高二上学期开学检测考试数学试题_2027版《高二上学期开学摸底检测卷》9科全套

高二上学期开学检测
数学
本试卷共 4 页，19 题．全卷满分 150 分．考试用时 120 分钟．
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本
试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的．
1．设集合Ax|1 x2,B   x log x2  ，则A∩B（ ）
2
A．,1 B．0,1 C．0,2 D．,2
2．命题“x0,x32x1”的否定是（ ）
A．x0,x32x1 B．x0,x32x1
C．x0,x32x1 D．x0,x32x1
3．幂函数 f x  a2 2a2  xa在0,上单调递增，则gxbxa 1b1过定点（ ）
A．(1，1) B．(1，2) C．(﹣3，1) D．(﹣3，2)
4．已知a 2.113,b0.31.3,clog 0.8,d 2.11.9则a，b，c，d的大小关系为（ ）
2
A．d a bc B．ad cb C．bcad D．cad b
5．折扇在我国已有三千多年的历史，它常以字画的形式体现我国的传统文化，右图为其结构简化图，设扇
1 2π
面A，B间的圆弧长为l ，C，D间的圆弧长为l  l ，当弦长AB为2 3，圆弧所对的圆心角为 ，
1 2 2 1 3
则扇面字画部分的面积为（ ）
4π 2π π
A．π B． C． D．
3 3 3
学科网（北京）股份有限公司6．区块链作为一种新型的技术，已经被应用于许多领域．在区块链技术中，某个密码的长度设定为 512B，
则密码一共有2512种可能，为了破解该密码，最坏的情况需要进行2512次运算．现在有一台计算机，每秒能
进行1.251013次运算，那么在最坏的情况下，这台计算机破译该密码所需时间大约为（ ）(参考数据：
lg20.3, 10 3.16)
A．6.3210141s B．6.3210140s C．3.1610141s D．3.1610140s
7．若2x 2y 3x 3y，则（ ）
A．lnyx10 B．lnyx10 C．ln x y 0 D．ln x y 0
8．定义：若集合 A，B 满足A∩B ，存在aA且aB，且存在bB且bA，则称集合 A，B 为
嵌套集合．已知集合A  x 2x x2 0且xR  ，B   x|x2 3a1x2a2 2a0  ．若集合A，B
为嵌套集合，则实数a的取值范围为（ ）
A．2,3 B．,1 C．1,3 D．1,2
二、多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．
9．下列与412°角的终边相同的角是（ ）
A．52° B．778° C．﹣308° D．1132°
10．下列选项中正确的有（ ）
A．若ab，则ac2 bc2
B．若集合A1,2,B x|ax20，且B A，则实数a的取值所组成的集合是1,2．
C ． 若 不 等 式 ax2 bxc0 的 解 集 为 x|1 x3 ， 则 不 等 式 cx2 bxa0 的 解 集 为
 1 
x|x 或x1
 3 
D．已知函数y  f x1的定义域是2,3，则y  f x1的定义域是0,5．
11．已知a0,b0，且ab1，则（ ）
1 1 1 1
A．a2 b2  B． ab  C．  4 D． a  b  2
2 2 a b
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
12．已知 f x是定义在 R 上的奇函数，且当x0时， f xln  x2 2  ，则 f 02f 1______．
学科网（北京）股份有限公司1
13．设函数 f xln  1 x   ，则使得 f x f x1成立的x解集是______．
1x2
x2 2x1,x0
14 ． 已 知 函 数 f x 若 方 程 f xa 有 四 个 不 同 的 解 x ,x ,x ,x ， 且
 log
0.5
x ,x0 1 2 3 4
16
x  x  x  x ，则a的最小值是______，(2分)x x x  的最大值是______．(3分)
1 2 3 4 4 1 2 x x2
3 4
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．(13分)
(1)计算：eln3 log  2 2  0.125 2 3 202322023
2
a3x a3x
(2)已知a2x 2，求 的值．
ax ax
16．(15分)(1)已知集合A  x x2 4x 0  ,B   x 2a10 xa1  ．若xA是xB的必要不充分条
件，求实数a的取值范围．
(2)若命题“a1,3,ax2 2a1x3a0”为假命题，求x的取值范围．
 
