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第一讲 乘除法数字谜（一）
专题简析：
解决算式谜题，关键是找准突破口，推理时应注意以下几点：
1.认真分析算式中所包含的数量关系，找出隐蔽条件，选择有特征
的部分作出局部判断；
2.利用列举和筛选相结合的方法，逐步排除不合理的数字；
3.试验时，应借助估值的方法，以缩小所求数字的取值范围，达到
快速而准确的目的；
4.算式谜解出后，要验算一遍。
例1.在下面的方框中填上合适的数字。
分析：由积的末尾是0，可推出第二个因数的个位是5；由第二个
因数的个位是5，并结合第一个因数与5 相乘的积的情况考虑，可推
出第一人个因数的百位是3；由第一个因数为376 与积为31□□0，可
推出第二个因数的十数上是8。题中别的数字就容易填了。
练习一
第二讲 乘除法数字谜（二）
例1.下面算式中的a、b、c、d 这四个字母各代表什么数字？
分析：因为四位数abcd 乘9 的积是四位数，可知a 是1；d 和9 相
乘的积的个位是1，可知d 只能是9；因为第二个因数9 与第一个因数
百位上的数b 相乘的积不能进位，所以b 只能是0（1 已经用过）；再由
b＝0，可推知c＝8。
练习二
第三讲 图形的个数
例1.下面图形中有多少个正方形？
分析：图中的正方形的个数可以分类数，如由一个小正方形组成
的有6×3＝18 个，2×2 的正方形有5×2＝10 个，3×3 的正方形有4×1＝
4 个。因此图中共有18＋10＋4＝32 个正方形。
例2.下图中共有多少个三角形？
分析：为了保证不漏数又不重复，我们可以分类来数三角形，然后
再把数出的各类三角形的个数相加。
（1）图中共有6 个小三角形；
（2）由两个小三角形组合的三角形有3 个；
（3）由三个小三角形组合的三角形有4 个；
（4）由六个小三角形组合的三角形有1 个。
所以共有6＋3＋4＋1＝14 个三角形。
练习三
1.下图中共有多少个正方形？
2.下图中共有多少个正方形？
3.下图中共有多少个正方形，多少个三角形？
4.下面图中共有多少个三角形？
第四讲 找出数字的排列规律（一）
找规律是我们在生活、学习、工作中经常使用的一种思想方法，在
解数学题时人们也常常使用它，下面我们利用找规律的方法来解一
些简单的数列问题。
（一）思路指导
例1.在下面数列的（ ）中填上适当的数。
1，2，5，10，17，（ ），（ ），50
分析与解：这个数列从第二项起，每一项都等于它的前一项依次
分别加上单数1，3，5，7，9……，这样我们就可以由第五项算出括号
内的数了，即：第一个括号里应填；第2 个括号里应填。
例2.自1 开始，每隔两个整数写出一个整数，这样得到一个数列：
1，4，7，10……问：第100 个数是多少？
分析与解：第1 项是1，第二项比第一项多3，第三项比第一项多2
个3，第四项比第一项多3 个3，……依次类推，第100 项就比第一项
多99 个3，所以第100 个数是。
由此我们可以得出这样的规律：等差数列的任一项都等于：第一
项＋（这项的项数－1）×公差
我们把这个公式叫做等差数列的通项公式。利用通项公式可以
求出等差数列的任一项。
练习四
1.找规律填数：
（1）1，3，7，15，______；
（2）l，4，13，40，121，____，____。
2.按规律找出下面两列数里□中应填写的数：
（1）2，6，18，54，□，486，1458；
（2）l，4，9，16，□，36，49
3.看规律填数：
（l）0，3，7，12，______，25，33；
