文档文本内容
第三单元 因数与倍数
一、教学内容
教材第30～51 页的“例1～例12”以及练习五～七。
二、教材分析
本单元主要教学因数和倍数，以及公因数和公倍数等内容。本单元内容大
体分三段安排：第一段，认识因数和倍数，学习在1～100 的自然数中有序地找
出10 以内某个数的所有倍数，以及100 以内某个数的所有因数；探索2、5、和
3 的倍数的特征，学习判断一个数是不是2、5 或3 的倍数，同时认识奇数和偶
数。第二段，认识质数、合数和质因数，学习把一个合数分解质因数。第三段，
认识公因数和最大公因数，探索求两个数的最大公因数的方法；认识公倍数和
最小公倍数，探索求两个数的最小公倍数的方法。最后，安排了全单元内容的
整理与练习。
三、学情分析
本单元内容是在学生已经认识了亿以内的数，以及学习了整数四则运算的
基础上进行教学的。学习本单元内容，又为后续学习分数的基本性质、约分和
通分，以及分数四则运算打下基础。
四、教学目标
1. 使学生经历探索非0 自然数的有关特征的活动，知道因数和倍数的含义；
能找出100 以内某个自然数的所有因数，能在1～100 的自然数中找出10 以内
某个数的所有倍数；知道2、5 和3 的倍数的特征，能判断一个数是不是2、5
或3 的倍数；了解奇数和偶数、质数和合数的含义，会分解质因数。
2. 使学生通过具体的操作和交流活动，认识公因数与最大公因数、公倍数
与最小公倍数；会求100 以内两个数的最大公因数和10 以内两个数的最小公倍
数。
3. 使学生在探索和发现数学知识的过程中，积累数学活动的经验，培养观
察、比较、分析和归纳的能力，感受一些简单的数学思想，进一步发展数感。
4. 使学生在参与学习活动的过程中，培养主动与他人合作交流的意识，体
验数学学习活动的乐趣，增强对数学学习的自信心。
五、教学重、难点
教学重点：掌握倍数和倍数、质数和合数、最大公因数和最小公倍数等概
念的联系和区别，掌握求两个数最大公因数和最小公倍数的基本方法。
教学难点：根据数的特点合理灵活地确定两个数的最大公因数和最小公倍
数，以及根据对最大公因数和最小公倍数的理解正确解答相关的实际问题。
六、课时安排
因数和倍数…………………………………………1 课时
2 和5 的倍数的特征………………………………1 课时
3 的倍数的特征……………………………………1 课时
因数和倍数练习……………………………………1 课时
质数和和合数………………………………………1 课时
分解质因数…………………………………………1 课时
公因数和最大公因数………………………………2 课时
公倍数和最小公倍数………………………………2 课时
因数与倍数整理与练习……………………………2 课时
和与积的奇偶性……………………………………1 课时
第一课时 因数和倍数
教学内容：
苏教版义务教育教科书《数学》五年级下册第30～32 页例1、例2 和“试
一试”、例3 和“试一试”“练一练”，第35 页练习五第1～4 题。
教学目标：
1.使学生认识倍数和因数，能判断两个自然数间的因数和倍数关系；学会
找一个数的因数和倍数的方法，能按顺序找出100 以内自然数的所有因数，10
以内自然数的所有倍数；了解一个数的因数、倍数的特点。
2.使学生经历探索求一个数的因数或倍数的方法、一个数的因数和倍数特
点的过程，体会数学知识、方法的内在联系，能有条理地展开思考，培养观察、
比较，以及分析、推理和抽象、概括等思维能力，发展数感。
3.使学生主动参与操作、思考、探索等活动，获得解决问题的成功感受，
树立学好数学的信心，养成乐于思考、勇于探究等良好品质。
教学重点：
认识因数和倍数。
教学难点：
求一个数的因数、倍数的方法。
教学准备：
同桌准备12 个同样大的正方形学具。
教学过程：
一、操作引入，认识意义
1.操作交流。
引导：你能用12 个小正方形拼成一个长方形吗？请同桌两人合作拼一拼，
看看每排摆几个，摆了几排，想想有几种拼法，用算式把你的拼法表示出来。
学生操作，用算式表示，教师巡视。
交流：你有哪些拼法？请你说一说，并交流你表示的算式。
结合学生交流，呈现不同拼法，分别板书出积是12 的三道乘法算式（包括
可以板书除法算式）。
2.认识意义。
(1)说明：我们先看4×3=12。根据4×3-12，我们就可以说：4 和3 都是12 的
因数；反过来，12 是4 的倍数，也是3 的倍数。
要求学生看算式模仿说一说哪个是哪个的因数、倍数，再指名多位学生说
一说。（如果交流中出现除法算式，还可以引导学生根据板书的除法算式说一
说因数或倍数关系）
让学生集体说一说，体会因数和倍数关系。
(2)启发：现在让你看另外两个算式，你能说一说哪个是哪个的因数，哪个
是哪个的倍数吗？同桌互相说说看。
交流：根据6×2=12 可以怎样说？（指名多人说一说，再集体说一说）根据
12×1=12 呢？
要求学生看后两个算式集体说一说因数和倍数关系。
(3)小结：从上面可以看出，在整数乘法算式里，两个乘数都是积的因数，
积是两个乘数的倍数。它们之间的关系是相互依存的。这就是我们今天学习的
新内容：因数和倍数。（板书课题）在研究因数和倍数时，所说的数一般指不
是O 的自然数。[在课题下面板书：（指不是0 的自然数）]
追问：想一想，上面12 的因数都是怎样找到的？
你能根据上面的想法说说12 的因数一共有哪几个吗？
说明：从上面算式可以看出，如果要找12 的因数，只要想哪两个整数相乘
等于12。因为1×12、2×6 和3×4 都等于12，所以12 的因数有1、2.3.4、6、12
这6 个。（板书：12 的因数有：1，2，3，4，6，12）
3.做“练一练”第1 题。
先要求分别看乘法算式说说哪个数是哪个数的因数，哪个数是哪个数的倍
数。
再让学生把乘法算式改写成除法算式，（分别板书除法算式）然后分别看
除法算式说说哪个数是哪个数的因数，哪个数是哪个数的倍数。
提问：能单独说8 是因数，72 是倍数吗？你是怎样想的？
指出：乘法和除法是有联系的算式，根据乘法算式或除法算式，都可以知
道谁是谁的因数，谁是谁的倍数。因数和倍数是根据整数乘法或除法算式确定
的，表示数与数之间的一种关系，不能单独说谁是因数、谁是倍数，应该表达
清楚哪个数是哪个数的因数，哪个数是哪个数的倍数。
二、导探究，学会方法
1.找一个数的因数。
(1)出示例2，要求学生找出36 的所有因数，并思考是怎样找的。
让学生自己找36 的因数，并把所有因数记录下来。有困难时可以和同学商
量。
交流：36 的因数有哪些？说说你是怎样找的。
根据学生的交流，呈现各人找出的因数，并按交流的方法板书所有因数。
比较：你认为这里每人找因数的方法，哪个比较好一点？为什么？
追问：想一想，怎样找一个数的因数可以做到不重复、不遗漏？
说明：找36 的所有因数，可以按从小到大的顺序想哪两个数的积是36，一
对一对地找，也就是这样想：先想1 和36，写在因数的两端；（板书）再想2
和18.3 和12.4 和9、（5 可以吗？为什么？）6 和6，相同的只要写一个。中间
还有吗？（结合说明板书成：36 的因数有：1，2，3，4，6，9，12，1 8，36
。）
追问：你能说说找一个数的所有因数时，怎样可以做到不重复、不遗漏吗？
让学生按这样的方法把例2 里36 的因数补充完整。
提问：现在你能说出36 的全部因数了吗？（指名按顺序说一说）
说明：一个数的所有因数，还可以用一个圈表示，请大家看课本上的表示
方法，看看是怎样用图表示的。
追问：这个圈里表示的是什么？（呈现36 因数的集合图）
(2)完成“试一试”。
让学生独立找出1 5 和16 的所有因数，教师巡视、指导。
交流：15 有哪些因数，按怎样的方法想的？16 呢？（按一对一对的顺序板
书结果）
(3)发现特点。
引导：请大家观察这里写出的12、36、1 5 和1 6 的所有因数，找找有没有
什么共同的地方，能不能发现有什么特点？和同桌一起观察、交流。
交流：你发现有什么共同的特点？（学生交流、归纳，如果学生有困难，
可以启发：除了最小的因数都是1，还有什么共同点吗？最小的因数是1，最大
的因数是它本身，那因数的个数会有什么特点呢？）
指出：一个数的因数，最小的是1，最大的是它本身，个数是有限的. 书呈
现）
2.找一个数的倍数。
(1)引导：我们已经学会了找一个数的因数，那怎样找一个数的倍数呢？现
在请你找出3 的倍数，把它们记录下来。大家独立试一试。
学生自己找3 的倍数并且记录下来。
交流：你找到的3 的倍数有哪些？说说怎样找的o（根据交流，板书学生找
到的3 的倍数，并发现可以写出很多很多）
你认为哪个找倍数的方法比较好，是怎样找的？
说明：3 的倍数是3 和一个数相乘的积，我们可以从3 的1 倍开始按次序列
举出3 的倍数，3×1=3，3×2=6，3×3-9，…这样3 的倍数有多少个？为什么会有
无数个？那要怎样表示呢？（板书：3 的倍数有：3，6，9，12，…）
提问：怎样找一个数的倍数？为什么会有无数个？
说明：我们可以用列举的方法，从3 的1 倍开始依次列举出3 的倍数。因
为所乘的自然数1，2，3……是无限的，所以3 的倍数有无数个。在写一个数的
倍数时，要用省略号表示出来。
让学生用列举的方法补写例3 里3 的倍数。
提问：你能按顺序列举3 的倍数吗？大家根据填写的倍数集体说一说。
要求学生把3 的倍数在课本上的图里表示出来。
交流：这个圈里表示的是什么？在圈里写3 的倍数要注意什么？（省略
号）
(2)完成“试一试”。
让学生独立找出2 和5 的倍数，教师巡视、指导。
