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2025 安徽中考数学试卷
数学试题
注意事项：
1．你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟．
2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分．“试题卷”共4页，“答题卷”共6页．
3．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的．
4．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回．
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A，B，C，D四个
选项，其中只有一个是符合题目要求的．
1. 在 ，0，2，5这四个数中，最小的数是（ ）
A. B. 0 C. 2 D. 5
【答案】A
【解析】
【分析】解题思路为：依据有理数大小比较规则，即负数小于 ， 小于正数，来比较这四个数的大小，
找出最小数 ．本题主要考查了有理数的大小比较，熟练掌握“负数小于 ， 小于正数”的大小比较规则
是解题的关键．
【详解】解：有理数大小比较规则：负数 正数．
对于 、 、 、 这四个数，
是负数， 是零， 、 是正数，
，
即最小的数是 ．
故选： ．
2. 安徽省2025年第一季度工业用电量为521.7亿千瓦时，其中521.7亿用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
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【解析】
【分析】本题主要考查科学记数法，熟练掌握科学记数法是解题的关键；科学记数法的表示形式为
的形式，其中 ，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n
的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于 10时，n是正整数；当原数的绝对值小于1
时，n是负整数．
【详解】解：将数据521.7亿用科学记数法表示为 ；
故选C．
3. “阳马”是由长方体截得的一种几何体，如图水平放置的“阳马”的主视图为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了简单几何体的主视图，熟练掌握主视图的定义（从物体正面观察得到的平面图
形）是解题的关键．主视图是从几何体正面观察得到的平面图形，据此分析该“阳马”正面看到的形状 ．
【详解】解：主视图是从物体正面看所得到的图形．观察水平放置的“阳马”，从正面看，看到的是一个
三角形．对比四个选项，只有选项 符合从正面看到的图形特征，其他三项都不符合题意．
故选： ．
4. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查二次根式的性质，求一个数的立方根，幂的乘方计算，同底数幂乘法计算，根据相
关计算法则求出对应选项中式子的结果即可得到答案。
【详解】解；A、 ，原式计算错误，不符合题意；
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B、 ，原式计算正确，符合题意；
C、 ，原式计算错误，不符合题意；
D、 ，原式计算错误，不符合题意；
故选；B
5. 下列方程中，有两个不相等的实数根的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】解题思路为利用一元二次方程根的判别式 ，分别计算四个选项方程的 值，根据
与 的大小关系判断根的情况 ．本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握根的判别式
及根据 判断根的情况是解题的关键．
【详解】解：选项A：
， ， ，
，无实数根，不符合题意；
选项B：
， ， ，
，有两个相等的实数根，不符合题意；
选项C：
， ， ，
，无实数根，不符合题意；
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选项D：
， ， ，
，有两个不相等的实数根，符合题意；
故选：D．
6. 如图，在 中， ， ，边 的中点为D，边 上的点E满足 ．
若 ，则 的长是（ ）
A. B. 6 C. D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了等腰三角形性质、含 角的直角三角形性质及勾股定理，熟练掌握这些性质定
理，通过设未知数，利用勾股定理建立方程求解是解题的关键．先根据等腰三角形性质求出 的度数，
再利用中点得到线段关系，最后在 中，结合含 角的直角三角形性质及勾股定理求出 的长
．
【详解】解：∵在 中， ， ，
．
是 中点，
∴设 ，则 ．
∵ ，
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是直角三角形，且 ，
，
∵ ，则 ．在 中，根据勾股定理 ，
