北京小升初重点中学真题之逻辑推理篇
1（首师附中考题）
A、B、C、D、E、F 六人赛棋，采用单循环制。现在知道：A、B、C、D、E 五人已经分
别赛过5．4、3、2、l 盘。问：这时F 已赛过 盘。
2 （三帆中学考题）
甲、乙、丙三人比赛象棋，每两人赛一盘.胜一盘得2 分．平一盘得1 分，输一盘得
0 分.比赛的全部三盘下完后，只出现一盘平局．并且甲得3 分，乙得2 分，丙得1
分.那么，甲 乙，
甲 丙，乙 丙（填胜、平、负）。
3（西城实验考题）
A、B、C、D、E、F 六个选手进行乒乓球单打的单循环比赛(每人都与其它选手赛一
场)，每天同时在三张球台各进行一场比赛，已知第一天B 对D，第二天C 对E，第
三天D 对F，第四天B 对C，问：第五天A 与谁对阵?另外两张球台上是谁与谁对
阵?
4 （人大附中考题）
一个岛上有两种人：一种人总说真话的骑士，另一种是总是说假话的骗子。一天，
岛上的2003 个人举行一次集会，并随机地坐成一圈，他们每人都声明：“我左右
的两个邻居是骗子。”第二天，会议继续进行，但是一名居民因病未到会，参加会
议的2002 个人再次随机地坐成一圈，每人都声明：“我左右的两个邻居都是与我
不同类的人。”问有病的居民是_________(骑士还是骗子)。
5 (西城实验考题)
某班一次考试有52 人参加，共考5 个题，每道题做错的人数如下：
题号 1 2 3 4 5
人数 4 6 10 20 39
又知道每人至少做对一道题，做对一道题的有7 人，5 道题全做对的有6 人，做对
2 道题的人数和3 道题的人数一样多，那么做对4 道题的有多少人?
预测1
学校新来了一位老师，五个学生分别听到如下的情况：
（1）是一位姓王的中年女老师，教语文课；
（2）是一位姓丁的中年男老师，教数学课；
（3）是一位姓刘的青年男老师，教外语课；
（4）是一位姓李的青年男老师，教数学课；
（5）是一位姓王的老年男老师，教外语课。
他们听到的情况各有一项正确，请问：真实情况如何？
预测2
某次考试，A，B，C，D，E 五人的得分是互不相同的整数。
A 说：“我得了94 分。”
B 说：“我在五人中得分最高。”
C 说：“我的得分是A 和D 的平均分。”
D 说：“我的得分恰好是五人的平均分。”
E 说：“我比C 多得2 分，在我们五人中是第二名。”
问：这五个人各得多少分？
预测3
A，B，C，D 四个队举行足球循环赛（即每两个队都要赛一场），胜一场得3
分，平一场得1 分，负一场得0 分。已知：
（1）比赛结束后四个队的得分都是奇数；
（2）A 队总分第一；
（3）B 队恰有两场平局，并且其中一场是与C 队平局。
问：D 队得几分？
逻辑推理篇答案
1（首师附中考题）
【解】单循环制说明每个人都要赛5 盘，这样A 就跟所有人下过了，再看E，他只
下过1 盘，这意味着他只和A 下过，再看B 下过4 盘，可见他除了没跟E 下过，
跟其他人都下过；再看D 下过2，可见肯定是跟A，B 下的，再看C，下过3 盘，可
见他不能跟E，D 下，所以只能跟A，B，F 下，所以F 总共下了3 盘。
2（三帆中学考题）
【解】甲得3 分，而且只出现一盘平局，说明甲一胜一平；乙2 分，说明乙一胜一负；
丙1 分，说明一平一负。这样我们发现甲平丙，甲胜乙，乙胜丙。
3（西城实验考题）
【解】 天数 对阵 剩余对阵
第一天 B---D A、C、E、F
第二天 C---E A、B、D、F
第三天 D---F A、B、C、E
第四天 B---C A、D、E、F
第五天 A---？ ？
从中我们可以发现D 已经和B、C 对阵了，这样第二天剩下的对阵只能是A---D、
B---F；又C 已经和E、B 对阵了，这样第三天剩下的对阵只能是C---A、B---E；这
样B 就已经和C、D、E、F 都对阵了，只差第五天和A 对阵了，所以第五天A---B；
再看C 已经和A、B、E 对阵了，第一天剩下的对阵只能是C---F、A---E；这样A 只
差和F 对阵了，所以第四天A---F、D---E；所以第五天的对阵：A---B、C---D、E---
F。
4（人大附中考题）
【解】:2003 个人坐一起，每人都声明左右都是骗子，这样我们可以发现要么是骗
子和骑士坐间隔的坐，要不就是两个骗子和一个骑士间隔着坐，因为三个以上的
骗子肯定不能挨着坐，这样中间的骗子
就是说真话了。再来讨论第一种情况，显然骑士的人数要和骗子的人数一样多，
而现在总共只有2003 人，所以不符合情况，这样我们只剩下第二种情况。这样我
们假设少个骗子，则其中旁边的那个骗子左右两边留下的骑士，这样说明骗子说
“我左右的两个邻居都是与我不同类的人”是真话。所以只能是少个骑士。
5 (西城实验考题)
【解】: 总共有52×5=260 道题，这样做对的有260-（4+6+10+20+39）=181 道题。
对2 道,3 道,4 道题的人共有
52-7-6=39(人).
他们共做对
181-1×7-5×6=144(道).
由于对2 道和3 道题的人数一样多,我们就可以把他们看作是对2.5 道题的人
((2+3)÷2=2.5).这样转化成鸡兔同笼问题：所以对4 道题的有 (144-2.5×39)÷(4-
1.5)=31(人).
答:做对4 道题的有31 人.