交流：2 的倍数有哪些？这是按什么方法找的?5 的倍数呢？写一个数的倍
数时要注意什么？（按顺序板书2 和5 的倍数，并注意用省略号表示）
说明：找一个数的倍数可以从乘1 开始，依次列举。因为一个数的倍数是
无限的，最后要注意用省略号表示。
(3)发现特点。
引导：请大家观察这几个数的倍数，能发现一个数的倍数有什么特点吗？
指出：一个数的倍数，最小的是它本身，没有最大的，个数是无限的。
（板书呈现）
三、练习巩固，应用拓展
1.做“练一练”第2 题和第3 题。
让学生填写因数和倍数。
交流：这两题你是怎样填的？（呈现结果）
提问：能说说找一个数的因数和找一个数的倍数的方法吗？
一个数最大的因数有什么特点？最小的倍数呢？
说明：求一个数的因数，可以从小到大按顺序找哪两个数的积是这个数；
求一个数的倍数可以从乘1 开始，依次列举出这个数的倍数。一个数最小的因
数是1，最大的因数和最小的倍数都是它本身。
2.做练习五第1 题。
引导学生了解题意，明确把24 人按排数和每排人数填表。
让学生独立完成填表并交流，说说怎样想的，结合呈现表内数据。
提问：这里的排数和每排人数都是24 的因数吗？为什么？
指出：依次对应的排数和每排人数相乘的积都是24，所以排数和每排人数
都是24 的因数。说明找一个数的因数时，可以依次想哪两个数的积是这个数，
这样的两个数就是它的因数。
3.做练习五第2 题。
让学生明确要求，完成填表。
交流结果并呈现，结合让学生说说怎样填的。
提问：每人应付4 元，应付元数都是4 的倍数吗？你是怎样得出这里的应
付元数的？
说明：这里的应付元数都是4 的倍数，因为这些对应的元数是把4 依次乘
1，2，3……得到的。把一个数依次乘1，2，3……所得的积，就能得出这个数
的倍数。
4.做练习五第3 题。
让学生在圈里填上合适的数。
交流：你是怎样填的？（呈现结果）
说明：因为4 的倍数是无限的，所以依次写出4 的一些倍数后，需要用省
略号表示；但50 以内7 的倍数最大的不会超过50，个数是有限的，所以这个圈
里不写省略号。
追问：为什么一个要写省略号，另一个不需要？
5.做练习五第4 题。
出示第4 题。
让学生按要求用相应符号圈出相应的数。
交流并呈现结果。
提问：观察直线上表示出的6 的因数和6 的倍数，你有什么要说的吗？
指出：6 的因数都不大于6；6 的倍数都不小于6 . 6 是6 最大的因数，也是
6 最小的倍数。
追问：6 是6 的因数，也是6 的倍数，这个说法对不对？8 是8 的因数，也
是8 的倍数呢？
6.填充。
(1)7 的倍数最小是( ),7 的因数最大是( )。
(2)一个数有因数3，它一定是( )的倍数。
(3)8 是2 的( )数，2 就是8 的( )数。
四、课堂总结，交流收获
提问：这节课你认识了什么知识，学到了什么方法？在学习过程中有哪些
收获和体会？
教学反思：
第二课时 2 和5 的倍数的特征
教学内容：
苏教版义务教育教科书《数学》五年级下册第32～33 页例4 和“练一
练”，第35～36 页练习五第5～7 题。
教学目标：
1.使学生认识和掌握2 和5 的倍数的特征，认识偶数和奇数；能判断或写出
2 和5 的倍数，并说明判断理由，能说出偶数或奇数。
2.使学生经历探索和发现2 和5 的倍数的特征的过程，培养观察、比较和抽
象、概括等思维能力，提高归纳推理的能力，积累数学活动的经验，进一步发
展数感。
3.使学生主动参与探索、发现规律的活动，体验发现规律的喜悦；感受数
学充满规律，对数学产生好奇心，增强学习数学的积极情感。
教学重点：
认识2 和5 的倍数的特征。
教学准备：
为学生每人准备百数表一张；每人准备0、5、6、7 四张数字卡片。
教学过程：
一、激活经验
引导：我们已经认识了因数和倍数，学会了找一个数的因数或倍数的方法。
想一想，如果告诉你一个数，比如3，怎样找出它的倍数？请你说一说找倍数
的方法。
在研究一个数的倍数时，人们发现了有一些数的倍数是有特征的。比如，
你任意说出一个数，我们就可以判断它是不是2 的倍数。大家一起来试试看：
有一个数是730，你觉得它会是2 的倍数吗？怎样想的？
揭题：这说明有的同学在以前的学习中，可能已经意识到了2 的倍数的特
点。今天我们就利用对倍数和因数的认识，通过找倍数，发现和认识2 和5 的
倍数的特征.（板书课题）
二、探究新知
1.找2 和5 的倍数。
出示例4，呈现百数表。
引导：请同学们拿出老师为大家准备的百数表，先在5 的倍数上画“△”，
再在2 的倍数上画“O"。在找这两个数的倍数时，请大家注意每行数里5 的倍
数有哪些，哪些数是2 的倍数。能行吗？
学生画符号，教师巡视、指导。 呈现分别画出符号的数，学生校对、
确认。
2.探究发现特征。
(1)引导：请观察表里5 的倍数，在每行里哪些是5 的倍数，你能发现5 的
倍数有什么特征吗？和同桌同学互相说一说。
交流：你发现5 的倍数有什么特征吗？
指出：5 的倍数，个位上是5 或0。（板书：5 的倍数，个位上是5 或0）
引导：你能任意说一个这样的三位数或者四位数，验证我们发现的特征吗？
大家试一试。（指名学生说出相应的数，引导用除法检验是不是5 的倍数）
追问：怎样的数是5 的倍数？
(2)提问：观察2 的倍数，有什么特征？
指出：2 的倍数，个位上是2、4、6、8、0。(板书：2 的倍数，个位上是
2、4、6、8、0)
引导：请同桌两人互相举出三位数或四位数的例子，验证发现的2 的倍数
的特征。
交流：你是怎样举例的？（学生口答举例）
个位上不是2、4、6、8、0 的数，会是2 的倍数吗？自己举出例子试一试。
交流：你举的什么例子，是不是2 的倍数？（指名学生举例说明）
追问：怎样的数是2 的倍数？
(3)引导：观察表里5 的倍数和2 的倍数，看看什么样的数既是5 的倍数，
又是2 的倍数。和同桌说说你的想法。
交流：怎样的数既是5 的倍数，又是2 的倍数？
说明：个位是0 的数，既是5 的倍数，又是2 的倍数。
3.认识偶数和奇数。
说明：我们已经认识了2 的倍数的特征。我们把是2 的倍数的数叫作偶数，
不是2 的倍数的数叫作奇数。（板书：偶数-2 的倍数奇数——不是2 的倍数）
引导：你能说出几个偶数吗？奇数呢？
追问：偶数和奇数就是我们以前说过的什么数？（双数和单数）
三、组织练习
1.做“练一练”第1 题。
让同桌同学先互相说一说。
指名学生交流，分别说出答案，结合说说理由。
提问：判断5 的倍数和2 的倍数，只要看哪一位上的数？
指出：看一个数是不是2 或5 的倍数，都只要看个位上的数。
2.做“练一练”第2 题。
学生先回答前两个问题。
让学生举例说说生活中的奇数和偶数。
3.做练习五第5 题。
让学生把偶数圈出来。
交流哪些是偶数，哪些是奇数。
4.做练习五第6 题。
(1)让学生用卡片按(1)的要求组成两位数，试试能组成几个这样的数。
交流组成了哪些偶数，明确可以用0 和6 作个位上的数，能组成5 个这样
的两位数。
(2)让学生完成第(2)题。
交流各人组成的两位数，明确能组成5 个这样的两位数。
(3)学生完成第(3)题。
交流结果，说出可以组成的3 个数。
5.做练习五第7 题。
让学生先涂一涂4 的倍数。
观察：4 的倍数都是2 的倍数吗？
引导：你知道为什么4 的倍数都是2 的倍数吗？
指出：因为4=2×2，4 是2 的倍数，也就是4 有因数2，这样4 的倍数也一
定有因数2，所以4 的倍数一定是2 的倍数。比如，12—4×3-2×2×3，12 就是2
的倍数；16—4×4-2×2×4，1 6 也是2 的倍数，等等。
追问：6 的倍数一定是2 的倍数吗？为什么？
6 的倍数一定是3 的倍数吗？说说你的理由。
说明：如果一个数是另一个数的倍数，那么这个数的倍数也一定是另一个
数的倍数。
6.填充。
(1)一个两位数是5 的倍数，它最小是( )，最大是( )。
(2)最小的偶数是( )，最小的奇数是( )。
(3)比10 小的数里，偶数有( )个，奇数有( )个。
(4)8 的倍数除了也是1 的倍数，还是( )或( )的倍数。
四、全课总结
提问：通过今天的学习，你有什么收获？
教学反思：
第三课时 3 的倍数的特征
教学内容：
苏教版义务教育教科书《数学》五年级下册第33～34 页例5、“练一练”
和“你知道吗”，第36 页练习五第8～10 题。
教学目标：
1.使学生认识和掌握3 的倍数的特点，能判断或写出3 的倍数，并能说明判
断理由。
2.使学生经历探索和发现3 的倍数的特征的过程，培养观察、比较和分析、
概括等思维能力，积累数学活动的经验，提高归纳推理的能力，进一步发展数
感。
3.使学生主动参与探索、发现规律的活动，获得探索数学结论的成功感受；
体验数学充满规律，体会数学的奇妙，增强学习数学的积极情感。
教学重点：
认识3 的倍数的特征。
教学难点：
研究并发现3 的倍数的特征。
教学准备
准备计数器教具和学具。
教学过程
一、激活经验
1.复习回顾。
提问：2 和5 的倍数有哪些特征？
回顾一下，我们是怎样发现2 和5 的倍数的特征的？（板书：找出倍数
——观察比较——发现特征）
2.引入课题。
谈话：我们上节课通过找2 和5 的倍数，对找出的倍数进行观察、比较，
分别发现了2 和5 的倍数的特征。今天，我们就按照这样的过程，探索、寻找3
的倍数的特征。（板书课题）
二、学习新知
1.提出猜想，引导质疑。
引导：我们知道2 的倍数，个位上是0.2.4.6.8;5 的倍数，个位上是5 或O.
