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1
【旋转之手拉手“正用”】 题集【B】
1.
【解析】
【标注】
如图，正方形
的边长为
，正方形
的边长为
.正方形
绕点
旋转的过程
中，线段
的长的最小值为
．
【答案】
由旋转可知，点
的轨迹是以
为圆心的圆，
当点
在点
时，
最小，
正方形
的边长为
，正方形
的边长为
.
∴
，
，
∴线段
的长的最小值
．
【知识点】圆中最值
2. 如图，点
在线段
上，
与
都为等边三角形．
求证：
．
2
【解析】
【标注】
【答案】证明见解析．
∵
与
都为等边三角形，
∴
，
，
．
∴
，即
．
在
和
中，
，
∴
≌
，
∴
，
∴
，
∴
．
【知识点】等边三角形的手拉手模型
3. 如图，在
中，分别以
，
为边作等边三角形
和等边三角形
．设
、
、
的面积分别是
、
、
，现有如下结论：
①
．
②连接
，
，则
≌
．
③若
，则
．
其中结论正确的序号是 ．
【答案】①②③
3
【解析】
【标注】
①
正确，
∵
与
是等边三角形，
∴
，
∴
．
②
≌
，正确，
证明：∵
与
是等边三角形，
∴
，
∴
，
即
，
在
与
中，
，
∴
≌
．
③若
，则
正确，
设等边三角形
的边长
，等边三角形
边长
，则
的高
，
的
高
，
∴
，
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
．
【知识点】相似三角形的性质与判定综合
（1 ）
（2 ）
4. 如图，已知
是等腰直角三角形，
，点
是
的中点，作正方形
，使
点
、
分别在
和
上，连接
、
．
试猜想线段
和
的数量关系与位置关系，请直接写出你得到的结论．
4
（1 ）
（2 ）
【解析】
【标注】
将正方形
绕点
逆时针方向旋转一定角度后，如图，则（）中的结论是否仍然成
立？如果成立，请予以证明；如果不成立，请说明理由．
【答案】（1 ）
（2 ）
，
．
成立，证明见解析．
，
．
连接
，
中，
为斜边
的中点，故有
，
由正方形的性质可得
，
且
；
故可得
≌
；
即
；
延长
与
交于点
，
∵
≌
∴
∴
即
．
【知识点】旋转的性质
【能力】推理论证能力
5
x
y
O
（1 ）
x
y
O
（2 ）
（3 ）
5.
（1 ）
（2 ）
【解析】
在平面直角坐标系中，点
，
，
，点
、
分别是
，
的中点，将
绕点
逆时针旋转得
，点
，
分别是点
，
旋转后的对应点，记旋转角．
如图，求证
.
如图，当
时，求点
的坐标．
当
，求
的长（直接写出结果即可）．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
证明见解析．
．
．
∵
，
，
，
∴
，且
，
∴
≌
，
∴
，
∵
，
分别是
，
的中点，
∴
，
∵
是
旋转得到的，
∴
，
，
，
∴
且
，
，
∴
≌
，
∴
．
如图．∵
，
，
∴
，
过点作
轴，
为垂足．
6
（3 ）
【标注】
x
y
O
∴
，
在
中，
，
∴
，
在
中，
，∴
，
∴
，
，
∴
，
∴
．
如图，
x
y
O
当
时，∴
，
在
中，
，
，
∴
，
∵
，
∴
．
【知识点】象限内坐标的特征
（1 ）
6. 在
中，
，
，
为斜边
上的中线，将
绕点
顺时针
旋转（
）得到
，其中点
的对应点为点
，点
的对应点为点
．
与
相交于点
．
如图，直接写出
与
的数量关系： ．
7
（2 ）
（3 ）
（1 ）
【解析】
图
如图，
、
分别为
、
的中点．求证：
．
图
连接
，
，如图，直接写出在此旋转过程中，线段
、
与
之间的数量关
系： ．
图
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
证明见解析．
∵
，
，
为斜边
上的中线，
∴
，
8
图
（2 ）
（3 ）
又∵
，
，
∴
，
∵
，
，
∴
，
在
和
中，
,
∴
≌
，
∴
．
如图，
∵
，
，
为斜边中线，
∴
，
．
∵
是由
旋转得到的，
∴
，
．
∴
，即
．
∴
≌
．
∴
且
．
又∵
．
∴
，即
．
连接
，取
中点
，连接
、
．
∵
为
中点，
为
中点，
为
中点，
∴
，
；
，
，
又∵
，
，
∴
，
．
∴
为等腰直角三角形，
∴
．
由（），可得
，
∴
，
，
，
9
【标注】
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
．
【知识点】等腰直角三角形与全等
（1 ）
（2 ）
（3 ）
7.
（1 ）
（2 ）
【解析】
我们给出如下定义：若一个四边形中存在一组对边的平方和等于另一组对边的平方和，则称这个四
边形为等平方和四边形．
写出一个你所学过的特殊四边形中是等平方和四边形的图形的名称： ．
如图，在梯形
中，
，
，垂足为
．求证：
，即四边形
是等平方和四边形．
图
如果将图（）中的
绕点
按逆时针方向旋转度（
）后得到图，那么
四边形
能否成为等平方和四边形？若能，请你证明；若不能，请说明理由．
图
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
菱形或正方形
证明见解析．
四边形
是等平方和四边形，证明见解析．
菱形或正方形．
∵
，
10
（3 ）
∴
，
，
，
．
∴
，即四边形
是等平方和四边形．
四边形
是等平方和四边形．
解法一：原梯形记为
，依题意旋转后得四边形
，
连结
、
交于点
，
∵
，
∴
．
∴
．
∵
，
，
∴
．
∵
，
∴
又∵
，
∴
∴
．
又∵
，
∴
．
由（）的结论得：
．
即四边形
是等平方和四边形．
解法二：连结
、
，
∵
，
∴
．
∵
，
∴
，
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【标注】
∴
，
∴
．
∵四边形
对角线互相垂直，
∴
，
∴四边形
是等平方和四边形．
【知识点】与四边形有关的新定义