预测1
【答】姓刘的老年女老师，教数学。
提示：假设是男老师，由（2）（3）（5）知，他既不是青年、中年，也不是老年，矛盾，
所以是女老师。再由（1）知，她不教语文，不是中年人。假设她教外语，由（3）（5）
知她必是中年人，矛盾，所以她教数学。由（2）（4）知她是老年人，由（3）知她姓刘。
预测2
【答】B，E，D，C，A 依次得98，97，96，95，94 分。
解：由B，E 所说，推知B 第一、E 第二；由C，D 所说，推知C，D 都不是最低，所以
A 最低；由A 最低及C 所说，推知C 在A，D 之间，即D 第三、C 第四。五个人得分
从高到底的顺序是B，E，D，C，A。
因为C 是A，D 的平均分，A 是94 分，所以D 的得分必是偶数，只能是96 或98。
如果D 是98 分，则C 是（98＋94）÷2＝96（分）， E 是96＋2＝98（分），与D 得分
相同，与题意不符。因此D 是96 分，C 得95 分，E 得97 分， B 得96×5－（94＋95
＋96＋97）＝98（分）。B，E，D，C，A 依次得98，97，96，95，94 分。
预测3
【答】3 分。
解：B 队得分是奇数，并且恰有两场平局，所以B 队是平2 场胜1 场，得5 分。A 队
总分第一，并且没有胜B 队，只能是胜2 场平1 场（与B 队平），得7 分。因此C 队
与B 队平局，负于A 队，得分是奇数，所以只能得1 分。D 队负于A 队和B 队，胜
C 队，得3 分。
北京小升初重点中学真题之比例百分数篇
1（清华附中考题）
甲、乙两种商品，成本共2200 元，甲商品按20%的利润定价，乙商品按15%的利
润定价，后来都按定价的90%打折出售，结果仍获利131 元，甲商品的成本是
________元.
2（101 中学考题）
100 千克刚采下的鲜蘑菇含水量为99%，稍微晾晒后，含水量下降到98%，那么这
100 千克的蘑菇现在还有多少千克呢？
3（实验中学考题）
有两桶水：一桶8 升，一桶13 升，往两个桶中加进同样多的水后，两桶中水量之
比是5：7，那麽往每个桶中加进去的水量是________升。
4（三帆中学考题）
有甲、乙两堆煤，如果从甲堆运12 吨给乙堆，那么两堆煤就一样重。如果从乙堆
运12 吨给甲堆，那么甲堆煤就是乙堆煤的2 倍。这两堆煤共重（ ）吨。
5（人大附中考题）
一堆围棋子黑白两种颜色，拿走15 枚白棋子后，黑子与白子的个数之比为2:1；
再拿走45 枚黑棋子后，黑子与白子的个数比为1:5，开始时黑棋子，求白棋子各
有多少枚？
预测1
某中学，上年度高中男、女生共290 人.这一年度高中男生增加4％，女生增加
5％，共增加13 人.本年度该校有男、女生各多少人？
预测2
袋子里红球与白球数量之比是19：13。放入若干只红球后，红球与数量之比变为
5：3；再放入若干只白球后，红球与白球数量之比变为13：11。已知放入的红球比
白球少80 只，那么原先袋子里共有多少只球？
比例百分数篇答案
1 （清华附中考题）
【解】：设方程：设甲成本为X 元，则乙为2200-X 元。根据条件我们可以求出列出
方程：90%×[（1+20%）X+(1+15%)(2200-X)]-2200=131。解得X=1200。
2 （101 中学考题）
【解】：转化成浓度问题
相当于蒸发问题，所以水不变，列方程得：100×（1-99%）=（1-98%）X，解得X=50。
方法二：做蒸发的题目，要改变思考角度，本题就应该考虑成“98％的干蘑菇加
水后得到99％的湿蘑菇”，这样求出加入多少水份即为蒸发掉的水份，就又转变
成“混合配比”的问题了。但要注意，10 千克的标注应该是含水量为99％的重量
将100 千克按1∶1 分配，所以蒸发了100×1/2=50 升水。
3 （实验中学考题）
【解】此题的关键是抓住不变量：差不变。这样原来两桶水差13-8=5 升，往两个桶
中加进同样多的水后，后来还是差5 升，所以后来一桶为5÷（7-5）×5=12.5，所以
加入水量为4.5 升。
4 （三帆中学考题）
【解】从甲堆运12 吨给乙堆两堆煤就一样重说明甲堆比乙堆原来重12×2=24 吨，
这样乙堆运12 吨给甲堆，说明现在甲乙相差就是24+24=48 吨，而甲堆煤就是乙
堆煤的2 倍，说明相差1 份，所以现在甲重48×2=96 吨，总共重量为48×3=144 吨。
5 （人大附中考题）
【解】第二次拿走45 枚黑棋，黑子与白子的个数之比由2:1（=10：5）变为1:5，而其
中白棋的数目是不变的，这样我们就知道白棋由原来的10 份变成现在的1 份，减
少了9 份。
这样原来黑棋=45÷9×10=50，白棋=45÷9×5+15=40。
预测1
【解】男生156 人，女生147 人。
如果女生也是增加 4％，这样增加的人数是290×4％＝11.6（人）.比 13 人少 1.4
人.因此上年度是 1.4÷（5％- 4％）＝140（人）.本年度女生有140×（1＋5％）＝
147（人）.
预测2
【解】放入若干只红球前后比较，那白球的数量不变，也就是后项不变；再把放入
若干只白球的前后比较，红球的数量不变，因此可以根据两次变化前后的不变量
来统一，然后比较。
红 白
原来 19 ：13=57：39
加红 5 ： 3=65：39
加白 13 ：11=65：55
原来与加红球后的后项统一为3 与13 的最小公倍数为39，再把加红与加白的前
项统一为65
与13 的最小公倍数65。观察比较得出加红球从57 份变为65 份，共多了8 份，加
白球从39 份变为55 份，共多了16 份，可见红球比白球少加了8 份，也就是少加
了80 只，每份为10 只，总数为（57+39）×10=960 只。
北京小升初重点中学真题之找规律篇
1（西城实验考题）
有一批长度分别为1，2，3，4， 5，6，7，8，9，10 和11 厘米的细木条，它们的数量都
足够多，从中适当选取3 根木条作为三条边，可围成一个三角形;如果规定底边是
11 厘米，你能围成多少个不同的三角形?