17．(15分)(1)已知函数 f 2x1  x 2x1，求函数 f x的解析式；
(2)已知关于x的不等式mx2 6x3m0在0,2上有解，则实数m的取值范围．
18．(17分)某地空气中出现污染，须喷洒一定量的去污剂进行处理．据测算，每喷洒1个单位的去污剂，空
 x
8 ,0 x4

 2
气中释放的浓度y(单位：毫克/立方米)随着时间x(单位：天)变化的函数关系式近似为y 
36

,4 x10
x2
若多次喷洒，则某一时刻空气中的去污剂浓度为每次投放的去污剂在相应时刻所释放的浓度之和．由实验
知，当空气中去污剂的浓度不低于4(毫克/立方米)时，它才能起到去污作用．
(1)若一次喷洒1个单位的去污剂，则去污时间可达几天?
(2)若第一次喷洒 1 个单位的去污剂，6 天后再喷洒 a 个单位的去污剂，要使接下来的 4 天中能够持续有效
去污，试求a的最小值?(精确到0.1)
f x
19．(17分)已知函数 f x x2 m2xm,gx ，且函数y  f x2是偶函数．
x
(1)求gx的解析式；
 1 
(2)若不等式glnxnlnx0在 ,1 上恒成立，求n的取值范围；
 
e2 
学科网（北京）股份有限公司(3)若函数y  g  log  x2 4  k 2 9恰好有三个零点，求k的值及该函数的零点．
2 log  x2 4 
2
数学答案
一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的．
1．C【解析】由log x2，解得0 x4，则B   x 0 x4  ．又∵A  x 1 x2  ，
2
∴A∩B(0,2)．故选：C．
2．D【解析】命题“x0,x32x1”的否定是：“x0,x32x1”．故选：D．
3．D【解析】由题意得：a2 2a21解得a1或a 3，
又函数 f(x)在(0,)上单调递增，则a 3，则g(x)bx31(b1)，
当x30即x3时，g(3)2，
则g(x)bxa 1(b1)过定点(3,2)．故选：D．
4．A【解析】y 2.1x是R上的单调增函数，故2.11.9 2.11.3 2.10 1，故d a1；
又y 0.3x是R上的单调减函数，故10.30 0.31.3 0，即0b1；
又y log x是(0,)上的单调增函数，故log 0.8log 10，即c0；
2 2 2
综上所述：d a bc．故选：A．
2
5．A【解析】记OA R，如图，在△OAB中，因为OAOB R,AB2 3,AOB ，
3
1
AB
π 3 3
2
所以 sin ，即  ,R 2，
R 3 R 2
1 2π 1 2π 1
又l  l ，即OD  OB ，所以OC OD R1，
2 2 1 3 2 3 2
1 1 1 2π
所以扇面字画部分的面积为S  OA2  OC2     22 12  π，故选：A．
2 2 2 3
学科网（北京）股份有限公司2512
6．D【解析】设在最坏的情况下，这台计算机破译该密码所需时间为x秒，则有x ；
1.251013
2512
两边取常用对数，得lgxlg lg2512 lg1.251013；
1.251013
lgx512lg2(lg1.2513)512lg2(3lg511)
512lg23(1lg2)11515lg214140.5;
所以x10140.5 10140100.5 3.1610140．故选：D．
7．A【解析】由2x 2y 3x 3y移项变形为2x 3x 2y 3y
设 f(x)2x 3x
因为2x、3x单增，易知 f(x)是定义在R上的增函数，故由2x 3x 2y 3y，可得x y，
所以yx0 yx11，从而ln(yx1)0，故选：A．
8．A【解析】因为A∩B ，所有A,B，
由2x x2 0，得2x  x2，
如图，作出函数y  x2,y 2x的图象，
由图可知，不等式2x x2 0(x0)的解集为[2，4]，
 
