文档文本内容
1
【全等模型之一线三等角】题集【B】
1. 一线三垂直
1.
【解析】
【标注】
如图，点
在线段
上，
，
，
，且
，
，
，
，求
的度数．
【答案】
．
连接
、
．
∵
，
，
．
∴
．
在
和
中，
∴
≌
∴
，
，
∴
．
∴
为等腰三角形．
同理可得
为等腰三角形．
∴
．
．
【能力】分析和解决问题能力
【知识点】SAS
【知识点】全等三角形的性质
2
（1 ）
（2 ）
（3 ）
2.
（1 ）
【解析】
中，
，
如图，直线
过点
，
于点
，
于点
，求证：
．
如图，直线
过点
，
于点
，
于点
，则线段
、
、
之间
有何数量关系？并证明．
如图，直线
过点
，
于点
，
于点
，则线段
、
、
之间
有何数量关系 ．（不需证明）
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
证明见解析．
．证明见解析．
，证明见解析．
∵
，
∴
．
又∵
，
，
∴
，
，
∴
．
在
和
中，
，
3
（2 ）
（3 ）
∴
≌
．
∴
，
．
连接
，作
交
于
，
又∵
，
∴
，
，
∴
．
又∵
，
∴
．
又∵
，
∴
．
又∵
，
∴
，
∴
，
∴
．
又∵
∴
≌
（
），
∴
，
，
∴
，
则：
．
过点
作
于点
，
∵
，
4
【标注】
∴
，
∴
．
【知识点】全等三角形的对应边与角
（1 ）
（2 ）
（3 ）
3. 如图，等腰
中，
，点
、
分别在坐标轴上．
如图①，若
点的横坐标为，求
点的坐标．
图
如图②，若轴恰好平分
，
交轴于点
，过
点作
轴于
点，求
的
值．
图
如图③，若点
的坐标为
，点
在轴的正半轴上运动时，分别以
、
为边在第
一、第二象限作等腰
，等腰
，连接
交轴于
点，当点
在轴上移动
时，
的长度是否发生改变？若不变，求出
的值，若变化，求
的取值范围．
图
【答案】（1 ）
（2 ）
．
5
（1 ）
（2 ）
（3 ）
【解析】
【标注】
（3 ）
过
点作
轴于
点，
图
证明
≌
，
∴
．
∴
．
延长
、
交于点
．
图
∵轴平分
，
∴
．
又∵
轴，
∴
，
∴
≌
，
∴
．
又∵
，
∴
≌
，
∴
．
，过
点作
轴于
点，证明
≌
，再证明
≌
，
则
，∴
，∴
．
【知识点】全等三角形的对应边与角
4.
6
图3
图2
图1
（1 ）
（2 ）
（3 ）
（1 ）
【解析】
如图，
，
，以
点为顶点、
为腰在第三象限作等腰
，求
点
的坐标．
如图，
，
为轴负半轴上一个动点，当
点向轴负半轴向下运动时，以
为顶点，
为腰作等腰
，过
作
轴于
点，求
的值．
如图，已知点
坐标为
，当
在轴的负半轴上沿负方向运动时，作
，始
终保持
，
与轴负半轴交于点
，
与轴正半轴交于点
，
当
点在轴的负半轴上沿负方向运动时，以下两个结论：①
为定值；②
为定
值，其中只有一个结论是正确的，请找出正确的结论，并求出其值．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
．
．
②正确，
.
如图，过
作
轴于
点，
7
（2 ）
（3 ）
图
∵
，
，
则
，
在
和
中，
，
∴
，
∴
，
，
∴
，
∴点
的坐标为
．
过
作
轴于，则
，
又∵
，
∴
，
又∵
，
，
∴
≌
，
∴
，
即
．
过
作轴垂线，
交轴于点
，
过
作线的垂线，
垂足为
，
，
∵
，
∴
，
又∵
，
，
∴
≌
，
∴
，
，
∴
，
8
【标注】
∴
．
【知识点】等腰直角三角形与全等
（1 ）
（2 ）
（3 ）
5.