2（三帆中学考题）
有7 双白手套，8 双黑手套，9 双红手套放在一只袋子里。一位小朋友在黑暗中从
袋中摸取手套，每次摸一只，但无法看清颜色，为了确保能摸到至少6 双手套，他
最少要摸出手套（ ）只。
(手套不分左、右手，任意二只可成一双) 。
3（人大附中考题）
某次中外公司谈判会议开始10 分钟听到挂钟打钟（只有整点时打钟，几点钟就响
几下），整个会议当中共听到14 下钟声，会议结束时，时针和分针恰好成90 度角，
求会议开始的时间结束的时间及各是什么时刻。
4（101 中学考题）
4 道单项选择题，每题都有A、B、C、D 四个选项，其中每题只有一个选项是正确
的，有800 名学生做这四道题，至少有_________人的答题结果是完全一样的？
5 (三帆中学考题)
设有十个人各拿着一只提桶同时到水龙头前打水，设水龙头注满第一个人的桶需
要1 分钟，注满第二个人的桶需要2 分钟，…….如此下去，当只有两个水龙头时，
巧妙安排这十个人打水，使他们总的费时时间最少.这时间等于_________分钟.
预测 1
在右图的方格表中，每次给同一行或同一列的两个数加1，经过若干次后，能否使
表中的四个数同时都是5 的倍数？为什么？
1 2
4 3
预测 2
甲、乙两厂生产同一规格的上衣和裤子，甲厂每月用16 天生产上衣，14 天做裤
子，共生产448 套衣服（每套上衣、裤子各一件）；乙厂每月用12 天生产上衣，18
天生产裤子，共生产720 套衣服。两厂合并后，每月（按30 天计算）最多能生产多
少套衣服？
找规律篇之答案
1 （西城实验考题）
【解】由于数量足够多，所以考虑重复情况；现在底边是11，我们要保证的是两边
之和大于第三边，这样我们要取出的数字和大于11.情况如下：
一边长度取11，另一边可能取1～11 总共11 种情况；
一边长度取10，另一边可能取2～10 总共9 种情况；
… …
一边长度取6，另一边只能取6 总共1 种；
下面边长比6 小的情况都和前面的重复，所以总共有1+3+5+7+9+11=36 种。
2 （三帆中学考题）
【解】考虑运气最背情况，这样我们只能是取了前面5 双颜色相同的后再取三只
颜色不同的，如果再取一只，那么这只的颜色必和刚才三只中的一只颜色相同故
我们至少要取5×2+3+1=14 只。
3（人大附中考题）
【解】因为几点钟响几下，所以14=2+3+4+5，所以响的是2、3、4、5 点，那么开始后
10 分钟才响就是说开始时间为1 点50 分。结束时，时针和分针恰好成90 度角，
所以可以理解为5 点过几分钟时针和分针成90 度角，这样我们算出答案为
10÷11/12=1010/11 分钟，所以结束时间是5 点1010/11 分钟。
（可以考虑还有一种情况，即分针超过时针成90 度角，时间就是40÷11/12）
4 （101 中学考题）
【解】: 因为每个题有4 种可能的答案，所以4 道题共有4×4×4×4＝256 种不同的
答案，由抽屉原理知至少有： [799/256]+1＝4 人的答题结果是完全一样的．
5 (三帆中学考题)
【解】不难得知应先安排所需时间较短的人打水．
不妨假设为：
第一个水龙头 第二个水龙头
第一个 A F
第二个 B G
第三个 C H
第四个 D I
第五个 E J
显然计算总时间时，A、F 计算了5 次，B、G 计算了4 次，C、H 计算了3 次，D、I 计
算了2 次，E、J 计算了1 次．
那么A、F 为1、2，B、G 为3、4，C、H 为5、6，D、I 为7、8，E、J 为9、10．
所以有最短时间为(1+2)×5+(3+4)×4+(5+6)×3+(7+8)×2+(9+10)×1＝125 分钟．
评注：下面给出一排队方式：
第一个水龙头 第二个水龙头
第一个 1 2
第二个 3 4
第三个 5 6
第四个 7 8
第五个 9 10
预测 1
【解】：要使第一列的两个数1，4 都变成5 的倍数，第一行应比第二行多变（3+5n）
次；要使第二列的两个数2，3 都变成5 的倍数，第一行应比第二行多变（1+5m）次。
因为（3+5n）除以5 余3，（1+5m）除以5 余1，所以上述两个结论矛盾，不能同时
实现。注：m，n 可以是0 或负数。
预测2
【解】：应让善于生产上衣或裤子的厂充分发挥特长。甲厂生产上衣和裤子的时间
比为8∶7，乙厂为2∶3，可见甲厂善于生产裤子，乙厂善于生产上衣。
因为甲厂 30 天可生产裤子 448÷14×30＝960（条），乙厂30 天可生产上衣
720÷12×30=1800（件），960＜1800，所以甲厂应专门生产裤子，剩下的衣裤由乙厂
生产。
设乙厂用x 天生产裤子，用（30-x）天生产上衣。由甲、乙两厂生产的上衣与裤子
一样多，可得方程
960＋720÷18×x=720÷12×（30-x），
960＋40x＝1800-60x，
100x＝840，
x=8.4（天）。
两厂合并后每月最多可生产衣服
960＋40×8.4＝1296（套）。
北京小升初重点中学真题之方程篇
1 （清华附中考题）
10 名同学参加数学竞赛，前4 名同学平均得分150 分，后6 名同学平均得分比10
人的平均分少20 分，这10 名同学的平均分是________分.
