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1
【旋转之手拉手“逆用”】 题集【B】
A.
B.
C.
D.
1.
【解析】
【标注】
如图，以
的斜边
为一边作正方形
，设正方形的中心为
，连接
，如果
，
，那么
的长等于（ ）．
【答案】B
如图，在
上截取
，连接
，
∵四边形
是正方形，
∴
，
，
∵
，
，
，
∴
，
在
与
中，
，
∴
≌
，
∴
，
，
∴
，
∵
，
，
∴
，
∴
．
【知识点】等腰直角三角形的手拉手模型
2. 阅读下面材料：
2
（1 ）
（2 ）
（1 ）
（2 ）
【解析】
俊俊遇到这样一个问题：如图（），
为等边
内部一点，且
求
的度数．
俊俊是这样思考的：图（）中有一个等边三角形，若将图形中一部分绕着等边三角形的某个顶点旋
转
，会得到新的等边三角形，且能达到转移线段的目的．他的作法是：如图（），把
绕
点
逆时针旋转
，使点
与点
重合，得到
，连结
．则
是等边三角形，故
，至此，通过旋转将线段
、
、
转移到同一个三角形
中．
图
图
请你回答：
．
参考俊俊思考问题的方法，解决下列问题：
已知：如图，四边形
中，
，
，
，
，
．求四边形
的面积．
【答案】（1 ）
（2 ）四边形
的面积
．
．
如图，将
绕点
顺时针旋转
，使点
与点
重合，得到
，
连结
．则
是等边三角形，
可知
，
，
，
3
【标注】
在四边形
中，
，
∴
．
∴
．
∴
．
四边形
的面积
．
【知识点】旋转性质综合应用
（1 ）
3. 数学活动课上，老师提出这样一个问题：如果
，
，
，连接
，那么
、
、
之间会有怎样的等量关系呢？
经过思考后，部分同学进行了如下的交流：
小蕾：我将图形进行了特殊化，让点
在
延长线上（如图），得到了一个猜想：
．
小东：我假设点
在
的内部，根据题目条件，这个图形具有“共端点等线
段”的特点，可以利用旋转解决问题，旋转
后得到
，并且可推出
，
分别是等边三角形、直角三角形，就能得到猜想和证明方
法．
这时老师对同学们说，请大家完成以下问题：
如图，点
在
的内部，
①
，
，
．
②用等式表示
、
、
之间的数量关系，并证明．
4
（2 ）
（1 ）
（2 ）
【解析】
【标注】
对于点
的其他位置，是否始终具有②中的结论？若是，请证明；若不是，请举例说明．
【答案】（1 ）
（2 ）
①
；
②
．
不一定成立，理由见解析．
①
；
②
．
作
，且使
，连接
、
．
∴
．
∵
，
∴
≌
．
∴
，
．
在四边形
中，
∵
，
，
∴
．
∴
．
∴
．
∵
是等边三角形．
∴
．
在
中，
．
∴
．
点
在其他位置时，不是始终具有②中猜想的结论，举例：
如图，当点
在
的延长线上时，
结论为
．
【能力】分析和解决问题能力
【知识点】勾股定理与实际问题
【知识点】SAS
5
【知识点】旋转的性质
（1 ）
图
（2 ）
图
（3 ）
4.
（1 ）
（2 ）
（3 ）
【解析】
【标注】
已知点
为正方形
内一动点，满足
，且
．
求、的值．
如图，若线段
，
，求线段
的长．
如图，设线段
，
，
，请探究并直接写出三个量
、
、
之间满
足的数量关系．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
，
．
．
．
由二次根式有意义的条件可知，
，
，
∴
，
．
把
旋转
得到
，
则
，
，
，
∴
，
∴
，
，
∴
，
∴
，
∴
．
由（）得，
，
∴
．
【能力】抽象概括能力
6
【能力】运算能力
【能力】推理论证能力
【知识点】直接用勾股求边长
【知识点】勾股定理
【知识点】旋转性质综合应用
【知识点】旋转的性质
【知识点】正方形的性质
【知识点】二次根式的性质
【思想】转化与化归思想
【思想】数形结合思想
（1 ）
（2 ）
（3 ）
5. 解答下列问题：
如图，在四边形
中，
，
，试证明：
．
B
A
D
C
如图，
是☉
的直径，点
、
在☉
上（且在
的两侧），
，若
，
，求
的长．
O
B
A
D
C
如图，
，
，若
，
，求
的
长．（用含
，的代数式表示）
A
B
D
C
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（1 ）
（2 ）
【解析】
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
证明见解析．
．
．
将
绕点
，逆时针旋转
到
处，
点
，
分别落在点
，
处（如图），
B
A
D
C
E
则
≌
，
∵
，
，
∴
，
∴点
，
，
在同一条直线上，
∵
，
，
∴
是等腰直角三角形，
∴
，
∴
．
如图，连接
，
O
B
A
D
C
∵
是⊙
的直径，
∴
，
∵
，
∴
，
∵
，
，
∴由勾股定理得：
，
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（3 ）
【标注】
由（）可知：
，
，
∴
．
以
为直径作⊙
，连接
并延长交⊙
于点
，
连接
、
、
、
，如图，
A
B
D
C
O
D1
由（）得：
，
∴
，
∵
是⊙
的直径，
∴
，
，
，
∴由勾股定理可求得：
，
∴
，
∵
，
∴
，
∵
，
∴
．
【知识点】圆与全等
图
（1 ）
图
（2 ）
6. 已知
，以
为边在
外作等腰
，其中
．
如图，若
，
，求
的度数．
如图，
，
，
，
．
9
1
2
（1 ）
图
1
图
2
（2 ）
【解析】
若
，
，
的长为 ．
若改变，的大小，但
，
的面积是否变化？若不变，求出其值．
若变化，说明变化的规律．
【答案】（1 ）
1
2
（2 ）
．
不变，
．
∵
，
，
∵
，
∴
，
，
∴
，
在
和
中
∴
≌
（
），
∴
，
∵
，
∴
，
故答案为：
．
如图，以
为边在
外作正三角形
，连接
．
由（）可知
≌
．
∴
．
∴
，
∵
，
，
∴
．
在
中，
，
，
∴
．
∴
．
若改变，的大小，但
，
的面积不变化，
以下证明：
如图，作
交
于
，过点
作
，并在
上取
，连接
，
．并取
的中点
，连接
．
∵
于
，
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【标注】
∴
．
∵
，
∴
．
∵
，
，
∴
．
∵
为
的中点，
，
∴
．
∵
，
∴四边形
为平行四边形．
又∵
，
∴四边形
为矩形，
．
∴
．
∴
是
的垂直平分线．
∴
．
∵
，
，
，
∴
，
∴
，
即
，
在
与
中
∴
≌
．
∴
．
在
中，
，
∴
，
∴
．
【知识点】旋转型全等