∴ ，
，
，
解得 （ ）．
，
．
故选： ．
7. 已知一次函数 的图象经过点M ，且y随x的增大而增大．若点N在该函数的图
象上，则点N的坐标可以是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据一次函数过点 得出 与 的关系，再结合 随 增大而增大得 ，然后将各选项
坐标代入函数，判断 是否符合条件 ．本题主要考查了一次函数的性质与图象上点的坐标特征，熟练掌握
一次函数 中 的意义及点坐标与函数解析式的关系是解题的关键．
【详解】∵一次函数 过 ，
把 代入 得 ，即 ．
又 随 的增大而增大，
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．
选项A：点 ，代入 得 ，
把 代入得 ，
化简得 ，解得 ，不满足 ，舍去．
选项B：点 ，代入 得 ，
把 代入得 ，
化简得 ，不满足 ，舍去．
选项C：点 ，代入 得 ，
把 代入得 ，
化简得 ，解得 ，不满足 ，舍去．
选项D：点 ，代入 得 ，
把 代入得 ，
化简得 ，解得 ，满足 ．
综上，只有选项D符合条件，
故选： ．
8. 在如图所示的 中， ， 分别为边 ， 的中点，点 ， 分别在边 ， 上移动
（不与端点重合），且满足 ，则下列为定值的是（ ）
A. 四边形 的周长 B. 的大小
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C. 四边形 的面积 D. 线段 的长
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，熟练掌握平行四边形对边平行且相等的性质，通过全
等三角形转化面积关系，是解题的关键．利用平行四边形的性质，通过证明三角形全等分析四边形
各边、角、面积等是否为定值，重点关注面积能否通过转化为平行四边形面积的一部分来判断 ．
【详解】解：连接 ，
在 中， ， 分别为 ， 中点，
且 ， ， ，
且 ，
四边形 是平行四边形，
，
同理 ，且 ．
∴四边形 是平行四边形，
则 与 的面积分别为 与 面积的一半，
四边形 的面积 ，
四边形 的面积始终为 面积的一半，是定值．
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选项A： 、 等边长随 、 移动变化，周长不定，错误．
选项B： 随 位置改变，错误．
选项D： 长度随 、 移动改变，错误．
综上，四边形 的面积是定值，
故选： ．
9. 已知二次函数 的图象如图所示，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据二次函数图象的开口方向、对称轴位置、与 轴交点及特殊点的函数值，结合二次函数性质，
逐一分析选项 ．本题主要考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数中 （开口方向）、 （对称
轴与 共同决定）、 （与 轴交点）的意义及特殊点函数值的应用是解题的关键．
【详解】解： 二次函数 图象中，开口向上，
．
对称轴 ，又 ，
，即 ．
抛物线与 轴交点在负半轴，
．
选项A： ， ， ，
两负一正相乘得正，
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，该选项错误．
选项B：对称轴 ，由图象知对称轴 ，即 ，
又 ，两边乘 得 ， ，该选项错误．
选项C：当 时， ，即 ；当 时， ，
，该选项正确．
选项D：当 时， ，由图象知 对应的函数值 ，
，该选项错误．
故选 ．
10. 如图，在四边形 中， ， ， ， ，点 为边 上的
动点．将线段 绕点 逆时针旋转 得到线段 ，连接 ， ， ，则下列结论错误的是（
）
A. 的最大值是 B. 的最小值是
C. 的最小值是 D. 的最大值是
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要围绕四边形中的动点问题展开，解题思路是先通过旋转的性质得到相关线段和角的关系，
再利用勾股定理建立线段之间的联系，最后根据点与点之间的位置关系以及几何性质来分别判断各个结论
的正确性．
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【详解】解：∵将线段 绕点 逆时针旋转 得到线段 ，
∴ ， ．
又∵ ， ， ， ，
过点 作 于点 ，在 上取一点 ，使得 延长 交 于点 ，则四边
形 是矩形，
∴ ．
∴ ，
∴ （ ），
∴
∴ ，即点 在 上运动，
∴四边形 和四边形 是矩形，
∴ ， ， ，
∵ ， ， ， ，
∴
∴ ，
∴ 最大时， 最大，
当 点 与 点 重 合 时 ， 与 重 合 时 ， 最 小 此 时 ，
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，故 错误，符合题意； 故B正确，不符
合题意；
作点 关于 的对称点 ，连接 则 ， ， 过
作 于点 ，此时 当 、 、 三点共线时， 最小，
∵
∴四边形 是矩形，
∴ ， ，
∴ 的最小值 故 正确，不符合题意；
当 与 重合时，