2 （西城实验考题）
某文具店用16000 元购进4 种练习本共6400 本。每本的单价是：甲种4 元，乙种3
元，丙种2 元，丁种1．4 元。如果甲、丙两种本数相同，乙、丁两种本数也相同，那
麽丁种练习本共买了_________本。
3（人大附中考题）
某商店想进饼干和巧克力共444 千克，后又调整了进货量，使饼干增加了20 千克
巧克力减少5%，结果总数增加了7 千克。那么实际进饼干多少千克？
4 （北大附中考题）
六年级某班学生中有1/16 的学生年龄为13 岁，有3/4 的学生年龄为12 岁，其余
学生年龄为11 岁，这个班学生的平均年龄是_________岁。
5 (西城外国语考题)
某个五位数加上20 万并且3 倍以后，其结果正好与该五位数的右端增加一个数
字2 的得数相等，这个五位数是__________。
6 （北京二中题）
某自来水公司水费计算办法如下：若每户每月用水不超过5 立方米，则每立方米
收费1.5 元，若每户每月用水超过5 立方米，则超出部分每立方米收取较高的定
额费用，1 月份，张家用水量是李家用水量的 ，张家当月水费是17.5 元，李家当
月水费27.5 元，超出5 立方米的部分每立方米收费多少元？
方程篇答案:
1 （清华附中考题）
【解】：设10 人的平均分为a 分，这样后6 名同学的平均分为a-20 分，所以列方程：
[ 10a-6×（a-20）]÷4=150 解得：a=120。
2 （西城实验考题）
【解】：设甲、丙数目各为a，那么乙、丁数目为（6400-2a）/2，所以列方程
4a+3×（6400-2a）/2+2a+1．4×（6400-2a）/2=16000 解得：a=1200。
3（人大附中考题）
【解】：设饼干为a，则巧克力为444-a，列方程：
a+20+（444-a）×（1+5%）-444=7 解得：a=184。
4 （北大附中考题）
【解】：因为是填空题，所以我们直接设这个班有16 人，计算比较快。所以题目变
成了：1 个学生年龄为13 岁，有12 个学生年龄为12 岁，3 个学生学生年龄为11
岁，求平均年龄？
(13×1+12×12+11×3)÷16＝11.875，即平均年龄为11.875 岁。
如果是需要写过程的解答题，则可以设这个班的人数为a，则平均年龄为：
＝11.875。
5 (西城外国语考题)
【解】：设这个五位数为x，则由条件(x+200000)×3＝10x+2，解得x＝85714。
6 （北京二中题）
【解】： 设出5 立方米的部分每立方米收费X，
（17.5-5×1.5）÷X+5=[（27.5-5×1.5）÷X+5]×（2/3）解得：X=2。
北京小升初重点中学真题之计数篇
1 （人大附中考题）
用1～9 可以组成______个不含重复数字的三位数：如果再要求这三个数字中任
何两个的差不能是1，那么可以组成______个满足要求的三位数．
2 （首师附中考题）
有甲、乙、丙三种商品，买甲3 件，乙7 件，丙1 件，共需32 元，买甲4 件，乙10 件，
丙1 件，共需43 元，则甲、乙、丙各买1 件需________元钱？
3 （三帆中学考题）
某小学有一支乒乓球队，有男、女小队员各8 名，在进行男女混合双打时，这16
名小队员可组成＿＿对不同的阵容.
预测
有10 个箱子，编号为1，2，…，10，各配一把钥匙，10 把各不相同，每个箱子放进
一把钥匙锁好，先撬开1，2 号箱子，取出钥匙去开别的箱子，如果最终能把所有
箱子的锁都打开，则说是一种好的放钥匙的方法。求好的方法的总数。
计数篇答案：
1 （人大附中考题）
【解】1) 9×8×7=504 个
2）504-（6+5+5+5+5+5+5+6）×6-7×6=210 个
（减去有2 个数字差是1 的情况，括号里8 个数分别表示这2 个数是12，23，34，
45，56，67，78，89 的情况，×6 是对3 个数字全排列，7×6 是三个数连续的123 234
345 456 567 789 这7 种情况）
2 （首师附中考题）
【解】：3 甲+7 乙+丙=32
4 甲+10 乙+丙=43
组合上面式子，可以得到：甲+3 乙=11，可见：甲+乙+丙=4 甲+10 乙+丙-3 甲-9 乙
=43-3×11=10。
3 （三帆中学考题）
【解】先把男生排列起来，这就有了顺序的依据，那么有8 名女生全排列为8！＝
40320．
预测
【解】：设第1，2，3，…，10 号箱子中所放的钥匙号码依次为k1，k2，k3，…，k10。当
箱子数为n（n≥2）时，好的放法的总数为an。
当n=2 时，显然a2=2（k1=1，k2=2 或k1=2，k2=1）。
当n=3 时，显然k3≠3，否则第3 个箱子打不开，从而k1=3 或k2=3，于是n=2
时的每一组解对应n=3 的2 组解，这样就有a3=2a2=4。
当n=4 时，也一定有k4≠4，否则第4 个箱子打不开，从而k1=4 或k2=4 或
k3=4，于是n=3 时的每一组解，对应n=4 时的3 组解，这样就有a4=3a3=12。
依次类推，有
a10=9a9=9×8a8=…
=9×8×7×6×5×4×3×2a2
=2×9！=725760。
即好的方法总数为725760。
北京小升初重点中学真题之数论篇
数论篇一
1 （人大附中考题）
有____个四位数满足下列条件：它的各位数字都是奇数；它的各位数字互不相同
它的每个数字都能整除它本身。
2 （101 中学考题）
如果在一个两位数的两个数字之间添写一个零，那么所得的三位数是原来的数的
9 倍，问这个两位数
是＿＿。
3（人大附中考题）
甲、乙、丙代表互不相同的3 个正整数，并且满足：甲×甲=乙+乙=丙×135．那么甲
最小是____。
4 (人大附中考题)
下列数不是八进制数的是( )
A、125 B、126 C、127 D、128
预测
1．在1～100 这100 个自然数中，所有不能被9 整除的数的和是多少？
预测
2．有甲、乙、丙三个网站，甲网站每3 天更新一次，乙网站每五5 天更新一次，丙
网站每7 天更新一次。2004 年元旦三个网站同时更新，下一次同时更新是在____
月____日？
预测
3、从左向右编号为1 至1991 号的1991 名同学排成一行．从左向右1 至11 报数，
报数为11 的同学原地不动，其余同学出列；然后留下的同学再从左向右1 至11
报数，报数为11 的同学留下，其余的同学出列；留下的同学第三次从左向右1 至
1l 报数，报到11 的同学留下，其余同学出列．那么最后留下的同学中，从左边数
第一个人的最初编号是______．
数论篇二
1 （清华附中考题）
有3 个吉利数888，518，666，用它们分别除以同一个自然数，所得的余数依次为
a,a+7,a+10,则这个自然数是_____.