那你能猜想一下3 的倍数会有什么特征吗？为什么这样想？说说你的想法。
（按思维惯性，可能许多学生会猜测个位上是3 的倍数）
许多同学认为，3 的倍数可能是个位上是3.6.9 的数。（板书：3 的倍数，个
位上是3、6、9）
质疑：利用以前的经验学习新内容，是不错的学习方法。今天大家联系2
和5 的倍数的特征这样猜想，想法是很好的，数学学习经常可以这样类推。那
这一次的猜想还对不对呢？大家来看几个数：13 是3 的倍数吗？26 和49 呢？
（根据回答擦去板书内容后半部分）
2.利用经验，组织探究。
(1)找3 的倍数。
引导：那现在怎么办？我们学习2 和5 的倍数特征时还有什么经验可以利
用？（找出倍数观察比较发现特征）
现在我们先找出100 以内3 的倍数，看看能不能发现什么规律。
出示百数表，让学生在3 的倍数上画“O”。
交流、呈现百数表里3 的倍数，有错的修正。
(2)探索特征。
观察：观察、比较这些3 的倍数，能发现3 的倍数的特征吗？
引导：单凭观察、比较，我们好像很难找到3 的倍数有什么特征。那组成3
的倍数的这些数字究竟有什么特点呢？我们现在在计数器上拨出几个3 的倍数
看一看，每个数各用了多少个珠。比如，我们先拨27，看看这个数要用多少个
珠子。（在计数器上演示拨27）
提问：可以怎样算出有几个珠？算一算拨27 这个数，一共用了几个珠？
（板书：2+7=9）
引导：你也能像这样拨出3 的倍数，算一算每个数各用了多少个珠子吗？
在自己的计数器上拨一拨，再算一算。
交流：你拨的什么数，用了多少个珠子？（学生交流，教师根据交流分别
板书计算珠子个数的算式）
提问：每个数位上的珠子个数代表的实际上是什么？它们的和呢？
观察我们算出的3 的倍数各个数位上数字的和，你有什么发现吗？请你试
着说说看。
归纳：3 的倍数，它的各个数位上数字的和是3 的倍数。（接“3 的倍数，
板书：各个数位上数字的和是3 的倍数）
引导：如果一个数不是3 的倍数，它各个数位上数字的和会是3 的倍数吗？
各人找几个这样的数算一算，看看会不会是3 的倍数。（学生计算）
交流：你找出的不是3 的倍数，它各个数位上数字的和是3 的倍数吗？（学
生举例，教师板书计算）
观察这里各个数位上数字的和，你有什么结论？
引导：现在发现，3 的倍数，各个数位上数字的和是3 的倍数；不是3 的倍
数，各个数位上数字的和就不是3 的倍数。你任意找一个三位数或四位数，先
按这样的结论判断是不是3 的倍数，再用除法算一算，看是不是符合上面的结
论。
交流：你举的什么数，与这个结论相符吗？
3.学生归纳，强化认识。
追问：现在你能告诉大家，经过找出倍数、观察比较，我们发现3 的倍数
有什么特征吗？
让学生读一读板书的结论。
强调：同学们通过自己的思考、探索，发现了一个数各个数位上数字的和
是3 的倍数，这个数就是3 的倍数；反之，一个数各个数位上数字的和不是3
的倍数，这个数就一定不是3 的倍数。
4.阅读“你知道吗”。
启发：当你发现3 的倍数的特征时，你对数学有什么感觉？
谈话：是的，数学很神奇、神秘，3 的倍数居然和它各个数位上数字的和
有这样密切的关系！数学有许多神奇、有趣的规律，只要我们具有一定基础，
认真探究，这一条条神奇的秘密和规律就会被发现和应用。下面请大家阅读课
本第34 页的“你知道吗”，看看会有什么神奇的规律告诉你。
交流：你知道了什么？什么样的数叫完全数？举例说一说。（结合举例6
和28，先板书因数，再板书表示完全数的等式）
现在发现的完全数都有什么特征？
三、练习巩固
1.做“练一练”第1 题。
让学生把3 的倍数圈出来。
交流哪些是3 的倍数，说说理由。
2.做“练一练”第2 题。
学生读题了解要求，提问学生除数是3，得数有没有余数是什么意思，
让学生很快说出有余数的算式。
指出：3 的倍数，除以3 没有余数；不是3 的倍数，除以3 就有余数。
3.做练习五第8 题。
让学生在方框里填数，组成3 的倍数，并想想每个数可以有多少种不同的
填法。
交流：你各是怎样填的，有几种填法？（板书不同填法）
说明：只要各个数位上数字的和是3 的倍数，它就是3 的倍数。
4.做练习五第9 题。
让学生读题，写出不同的三位数，看看自己能组成多少个。
交流：你怎样选3 个数字的，组成了几个三位数？说说你的想法。
结合交流板书出10 个不同的数，明确应该分别选择O、5、7 或5、6、7 这
样的3 个数字才能组成3 的倍数。再让学生对照一下，自己写出了多少个。
说明：看是不是3 的倍数，只要看各个数位上数字的和是不是3 的倍数，
而不管各个数位上的数字是几。
5.做练习五第10 题。
让学生先涂一涂6 的倍数并交流。
观察：6 的倍数都是3 的倍数吗？你能说说是怎样理解的吗？
四、课堂总结
提问：今天的学习你又有什么收获和体会？
判断3 的倍数的方法，和判断2、5 的倍数不同在哪里？
教学反思：
第四课时 因数和倍数练习
教学内容：
苏教版义务教育教科书《数学》五年级下册第36 页练习五第11～14 题，思
考题。
教学目标：
1.使学生进一步认识因数和倍数，掌握2、5、3 的倍数的特征；能判断或说
明两个数之间的因数和倍数关系，判断或说明2、5、3 的倍数，以及偶数和奇
数。
2.使学生进一步了解知识间的联系；通过判断、说明等活动，进一步体验简
单的演绎推理，发展分析、判断和推理等思维能力，进一步发展数感。
3.使学生积极参与数学活动，体验应用数学知识判断、推理的过程，养成善
于思考和言必有据的良好品质。
教学重点：
巩固倍数、因数和2、5、3 的倍数的特征。
教学过程：
一、揭示课题
谈话：我们已经学习了因数和倍数，今天我们主要练习因数和倍数的相关
知识。（板书课题）通过练习，要能进一步认识因数和倍数的意义，能判断或
说明数与数之间的因数和倍数关系；能应用知识判断2、5、3 的倍数，以及偶
数、奇数。
二、回顾内容
引导：对于因数和倍数，我们已经认识了哪些内容？ 你能举例说说因数和
倍数的关系吗？（结合板书算式，让学生说一说）
2、5、3 的倍数各有什么特征？根据2 的倍数你认识了什么知识？什么是偶
数或奇数?[结合回顾、交流板书：整数乘法a×b=c(0 除外)里，a 和b 是c 的因数
—一c 是a 和b 的倍数
2 的倍数：个位上2、4、6、8、0 一偶数、奇数
5 的倍数：个位上5 或0
3 的倍数：各个数位上数字的和是3 的倍数
指出：在整数乘法里，两个乘数是积的因数，反过来积是两个乘数的倍数。
2、5 的倍数只要看个位上的数，3 的倍数看各个数位上数字的和。
三、练习应用
1.做练习五第1 1 题。
让学生独立选择写出一个算式，再同桌互相说说哪个数是哪个数的因数，
哪个数是哪个数的倍数。
交流：你写的哪个算式，可以怎样说因数和倍数？（指名交流，结合板书
写成的不同算式，并集体说一说因数和倍数）
说明：从上面习题可以看出，因数和倍数是相互依存的。说一个数是另一
个数的因数，就意味着另一个数是这个数的倍数；反过来也一样，说一个数是
另一个数的倍数，就意味着另一个数是这个数的因数。比如，说3 和4 是12 的
因数，也就表示1 2 是3 和4 的倍数；反过来也一样，说12 是3 和4 的倍数，
也就表示3 和4 是12 的因数。
追问：36 是4 的倍数，还表示什么意思?9 是36 的因数呢？
2.练习。
(1)写一个能除尽的整数除法算式，说出哪个数是哪个数的因数，哪个数是
哪个数的倍数。
让学生独立写除法算式，同桌互相说说因数和倍数。
交流：你写的什么算式，可以怎样说？（结合交流板书算式，再指名说一
说或集体说一说）
说明：根据能除尽的整数除法算式，也可以说出数与数之间的因数和倍数
关系。
(2)用因数和倍数说说下面每组数里两个数的关系。 72 和8 13 和65
20 和5
(3)写出下面各数的因数。 4 15 28 42
学生独立完成.指名板演。
集体订正.说说怎样找一个数的所有因数。
(4)写出下面各数的倍数。 4 6 8 9
学生口答，教师板书。
指名说说怎样找一个数的倍数，写一个数的倍数要注意什么。
3.填充。
(1) 36 的因数有( )，其中偶数有( ).奇数有( ).
(2)9 的最大因数是( )，最小倍数是( ).
(3)1 的倍数有：( ).
(4)所有大于0 的自然数都是( )的倍数；( )是任何大于0 的自然数的
因数。
让同桌学生先讨论、交流，再集体交流，说明理由。
4.做练习五第12 题。
(1)让学生独立思考第12 题，再集体交流，并说说怎样想的。 追问：怎样
的数是2 的倍数?5 的倍数和3 的倍数呢？
(2)填充。
①在大于0 的自然数中，最小的偶数是( )，最小的奇数是( )。
②10 以内所有奇数的和是( )。
③小于30 的数中，既是2 的倍数又是3 的倍数的最大的—个是( )。
④n 是任意一个自然数，2n 表示的是( )数，2n +1 表示的是( )数。
5.做练习五第13 题。
让学生独立填写，并想想各有几种填法。
交流：你是怎样填的？说说你的想法。
追问：怎样可以知道一个数同时是两个不同数的倍数？
说明：要同时是两个不同的数的倍数，就要同时具有两个数的倍数特点。
比如，是5 的倍数又是3 的倍数的数，既要具有个位上是5 或0 的特点，又要各
个数位上数字的和是3 的倍数。
6.做练习五第14 题。
学生读题，了解问题意思。
(1)引导：3 个连续自然数的和是3 的倍数吗？怎样验证你的想法？
让学生自己写出3 个连续自然数算一算，比较结果。
交流：你是怎样验证的？（指名几人交流，教师板书实例，确认是3 的倍
数）
引导：如果用a 表示任意3 个连续自然数中间的一个数，你能用含有a 的式
子表示其他两个数吗？哪位说说你想怎样表示？（板书：a-1，a，a+l）
能用式子表示3 个数的和，说明它一定是3 的倍数吗？自己列出求和的字母
式子并且化简。
交流：你是怎样计算的？结果呢？（板书求和过程，得出3a）
说明：用字母表示任意3 个连续自然数，它们相加的和是3a，所以一定是3
的倍数。
(2)提问：3 个连续偶数或奇数的和是3 的倍数吗？
自己举例算一算，和同学说说你的结论。
交流：说说你的例子和结论。（板书指名学生交流的数和计算过程、结果，
说明结论）
引导：怎样像上面那样用字母表示3 个连续偶数或奇数，计算它们的和并说
明一定是3 的倍数呢？大家课后可以自己试一试。
四、练习小结
1.练习小结。
提问：通过今天的练习，你有哪些收获和体会？还有需要提出的问题吗？
2.完成思考题。
让学生独立思考、解答。
交流：你找到的是哪个数？怎样想的？
说明：我们可以先写出40 的所有因数，再找出其中5 的倍数。大家按这样
的方法做一做。
交流结果，得出可能是：5、10、20、40。
教学反思：
第五课时 质数和合数
教学内容：
苏教版义务教育教科书<数学》五年级下册第37 页例6、“试一试”和“练
一练”，第39 页练习六第1～3 题。
教学目标：
1.使学生认识质数和合数的意义，能判断或写出质数或者合数，并说明理由；
体会非0 自然数的分类，了解50 以内的质数。
2.使学生通过比较、分类、概括等活动认识质数和合数，积累认识数学概念
的基本活动经验，进一步体会分类的思想，培养观察、比较，以及抽象、概括
和判断、推理等思维能力。
3.使学生主动参与数学思考和交流等活动，体会数学内容的内在联系，产生
对数学的积极情感和主动学习数学的愿望。
教学重点：
理解和认识质数和合数。
教学过程：
一、导入新课
回顾：同学们在前面研究因数和倍数中，以是不是2 的倍数为标准对大于0
的自然数进行过分类，还记得按这个标准，把大于0 自然数分成了哪几类吗？
（板书：偶数奇数）
引入：这节课我们继续研究大于0 的自然数的分类。今天要按怎样的标准分
类，可以分成哪几类，分成的每一类是什么数呢？老师期望大家一起来研究分
类的标准，通过自己的分类认识质数和合数。（板书课题）
二、认识新知
1.出示例6。
了解题意，明确要求。
让学生分别写出6 个数的所有因数。
交流：这6 个数各有哪些因数？我们请一位同学来交流一下。
指名交流，并板书出6 个数的全部因数。
引导：现在大家观察这些数的因数，看看它们因数的个数有什么不同，你
想按什么分类？可以分成几类？在小组里先讨论，等会我们一起交流。
交流：你想按什么把这些数分类，分成几类？（学生交流不同想法，教师
引导统一为两类）
引导：大家想到了可以按因数的个数分类，只有两个因数的为一类，有两
个以上因数的为另一类。那这里只有两个因数的是哪几个数？有两个以上因数
的呢？请你在课本上填一填。
交流：你是怎样填的？观察这3 个数，只有两个因数的数，它们的因数是怎
样的两个数？（板书：只有1 和它本身两个因数）
有两个以上因数的数，它们的因数有什么特点？（板书：除了1 和它本身还
有别的因数）
揭示：像2、3、5 这几个数，只有1 和它本身两个因数，这样的数叫作质数；
（板书：质数）像6，8、9 这几个数，除了1 和它本身还有别的因数，也就是
有两个以上因数，这样的数叫作合数。（板书：合数）
追问：上面这几个数里，哪几个是质数？为什么？哪几个是合数？你是怎
样想的？
2.完善分类。
提问：1 是质数还是合数？说说你的想法。
说明：1 只有一个因数，所以它既不是质数，也不是合数。（板书：1:既不
是质数，也不是合数）
提问：回顾上面学习过程，你认为大于0 的自然数还可以按什么分类，分成
几类？
说明：大于0 的自然数按它的因数个数分类，可以分为三类：质数、合数和
l。[完善板书：
自然数 质数 ： 只有1 和它本身两个因数
（大于0 的）合数：除了1 和它本身还有别的因数
（两个以上）
1：既不是质数，也不是合数]
3.完成“试一试’’。
让学生先填写因数，再判断各是什么数。
交流：说说你的判断依据和判断结果。（指名交流，呈现结果）
4.回顾整理。
引导：上面我们把大于0 的自然数分成哪几类？每类数有什么特点？
我们是怎样认识质数和合数，并把大于0 的自然数分类的？
这里的分类和偶数、奇数的分类比较，有什么不同？
小结：我们先写出一些数的因数，根据因数的个数的特点，认识了质数和
合数：质数是只有两个因数的数，合数是有两个以上因数的数。1 只有一个因
数，既不是质数也不是合数。这样就按因数的个数把大于0 的自然数分成了三
类：质数、合数和1。这样按因数个数的分类和偶数、奇数的分类不同，偶数、
奇数是按是不是2 的倍数分类的。
追问：按因数的个数分类，可以分成哪几类？按是不是2 的倍数分类呢？
三、练习内化
1.做“练一练”。
让学生写出11～20 各数的因数，再在圈里填写合适的数。
交流结果。
引导：联系上面10 以内的数想一想，20 以内有哪些数是质数？
质数都是奇数吗？为什么不都是奇数？
明确：20 以内的质数是：2、3、5、7、1 1、1 3、1 7、19。质数不都是奇
数，因为2 是质数。
2.做练习六第1 题。
让学生先划去2 的倍数（2 本身不划去），了解方法。
再依次划去3、5、7 的倍数（3、5、7 本身不划去）。
交流划去的和剩下的数，确认结果。
提问：观察一下，剩下的都是什么数？
说明：按照这样的方法制成的数表，剩下的全是质数，得到的就是质数表。
质数表可以帮助我们判断一个数是不是质数。
3.做练习六第2 题。
学生根据要求分别填数。
交流结果，说说是怎样想的。
说明：判断一个数是质数还是合数，依据是质数和合数的意义。如果只有
两个因数，就是——（质数）；如果有两个以上因数，就是——（合数）。如
果有困难，还可以查质数表。
4.填充。（口答）
(1)质数只有( )个因数，合数至少有( )个因数。
(2)自然数中，最小的质数是( )，最小的合数是( )。
(3)比10 小的数里，质数有( )个，合数有( )个。
(4) 20 的因数有( )，其中是质数的有( )o
5.做练习六第3 题。
让学生在乘法算式里填上合适的质数。
交流并呈现结果。
提问：写成的算式中，积是质数还是合数？乘数呢？
合数都能写成几个质数相乘的形式吗？你再找个例子试一试。
交流：你举出的什么例子？（指名交流，教师板书几个类似的乘法算式）
通过举例，你有什么体会？
指出：看来，合数可以写成质数相乘的形式。这是我们下节课要继续学习
的内容。
四、全课小结
提问：这节课你认识了哪些知识，学到了什么本领？回顾一下，我们是怎
样认识质数和合数的，学习过程中有哪些体会？
教学反思：
第六课时 分解质因数
教学内容：
苏教版义务教育教科书《数学》五年级下册第38 页例7、例8 和“练一
练”“你知道吗’’，第39～40 页练习六第4～8 题和“你知道吗”。
教学目标：
1.使学生认识质因数，知道合数能写成质因数相乘的形式，能把合数分解质
因数；了解可以用短除法分解质因数。
2.使学生经历探索分解质因数的过程，理解分解质因数的方法，掌握分解质
因数的技能，发展分析、推理等思维能力，进一步提升数感。
3.使学生主动参加探究活动，在探索分解质因数的过程中获得成功，相信自
己能学会数学，产生学好数学的信心。
教学重点：
学会分解质因数。
教学难点：
认识分解质因数的过程。.