所以A x 2x x2 0且xR [2,4]，
由x2 (3a1)x2a2 2a0，得(x2a)[x(a1)]0，
当2aa1，即a1时，则B，不符题意；
学科网（北京）股份有限公司当2aa1，即a1时，则B(a1,2a)，
由a1，得a12，
a 1

根据嵌套集合的定义可得a14，解得2a3；

2a 4

当2aa1，即a1时，则B(2a,a1)，
a1

由a1，得2a2，根据嵌套集合的定义可得a14，无解，

a12

综上所述，实数a的取值范围为(2,3)．故选：A．
二、多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．
9．ACD【解析】因为41236052，
所以与412°角的终边相同角为k36052,kZ ，
当k 1时，308，
当k 0时，52，
当k 2时，772，
当k 3时，1132，
综上，选项A、C、D正确.故选：ACD．
10．CD【解析】对于A，当c2 0时，若ab，有ac2 bc2，不满足ac2 bc2，故A错误；
对于B，当B时，方程ax20无解，则a0；
2 2 2
当B时，由方程ax20，解得x ，可得 1或 2，解得a2或﹣1，
a a a
综上所述，a的解集为{1,0,2}，故B错误；
对于C，由题意可知：方程ax2 bxc0的解为x 1,x 3，且a0，
1 2
b c b c
由韦达定理可得x x  ,x x  ，则 4, 3，
1 2 a 1 2 a a a
解得b4a,c3a，
学科网（北京）股份有限公司则不等式cx2 bxa0为3ax2 4axa0
 1 
由a0，则不等式变为3x2 4x10，解得x x 或x1，故C正确；
 3 
对于D，由题意可得2 x3，则1 x14，所以函数 f(x)的定义域为[1,4]，
对于函数 f(x1)，则1 x14，解得0 x5，所以其定义域为0,5，故D正确；
故选：CD．
a2 b2 ab 2 1
11．ACD【解析】对于A，因为a0,b0，且ab1，由 
 
 ，
2  2  4
1 1
得a2 b2  ，当且仅当a b 时，等号成立，所以A正确；
2 2
ab 1 1
对于B，因为a0,b0，且ab1，所以 ab   ，当且仅当a b 时，等号成立，所以
2 2 2
B错误；
对于C，因为a0,b0，且ab1，所以
1 1 1 1 b a b a b a 1
   (ab)2  22  4，当且仅当  ，即a b 时，等号成立，所
 
a b a b a b a b a b 2
以C正确；
对于D，因为a0,b0，且ab1，所以( a  b)2 12 ab 1(ab)2，即 a  b  2 ，
1
当且仅当a b 时，等号成立，所以D正确．
2
故选：ACD．
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
12．2ln3【解析】因为 f(x)是定义在R上的奇函数，所以 f(0)0，
f(1)f(1)ln3，则 f(0)2f(1)2ln3
1  1
13．

,

【解析】因为函数 f(x)ln(1|x|) 的定义域为R，f(x) f(x)，所以函数 f(x)
2  1x2
为偶函数，
1
当x[0,)时， f(x)ln(1x) ，易知y ln(1x)在x[0,)上递增，
1x2
学科网（北京）股份有限公司1
y  在x[0,)上递减，所以函数 f(x)在x[0,)上递增．
1x2
1 1 
原不等式等价于 f(|x|) f(|x1|)，所以|x||x1|，解得：x ．故答案为：

,

．
2 2 
14．(1)1(2分) (2)4(3分)
x2 2x1,x0
【解析】画出 f(x) 的图象：
 log
0.5
x , x0
因为方程 f(x)a有四个不同的解x ,x ,x ,x ，故 f(x)的图像与 y a有四个不同的交点，又由图，
1 2 3 4
f(0)1, f(1)2故a的取值范围是[1,2)，故a的最小值是1．
x x
又由图可知， 1 2 1 x x 2, log x  log x ，故
2 1 2 0.5 3 0.5 4
log x log x log x x 0，故x x 1．
0.5 3 0.5 4 0.5 3 4 3 4
16 16
故x x x  2x  ．
4 1 2 x x2 4 x
3 4 4
又当a1时，log x 1 x 2．当a2时，log x 2 x 4，故x [2,4)．
0.5 4 4 0.5 4 4 4
16 16
又 y 2x  在 x [2,4) 时 为 减 函 数 ， 故 当 x 2 时 y 2x  取 最 大 值 ， 此 时
4 x 4 4 4 x
4 4
16
y 22 4．
2
故答案为：(1)1(2)4
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
2
1 1 7
15．(13分)解：(1)原式3log
2