2 （三帆中学考题）
140，225，293 被某大于1 的自然数除,所得余数都相同。2002 除以这个自然数的
余数是 .
3 （人大附中考题）
某个两位数加上3 后被3 除余1，加上4 后被4 除余1，加上5 后被5 除余1，这个
两位数是______.
4 （101 中学考题）
一个八位数，它被3 除余1，被4 除余2，被11 恰好整除，已知这个八位数的前6
位是257633，那么它的后两位数字是__________。
5 （实验中学考题）
(1)从1 到3998 这3998 个自然数中，有多少个能被4 整除?
(2)从1 到3998 这3998 个自然数中，有多少个各位数字之和能被4 整除?
预测
1. 如果1＝1！，1×2＝2！，1×2×3＝3！……1×2×3×……×99×100＝100！那么
1！+2！+3！+……+100！的个位数字是多少？
预测
2．（★★★★）公共汽车票的号码是一个六位数，若一张车票的号码的前3 个数
字之和等于后3 个数字之和，则称这张车票是幸运的。试说明，所有幸运车票号
码的和能被13 整除。
数论篇一答案：
1 （人大附中考题）
【解】：6
2 （101 中学考题）
【解】：设原来数为ab ，这样后来的数为a0b, 把数字展开我们可得：
100a+b=9×(10a+b),所以我们可以知道5a=4b,所以a=4,b=5,所以原来的两位数为
45。
3 （人大附中考题）
甲、乙、丙代表互不相同的3 个正整数，并且满足：甲×甲=乙+乙=丙×135．那么甲
最小是____。
【解】：题中要求丙与135 的乘积为甲的平方数，而且是个偶数（乙+乙），这样我们
分解135=5×3×3×3，所以丙最小应该是2×2×5×3，所以甲最小是：2×3×3×5=90。
4 (人大附中考题)
【解】：八进制数是由除以8 的余数得来的，不可能出现8，所以答案是D。
数论篇二答案：
1 （清华附中考题）
【解】：处理成余数相同的，则888、518-7、666-10 的余数相同，这样我们可以转化
成同余问题。这样我们用总结的知识点可知：任意两数的差肯定余0。那么这个自
然数是888-511=377 的约数,又是888-656=232 的约数，也是656-511=145 的约数，
因此就是377、232、145 的公约数,所以这个自然数是29。
2 （三帆中学考题）
【解】：这样我们用总结的知识点可知：任意两数的差肯定余0。那么这个自然数
是293-225=68 的约数,又是225-140=85 的约数，因此就是68、85 的公约数,所以
这个自然数是17。所以2002 除以17 余1
3 （人大附中考题）
【解】：“加上3 后被3 除余1”其实原数还是余1，同理这个两位数除以4、5 都余
1，这样，这个数就是[3、4、5]+1=60+1=61。
4 （101 中学考题）
【解】：设后面这个两位数为ab，前面数字和为26 除以3 余2，所以补上的两位数
数字和要除以3 余2。同理要满足除以4 余2；八位数中奇数位数字和为
（2+7+3+a）,偶数位数字和为（5+6+3+b）这样要求a=b+2，所以满足条件的只有86
5 （实验中学考题）
【解】1、[ ]=999 个。
2、对于每一个三位数×××来说，在1 ×××、2×××、3 ×××和4×××这4 个数中恰好有
1 个数的数字和能被4 整除．所以从1000 到4999 这4000 个数中，恰有1000 个数
的数字和能被4 整除．
同样道理，我们可以知道600 到999 这400 个数中恰有100 个数的数字和能被4
整除，从200 到599 这400 个数中恰有100 个数的数字和能被4 整除．
现在只剩下10 到199 这190 个数了．我们还用一样的办法．160 到199 这40 个数
中，120 到159 这40 个数中，60 到88 这40 个数中，以及20 到59 这40 个数中分
别有10 个数的数字和能被4 整除．而10 到19，以及100 到1t9 中则只有13、17、
103、107、112 和116 这6 个数的数字和能被4 整除．
所以从10 到4999 这4990 个自然数中，其数字和能被4 整除的数有
1000+100×2+10×4+6=1246 个．
[方法二]：
解：第一个能数字和能够被4 整除的数是13，最后一个是4996，这中间每4 位数
就有一个能够满足条件，所以4996－13＝4983，4983÷4＝1245（个），而第一个也
是能够满足的，所以正确答案是
1245＋1＝1246（人）或者就直接用4996－12＝4984，用4984÷4＝1246（个）
[拓 展]：1 到9999 的数码和是等于多少？
北京小升初重点中学真题之模拟训练篇（上）
北京小升初重点中学真题之模拟训练篇（下）
北
京
小
升
初
重
点
中
学
真
题
之
圆
和
立
体
篇
北
京
小
升
初
重
点
中
学
真
题
之
直
线
型
面
积
篇
北
京
小
升
初
重
点
中
学
真
题
之
计
算
篇
北京小升初重点中学真题之工程问题篇
1 （三帆中学考题）
原计划18 个人植树，按计划工作了2 小时后，有3 个人被抽走了，于是剩下的人
每小时比原计划多种1 棵树，还是按期完成了任务.原计划每人每小时植______
棵树.