（2）l，2，5，10，17，____，______，50。
4. 按规律填数：
（l）2，4，7，11，16，
（2）3，5，9，17，33，65，
5.按每组数的排列规律，填写最后一个数：
（1）2，4，16，256，______；
（2）12，19，33，61，117，______。
6.数列5，8，11，14，17，…的第25 项是______，第100 项是____。
第五讲 找出数的排列规律（二）
例3.已知一列数：2，5，8，11，14，……，44，……，问：44 是这列数
中的第几个数？
分析与解：显然这是一个等差数列，首项（第一项）是2，公差是
3。我们观察数列中每一个数的项数与首项2，公差3 之间有什么关系？
以首项2 为标准，第二项比2 多1 个3，第三项比首项多2 个3，
第四项比首项多3 个3，……，44 比首项2 多42，多14 个3，所以44
应排在这个数列中的第15 个数。
由此可得，在等差数列中，每一项的项数都等于：
（这一项－首项）÷公差＋1
这个公式叫做等差数列的项数公式，利用它可以求出等差数列
中任意一项的项数。
试试看：数列7，11，15，……195，共有多少个数？
练习五
1.按规律填数：
（1）3，5，9，17，______，65。
（2）1，2，4，7，______，16。
2.数列2，9，16，23，30，…，135，…中的135 是这列数的第____个
数。
3.数列2，4，8，…的第10 项是______。
4.数列7，11，15，19，23，…，119，共有______个数。
5.下面一组数是按某种规律排列的，请你仔细观察，找出规律并
在横线上填写适当的数：
2，97，1，4，98，3，6，99，5，____，____，7，10，101，____，12，102，
11，…。
第六讲 数列求和（一）
专题简析：若干个数排成一列称为数列。数列中的每一个数称为
一项。其中第一项称为首项，最后一项称为末项，数列中项的个数称
为项数。从第二项开始，后项与其相邻的前项之差都相等的数列称为
等差数列，后项与前项的差称为公差。
通项公式：第n 项＝首项＋（项数－1）×公差
项数公式：项数＝（末项－首项）÷公差＋1
例1.有一个数列：4，10，16，22，…，52，这个数列共有多少项？
分析与解答：容易看出这是一个等差数列，公差为6，首项是4，末
项是52，要求项数，可直接带入项数公式进行计算。
项数＝（52－4）÷6＋1＝9，即这个数列共有9 项。
例2.有一等差数列：3，7，11，15，……，这个等差数列的第100 项
是多少？
分析与解答：这个等差数列的首项是3，公差是4，项数是100。要
求第100 项，可根据“末项＝首项＋公差×（项数－1）”进行计算。
第100 项＝3＋4×（100－1）＝399
练习六
1.等差数列中，首项＝1，末项＝39，公差＝2，这个等差数列共有
多少项？
2.有一个等差数列：2，5，8，11，…，101，这个等差数列共有多少项？
3.已知等差数列11，16，21，26，…，1001，这个等差数列共有多少
项？
4.一等差数列，首项＝3，公差＝2，项数＝10，它的末项是多少？
5.求1，4，7，10……这个等差数列的第30 项。
第七讲 数列求和（二）
例3.有这样一个数列：1，2，3，4，…，99，100。请求出这个数列所
有项的和。
分析与解答：如果我们把1，2，3，4，…，99，100 与列100，99，…，
3，2，1 相加，则得到（1＋100）＋（2＋99）＋（3＋98）＋…＋（99＋2）
＋（100＋1），其中每个小括号内的两个数的和都是101，一共有100