（1 ）
（2 ）
【解析】
已知，
是等腰直角三角形，
，
点在轴负半轴上，直角顶点
在轴上，点
在
轴上方．
图
图
图
如图所示，若
的坐标是
，点
的坐标是
，求点
的坐标．
如图，过点
作
轴于
，请写出线段
，
，
之间的等量关系．
如图，若轴恰好平分
，
与轴交于点
，过点
作
轴于
，问
与
有
怎样的数量关系？并说明理由．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
．
．
．
过
作
轴于
，
由三垂直全等可知，
≌
，
∴
，
，
∴
．
根据三垂直全等有
≌
，
∴
，
，
9
（3 ）
【标注】
则
．
延长
交
延长线于点
，
∵轴平分
，
∴
≌
，
∴
，
在
和
中，
，
∴
≌
，
∴
．
【知识点】三垂直模型
（1 ）
（2 ）
（3 ）
6. 已知：在平面直角坐标系中，
的顶点
、
分别在轴、轴上，且
，
．
如图，当
，
，点
在第四象限时，则点
的坐标为 ．
x
y
O
图
如图，当点
在轴正半轴上运动，点
在轴正半轴上运动，点
在第四象限时，作
轴于点
，试判断
与
哪一个是定值，并说明定值是多少？请证明你的
结论．
x
y
O
图
当点
在轴正半轴上运动，点
在轴正半轴上运动，点
在第一象限时，作
轴于点
，请直接写出一个
，
，
之间的等量关系 ．
10
（1 ）
（2 ）
【解析】
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
存在定值，且为．
作
轴于
．
x
y
O
∵
，
．
∴
．
∵
，
．
∴
≌
，
∴
，
，
．
∵
在第四象限，
∴
为
．
作
轴于
，
x
y
O
∴四边形
为矩形．
∵
，
．
∴
．
∵
，
．
∴
≌
．
∴
．
∵在矩形
中，
∴
．
11
（3 ）
【标注】
∵
．
∴
．
∴
，
．
∴
是定值，定值为．
过
作
轴于
．
x
y
O
∵
，
．
∴
．
∵
，
．
∴
≌
．
∴
，
．
∵
．
∴四边形
为矩形．
∴
．
∴
．
【知识点】一线三等角模型
2. 一线三等角
1. 如图，已知
中，
，
，点
为
的中点，如果点
在线段
上以
的速度由
点向
点运动，同时，点
在线段
上由点
向点
运动．
12
（1 ）
（2 ）
（1 ）
（2 ）
【解析】
【标注】
若点
的运动速度与点
的运动速度相等，经过秒后，
与
是否全等？请说明
理由．
若点
的运动速度与点
的运动速度不相等，当点
的运动速度为多少时，能够使
与
全等．
【答案】（1 ）
（2 ）
全等．
厘米/秒．
∵
秒，
∴
厘米，
∵
厘米，点
为
的中点
∴
厘米
又∵
，
厘米，
∴
厘米，
∴
又∵
，
∴
，
在
和
中，
，
∴
≌
．
∵
，
∴
，
又∵
≌
，
，
∴
，
，
∴点
，点
运动的时间
秒，
∴
（厘米/秒）．
【知识点】全等三角形的对应边与角
2. 如下图，已知正方形
中，边长为
厘米，点
在
边上，
厘米．
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1
2
（1 ）
（2 ）
1
2
（1 ）
【解析】
如果点
在线段
上以厘米/秒的速度由
点向
点运动，同时，点
在线段
上由
点向
点运动．
若点
的运动速度与点
的运动速度相等，经过秒后，
与
是否全等，
请说明理由．
若点
的运动速度与点
的运动速度不相等，当点
的运动速度为多少时，能够使
与
全等？
若点
以②中的运动速度从点
出发，点
以原来的运动速度从点
同时出发，都逆时针沿正
方形
四边运动，求经过多长时间点
与点
第一次在正方形
边上的何处相遇？
【答案】
1
2
（1 ）
（2 ）
全等，证明见解析．
．
秒．
全等，理由如下：
当
时，
，
，
，
在
和
中，
，
∴
≌
．
∵点
的运动速度与点
的运动速度不相等，
∴
．
∴
≌
，
∴
，
．
∵
，
，
∴
，
∴
，
∴
的运动速度为：
．
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（2 ）
【标注】
设经过秒后
、
两点相遇，则由题意得：
，
解得：
，
∴点
走过的路程为：
，此时点
在点
处．
∴经过
秒点
与点
第一次在正方形
边上的点
处相遇．
【知识点】一元二次方程的几何问题
【知识点】全等三角形的对应边与角
【知识点】SAS
【知识点】全等三角形实际生活中的应用
【能力】推理论证能力
（1 ）
（2 ）
图
（3 ）
3. 如图，
和
都是等腰三角形，
，
，
，
，且
．过
、
作直线，
、
在直线上，且
，
．
图
如图，当
时，求证：
．
图
在图中，（）中的结论成立吗？若成立请写出证明过程，若不成立请说明理由．
如图，当图中的点
在直线的下方时，此时条件
变成
，其余条件不
变，探究
、
、
的数量关系并证明你的结论．
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（1 ）
（2 ）
（3 ）
【解析】
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
证明见解析．
结论依然成立．
．
过点
作
于点
，
∵
，
，
∴
，
又∵
，
易证
≌
，
∴
，
同理可证
，
∴
．
结论依然成立．证明如下：
过点
作
交
于点
，满足
．
易得
，
，
又∵
，
∴
≌
，
∴
．
同理可证
．
∴
．
．证明如下：
过点
作
交
于点
，满
足
．
同（）可证明
≌
，
∴
，
．
16
【标注】
又∵
，
，
∴
．
又∵
，
，
∴
．
可证
≌
，
∴
．
∴
．
【知识点】三垂直模型