2 （首师附中考题）
一项工程，甲做10 天乙20 天完成，甲15 天乙12 也能完成。现乙先做4 天，问甲
还要多少天完成？
3 （人大附中考题）
一部书稿，甲单独打字要14 小时完成，乙单独打字要20 小时完成。如果先由甲打
1 小时，然后由乙接替甲打1 小时，再由甲接替乙打1 小时，……两人如此交替工
作。那么，打完这部书稿时，甲、乙二人共用了多少小时？
4 （西城四中考题）
如果用甲、乙、丙三那根水管同时在一个空水池里灌水，1 小时可以灌满；如果用
甲、乙两管，1 小时20 分钟可以灌满；如果用乙、丙两根水管，1 小时15 分钟可以
灌满，那么，用乙管单独灌水的话，灌满这一池的水需要 ______小时。
预测
有A，B 两堆同样多的煤，如果只装运一堆煤，那么甲车需要20 时，乙车需要24
时，丙车需要30 时。现在甲车装运A 堆煤，乙车装运B 堆煤，丙车开始先装运A
堆煤，中途转向装运B 堆煤，三车同时开始，同时结束装完这两堆煤。丙车装运A
堆煤用了多少时间？
预测
单独完成一件工程，甲需要24 天，乙需要32 天。若甲先做若干天以后乙接着做，
则共用26 天时间，问：甲独做了几天？
预测
某水池有甲、乙、丙3 个放水管，每小时甲能放水100 升，乙能放水125 升。现在
先使用甲放水，2 小时后，又开始使用乙管，一段时间后再开丙管，让甲、乙、丙3
管同时放水，直到把水放完。计算甲、乙、丙管的放水量，发现它
们恰好相等。那么水池中原有多少水？
工程问题答案
1 （三帆中学考题）
【解】： 3 人被抽走后，剩下15 人都多植树1 棵，这样每小时都总共多植树15 棵
树，因为还是按期完成任务，所以这15 棵树肯定是3 人原来要种的，所以原来每
人要植树15÷3=5 棵。
2 (首师附中考题）
【解】：甲10 天+乙20 天=1；甲15 天+乙12 天=1，所以工作量：甲10 天+乙20 天=
甲15 天+乙12 天，等式两端消去相等的工作量得：乙8 天=甲5 天，即乙工作8 天
的工作量让甲去做只要5 天就能完成，那么整个工程全让甲做要15+12× =22.5
天。现在乙了4 天就相当于甲做了4× =2.5 天，所以甲还要做20 天。
3 （人大附中考题）
【解】：甲的工作效率= ，乙的工作效率= ，合作工效= ，甲乙交替工作相当于甲
乙一起合作1 小时，这样1÷ = =8… ，所以合作了8 小时，这样还剩下 就是甲做
的，所以甲还要做 ÷ =3 ，所以两人总共作了8+8+ 小时。
4 （西城四中考题）
【解】：方法一：（编者推荐用法）甲、乙、丙60 分钟可以灌满，甲、乙两管80 分钟
可以灌满，乙、丙两根水管75 分钟可以灌满；这样我们先找出60、80、75 的最小
公倍数，即1200，所以我们假设水池总共有1200 份，这样甲、乙、丙每分钟灌
1200÷60=20 份，甲、乙每分钟灌1200÷80=15 份，乙、丙每分钟灌1200÷75=16 份，
所以乙每分钟灌15+16-20=11 份，这样乙单独灌水要1200÷11= 分钟。
方法二：设工作效率求解，省略。
5 (北大附中考题)
【解】：假设每个工人每小时做一份，这样总工程量=15×4×18=1080 份，增加3 人
每天增加
1 小时，那么需要的时间=1080÷（15+3）÷(4+1)=12 天，所以提前6 天完成。
北大附中辅导班试题之：工程问题（一）
北
大
附
中
辅
导
班
试
题
之
：
工
程
问
题
（
二
）
北
大
附
中
培
训
试
题
系
列
之
：
工
程
问
题
（
一
）
北
大
附
中
培
训
试
题
系
列
之
：
工
程
问
题
（
二
）
北大附中培训试题系列之：工程问题（三）
北
大
附
中
辅
导
班
试
题
之
：
分
数
与
百
分
数
北大附中辅导班试题之：计算问题
清华附中培训试题系列之：工程问题
清
华
附
中
培
训
试
题
系
列
之
：
工
程
问
题
清
华
附
中
辅
导
班
试
题
之
：
几
何
问
题
清
华
附
中
辅
导
班
试
题
之
：
分
数
与
百
分
数
小升初数论测试题
基础题
1 （05 年人大附中考题）
有____个四位数满足下列条件：它的各位数字都是奇数；它的各位数字互不相同
它的每个数字都能整除它本身。 （基础题）
2 （05 年101 中学考题）
如果在一个两位数的两个数字之间添写一个零，那么所得的三位数是原来的数的
9 倍，问这个两位数是＿＿。 （基础题）
3 （05 年首师附中考题）
+
+
=＿＿。 （基础题）
4 （04 年人大附中考题）
甲、乙、丙代表互不相同的3 个正整数，并且满足：甲×甲=乙+乙=丙×135．那么甲
最小是____。（基础题）
5．（★）一个自然数和60 相乘得到的积是3 次方数，这个最小的自然数是多少？
（基础题）
6．（★★）在1～100 这100 个自然数中，所有不能被9 整除的数的和是多少？
（基础题）
7．（★★）某班学生不超过60 人，在一次数学测验中，分数不低于90 分的人数占
，得80～89 分的人数占
，得70～79 分得人数占
，那么得70 分以下的有
________人。（基础题）
8．（★★）有甲、乙、丙三个网站，甲网站每3 天更新一次，乙网站每五5 天更新一
次，丙网站每7 天更新一次。2004 年元旦三个网站同时更新，下一次同时更新是
在____月____日？（基础题）
9、（★★★）一个两位奇数除1477，余数是49，那么，这个两位奇数是多少？（基
础题）
10，若把１４分成若干个自然数的和，再计算这些数的乘积，则乘积中最大的数
为（ ）。 （03 年人大附分班）（基础题）
11.甲、乙两数的最小公倍数是90，乙、丙两数的最小公倍数是105，甲、丙两数的
最小公倍数是126，那么甲数是多少? （基础题）
12．某校师生为贫困地区捐款1995 元．这个学校共有35 名教师，14 个教学班．各
班学生人数相同且多于30 人不超过45 人．如果平均每人捐款的钱数是整数，那
么平均每人捐款多少元? （基础题）
13．173 口是一个四位数．数学老师说：“我在其中的方框内中先后填入3 个数字
所得到的3 个四位数：依次可被9，11，6 整除．”问：数学老师先后填入的3 个数
字的和是多少? （基础题）
14，某个七位数1993 口口口能够同时被2，3，4，5，6，7，8，9 整除，那么它的最后
三位数字依次是多少? （基础题）
15，在六位数11 口口11 中的两个方框内各填入一个数字，使此数能被17 和19
整除，那么方框中的两位数是多少? （基础题）
16，（06 年实验中学考题）（基础题）
(1)从1 到3998 这3998 个自然数中，有多少个能被4 整除?