个101 相加，所得的和就是所求数列的和的2 倍，再除以2，就是所求
数列的和。1＋2＋3＋…＋99＋100＝（1＋100）×100÷2＝5050
上面的数列是一个等差数列，经研究发现，所有的等差数列都可
以用下面的公式求和：等差数列总和＝（首项＋末项）×项数÷2
这个公式也叫做等差数列求和公式。
例4.求等差数列2，4，6，…，48，50 的和。
分析与解答：这个数列是等差数列，我们可以用公式计算。
要求这一数列的和，首先要求出项数是多少：
项数＝（末项－首项）÷公差＋1＝（50－2）÷2＋1＝25
首项＝2，末项＝50，项数＝25
等差数列的和＝（2＋50）×25÷2＝650
练习七
计算下面各题。
1.1＋2＋3＋…＋49＋50
2.6＋7＋8＋…＋74＋75
3.100＋99＋98＋…＋61＋60
4.2＋6＋10＋14＋18＋22
5.5＋10＋15＋20＋…＋195＋200
6.9＋18＋27＋36＋…＋261＋270
第八讲 数列求和（三）
例5.计算（2＋4＋6＋…＋100）－（1＋3＋5＋…＋99）
分析与解答：容易发现，被减数与减数都是等差数列的和，因此，
可以先分别求出它们各自的和，然后相减。
进一步分析还可以发现，这两个数列其实是把1～100 这100 个数
分成了奇数与偶数两个等差数列，每个数列都有50 个项。因此，我们
也可以把这两个数列中的每一项分别对应相减，可得到50 个差，再
求出所有差的和。
（2＋4＋6＋…＋100）－（1＋3＋5＋…＋99）
＝（2－1）＋（4－3）＋（6－5）＋…＋（100－99）
＝1＋1＋1＋…＋1
＝50
练习八
计算下面各题
1.（2001＋1999＋1997＋1995）－（2000＋1998＋1996＋1994）
2.（2＋4＋6＋…＋2000）－（1＋3＋5＋…＋1999）
3.（2＋4＋6＋…＋1998）－（1＋3＋5＋…＋1997）
4.（1＋3＋5＋…＋999）－（2＋4＋6＋…＋998）
5.（1＋3＋5＋…＋1999）－（2＋4＋6＋…＋1998）
第九讲 数阵图（一）
专题简析：填“幻方”是同学们比较熟悉的一种数学游戏，由幻
方演变出来的数阵问题，也是一类比较常见的填数问题。这里，和同
学们讨论一些数阵的填法。解答数阵问题通常用两种方法：一是待定
数法，二是试验法。待定数法就是先用字母（或符号）表示满足条件的
数，通过分析、计算来确定这些字母（或符号）应具备的条件，为解答
数阵问题提供方向。试验法就是根据题中所给条件选准突破口，确定
填数的可能范围。把分析推理和试验法结合起来，再由填数的可能情
况，确定应填的数。
例1.把5、6、7、8、9 五个数分别填入下图的五个方格里，如图a 使
横行三个数的和与竖行三个数的和都是21。
先把五格方格中的数用字母A、B、C、D、E 来表示，根据题意可知：
A＋B＋C＋D＋E＝35，A＋E＋B＋C＋E＋D＝21×2＝42。
把两式相比较可知，E＝42－35＝7，即中间填7。然后再根据5＋9
＝6＋8 便可把五个数填进方格，如图b。
练习九
1.把1～10 各数填入“六一”的10 个空格里，使在同一直线上
的各数的和都是12。
2.把1～9 各数填入“七一”的9 个空格里，使在同一直线上的
各数的和都是13。
3.将1～7 七个自然数分别填入图中的圆圈里，使每条线上三个
数的和相等。
第十讲 数阵图（二）
例2.将1～10 这十个数填入下图小圆中，使每个大圆上六个数的
和是30。
分析：设中间两个圆中的数为a、b，则两个大
圆的总和是1＋2＋3＋……＋10＋a＋b＝30×2，