教学过程：
一、认识质因数
1.写出算式。
要求：你能把5 和28 分别写成两个数相乘的形式吗？自己写一写。
交流：你是怎样写的？(板书：5=1×5 28-1×28 28=2×14 28=4×7)
2.认识质因数。
引导：在这些算式中，哪些数是5 的因数？哪些数是28 的因数?5 和28 的这
几个因数中，分别有哪些是质数？同桌互相说一说。
交流：能把你们的意见和大家分享吗？
明确：在积是5 的乘法算式中，1 和5 是5 的因数，其中5 是质数；在积是
28 的算式中，1 和28、2 和14，4 和7 都是28 的因数，其中2 和7 是质数。像
这样一个数的因数是质数，这个因数就是它的质因数。（板书：质因数——一
个数里是质数的因数）
3.强化认识。
追问：上面算式里，哪个数是哪个数的质因数？1 为什么不是5 的质因数?
1、28、14 和4 为什么不是28 的质因数？
强调：一个数的质因数要符合两个条件：它是这个数的因数；它又是质数。
这时它就是这个数的质因数。比如5 是5 的因数，又是质数，所以5 是5 的质因
数；2 是28 的因数，又是质数，所以2 是28 的质因数。
4.做练习六第4 题。
让学生阅读习题，独立思考。
交流：你能回答这里两道题的问题吗？说说你的答案。追问：怎样的数才
可以称作一个数的质因数？
二、分解质因数
1.引入课题。
谈话：我们认识了质因数，就可以学习新的知识，学会新的本领，这就是
分解质因数。（板书课题）
2.分解质因数。
出示例8，明确把30 用质数相乘的形式表示出来。
让学生在课本上尝试表示，把30 写成质数相乘的结果。
交流：把30 写成质数相乘的形式可以怎样做？（根据交流板书，写成质数
相乘的形式）
说明：把30 写成质数相乘的形式，先写成质数2 乘15；15 是合数，把它写
成质数3 乘5，这时乘数全部是质数；就把30 写成这几个质数相乘的形式：30-
2×3×5。可见，要写成质数相乘的形式，可以把合数先写成质数和另一个数相
乘的形式；如果另一个数是合数，再把这个合数写成质数和另一个数相乘的形
式，直到分解成全部是质数相乘为止。像这样把一个合数用质数相乘的形式表
示出来，叫作分解质因数。（板书：分解质因数——把合数用质数相乘的形式
表示）
3.阅读“你知道吗”。
我们在上面是用逐次相乘的形式分解质因数的，人们在分解质因数时，经
常用短除法。大家阅读“你知道吗”，看看你能不能明白短除法是怎样分解质
因数的。
交流：能说说短除法是怎样分解质因数的吗？
结合交流说明方法：每次用质数做除数，除到商是质数为止，再把每个除
数和商写成连乘的形式。
说明：我们上面分解时，每次用质数乘一个数，直到所有乘数都是质数为
止、，和用短除法的思考方法是相同的，只是用短除法分解质因数过程简便一
些。
4.尝试短除法。
引导：你能用短除法把42 分解质因数吗？
学生尝试，指名板演。
交流：能说说这里用短除法怎样分解质因数的吗？
说明：用42 每次除以质数，除到商是质数为止，把42 写成除数和商连乘的
形式。
三、练习巩固
1.完成“练一练”。
让学生在课本上填写分解质因数。
交流：6 和14 分解成哪些质数相乘的形式？（板书结果）你是怎样想的？
指出：6 分解质因数，可以先想质因数2，写成2×3，全部是质数，于是得
到6=2×3;14 分解质因数，也是先想质因数2，写成2×7，已经全部是质数，得
出14=2×7。
2.做练习六第5 题。
先圈一圈，交流哪些是合数，再让学生独立把9 和16 分解质因数。
检查板演题分解质因数的过程，确认结果。
3.做练习六第6 题。
让学生观察每组数个位上分别是几，这四组数都是什么数。
要求独立找一找、圈一圈每组里的质数，并交流各有哪些质数。
提问：根据你找质数的结果想一想，奇数都是质数吗？
说明：奇数是按是不是2 的倍数确定的，质数是按因数的个数确定的，奇数
和质数不是同一标准分类的结果，所以奇数不都是质数。
4.做练习六第7 题。
让学生独立填数，并比一比每组数填的结果是不是相同。
交流：你是怎样填的？同一个数，填写的结果为什么不一样？
说明：把一个数写成质数相乘，是分解质因数，表示出的是积；写成质数
相加，要看是哪几个质数的和。
5.做练习六第8 题。
让学生了解题意，明确是能不能把全班人数平均分的问题。
在小组里互相讨论，说说自己的理由。
交流：哪几个班人数可以平均分，哪几个班人数不能平均分？为什么？
说明：一班、三班的人数是合数，可以写成两个不同数相乘的形式，表示
可以平均分；二班、四班的人数是质数，只能写成1 和它本身相乘，说明不能
平均分成几份，也就是不能分成人数相同的几个小组。
四、拓展视野
让学生阅读第40 页“你知道吗”，并出示提示：什么是哥德巴赫猜想？为
什么把哥德巴赫猜想比喻为“数学皇冠上的明珠”？我国哪些数学家在这项研
究上取得重大进展？谁的研究轰动了国内外数学界？
学生阅读后，围绕上述问题交流，说说知道了些什么；教师适当说明。
五、课堂小结
提问：今天学习了什么内容？什么是质因数，什么是分解质因数？怎样分
解质因数？ 你还有哪些体会？
教学反思：
第七课时 公因数和最大公因数
教学内容：
苏教版义务教育教科书《数学》五年级下册第41～42 页例9、例10 和“练
一练’’，第45 页练习七第1～2 题。
教学目标：
1.使学生理解和认识公因数和最大公因数，能用列举的方法求100 以内两个
数的公因数和最大公因数，能通过直观图理解两个数的因数及公因数之间的关
系。
2.使学生借助直观认识公因数，理解公因数的特征；通过列举探索求公因数
和最大公因数的方法，体会方法的合理和多样；感受数形结合的思想，能有条
理地进行思考，发展分析、推理等能力。
3.使学生主动参加思考和探索活动，感受学习的收获，获得成功的体验，树
立学好数学的信心。
教学重点：
求两个数的公因数和最大公因数。
教学难点：
理解求公因数和最大公因数的方法。
教学过程：
一、铺垫准备
1.直观演示，作好铺垫。
出示边长6 厘米和边长5 厘米的两个正方形。
提问：观察这两个正方形，哪一个能正好分成边长都是2 厘米的小正方形？
根据学生交流，演示分割正方形，看出每条边长6 厘米都正好可以分成3 份，
这个正方形能正好分成边长2 厘米的小正方形；边长5 厘米的不能正好分成。
追问：为什么边长6 厘米的正好可以分成边长2 厘米的小正方形，而边长5
厘米的不能？
指出：因为小正方形边长2 是6 的因数，边长6÷2=3（份），所以能正好分
成同样的正方形；但2 不是5 的因数，边长5÷2 有余数，就不能正好分成。
2.引入新课。
谈话：根据上面我们看到的，如果一个长度是原来边长的因数，就能正好
全部分割成小正方形。现在就利用这样的认识，学习与因数有密切联系的新内
容，认识新知识，学会新方法。
二、学习新知
1.认识公因数。
(1)出示例9，了解题意。
启发：观察正方形纸片的边长和长方形的长、宽，哪种纸片能把长方形正
好铺满，哪种不能正好铺满？先在小组讨论，说说你的理由。
交流：哪种纸片能把长方形正好铺满，哪种不能？你是怎样想的？
结合交流进行演示，引导观察用正方形纸片铺的结果，理解边长6 是长方形
两边12 和18 的因数，能正好铺满；（板书：12÷6=2 18÷6=3）边长4 是12 的
因数，但不是18 的因数，就不能正好铺满。(板书：12÷4=3 18÷4=4......2)
说明：观察正方形和长方形边的长度，6 是1 2 的因数，又是18 的因数，所
以能正好铺满；4 是12 的因数，但不是18 的因数，所以不能正好铺满。
(2)启发：想一想，还有哪些边长是整厘米数的正方形，也能把这个长方形
正好铺满？为什么？先独立思考，再和同桌说一说，并说说你的理由。
交流：还有哪些边长整厘米数的正方形也能正好铺满？你是怎样想的？
你发现正方形边长的厘米数符合什么条件，就能把这个长方形正好铺满？
说明：边长1 厘米、2 厘米、3 厘米的正方形也能正好铺满这个长方形，因
为它们是1 2 的因数，又是1 8 的因数。可见，当正方形边长既是12 的因数，
又是18 的因数时，就能正好把这个长方形铺满。
(3)引导：现在你发现，哪些数既是12 的因数，又是18 的因数？
指出：大家发现，1、2、3、6 这几个数，既是12 的因数，又是18 的因数，
也就是12 和18 公有的因数，我们称它们是1 2 和18 的公因数。（板书）
追问：4 是1 2 和18 的公因数吗？为什么不是？
说明：两个数公有的因数，叫作这两个数的公因数。（接“公因数”后板
书：——两个数公有的因数）
2.求公因数。
(1)出示问题。
引导：我们已经知道，两个数公有的因数，是它们的公因数。那如果已知
两个数，你能不能找出它们所有的公因数呢？接着看一个问题。
出示例10，让学生明确要找出8 和1 2 的所有公因数，并找出其中最大的一
个。
(2)探索方法。
引导：先想想怎样的数是8 和12 的公因数；再想怎样可以找到8 和12 的公
因数。和同桌商量商量，找出它们的公因数，并找出最大的一个。
学生思考、尝试，教师巡视、指导。
交流：你是怎样找8 和12 的公因数和最大的公因数的？
结合交流，引导学生理解不同思考方法：（在交流中板书过程）
①先分别找出8 和12 的因数，再找公因数，并确定最大的一个。
②先找出8 的因数，再从8 的因数里找1 2 的因数，并确定最大的一个。
提问：为什么可以这样找8 和12 的公因数？
说明：因为公因数一定在8 的因数里，所以只要在8 的因数里找出也是12
的因数，就是它们的公因数。
③先找1 2 的因数，再从1 2 的因数里找8 的因数，并确定最大的一个。
追问：这种方法是怎样想的？
小结：大家用不同的方法找出了8 和12 的公因数有1,2,4，其中最大的是
4。 4 是8 和12 的最大公因数。可见，两个数公因数里最大的一个，就是这两
个数的最大公因数o（板书：最大公因数——公因数中最大的一个）
3.用集合图表示公因数。
出示两个圈：8 的因数 12 的因数（图略）
让学生分别说出8 和12 的因数，教师板书。
引导：如果要在图里既看出8 的因数和12 的因数，又能把公有的因数写在
共同的部分，这两个圈怎样合并到一起比较合适？小组里讨论讨论。
学生交流，引导出正确表示的方法，呈现把两个圈部分合并的图，（图见