(2)从1 到3998 这3998 个自然数中，有多少个各位数字之和能被4 整除?
17（★★★）有一个三位数，其中个位上的数是百位上的数的3 倍。且这个三位数
除以
5 余4，除以11 余3。这个三位数是___。（基础题）
18.一个数去除551,745,1133,1327 这4 个数,余数都相同.问这个数最大可能是多
少? （基础题）
19 （06 年清华附中考题）
有3 个吉利数888，518，666，用它们分别除以同一个自然数，所得的余数依次为
a,a+7,a+10,则这个自然数是_____. （基础题）
20，（03 年人大附中考题）（基础题）
某个两位数加上3 后被3 除余1，加上4 后被4 除余1，加上5 后被5 除余1，这个
两位数是______.
21，数360 的约数有多少个?这些约数的和是多少? （基础题）
较难题
1.一个数，若它本身增加3，那么新的三位数的各位数字之和就减少到原来三位
数的各位数字之和的
，则所有这样的三位数的和是多少？（01 年人大附分班）
2，沿江有1、2、3、4、5、6 号六个码头，相邻两码头间的距离都相等。早晨有甲、乙
两船从1 号码头出发，各自在这些码头间多次往返运货。傍晚，甲船停泊在6 号码
头，乙船停泊在1 号码头，求证：甲、乙两船的航程不相等。
小升初数论测试题答案
基础题
1 （05 年人大附中考题）
有____个四位数满足下列条件：它的各位数字都是奇数；它的各位数字互不相同
它的每个数字都能整除它本身。 （基础题）
【解】：6
2 （05 年101 中学考题）
如果在一个两位数的两个数字之间添写一个零，那么所得的三位数是原来的数的
9 倍，问这个两位数是＿＿。 （基础题）
【解】：设原来数为ab ，这样后来的数为a0b, 把数字展开我们可得：
100a+b=9×(10a+b),所以我们可以知道5a=4b,所以a=4,b=5,所以原来的两位数为
45。
3 （05 年首师附中考题）
+
+
=＿＿。 （基础题）
【解】：周期性数字，每个数约分后为
+
+
+
=1
4 （04 年人大附中考题）
甲、乙、丙代表互不相同的3 个正整数，并且满足：甲×甲=乙+乙=丙×135．那么甲
最小是____。（基础题）
【解】：题中要求丙与135 的乘积为甲的平方数，而且是个偶数（乙+乙），这样我们
分解135=5×3×3×3，所以丙最小应该是2×2×5×3，所以甲最小是：2×3×3×5=90。
5．（★）一个自然数和60 相乘得到的积是3 次方数，这个最小的自然数是多少？
（基础题）解：60=2×2×3×5，所以最小自然数是2×3×3×5×5=450．
6．（★★）在1～100 这100 个自然数中，所有不能被9 整除的数的和是多少？
（基础题）
解：1+2+……+100=5050
9+18+27+……+99=9×(1+2+……+11)=495
随意1-100 中所有不能被9 整除的数的和是5050-495=4555
7．（★★）某班学生不超过60 人，在一次数学测验中，分数不低于90 分的人数占
，得80～89 分的人数占
，得70～79 分得人数占
，那么得70 分以下的有
________人。（基础题）
解：有
、、，说明总人数一定为7 的倍数、2 的倍数、3 的倍数，故为[7、2、3]＝
42 的倍数；
又由于人数不超过60 人，故这班的人数只能为42 人。
从而70 分以下的有：42×
＝1 人。
8．（★★）有甲、乙、丙三个网站，甲网站每3 天更新一次，乙网站每五5 天更新一
次，丙网站每7 天更新一次。2004 年元旦三个网站同时更新，下一次同时更新是
在____月____日？（基础题）
解：3、5、7 最小公倍数是105，所以下次要经过105 天，所以下次再更新时间应该
是4 月14 号。
9、（★★★）一个两位奇数除1477，余数是49，那么，这个两位奇数是多少？（基
础题
解：这个两位奇数能被1477-49=1428 整除，且必须大于49,1428=2×2×3×7×17,所
以这样的两位奇数只有51。
10，若把１４分成若干个自然数的和，再计算这些数的乘积，则乘积中最大的数
为（ ）。 （03 年人大附分班）（基础题）
答案：162
11.甲、乙两数的最小公倍数是90，乙、丙两数的最小公倍数是105，甲、丙两数的
最小公倍数是126，那么甲数是多少? （基础题）
答案：甲为18
12．某校师生为贫困地区捐款1995 元．这个学校共有35 名教师，14 个教学班．各
班学生人数相同且多于30 人不超过45 人．如果平均每人捐款的钱数是整数，那
么平均每人捐款多少元? （基础题）
【分析与解】 这个学校最少有35+14×30=455 名师生，最多有35+14×45=665 名
师生，并且师生总人数能整除1995．
1995=3×5×133，在455～665 之间的约数只有5×133=665，所以师生总数为665 人，
则平均每人捐款1995÷665=3 元．
13．173 口是一个四位数．数学老师说：“我在其中的方框内中先后填入3 个数字
所得到的3 个四位数：依次可被9，11，6 整除．”问：数学老师先后填入的3 个数
字的和是多少? （基础题）
解答：采用试除法，用1730 试除，1730÷9=192……2，1730÷1l=157……3，
1730÷6=288……2．所以依次添上(9-2=)7、(11-3=)8、(6-2=)4 后得到的1737、1738、
1734 依次能被9、11、6 整除．所以，这三种情况下填入口内的数字的和为
7+8+4=19．
14，某个七位数1993 口口口能够同时被2，3，4，5，6，7，8，9 整除，那么它的最后
三位数字依次是多少? （基础题）
解答：采用试除法，一个数能同时被2，3，4，5，6，7，8，9 整除，而将这些数一一分
解质因数：
，所以这个数一定能被
×
×5×7=8×9×5×7=2520 整除．
用1993000 试除，1993000÷2520=790……2200，余2200 可以看成不足2520-
2200=320，所以在末三位的方格内填入320 即可．
15，在六位数11 口口11 中的两个方框内各填入一个数字，使此数能被17 和19
整除，那么方框中的两位数是多少? （基础题）
采用试除法，如果一个数能同时被17 和19 整除，那么一定能被323 整除．
110011÷323=340… … 191 ，余191 也可以看成不足(323-191=)132 ．所以当
132+323n 是100 的倍数时，才能保证在只改动110011 的千位、百位数字，而得到
323 的倍数．所以有323n 的末位只能是10-2=8，所以n 只能是6，16，26，…
验证有n=16 时，132+323×16=5300，所以原题的方框中填入5，3 得到的115311
满足题意．
16，（06 年实验中学考题）（基础题）
(1)从1 到3998 这3998 个自然数中，有多少个能被4 整除?