即55＋a＋b＝60，a＋b＝5。在1～10 这十个数中1＋4＝5，2＋3＝5。
当a 和b 是1 和4 时，每个大圆上另外四个数分别是（2，6，8，9）
和（3，5，7，10）；当a 和b 是2 和3 时，每个大圆上另外四个数分别为
（1，5，9，10）和（4，6，7，8）。
例3.将1～6 这六个数分别填入下图的圆中，使每条直线上三个
圆内数的和相等、且最大。
分析：设中间三个圆内的数是a、b、c。因为计算
三条线上的和时，a、b、c 都被计算了两次，根据题
意可知：1＋2＋3＋4＋5＋6＋（a＋b＋c）除以3 没
有余数。1＋2＋3＋4＋5＋6＝21，21÷3＝7 没有余数，那么a＋b＋c 的
和除以3 也应该没有余数。在1～6 六个数中，只有4＋
5＋6 的和最大，且除以3 没有余数，因此a、b、c 分别
为4、5、6。
练习十
1.把1～8 八个数分别填入下图的○内，使每个大圆上五个○内
数的和相等。
2.把1～10 这十个数分别填入下图的○内，使每个四边形顶点的
○内四个数的和都相等，且和最大。
3.将1～6 六个数分别填入下图的○内，使每边上的三个○内数
的和相等。
4.将1～9 九个数分别填入下图○内，使每边上四个○内数的和都
是17。
第十一讲 合理安排
专题简析：我们每天的生活、学习都离不开时间，但是你知道时
间有大学问吗？合理地安排时间，往往会达到事半功倍的效果。科学
地安排时间的方法，就叫做最佳安排。小朋友在进行最佳安排时，要
考虑以下几个问题：（1）要做哪几件事：（2）做每件事需要的时间；
（3）要弄清所做事的程序，即先做什么，后做什么，哪些事可以同时做。
在学习、生产和工作中，只有尽可能地节省时间、人力和物力，才能发
挥出更大的效率。
例1.明明早晨起来要完成以下几件事情：洗水壶1 分钟，烧开水
12 分钟，把水灌入水瓶要2 分钟，吃早点要8 分钟，整理书包2 分钟。
应该怎样安排时间最少？最少要几分钟？
思路导航：经验表明：能同时做的事尽量要同时去做，这样节省
时间。水壶不洗，不能烧开水，因而洗水壶不能和烧开水同时进行；而
吃早点和整理书包可以和烧开水同时进行。这一过程可用方框图表
示：
整理书包
2分钟
吃早点
8分钟
灌水瓶
2分钟
烧开水
12分钟
洗水壶
1分钟
从图上可以看出，洗水壶要1 分钟，接着烧开水要12 分钟，在等
水开的同时吃早点、整理书包，水开了就灌入水瓶，共需15 分钟。
练习十一
1.红红早晨起来刷牙洗脸要4 分钟，读书要8 分钟，烧开水要10
分钟，冲牛奶1 分钟，吃早饭5 分钟。红红应怎样合理安排？起床多少
分钟就能上学了？
2.玲玲想给客人烧水沏茶。洗水壶要2 分钟，烧开水要12 分钟，
买茶叶5 分钟，洗茶杯要1 分钟，冲茶要1 分钟。要让客人尽早喝上茶，
你认为最合理的安排需要多少分钟客人就能喝上茶了？
3.用一个平底锅烙饼，锅上只能同时放两个饼。烙第一面需要2
分钟，烙第二面需要1 分钟。现在在烙三个饼，最少需要多少分钟？
4.烤面包的架子上一次最多只能放两个面包，烤一个面包每面需
要2 分钟，那么烤三个面包最少需要多少分钟？
第十二讲 最大与最小
专题简析：在日常生活中，人们常常会遇到“路程最近”、“费
用最省”、“面积最大”、“损耗最少”等问题，这些寻求极端结果
或讨论怎样实现这些极端情形的问题，最终都可以归结成为：在一定
范围内求最大值或最小值的问题，我们称这些问题为“最大最小问
题”。
解答最大最小问题通常要用下面的方法：
1.枚举比较法。当题中给定的范围较小时，我们可以将可能出现