教材，略）再引导在合适的部分分别填写因数，并标注出“8 和12 的公因数”。
提问：从图上看，哪些数是8 的因数，哪些数是12 的因数？哪几个数是8
和12 的公因数，最大公因数是几？
指出：从图上可以直接看出：8 和12 公有的因数，是它们的公因数，其中
最大的一个，是它们的最大公因数。
4.回顾内容。
提问：回顾今天的学习，我们认识了哪些内容？（板书课题）
什么是公因数和最大公因数？
三、巩固深化
1.做“练一练”第1 题。
让学生按要求完成，填写公因数和最大公因数。
交流：18 的因数有哪些？30 的因数呢？它们的公因数和最大公因数呢？
从表里看，怎样的数是18 和30 的公因数和最大公因数？
说明：先在表里分别圈两个数的因数，其中两个数公有的因数，就是两个
数的公因数。公因数中最大的一个就是最大公因数。
2.做“练一练”第2 题。
让学生先分别填15 和20 的因数，再填右图。
交流各是怎样填的，说说15 和20 各有哪些因数，再说说它们的公因数和最
大公因数。
说明：15 和20 的因数中公有的因数，就是15 和20 的公因数，在公因数中
就能找出最大公因数。
3.做练习七第1 题。
(1)让学生依次按要求填出合适的数。
交流并呈现结果。
提问：从练习的过程看，你是怎样找出12 和42 的公因数和最大公因数的？
(2)引导：求公因数和最大公因数，可以先分别找出两个数的因数，再找公
有的因数和最大公因数。你能用这样的方法，求16 和24 的最大公因数吗？每
人独立完成。
学生练习，指名板演。检查板演过程，说明最大公因数；有错订正。
4.做练习七第2 题。
让学生直接写出得数。
提问：能根据算式说说哪个数是哪个数的因数或倍数吗？
四、小结收获
提问：今天这节课你收获了什么？在学习过程中你还有哪些体会？
教学反思：
第八课时 公因数和最大公因数练习
教学内容：
苏教版义务教育教科书《数学>五年级下册第45 页练习七第3～8 题。
教学目标：
1.使学生进一步了解公因数和最大公因数，掌握求两个数最大公因数的一般
方法，能正确地求最大公因数；认识两个特殊关系数的最大公因数的特点，并
能利用特点求相应两个数的最大公因数。
2.使学生进一步理解求两个数的最大公因数的方法，增强求两个数的最大公
因数的技能；能发现具有特殊关系两个数最大公因数的特点，发展综合、概括
等思维能力。
3.使学生主动参与练习，积极思维和交流，体会最大公因数的应用，感受数
学学习的乐趣。
教学重点：
求两个数的最大公因数。
教学过程：
一、引入课题
谈话：上节课我们认识了公因数和最大公因数，知道两个数公有的因数是
两个数的公因数，其中最大的一个是最大公因数，这节课我们练习公因数和最
大公因数o（板书课题）在练习中，要注意进一步理解什么是公因数和最大公
因数，怎样求公因数和最大公因数；还要能进一步发现求最大公因数的一些简
单规律，并能应用规律直接求最大公因数。有信心吗？
二、基本题练习
1.根据要求填空。
18 的因数有
24 的因数有
18 和24 的公因数有
18 和24 的最大公因数是
(1)指名学生口答，教师板书。
提问：观察这里填充的过程和结果，想一想：什么是公因数，什么是最大
公因数？
那怎样求两个数的公因数和最大公因数呢？
说明：从填充里可以看出，两个数公有的因数是它们的公因数，其中最大
的一个就是最大公因数。所以先找出每个数的因数，就能找出其中的公因数和
最大公因数。
(2)提问：还有什么方法可以求出18 和24 的公因数和最大公因数？说说看。
根据学生回答，教师板书。
说明：也可以像这样先找出其中一个数的因数，再从这个数的因数中找公
因数和最大公因数。这种方法要简便一些。
2.做练习七第3 题。
引入：有时应用我们掌握的一些知识，可以直接看出其中一些公因数。
比如上面的18 和24，都是偶数，就有公因数2；都是3 的倍数，就有公因
数3。应用这些知识能帮助我们比较快地发现一些公因数，但它不能找出所有
的公因数。
现在看第3 题，各人找一找哪几组有公因数2，哪几组有公因数3 或57 做出
记号。
交流：哪几组有公因数27 怎样知道的？哪几组有公因数3 或5 7 为什么？
3.做练习七第4 题。
让学生用自己的方法求每组数的最大公因数，指名四人板演。
交流：每组数的最大公因数是几？各是用什么方法求的呢？（检查过程）
追问：你是怎样找出1 3 和5 的最大公因数是1 的？（引导具体观察1 3 和5
的因数，确定只有公因数1，所以最大公因数就是1）
说明：如果两个数只有公因数1，最大公因数就是1。
三、发展题练习
1.做练习七第5 题。
(1)求左边4 组数的最大公因数。
让学生独立找每组数的最大公因数，指名两人板演。
检查过程，确认每组数的最大公因数。
观察：请大家观察每组里两个数的关系，看看它们的最大公因数各有什么
特点，你能发现什么？同桌同学互相说一说。
交流：你从每组数里发现了什么？
指出：如果小数是大数的因数，小数就是这两个数的最大公因数。（板书：
小数是大数的因数，小数就是它们的最大公因数）
(2)求右边4 组数的最大公因数。
学生独立找每组数的最大公因数。
交流：这四组数的最大公因数都是几？
你发现什么时候两个数的最大公因数是1 7
指出：两个数只有公因数1，最大公因数就是1。（板书：只有公因数1，
最大公因数是1）
2.做练习七第6 题。
引导：我们发现了上面两种关系的数最大公因数的特点，你能应用这个特
点直接写出第6 题里每组数的最大公因数吗？请你写在课本上。
交流：前两组数的最大公因数是几？为什么都是17 后两组呢？你是怎样想
的？
3.独立思考、交流。
(1)1 和2、3、4、5 的最大公因数分别是几？
指名学生说出最大公因数各是几。
提问：1 和10 的最大公因数是几？和25 呢？你有什么发现？
指出：1 和任何不是O 的自然数，最大公因数都是1。
(2)下列每组数的最大公因数是几？
2 和3 3 和4 4 和5 5 和6
让同桌学生先说一说最大公因数，再交流结果。
提问：你发现这里每组两个数有什么关系，最大公因数有什么特点？
指出：大于O 的相邻两个自然数的最大公因数都是1。
4.做练习七第7 题。
让学生先在课本上写出每个分数里分子和分母的最大公因数。
交流：每个分数的分子、分母的最大公因数是几？你是怎样想的？
5.求下列每组数的最大公因数。
4 和7 8 和1 6 1 6 和24
学生独立完成。
交流：每组数的最大公因数是几？（交流结果）每组数你是怎样找的？
指出：找公因数可以利用每组数的特点确定方法。两个数之间只有公因数
1，最大公因数就是1；两个数之间具有倍数关系，最大公因数是小数；两个数
是一般关系，可以先找出其中一个数的因数，再找出它们的最大公因数。
6.做练习七第8 题。
学生读题，明确题意是要把长方形正好分成同样大小的正方形，求正方形
的边长最大是几厘米，可以分成多少个。
学生思考并与同桌交流，再画一画，验证自己的想法。
交流：正方形边长最大是多少厘米？你是怎样想的？（呈现相应的裁法）
一共可以裁出多少个？可以怎样计算个数？
指出：这是最大公因数的实际应用。要把长方形正好裁成同样大小的正方
形，长和宽都要能正好平均分，所以正方形的边长应该是长和宽的公因数。要
裁成边长最大的同样的正方形，它的边长数就应该是长、宽数的最大公因数。
15 和9 的最大公因数是3，裁出的正方形边长最大是3 厘米。这样沿长一行可
以裁成5 个正方形，沿宽可以裁成3 行，所以一共可以裁出15 个这样的正方形。
7.解决实际问题。
出示：两根铁丝分别长16 厘米和20 厘米，要全部剪成同样长的若干段，每
段铁丝最长多少厘米？一共能剪成这样的多少段？
学生独立解决。
交流：每段铁丝最长多少厘米？怎样想的？一共可以剪成这样的多少段？
怎样计算的？
四、练习总结
提问：你对公因数和最大公因数有哪些认识？今天有什么新收获？ 还有哪
些体会？
教学反思：
第九课时 公倍数和最小公倍数
教学内容：
苏教版义务教育教科书《数学>五年级下册第43～44 页例1 1、例1 2 和
“练一练’’，第46 练习七第9～10 题。
教学目标:
1.使学生理解和认识公倍数和最小公倍数，能用列举的方法求两个自然数的
公倍数和最小公倍数，能通过直观图理解两个数的倍数及公倍数之间的关系。
2.使学生借助直观认识公倍数，理解公倍数的特征；通过列举探索求公倍数
和最小公倍数的方法，体会方法的合理和多样；感受数形结合的思想，能有条
理地进行思考，发展分析、推理等能力。
3.使学生主动参加思考和探索活动，感受学习的收获，获得成功的体验，树
立学好数学的信心；培养与同伴合作、交流的意识和良好品质。
教学重点:
求两个数的公倍数和最小公倍数。
教学难点:
理解求公倍数和最小公倍数的方法。
教学过程:
一、揭示课题
揭题：我们已经学习了公因数和最大公因数，今天这节课学习公倍数和最
小公倍数。（板书课题）
提问：看了这个课题，你有什么想法？
你对公倍数有哪些想法？对最小公倍数呢？
引导：大家交流的想法，实际上是联系公因数和最大公因数进行联想，提
出自己的想法。这样的学习方法可以帮助我们学好数学。那刚才大家的想法是
不是正确呢?现在，我们一起来研究公倍数和最小公倍数。（板书课题）
二、学习新知
1.认识公倍数。
(1)出示例11，让学生说说知道了些什么，提出的什么问题。
引导：用长3 厘米、宽2 厘米的长方形铺两个正方形，哪个正好铺满，哪个
不能铺满？看图想一想是为什么，你能不能根据自己的想法写出算式来说明理
由，并和同桌互相说一说？
交流：哪个正方形能正好铺满，哪个不能铺满？
为什么用同一个长方形去铺，边长6 厘米的能正好铺满，边长8 厘米的却不
能铺满呢？你能结合图形，说明你的理由和表示的算式吗？
结合学生交流和算式表示，借助图形演示引导观察并理解：正方形边长数6
是长方形两边边长数3 和2 的倍数，能正好铺满；(板书：6÷3=2 6÷2=3)另
一个正方形边长数8 是2 的倍数，但不是3 的倍数，不能正好铺满。
（板书：8÷2—48÷3—2……2）
提问：联系铺满长方形的图形，观察列出的算式，你觉得6 和3、2 这两个
数有怎样的关系？
说明：6 既是3 的倍数，又是2 的倍数，是3 和2 公有的倍数。
(2)引导：想一想，这个长方形纸片还能正好铺满边长多少厘米的正方形？
为什么？和同桌说说你的想法。
交流：还能正好铺满边长多少厘米的正方形？你是怎样想的？（明确可以
