形的判定-等角对等边
【知识点】等腰三角形的性质-等边对等角
（1 ）
（2 ）
5. 已知，如图所示，在
和
中，
，
，
，且点
、
、
在一条直线上，连接
、
．
图
求证：
．
若
、
分别是
和
的中点，将
绕点
按顺时针旋转，如图所示，试证明在旋
转过程中，
是等腰三角形．
20
（1 ）
（2 ）
【解析】
【标注】
图
【答案】（1 ）
（2 ）
证明见解析．
证明见解析．
此题考查是便是手拉手模型的重要结论，拉手的距离相等，即拉手线相等．
在
和
中，
，
，
，
≌
，所以
．
此题考查是便是手拉手模型的重要结论，拉手的距离相等，即拉手线相等．
≌
，故
，
，又因为
，所以
≌
，故
，此三角形为等腰三角形．
【知识点】全等三角形的性质
【能力】推理论证能力