的情形一一举出再比较；2.着眼于极端情形，即充分运动已有知识和
生活常识，一下子从“极端”情形入手，缩短解题过程。
例1.把1、2、3、…、16 分别填进图中16 个三角形里，使每边上7
个小三角形内数的和相等。问这个和最大值是多少？
分析：为了方便描述，我们把图中部分三角形注上字母，从图中
可以看出：中心处D 中填的数和三条边上的和没有关系，因此，应填
最小的数1。而三个角上的a、b、c 六个三角形中的数都被用过两次，
所以要尽可能填大数，即填11——16。然后根据“三角形三边上7 个
小三角形内数的和相等”这一条件，就可以计算出这个和的最大值
了。（2＋3＋4＋…＋16＋11＋12＋13＋14＋15＋16）÷3＝72
练习十二
1.将1、2、3、4、5、6 六个数分别填入圆圈内，使三角形每条边上
的和相等，这个和最大是多少？
2.将5、6、7、8、9、10 六个数分别填入圆圈内，使三角形每条边上
的和相等，这个和最大是多少？
3.把～8 分别填入下图圆圈内，使每个大圆上的五个数的和相等，
并且最大。
4.把2～9 分别填入下图圆圈内，使每个大圆上的五个数的和相
等，并且最大。
第十三讲 长方形面积（一）
专题简析：
我们已经学会了计算长方形、正方形的面积，知道长方形的面积
＝长×宽，正方形的面积＝边长×边长。利用这些知识我们能解决许多
有关面积的问题。
在解答比较复杂的关于长方形、正方形的面积计算的问题时，生
搬硬套公式往往不能奏效，可以添加辅助线或运用割补、转化等解题
技巧。因此，敏锐的观察力和灵活的思维在解题中十分重要。
例1.把一张长为4 米，宽为3 米的长方形木板，剪成一个面积最
大的正方形。这个正方形木板的面积是多少平方米？
思路导航：要使剪成的正方形面积最大，就要使
它的边长最长（如图），那么只能选原来的长方形宽
为边长，即正方形的边长是3 米。正方形的面积：3×3
＝9 米。
例2.学校里有一个正方形花坛，四周种了一圈绿篱，绿篱总长20
米。花坛的面积是多少平方米？
思路导航：要求正方形花坛的面积，必须知道花坛的边长是多少。
根据绿篱总长是20 米，可求出花坛的边长为20÷4＝5 米，所以花坛的
面积是：5×5＝25 平方米。
3米
4米
练习十三
1.把一张长6 厘米，宽4 厘米的长方形纸剪成一个面积最大的正
方形，这张正方形纸的面积是多少平方厘米？
2.把一块长2 米、宽6 分米的长方形铁板切割成一个面积最大的
正方形，这个正方形铁板的面积是多少？
3.将一张长10 厘米、宽8 厘米的长方形纸片剪成一个面积最大
的正方形，那么剪下的另一个小长方形的面积是多少？
4.一个正方形的周长为36 厘米，那么这个正方形的面积是多少
平方厘米？
第十四讲 长方形面积（二）
例3.求下面图形的面积。（单位：厘米）
1
3
2
4
思路导航：这个图形无法直接求出它的面积，我们可以画一条辅
助线，将这个图形分割成两个长方形。如下图：
1
3
2
4
从图上可以看出，左边长方形的长为4 厘米，宽为2 厘米，面积
为4×2＝8 平方厘米；右边长方形的长为3 厘米，宽为1 厘米，面积为
3×1＝3 平方厘米。
所以，这个图形的面积为：8＋3＝11 平方厘米。
想一想：这道题还可以怎样画辅助线，分割后求面积呢？
练习十四
1.运动场有一个正方形的游泳池，在游泳池四周粘上瓷砖，瓷砖
总长400 米，求游泳池的面积是多少平方米。
2.在公园里有两个花圃，它们的周长相等。其中长方形花圃长40
米，宽20 米，求另一个正方形花圃的面积。
3.计算下面图形的面积。（单位：厘米）
(1)
15
20
30
40
(2)
3
1
1
2
2