正好铺满边长12 厘米、18 厘米……的正方形）
你发现正方形的边长厘米数只要满足什么条件，就能用这个长方形正好铺
满？
像这样能被正好铺满的正方形有多少个，能找得完吗？
说明：这个长方形能正好铺满边长是6 厘米、12 厘米、18 厘米、24 厘
米……的正方形，因为它们的边长数是2 的倍数，又是3 的倍数。这样的正方
形找不完，个数是无限的。
(3)引导：现在你发现，6、12、18、24……这些数和2、3 都有什么关系？
说说你的想法。
指出：同学们的理解还真不错！大家发现6、12、18、24……这样的数，既
是2 的倍数，又是3 的倍数，也就是2 和3 公有的倍数，我们称它们是2 和3 的
公倍数。（板书：公倍数）
追问：8 是2 和3 的公倍数吗？为什么不是？
那哪些数是2 和3 的公倍数呢？（板书：6,12 ,18，24……是2 和3 的公倍
数）为什么公倍数里要用省略号？你还能任意再说几个2 和3 的公倍数吗？
说明：两个数公有的倍数，叫作这两个数的公倍数。（接“公倍数”板书：
——两个数公有的倍数）两个数的公倍数有无数个，所以写公倍数时需要用省
略号表示。
2.求公倍数。
出示例12，明确要找6 和9 的公倍数和最小的公倍数。
让学生独立找出6 和9 的公倍数和最小的公倍数，与同桌交流自己的 方法。
交流：你是怎样找出6 和9 的公倍数和最小的公倍数的？
结合学生交流，教师板书用不同方法找的过程和结论，使学生领会。
小结：大家用不同的方法找出了6 和9 的公倍数有18,36,54……其中’最小
的是18。 18 是6 和9 的最小公倍数。
追问：有没有最大的公倍数？为什么？
说明：两个数的公倍数有无数个，没有最大的公倍数。两个数的公倍数里
最小的一个，就是这两个数的最小公倍数。（板书：最小公倍数——公倍数中
最小的一个）
3.用集合图表示公倍数。
引导：你也能用圆圈图表示6 的倍数、9 的倍数和公倍数的关系吗？自己画
一画。
学生交流，呈现集合相交的图，（图见教材，略）分别标注出“6 的倍数”
“9 的倍数”“6 和9 的公倍数”，并强调三个部分都有无数个数，都要用省略
号表示。
让学生看直观图说说，哪些数是6 的倍数，哪些数是9 的倍数，哪些数是6
和9 的公倍数，最小公倍数是几。
指出：从图上可以直接看出，6 和9 公有的倍数，是它们的公倍数，其中最
小的一个，是它们的最小公倍数。
三、巩固深化
1.做“练一练”第1 题。
让学生按要求完成，填写公倍数和最小公倍数。
交流：2 的倍数有哪些？5 的倍数呢？它们的公倍数和最小公倍数呢？
在这个练习中怎样得出2 和5 的公倍数和最小公倍数的？
说明：先在表里分别圈出两个数的倍数，再看哪些数同时是两个数的倍
数'就是两个数的公倍数。其中最小的一个就是最小公倍数。
2.做“练一练”第2 题。
让学生在直线上分别画出4 和6 的公倍数，再填空。
交流：你怎样在直线上找4 和6 的倍数的？（呈现在直线上表示）怎样的数
是4 和6 的公倍数和最小公倍数？公倍数是哪些数，最小公倍数是几？（呈现
填空结果）
注意检查有没有用省略号。
3.做练习七第9 题。
让学生先分别填出左边圈里的数，再填写相交圈里的数。
交流：你是怎样填的？（呈现结果）这里为什么不用省略号？
说明：50 以内6 和8 公有的倍数，就是6 和8 在50 以内的公倍数。 50 以内
6 的倍数、8 的倍数和公倍数的个数都是有限的，所以不需要用省略号。
4.做练习七第10 题。
(1)让学生填空完成。
交流填充结果并呈现。
提问：你是按怎样的方法找出8 和20 的公倍数和最小公倍数的？
(2)引导：这里先分别找两个数的倍数，再找其中的公倍数和最小公倍数。
你能用这样的方法找出10 和15 的最小公倍数吗？自己找一找。
学生练习，教师巡视。
交流结果。
追问：除了像这样通过分别找两个数的倍数，再找最小公倍数的方法外，
还能怎样找？
说明：还可以先找一个数的倍数，再从中找出另一个数的倍数，其中最小
的就是最小公倍数。
四、总结提升
引导：今天学习的是什么内容？什么是两个数的公倍数和最小公倍数？
可以怎样找两个数的公倍数和最小公倍数？写公倍数时要注意什么？
教学反思：
第十课时 公倍数和最小公倍数练习
教学内容：
苏教版义务教育教科书《数学》五年级下册第46 页练习七第11～14 题，
“你知道吗”。
教学目标：
1.使学生进一步了解公倍数和最小公倍数，掌握求两个数的最小公倍数的一
般方法，能灵活运用方法正确地求最小公倍数；认识两个特殊关系数的最小公
倍数的特点，并能利用特点求相应两个数的最小公倍数。
2.使学生进一步理解求两个数的最小公倍数的方法，增强求两个数的最小公
倍数的技能，了解求两个数最大公因数和最小公倍数的方法的联系；能发现具
有特殊关系两个数最小公倍数的特点，发展综合、概括等思维能力。
3.使学生主动参与练习，积极思考和交流，获得成功的体验；体会最小公倍
数的应用，感受数学学习的乐趣。
教学重点：
求两个数的最小公倍数。
教学过程：
一、引入课题
谈话：上节课我们认识了公倍数和最小公倍数，学会了求两个数的公倍数
和最小公倍数的方法。这节课我们重点练习公倍数和最小公倍数。（板书课
题）在练习中，要注意进一步理解什么是公倍数和最小公倍数，怎样求公倍数
和最小公倍数；还要能进一步发现求最小公倍数的一些简单规律，并能应用规
律直接求最小公倍数；并且了解求最大公因数和最小公倍数方法的联系。有信
心吗？
二、基本题练习
1.完成下列填空。
6 的倍数有 ；8 的倍数有 ；6 和8 的公倍数有
，6 和8 的最小公倍数是 。
(1)指名学生口答，教师板书。
提问：观察这里填充的过程和结果，想一想：什么是公倍数，什么是最小
公倍数？那怎样求两个数的公倍数和最小公倍数呢？
在填空时还要注意什么？（倍数和公倍数的个数是无限的，用省略号）
说明：从填充里可以看出，两个数公有的倍数是它们的公倍数，其中最小
的一个就是最小公倍数。所以先分别找出每个数的倍数，就能找出两个数的公
倍数和最小公倍数。
(2)提问：还有什么方法可以求出6 和8 的公倍数和最小公倍数？
根据学生回答，教师板书。
说明：也可以像这样先找出其中一个数的倍数，再从这个数的倍数中找公
倍数和最小公倍数。这种方法要简便一些。
2.做练习七第1 1 题。
(1)让学生用自己的方法求出每组数的最小公倍数，指名四人板演。
交流：每组数的最小公倍数各是几？大家看一看黑板上，各是用什么方法
求的？（检查过程）
提问：求两个数的最小公倍数可以用哪些方法？
(2)简化方法。
①引导：我们现在就用先找每组里大数的倍数，再看最小公倍数是几的方
法来试一试。大家先看第一组数6 和10。
现在10 不是6 的倍数，我们依次找10 的倍数：10，20，30，40……（板
书）这里出现的6 的倍数是几？刚才求出的最小公倍数就是几？
说明：我们把较大数10 依次乘2、乘3、乘4……其中30 是第一次出现的6
的倍数，它就是6 和10 的最小公倍数。
②我们再这样试着求8 和12 的最小公倍数：把较大的数12 乘2 得24，这时
24 是8 的倍数，看看刚才8 和12 的最小公倍数是几？现在你有什么想说的吗？
说明：我们把较大的数依次乘2、乘3、乘4……当第一次出现小数的倍数
时，这个数就是这两个数的最小公倍数。这样求两个数的最小公倍数的方法叫
大数翻倍法，可以比较快地找出两个数的最小公倍数。
③引导：你能用大数翻倍法求后两组数10 和25、20 和30 的最小公倍数吗？
自己试试看。
学生独立用大数翻倍法求最小公倍数。
交流：哪位来说说你是怎样求出这两组数的最小公倍数的？
小结：能说说大数翻倍法求最小公倍数的方法吗？
三、发展题练习
1.做练习七第12 题。
(1)求左边4 组数的最小公倍数。
让学生独立找每组数的最小公倍数。
交流：你找出的每组数的最小公倍数各是几？
观察：请大家观察每组里两个数的关系，看看它们的最小公倍数各有什么
特点，你能发现什么？同桌同学互相说一说。
交流：从这里每组数的最小公倍数中，你发现了什么？
指出：大数和小数有倍数关系，也就是大数是小数的倍数，大数就是这两
个数的最小公倍数。（板书：大数是小数的倍数，大数就是它们的最小公倍
数）
(2)求右边4 组数的最小公倍数。
学生独立找每组数的最小公倍数。
交流：这4 组数的最小公倍数各是几，和原来的这两个数有什么关系？
你发现什么时候两个数的最小公倍数是两个数的积？
指出：两个数只有公因数1，最小公倍数就是这两个数的积。（板书：只有
公因数1，最小公倍数是两个数的积）
2.做练习七第1 3 题。
引导：我们发现了上面两种关系的数最小公倍数的特点，你能应用这个特
点直接写出第13 题里每组数的最小公倍数吗？请你写在课本上。
交流：前两组数的最小公倍数是几？你是怎样想的？后两组呢？为什么最
小公倍数都是大数？
3.求下列每组数的最小公倍数。
(1)1 和2、3、4、5 的最小公倍数分别是几？
指名学生说出最小公倍数。
提问：1 和10 的最小公倍数是几？和25 呢？你有什么发现？
指出：1 和任何不是0 的自然数，最小公倍数都是这个数本身。
(2)下列每组数的最小公倍数是几？
2 和3 3 和4 4 和5 5 和6
让同桌学生先说一说最小公倍数，再交流结果。
提问：你能发现这里每组数有什么关系，最小公倍数有什么特点吗？
指出：大于o 的相邻两个自然数的最小公倍数都是两个数的积。
(3)下列每组数的最大公因数和最小公倍数各是几？
7 和9 3 和5 4 和12 3 和9
让学生先说出每组数的最大公因数和最小公倍数。
提问：求这里每组数的最大公因数和最小公倍数是怎样想的？
说明：两个数只有公因数1，最大公因数就是1，最小公倍数就是两个数的
积；两个数有倍数关系，最大公因数是小数，最小公倍数是大数。
(4)下列每组数的最大公因数和最小公倍数各是几？
8 和12 8 和10
指名两人板演，其余学生独立练习。检查板演题，集体订正。
比较：求两个数的最大公因数和最小公倍数的方法有什么类似的地方？
指出：求两个数的最大公因数和最小公倍数，都可以先找一个数的因数或
倍数，再根据另一个数从中找出最大公因数或最小公倍数。用大数翻倍法找最
小公倍数，其实就是先找大数的倍数，再找出最小公倍数。
4.填空（a、b、c 都是大于0 的自然数）.