当 与 重合时，过 作 ，则四边形 是矩形，如下图，
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∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴
∴ ，
综上， 最大值为 ．故 项正确，不符合题意；
故选： ．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、矩形的判定及性质，勾股定理以及几何
最值问题，熟练掌握旋转的性质和勾股定理，并能根据几何图形的特点准确分析线段之间的关系是解题的
关键．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11. 计算： ________．
【答案】6
【解析】
【分析】本题主要考查了有理数的减法计算，求一个数的绝对值，先计算绝对值，再根据减去一个数等于
加上这个数的相反数求解即可．
【详解】解： ，
故答案为： ．
12. 如图， 是 的弦， 与 相切于点B，圆心O在线段 上．已知 ，则 的
大小为________ ．
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【答案】20
【解析】
【分析】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，直角三角形的性质，连接 ，由切线的性质可得
，根据直角三角形两锐角互余可得 的度数，再由圆周角定理即可得到答案．
【详解】解；如图所示，连接 ，
∵ 与 相切于点B，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
13. 在一个平衡的天平左、右两端托盘上，分别放置质量为 和 的物品后，天平倾斜（如图所示）．
现从质量为 ， ， ， 的四件物品中，随机选取两件放置在天平的左端托盘上，则天平恢复
平衡的概率为________．
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【答案】
【解析】
【分析】本题考查概率的应用，通过画树状图或列表罗列出所有等可能的情况，再从中找出符合条件的情
况数，最后利用概率公式求解．
【详解】解：要使天平恢复平衡，则选取两件物品的质量和为 ，
列表如下：
10 20 30 40
10 30 40 50
20 30 50 60
30 40 50 70
40 50 60 70
∴共有12种可能结果，其中使天平恢复平衡的有4种，
∴天平恢复平衡的概率为 ．
故答案为： ．
14. 对于正整数n，根据n除以3的余数，分以下三种情况得到另一个正整数 m：若余数为0．则 ；
若余数为1，则 ；若余数为2，则 ．这种得到m的过程称为对n进行一次“变换”．对所得
的数m再进行一次变换称为对n进行二次变换，依此类推．例如，正整数 ，根据4除以3的余数为
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1，由 知，对4进行一次变换得到的数为8；根据8除以3的余数为2，由 知，对4进行二
次变换得到的数为9；根据9除以3的余数为0，由 知，对4进行三次变换得到的数为3．
（1）对正整数15进行三次变换，得到的数为________；
（2）若对正整数n进行二次变换得到的数为1，则所有满足条件的n的值之和为________．
【答案】 ①. 2 ②. 11
【解析】
【分析】本题主要考查了新定义，正确理解新定义是解题的关键．
（1）根据15除以3的余数为0可得第一次变换后的数为5，再根据5除以3的余数为2可得第二次变换后
的数，同理可得第三次变换后的数；
（2）第二次变换后的结果为1，那么第一次变换后的结果为3或 或 ，再验证这三个数是否可经过变换
后得1即可确定第一次变换后得到的数，据此根据第一次变换得到的数可推出 n的三个值，再同理可验证
符合题意的n，据此可得答案．
【详解】解；（1）∵ ，
∴15进行一次变换后得到的数为 ；
∵ ，
∴15进行二次变换后得到的数为 ；
∵ ，
∴15进行三次变换后得到的数为2，
故答案为：2；
（2）当对正整数n进行第一次变换后，所得的数除以3的余数为0时，则第一次变换后的数为 ，
此时符合题意；
当对正整数n进行第一次变换后，所得的数除以3的余数为1时，则第一次变换后的数为 ，此时不符合
题意；
当对正整数n进行第一次变换后，所得的数除以3的余数为2时，则第一次变换后的数为 ，此时
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不符合题意；
综上所述，第一次变换后所得的数为3，
当n除以3的余数为0时，则 ，符合题意；
当n除以3的余数为1时，则 ，不符合题意；
当n除以3的余数为2时，则 ，符合题意；
∴符合题意的n的值是9或2，
∴所有满足条件的n的值之和为 ，
故答案为；11．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 先化简，再求值： ，其中 ．
【答案】 ，1
【解析】
【分析】本题主要考查了分式的化简求值，先把两个分式的分母分解因式，再把除法变成乘法后约分化简，