(2)从1 到3998 这3998 个自然数中，有多少个各位数字之和能被4 整除?
【解】1、[
]=999 个。
2、略
17（★★★）有一个三位数，其中个位上的数是百位上的数的3 倍。且这个三位数
除以
5 余4，除以11 余3。这个三位数是___。（基础题）
解：首先个位数不是4 就是9，又因为它是百位的3 倍所以一定是9，那么百位就
是3,又因为它被11 除余3，因此十位是9
18.一个数去除551,745,1133,1327 这4 个数,余数都相同.问这个数最大可能是多
少? （基础题）
【分析与解】 这个数A 除55l,745,1133,1327, 所得的余数相同, 所以有
551,745,1133,1327 两两做差而得到的数一定是除数A 的倍数．
1327-1133=194,1133-745=388,745-551=194,1327-745=582,1327-
551=776,1133-551=582．
这些数都是A 的倍数,所以A 是它们的公约数,而它们的最大公约数(194，
388，194，582，776，582)=194．
所以,这个数最大可能为194．
19 （06 年清华附中考题）
有3 个吉利数888，518，666，用它们分别除以同一个自然数，所得的余数依次为
a,a+7,a+10,则这个自然数是_____. （基础题）
【解】：处理成余数相同的，则888、518-7、666-10 的余数相同，这样我们可以转化
成同余问题。这样我们用总结的知识点可知：任意两数的差肯定余0。那么这个自
然数是888-511=377 的约数,又是888-656=232 的约数，也是656-511=145 的约数，
因此就是377、232、145 的公约数,所以这个自然数是29。
20，（03 年人大附中考题）（基础题）
某个两位数加上3 后被3 除余1，加上4 后被4 除余1，加上5 后被5 除余1，这个
两位数是______.
【解】：“加上3 后被3 除余1”其实原数还是余1，同理这个两位数除以4、5 都余
1，这样，这个数就是[3、4、5]+1=60+1=61。
21，数360 的约数有多少个?这些约数的和是多少? （基础题）
【分析与解】 360 分解质因数:360=2×2×2×3×3×5=23×32×5；
所有360 的约数的和为(1+3+32)×(1+2+22+23)×(1+5)．于是,我们计算出
值:13×15×6=1170．
小升初测试卷一（计算综合）
基础题部分
算式123456787654321×(1+2+3+4+5+6+7+8+7+6+5+4+3+2+1)的结果等于自然数
__________的平方．（基础题）（5 分）
（★），计算：
（裂项基本问题）（4 分）
3，（★）
（裂项基本题）（3 分）
4，（★）、试求1×2+2×3+3×4+4×5+5×6+…+99×100 的结果。（整数裂项，基本问
题）（6 分）
5、2006×2007200720072007－2007×2006200620062006=_________________
（基本问题）（4 分）
6，
（5 分）（基本问题）
7. 已知：S=
, 则
S
的整数部分是
_______________________.（基本问题）（4 分）
8， （06 年清华附中考题）
计算：39×
＋148×
＋48×
=________________（基础题）（3 分）
9， (06 年首师附中考题)
=______________ （3 分）
10
、
（
★
★
★
）
（基
础题）（6 分）
11，（★）将右式写成分数
（基础题）（7 分）
12，
（基础题）（6 分）
13，4×5×6×7×……×355×356 的末尾有( )个零。（基础题）（6 分）
14.计算：
（人大附01 分班考试题）
（5 分）
（裂项基础
题）
（8 分）
16，数列：
中，分数
在这个数列中位于第（ ）项。
（03 人大附分班）（7 分）
17， （06 年西城实验考题）
一串分数：
其中的第2000 个
分数是 （7 分）
较难题部分
18，
19， （06 年人大附中考题）
=________________
20，5.计算：
（人大附01 年分班考
试）
21
求：a＋b；a-b；a×b；a÷b；3×a＋2×b 的值。
22，
=(
)（03 人大附分班）
23，
＝（ ）（03 人大附分班）
24，（★★★）
221
41
17
13
3
13
1
5
1
)
1995
112
8
665
117
6
(
【来源】北京市第十一届“迎春杯”刊赛第24 题
25
=______（8 分）（较难问题）
难题
26、
，
试比较a 与b 的大小。（10 分）（难题）
27，
。
（9 分）（较难题）
28，（本题偏难）
（12 分）
29.设
是有序的数，已知：=1，
，若
，求m 的值。
(03 人大附分班)
小升初真题测试卷答案（基础题）
（1）88888888
（2），7/8
（3）
（4）333300
(5) 0.
(6)
(7) 74
(8) 148
（9）9
（10）9
(11) 12/19
（12）
(13) 87
（14）1
（15）
(16) 7757840
(17)
