文档文本内容
1
【旋转之对角互补】 题集【A】
1.
【解析】
【标注】
如图，
，
平分
，将直角三角板的顶点
在射线
上移动，两直角边分别
与
，
相交于点
，
，
，则
．
【答案】
在
上截取
，连接
，
∵
，
，
∴
≌
（
），
∴
，
∵
，
∴
，
∵
，
，
∴
，
∴
．
【知识点】角分线有关的辅助线；对角互补模型
2. 如图，
与
互补，
平分
，则
与
的大小关系为（ ）．
2
A.
B.
C.
D. 都有可能
【解析】
【标注】
【答案】C
过点
作
于点
，
于点
．
∴
．
∵
平分
，
∴
．
又∵
与
互补，
与
互补，
∴
．
∴
≌
（
）．
∴
．
【知识点】垂直构对称
A.
B.
C.
D.
3. 四边形
被对角线
分为等腰直角三角形
和直角三角形
，其中
、
都是直
角，另一条对角线
的长度为，求四边形
的面积．
【答案】B
3
【解析】
【标注】
将
绕
点旋转
，使
与
重合，
到
点．则有
，
所以
、
、
在同一条直线上，
是三角形．
又因为
．所以
是等腰直角三角形．
．
【知识点】等腰直角三角形的性质
【知识点】旋转的性质
【知识点】旋转性质综合应用
【能力】推理论证能力
（1 ）
（2 ）
（3 ）
4. 已知，点
是
的平分线上的一动点，射线
交射线
于点
，将射线
绕点
逆时针旋
转交射线
于点
，且使
．
利用图，求证：
．
如图，若点
是
与
的交点，当
时，求
与
的比值．
若
，
，射线
交
于点
，且满足且
，请借助
图补全图形，并求
的长．
4
（1 ）
（2 ）
【解析】
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
证明见解析．
．
．
在
上截取
，连结
．
∵
平分
，
∴
．
又∵
，
，
∴
≌
．
∴
，
．
∵
，
∴
．
∵
，
∴
．
∴
．
∴
．
∵
，
∴
．
∵
，且
，
∴
．
∴
．
∵
，
∴
．
5
（3 ）
【标注】
∴
．
作
交
于
，
∵
，且
平分
，
∴
．
∵
，
∴
．
∵
，
∴
．
∵
，
∴
．
∵在
中，
，
，
∴
，
，
，
∴
，
∴在
中，
，
∴
．
【知识点】相似模型的构造和应用
（1 ）
（2 ）
5. 如图，在
中，点
为
边的中点，以点
为顶点的
的两边分别与边
，
交于点
，
，且
与
互补．
如图，若
，且
，则线段
与
有何数量关系？请直接写出结论．
如图，若
，那么（）中的结论是否还成立？若成立，请给出证明；若不成立，请
说明理由．
6
（1 ）
（2 ）
【解析】
【标注】
【答案】（1 ）
（2 ）
结论：
．
证明见解析．
结论：
．
依然成立．
过点
作
于
，作
于
，连接
，
则
，
∵
，点
为
中点，
∴
平分
，
∴
，
∵在四边形
中，
，
∴
，
又∵
与
互补，
∴
，
∴
，
∴
≌
（
），
∴
．
【知识点】ASA
【知识点】等腰三角形的性质-三线合一
【知识点】等腰直角三角形的性质
【能力】运算能力
【思想】数形结合思想
7
A.
个
B.
个
C.
个
D.
个
6.
【解析】
如图，
为定角
平分线上的一定点，
与
互补，若
在绕点
的旋转过程
中，其两边分别与
、
相交于
、
两点，则下列结论：①
恒成立；②
的值不变；③四边形
的面积不变；④
的长度不变；⑤
的面积存在
最小值，其中不正确的个数有（ ）．
【答案】A
过点
作
交
于点
，
交
于点
，
交
于点
，
∵
，
∴
．
∵
与
互补，即
，
∴
．
∴
．
∵
平分
，
，
，
∴
．
在
与
中，
，
∴
≌
．
∴
．
8
【标注】
在
与
中，
，
∴
≌
．
∴
，
，故①正确．
∴
．
∴
定值，故③正确．
∴
定值，故②正确．
在旋转过程中，
是等腰三角形，形状是相似的，
因为
的长度是变化的，
所以
的长度是变化的，故④错误．
在
中，
，
，
∴
，
．
∵
是定角，且与
互补，
∴
也为定角，即
为定角．
∴
、
为定值．
∴
．
∴
面积的大小取决于
的值，
根据垂线段最短原理可知，当
时，
最小，
∴
有最小值，故⑤正确．
综上所述，不正确的个数有个，故选
．
【知识点】ASA
【知识点】全等三角形的对应边与角
四边形
四边形
7. 如图在四边形
中，
，
，
，以
为顶点作一个
度角，角的两边分别交
、
于
、
两点．连接
，探索线段
、
、
之间的数量关
系，并加以证明．
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【解析】
【答案】
．
如图，把
绕点
逆时针旋转
得到
，
则
，
，
，
，
∵
，
，
∴
，
∴
，
即
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴点
、
、
共线，
在
和
中，
，
∴
≌
（
），
∴
，
∵
，
∴
．
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【标注】【知识点】构造旋转全等
（1 ）
（2 ）
（3 ）
8. 如果四边形有一组邻边相等，且对角互补，那么这样的四边形称为“等腰互补四边形”．例如图，
图，图中的四边形
，
，
，则称四边形
为“等
腰互补四边形”．
小吴同学酷爱钻研，他发现，当
时（如图），则
，
请你替他证明结论的正确性．
图
小吴同学继续研究发现，当
时（如图），则
，于是
猜想，当
时（如图），则
，请证明他的猜想是
正确的．
图
图
如图，已知
，以
为边作等边
，以
为边作顶角度数为
的等腰
，即
，
，
是
上一动点，连
、
．当
时，求证：
．
图
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
证明见解析．
证明见解析．
证明见解析．
11
（1 ）
（2 ）
【解析】
在
延长线上取
，连
．
图
∵
，
∴
，
在
与
中，
，
∴
≌
，
∴
，
，
∴
，
∴
为正三角形，
∴
，
．
在
延长线上取
，连
．
图
图
∵
，
∴
，
在
与
中，
，
∴
≌
，
∴
，
，
∴
，
∴
，
∴
．
12
（3 ）
【标注】
连
，在
上取
，连
，
图
∵
，
∴
为正三角形，
又
为正三角形，
∴在
和
中，
，
∴
≌
，
∴
，
∴
，
∴
，
又
，
，
∴由
的结论可知
，
∴
．
【知识点】全等三角形的对应边与角