( 2)3


 2 
233
4
2
4
；
1
(2)因为a2x 2，所以a2x  ，
2
学科网（北京）股份有限公司a3x a3x  ax ax a2x 1a2x 3
所以  a2x 1a2x  ．
ax ax ax ax 2
(采用其他方法，依步骤给分)
16．(15分)解：(1)由xA是xB的必要不充分条件，得B是A的真子集，
则当B时，a12a10，解得a11，
a12a10 a12a10
当B时， ，或 ，解得a1或7a11，
a10 2a104
综上所述，a(,1]∪[7,)．
(2)由题意知“a[1,3],ax2 (2a1)x3a…0”为真命题．
令g(a)ax2 2axx3a  x2 2x1  ax30，
1 x4,
g(1)0, x2 3x40, 
则 ，即 解得 5
g(3)0, 3x2 5x0,

x 或x0,
 3
5 
所以x的取值范围为[1,0]∪ ,4 ．
 
3 
t2 1
17．(15分)解：(1)令 2x1t(t 0)，则x ，
2
t2 1 t2 2t1
所以 f(t) t  (t 0)，
2 2
x2 2x1
所以 f(x) ,x[0,)．
2
6x
(2)由题意知，问题转化为m 在(0,2]上有解，
x2 3
6x
设g(x) ，
x2 3
6x 6 3
则g(x)  ,x(0,2]，又x 2 3，
x2 3 3 x
x
x
当且仅当x 3时取等号，
6
则g(x)   3，故m 3．
max
2 3
学科网（北京）股份有限公司 
所以实数m的取值范围是 , 3 ．
0 x4 4 x10
 
18．(17分)解：(1)依题意，令y4则 x 或 36 ．
8 4 4
 
 2 x2
解得0 x4或4 x7 0 x7
∴一次喷洒1个单位的去污剂，去污时间可达7天．
(2)设从第一次喷洒起，经x(6 x10)天空气中的去污剂浓度为 f(x)，
36  x6 36 a
则 f(x) a

8

  x11a(6 x10)，
x2  2  x2 2
依题意 f(x)4对一切6 x10恒成立 f (x)4，
min
又 f(x)在(6,10]上单调递减， f (x) f(10)36a，
min
1
∴36a4，∴a 0.2，
6
故a的最小值为0.2．
19．(17分)解：(1)∵ f(x) x2 (m2)xm，
 f(x2)(x2)2 (m2)(x2)m x2 (m6)x83m．
∵y  f(x2)是偶函数，m60,m6．
 f(x) x2 4x6，
6
g(x) x 4(x0)．
x
 1 
(2)令lnxt，∵x

,1

，∴ t[2,0)，
e2 
 1 
不等式g(lnx)nlnx0在

,1

上恒成立，等价于g(t)nt 0在t[2,0)上恒成立，
e2 
6
t 4
t 6 4 6 4
即n 1    1在t[2,0)上恒成立．
t t2 t t2 t
6 4 1 1 5 5
令z   1, s，则s ,z 6s2 4s1 ,n ．
t2 t t 2 2 2
学科网（北京）股份有限公司(3)令log  x2 4   p，则 p2，
2
2 2
方程glog  x2 4 k 90可化为g(p)k 90，
 2  log  x2 4  p
2
6 2k p2 5p(2k6)
即 p 4 90，也即 0．
p p p
又∵偶函数y  g  log  x2 4  k 2 9恰好有三个零点，所以必有一个零点为0，
2 log  x2 4 
2
p2 5p2k6
∴ 0有一个根为2，∴k 6，∴ p2 5p60，解得 p2或 p3．
p
由log  x2 4  2，得x0，由log  x2 4  3，得x2，∴零点为0，﹣2，2．
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