(1)8÷4=2 ，8 和4 的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。
(2)a÷b-3,a 和b 的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。
(3)a÷b-4,a、b 的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。
(4)a÷b-c,a、b 的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。
5.做练习七第14 题。
学生独立读题，说明题意和要求，明确1 路车间隔6 分钟，2 路车间隔8 分
钟。
让学生用表格列举的方法找出这两路公共汽车第二次同时发车的时间。
交流列举过程，说说列举每一路车发车时刻时，实际是按找什么数的方法
确定的。（6 的倍数、8 的倍数）
提问：解决这个问题，你还有其他的方法吗？同桌讨论一下。
交流：你想到的什么方法？怎样确定第二次同时发车的时间？
小结：因为两路公共汽车每次发车相隔时间分别是6 分和8 分，所以到下次
同时发车经过的时间，必须是6 的倍数，也是8 的倍数，也就是6 和8 的公倍数；
到第二次同时发车经过的时间就是6 和8 的最小公倍数。6 和8 的最小公倍数是
24，所以第二次同时发车时间是7:24。
6.阅读“你知道吗”。
让学生阅读资料。
提问：你知道了什么？(12，18) =6 表示什么意思？[12，18] =36 呢？
口答：(4，8)= (6，10)=
[4，8]= [6，10]=
四、回顾总结
提问：通过练习，你进一步认识了哪些知识？有哪些新的收获或体会？
教学反思：
第十一课时 因数与倍数整理与练习(1)
教学内容：
苏教版义务教育教科书《数学>五年级下册第47～48 页整理与练习“回顾
与整理”和“练习与应用”第1～7 题。
教学目标：
1.使学生加深认识因数和倍数，能找一个数的因数或倍数，进一步认识质数
和合数；掌握2、5、3 的倍数的特征，进一步认识偶数和奇数；加深理解质因
数，能正确分解质因数。
2.使学生能整理因数和倍数的知识内容，感受知识之间的内在联系；能应用
相关概念进行分析、判断、推理，进一步掌握思考、解决数学问题的方法，积
累数学思维的初步经验，提高分析、推理、判断等思维能力；加深对数的认识，
进一步发展数感。
3.使学生主动参与回顾、整理知识和分析、解决问题等活动，培养乐于思考
的品质和与同伴互相交流、倾听等合作意识和能力；感受数学方面的知识积累
和进步，提高学好数学的自信心。
教学重点：
整理、应用因数和倍数的知识。
教学难点：
应用概念正确判断、推理。
教学过程：
一、揭示课题
谈话：最近的数学课，我们学习了哪方面的内容？回忆一下，都学到了哪
些知识？
揭题：我们已经学完了因数和倍数这一单元的内容，今天开始主要整理与
练习这一单元内容。（板书课题）通过整理与练习，我们要进一多认识因数与
倍数，2.5.3 的倍数的特征，能熟练掌握找一个数的因数或倍数的方法；能判断
偶数和奇数、质数和合数，了解这些概念之间的联系与区别，能正确分解质因
数，提高对数的特征的认识，加深对数的认识。
二、回顾与整理
1.回顾讨论。
出示讨论题：
(1)你是怎样理解因数和倍数的？举例说明你的认识。
(2)2、5、3 的倍数有什么特征？我们是怎样发现的？
(3)自然数可以怎样分类，各能分成哪几类？举例说说什么是质因数和分解
质因数。
(4)什么是两个数的公因数和最大公因数，公倍数和最小公倍数？
让学生在小组里讨论，结合讨论适当记录自己的认识或例子。
2.交流整理。
围绕讨论题，引导学生展开交流，结合交流板书主要内容。
(1)提问：能说说什么是因数和倍数吗？可以用例子说明。（结合交流板书
一两个乘法或除法算式）
引导：在整数乘法算式里，两个乘数都是积的因数，积是两个乘数的倍数。
你能根据这里的算式说说哪个是哪个的因数，哪个是哪个的倍数吗？
（指名学生说一说，再集体说一说）
你能找出6 的因数吗？（板书因数）6 的倍数呢？（板书倍数）
能说说找一个数的因数或倍数的方法吗？
说明：一个数的因数可以从小到大一对一对地找，到中间两个因数之间没
有因数为止；一个数的倍数可以用依次乘1、2、3……这样的方法找，注意一
个数的倍数是无限的，写一个数的倍数要注意用省略号。
(2)提问：2、5、3 的倍数各有什么特征？我们是怎样发现的？
自然数可以怎样分类，各可以分成哪几类？
你能举出偶数和奇数、质数和合数的一些例子吗？（学生举出各类数的例
子）
说明：按是不是2 的倍数可以把自然数分成偶数和奇数两类，是2 的倍数的
是偶数，不是2 的倍数的是奇数；按因数的个数可以把自然数分成1 和质数、
合数三类，只有两个因数的是质数，有两个以上因数的是合数，1 既不是质数
也不是合数。
什么是质因数和分解质因数?6 有哪些质因数？怎样把6 分解质因数？（板
书式子，并说明其中的质因数）
(3)提问：什么是公因数和最大公因数，什么是公倍数和最小公倍数？
说明：两个数公有的因数叫公因数，其中最大的叫最大公因数；两个数公
有的倍数叫公倍数，其中最小的叫最小公倍数。
结合交流内容，逐步板书成：
l
质数 质因数
合数 分解质因数
因数 公因数 最大公因数
（互相依存）
倍数 公倍数 最小公倍数
2、5、3 的倍数的特征
偶数
奇数
(4)引导：请同学们现在观察我们整理的这一单元学过的内容，了解知 识
之间的联系，同桌互相说说知识是怎样发展的。
学生互相交流，教师巡视、倾听。
交流：哪位同学能看黑板上整理的内容，说说我们怎样逐步认识这些知识
的，知识是怎样发展起来的。
三、练习与应用
1.做“练习与应用”第1 题。
指名学生交流，说说每组里因数和倍数关系。
提问：3 和7 有没有因数和倍数关系？为什么没有？
2.做“练习与应用”第2 题。
(1)让学生独立写出前四个数的所有因数，指名两人板演。
交流：你是怎样找它们的因数的？（检查板演题）
(2)口答后三个数的因数。
引导：能说出后面每个数的全部因数吗？（学生口答，教师板书）
提问：一个数的因数有什么特点？
说明：一个数因数的个数是有限的，最小的是1.最大的是它本身。
3.分别说出下面各数的倍数。
5 8 1 2 1 7
分别指名学生说出各数的倍数，教师板书。
提问：为什么要写省略号？一个数的倍数有什么特点？
说明：一个数倍数的个数是无限的，最小的是它本身，没有最大的倍数。
4.做“练习与应用”第3 题。
(1)让学生独立完成填数。
交流：题里各是怎样填的？（呈现结果）填数时怎样想的？
提问：哪些数既是3 的倍数，又是5 的倍数？你是怎样想的？
同时是2 和5 的倍数的数有什么特征？
哪些数既是2 的倍数，又是5 和3 的倍数？说说你的判断方法。
(2)这里哪些数是偶数？奇数呢？
你是怎样判断偶数和奇数的？
5.做“练习与应用”第4 题。
要求学生独立思考，自己选出两张卡片，按各题的要求分别组成两位数，
把能组成的数记录下来。
交流：同时是5 和3 的倍数的数有哪些？（板书：30）如果是三位数呢？
(板书：180 810)
组成的两位数中最大的偶数是多少？（板书：80）最小的奇数呢？（板书：
13）
6.做“练习与应用”第5 题。
让学生把质数圈出来，在合数下面画线。
交流：哪些是质数，哪些是合数？（板书成两类）质数和合数是按什么分
的？
说明：质数只有2 个因数，合数至少有3 个因数。
7.做“练习与应用’’第6 题。
让学生选出质数和偶数。
交流、呈现结果。
提问：观察表里选出的质数和偶数，所有的质数都是奇数吗？请举出一个
具体例子。
所有的合数都是偶数吗？你能举例子说明吗？
指出：如果要说明一个结论是错误的，只要举一个反例。比如，要判断质
数都是奇数的说法是错的，只要举出质数2 是偶数这个例子。这里质数2 是偶
数就是一个反例。要判断合数都是偶数是错的，也只要举一个反例，比如合数
9 就是奇数。
8.下面的说法正确吗？
(1)大于0 的自然数不是奇数就是偶数。
(2)大于0 的自然数不是质数就是合数。
(3)奇数都是质数，偶数都是合数。
(4)自然数中最小的偶数是2，最小的合数是4 。
(5)一个数本身既是它的因数，又是它的倍数。
9.做“练习与应用”第7 题。
(1)让学生填空，指名板演。交流并确认结果。
提问：这里填写的质数都叫积的什么数？为什么称它是积的质因数？
说明：这里把合数写成这种质数相乘的形式，叫什么？
(2)把30、42 分别分解质因数。
学生完成，交流板书，检查订正。
四、全课总结
提问：这节课主要复习的哪些内容？你有哪些收获？
教学反思：
第十二课时 因数与倍数整理与练习(2)
教学内容：
苏教版义务教育教科书《数学》五年级下册第48～49 页整理与练习“练习
与应用’’第8～12 题，“探索与实践’’第13～14 题，“评价与反思”。
教学目标：
1.使学生进一步认识公因数和最大公因数、公倍数和最小公倍数，能正确地
求两个数的最大公因数、最小公倍数；能应用因数、倍数的知识解决简单实际
问题，或探索数的一些简单规律或特点。
2.使学生整理并进一步理解求两个数的最大公因数、最小公倍数的方法，能
在思考、解决问题中有条理地思考，培养观察、比较、归纳等思维能力，提高
分析问题、解决问题的能力。
3.使学生在解决问题和探索实践过程中，感受获得方法、发现规律的喜悦，
体会数学的奇妙，培养学习数学的自信心，产生对数学的好奇心；培养回顾反
思、客观评价的意识、习惯和品质。
教学重点：
求最大公因数和最小公倍数。
教学难点：
探索、理解简单规律。
教学过程：
一、回顾与引入
1.复习旧知。
让学生计算“练习与应用’’第8 题，直接写出得数。
口答得数，说说同分母分数加、减法是怎样算的。
2.回顾内容。
引导：我们上节课整理与练习了因数和倍数，重点练习与应用了哪些内容？
你能找出12 和8 这两个数的因数和倍数吗？（板书：1 2 8）自己找一找，
把因数和倍数写下来。
交流：12 的因数和倍数各有哪些？8 呢？（因数和倍数分别对应板书）
提问：比较两个数的因数，你能找出怎样的数？比较倍数呢？
3.引入复习。
提问：那什么叫公因数和最大公因数？公倍数和最小公倍数呢？
引入：今天的数学课，我们继续整理与练习因数和倍数，在上节课复习的
基础上，重点整理与练习公因数和公倍数的知识。通过这节课的复习，要进一
步认识公因数和公倍数，特别要能正确地求两个数的最大公因数和最小公倍数；
同时还要通过探索与实践，发现一些关于数的特征的简单规律。
二、练习与应用
1.整理方法。
引导：我们已经从上面的练习中了解了公因数和公倍数的意义，能不能自
己举出两个数的例子，找出公因数和公倍数？每个同学独立完成。
指名交流自己的例子，教师选择两个例子板书过程。
让同桌同学互相交流自己的例子，说出公因数和公倍数。
提问：黑板上的例子里，最大公因数是几，最小公倍数是几？怎样找出来
的？
那现在说一说，求公因数和公倍数的方法各是怎样的？求最大公因数和最
小公倍数的一般方法是怎样的？
指出：求两个数的公因数或公倍数，可以列举其中一个数的因数或倍数，
再从这些因数或倍数里找出另一个数的因数或倍数，就是它们的公因数或公倍
数。公因数中最大的一个就是最大公因数，公倍数中最小的一个就是最小公倍
数。这就是找最大公因数和最小公倍数的一般方法。
2.做“练习与应用”第9 题。
(1)要求学生完成前四组题，先求最大公因数，再求最小公倍数。
交流：这四组数各是怎样找最大公因数的，结果各是几？分别说说你的方
法。（根据交流板书过程和结果）
哪几组可以用特殊方法找最大公因数？为什么？
哪几组是按一般方法找的？
指出：如果两个数有倍数关系，小数就是两个数的最大公因数；如果只有
公因数1，最大公因数就是1；如果两个数是一般关系，就先找一个数的因数，
再结合另一个数找出最大公因数。
(2)交流：这四组数各是怎样找最小公倍数的，结果各是几？说一说你的方
法。（根据交流板书过程和结果）
哪几组可以用特殊方法找最小公倍数？为什么？
哪几组是按一般方法找的？
指出：如果两个数有倍数关系，大数就是两个数的最小公倍数；如果只有
公因数1，最小公倍数就是两个数的积；如果两个数是一般关系，可以用大数
翻倍法找最小公倍数，这样比较简便。
3.做“练习与应用”第10 题。
学生读题，弄清题意：每次分别按3 格和4 格走，找出两种棋都走到的格子
涂上颜色。
让学生用自己的方法找出这些格子，涂上颜色。
交流：你涂色的是哪几格？这些涂色的数与3 和4 有什么关系？
找这些格子你用的是什么方法？
引导：同学们用了不同的方法，有的先找两种棋子各走到过哪些格子，再
找到都走到的格子；有的是用求公倍数的方法。那为什么可以用求公倍数的方
法呢？说说你是怎样想的。
指出：红棋走到的格子，一定是3 的倍数；黄棋走到的格子，一定是4 的倍
数；两种棋都走到的格子就是3 和4 的公倍数。所以只要找出3 和4 的公倍数，
涂上颜色。具体找公倍数可以先找到最小公倍数12，再依次乘2、乘3……就可
以按顺序得出3 和4 的公倍数。解决像这样的问题，就要用求最小公倍数的方
法。所以应用求最大公因数和最小公倍数的方法，可以解决一些特殊的实际问
题。
追问：接着走下去，还会都走到哪些格子？
4.讨论“练习与应用”第11、12 题。
要求学生独立读题，思考各用什么方法解决，和同桌说一说。
交流：你想到这两题特别要用什么方法解决？为什么？
三、探索与实践
1.做“探索与实践”第13 题。
(1)让学生先找出9 的倍数，确认有72、81、99、297 。
要求算出这些9 的倍数各数位上数的和，再比一比，看看能发现什么特点。
学生计算，教师巡视。
提问：你发现这些9 的倍数都有什么特点？
引导：9 的倍数，各数位上数的和是9 的倍数。那你还能再找～些9 的倍数
验证你的发现吗？试试看。
交流：你找出哪些数验证的？（板书这些数，并口头验证）
小结：现在你能说说自己的发现吗？
指出：9 的倍数，它各数位上数的和一定是9 的倍数。
(2)下面哪些数是9 的倍数？
354 243 702 381 486
(3)在I]里填上合适的数字，使它成为9 的倍数。
28 口 37 口 1 口6 5 口4
2.做“探索与实践”第14 题。
(1)让学生在表格里填写1～15 各数和3 的最大公因数。
交流：这些最大公因数有怎样的规律？每个周期的数是按怎样的顺序排列
的？
(2)让学生在方格里描点、连线。
交流：你连成的怎样的折线？（呈现图形）连成的折线有什么特点？折线
的周期是怎样的？
(3)追问：如果找这些数和4 的最大公因数，会有什么特点？把你的想法和
大家说一说。
引导学生发现，1～15 各数和4 的最大公因数，以1，1，1，4 为周期重复。
四、评价总结
1.评价反思。
让学生对照评价内容，反思自己三个方面的学习表现，在☆上涂色表示。
交流评价结果，肯定全班的学习表现，提出以后的学习希望和要求。
2.交流收获。
提问：通过这节课的整理与练习，你对这部分内容有哪些收获？还有哪些
体会？
3.布置作业。
完成“练习与应用’’第9 题后四组题，第11、12 题。
教学反思：
第十三课时 和与积的奇偶性
教学内容：
第50～51 页探索规律“和与积的奇偶性”。
教学目标：
1.使学生经历探索和与积的奇偶性规律的过程，发现并理解和与积的 奇偶
性的规律，能判断加法和乘法的得数是奇数还是偶数，并能说明理由。
2.使学生通过举例、观察、比较与猜想、验证，发现和与积的奇偶性的规律，
积累探索规律的经验，发展观察、比较、分析、归纳等思维能力。
3.使学生主动参与探索规律的活动，体会数学内容是具有规律的，获得探索
规律成功的体验，树立学好数学的自信心，并产生对数学规律的好奇心，产生
对数学学习的兴趣。
教学重点：探究并发现和与积的奇偶性规律。
教学难点 理解和归纳规律。
教学准备：为学生准备算式举例的表格。
教学过程：
一、创设情境，引发探究
1.回顾激活。
提问：我们已经认识了奇数和偶数。想一想，奇数和偶数各有什么特点？
说明：自然数按是不是2 的倍数分为奇数和偶数两类。是2 的倍数就是偶数，
不是2 的倍数就是奇数。
2.创设问题情境。
出示：1+3+5+……+29。
提问：如果不计算，你能直接判断1+3+5+……+29 的和是奇数还是偶数吗？
你是怎么想的？
对于判断这样的问题，你有没有什么想法？
引导：研究算式的和是奇数还是偶数，是和的奇偶性问题。（板书：奇偶
性）这里加数比较多，又都是奇数，得数到底是怎样的数呢？如果加数更多会
怎样呢？这样的计算有没有什么规律呢？像这样复杂的问题，我们可以从简单
的问题人手开始研究，看看有没有什么规律0（板书：解决复杂问题 从简
单问题人手）
二、主动探究，发现规律
1.探究两个数和的奇偶性。
(1)引导：现在我们从最简单的开始，先研究两个数相加的和是奇数还是偶
数，大家自己举几个例子看一看：每次任意选两个不是o 的自然数，算出它们
的和，填在课本上表格里，看看和是奇数还是偶数。
学生计算，教师巡视。
交流：仔细观察、比较得数和算式，想一想两个数相加，什么情况下和是
奇数？什么情况下和是偶数？
大家看一看，你的计算的结果都符合刚才交流的结论吗？
引导：现在请大家再举一些例子验证一下，看看上面交流的结论到底对不
对。（学生举例）
小结：刚才我们研究了两个数的和的奇偶性情况，通过先举出例子，再观
察比较，发现两个数相加和的奇偶性，与加数是奇数还是偶数有关。如果一个
奇数加一个偶数，和是奇数；两个偶数或两个奇数相加，和是偶数。（板书：
一个奇数加一个偶数，和是奇数 两个偶数或两个奇数相加，和是偶数）
(2)判断：任意打开数学书，左右两边页码的和是奇数还是偶数？为什么是
奇数？
任意两个相邻自然数相加，和是奇数还是偶数？你知道为什么吗？
说明：两个加数中只有一个奇数，和是奇数。
2.探究几个数连加和的奇偶性。
(1)引导：我们已经发现了两个不是0 的自然数的和的奇偶性的特征。那要
是任意3 个、4 个，或5 个、5 个以上的不是0 的自然数连加，和是奇数还是偶
数呢？请大家分别选几个写成连加算式，填在老师为大家准备的表格里。先观
察算式里加数各是什么数，想想和是奇数还是偶数，再算一算，看看你的猜想
对不对。
┏━━━━━━━━━━━┳━━━━━━━┳━━━━━━━━━━┓
┃ ┃ 算 式 ┃ 和是奇数还是偶数 ┃
┣━━━━━━━━━━━╋━━━━━━━╋━━━━━━━━━━┫
┃ 3 个或4 个数连加 ┃ ┃ ┃
┣━━━━━━━━━━━╋━━━━━━━╋━━━━━━━━━━┫
┃ 5 个或5 个以上数连 ┃ ┃ ┃
┗━━━━━━━━━━━┻━━━━━━━┻━━━━━━━━━━┛
(2)观察比较。
交流学生的算式，选择板书一些算式、得数。
出示要求，让学生在四人小组里交流算式并讨论：
①观察每个连加算式，加数里有几个偶数、几个奇数，和是什么数？
②和是奇数还是偶数，与这些加数中的什么有关？
③你发现在什么情况下和是奇数？什么情况下和是偶数？
提问：通过观察、比较，你有什么发现？
启发学生交流、比较，说说自己的想法，逐步点拨得出加数中奇数个数与
和的奇偶性的关系，并联系两个数相加的情况，归纳相应的规律。
小结：我们从这些加法算式中发现，加数里奇数的个数是奇数，和就是奇
数；奇数的个数是偶数，和就是偶数。这就是和的奇偶性规律。（加数里奇数
的个数是奇数，和是奇数奇数的个数是偶数，和是偶数）
追问：现在让你不计算，判断连加算式的和是奇数还是偶数，你认为只要
看什么？
3.应用规律，判断结果。
提问：回头看一看，1+3+5+……+29 的和是奇数还是偶数？为什么？
说明：有了规律，判断就非常方便。在1～29 这29 个自然数里，一共有15
个奇数。所以这个算式的和是奇数。
4.回顾反思，积累经验。
提问：回顾一下，我们是如何解决1+3+5+……+29 的和是奇数还是偶数这
个复杂问题的？你有什么收获？把你的收获和体会与同学分享。
小结：通过上面的学习，我们有两个重要的收获：一是遇到复杂的问题，
可以从简单的问题人手，找出规律来解决；二是探索规律时，可以先举出一类
例子，再观察、比较，寻找有什么特点，从中发现规律。（完成板书：
从简单入手
举出例子
观察比较
探索规律
寻找特点
发现规律
解决复杂问题
5.探究积的奇偶性。
(1)引导：刚才我们找到了和的奇偶性的规律，我们再看一个算式，思考它
的结果。
出示：81×3×675×7×8×11×814×1 9×1 5×121 的积是奇数还是偶数？你能直接
判断吗？
提问：你准备怎么办？根据刚才的经验，可以怎样找积的奇偶性规律呢？
要求：那你就按刚才的办法，自己举例子，任意写出乘法算式，计算结果
看看是奇数还是偶数，然后观察、比较，自己寻找特点，看看积的奇偶性有没
有什么规律。
(2)交流：你举出了哪些例子？积分别是奇数还是偶数？（根据学生交流，
按积是奇数还是偶数分类板书算式）
你发现积是奇数还是偶数与什么有关系？
你发现有什么规律？说说你的发现。
(3)小结：大家列举并计算几个自然数连乘的积，通过观察、比较，寻找特
点，发现乘数都是奇数，积就是奇数；乘数中只要有偶数，积就是偶数。
板书：乘数都是奇数，积就是奇数 乘数中只要有偶数，积就是偶数）
追问：判断乘法的积是奇数还是偶数，只要看什么？（乘数中有没有偶
数）
小结：看乘法的积是奇数还是偶数，只要看乘数中有没有偶数。如果乘数
中没有偶数，积是奇数；乘数中只要有偶数，积一定是偶数。
6.应用规律判断。
提问：那前面的81×3×675×7×8×11×814×1 9×15×121 的积是奇数还是偶数？
说说你的想法。
追问：你能说说为什么乘数里只要有一个偶数，积就一定是偶数吗？
指出：偶数是2 的倍数，乘数中只要有一个偶数，乘得的积就是2 的倍数，
所以乘数中只要有一个偶数，积就一定是偶数。
7.总结内容。
提问：通过上面的探索，你知道了什么规律？
说明：通过上面的学习，我们发现了加法的和、乘法的积是奇数还是偶数
的规律，这就是今天学习的内容：和与积的奇偶性。（板书课题）
三、回顾反思，交流收获
提问：回顾上面探索和发现和与积的奇偶性规律的过程，你有哪些体会？
和大家互相交流。
小结：通过探索规律.大家发现了，解决复杂问题，可以从简单问题人手研
究，寻找规律解决复杂问题。探索规律时，可以举出一类例子，通过观察、比
较，从不同的算式中寻找共同的特点，就可以从中发现规律。可见，举例、比
较并进行验证，都是探索规律常用的方法。
教学反思：