最后代值计算即可得到答案．
【详解】解：
，
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当 时，原式 ．
16. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系 ， 的顶点和
均为格点（网格线的交点）．已知点A和 的坐标分别为 和 ．
（1）在所给的网格图中描出边 的中点D，并写出点D的坐标；
（2）以点O为位似中心，将 放大得到 ，使得点A的对应点为 ，请在所给的网格图中
画出 ．
【答案】（1）图见解析；
（2）图见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了中点坐标公式，坐标系中画位似图形，熟知中点坐标公式，位似图形的性质是解
题的关键．
（1）根据两点中点坐标公式可确定点D的坐标，进而描出点D即可；
（2）根据点 A 和点 的坐标可知，把 B、C 的横纵坐标都乘以 即可得到 的坐标，描出
，并顺次连接 即可．
【小问1详解】
解：如图所示，点D即为边 的中点，
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∵ ，
∴点D的坐标为 ．
【小问2详解】
解：如图所示， 即为所求作的三角形．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 某公司为庆祝新产品上市，在甲楼与乙楼的楼顶之间悬挂彩带营造喜庆气氛．如图所示，甲楼和乙楼
分别用与水平地面垂直的线段 和 表示，彩带用线段 表示．工作人员在点A处测得点C的俯角
为 ，测得点D的仰角为 ．已知 ，求 的长（精确到 ）．参考数据：
， ， ， ， ，
．
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【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，过点A作 ，垂足为点E，则四边形
为矩形，可得 ，解 求出 的长，再解 求出 的长即可得到答
案．
【详解】解：过点A作 ，垂足为点E．
∵线段 和 都与地面垂直，
∴四边形 为矩形，
∴ ．
在 中， ，
∴ ．
在 中， ，
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．
答： 的长为 ．
18. 如图，在平面直角坐标系 中，一次函数 与反比例函数 的图象交于
A，B两点．已知点A和B的横坐标分别为6和2．
（1）求a与k的值；
（2）设直线 与x轴、y轴的交点分别为C，D，求 的面积．
【答案】（1） ，
（2）16
【解析】
【分析】本题主要考查了一次函数与几何综合，一次函数与反比例函数综合，正确求出a、k的值解题的关
键．
（1）把A、B横坐标分别代入两个函数解析式，根据同一个横坐标下，两个函数的函数值相同建立方程组
求解即可；
（2）根据（1）所求可得直线 的解析式，则可求出点C和点D的坐标，坐标可得 的长，据
此根据三角形面积计算公式求解即可．
【小问1详解】
解：由题意得， ，
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解得 ， ．
【小问2详解】
解：由（1）知直线 对应的一次函数表达式为 ．
在 中，令 ，得 ，令 ，得 ，
∴ ， ，
∴ ． ．
∴ 的面积为 ．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 某景区管理处为了解景区的服务质量，现从该景区 月份的游客中随机抽取 人对景区的服务质量进
行评分，评分结果用 表示（单位：分），将全部评分结果按以下五组进行整理，并绘制统计表，部分信
息如下：
组别
分组
人数
请根据以上信息，完成下列问题：
（1） ________；
（2）这 名游客对该景区服务质量评分的中位数落在________组；
（3）若游客评分的平均数不低于 ，则认定该景区的服务质量良好．分别用 ， ， ， ， 作
为 ， ， ， ， 这五组评分的平均数，估计该景区 月份的服务质量是否良好，并说明理由．
【答案】（1） ；
（2）D； （3）该景区 月份的服务质量良好，理由见解析．
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【解析】
【分析】本题主要考查了中位数、加权平均数，解决本题 的关键是根据中位数的定义确定中位数在哪一组，
利用加权平均数的公式求出平均数．
（1）根据抽查的总人数和其余 组的人数计算出D组的人数，即为 的值；
（2）根据中位数的定义可知，把这 人的评分结果按照从小到大的顺序排列，第 和 个评分结果的
平均数是这组数据的中位数，根据 ， ， 组的人数和 组的人数判断中位数在D组；
（3）利用加权平均数的公式可以求出 名游客评分的平均数为 分，所以该景区 月份的服务质量良好．
【小问1详解】
解： ，
故答案为： ；
【小问2详解】
解： 一共抽查了 人，
的
把这 人 评分结果按照从小到大的顺序排列，第 和 个评分结果的平均数是这组数据的中位数，
又 ， ，
第 和 个评分结果在D组，
这 名游客对该景区服务质量评分的中位数落在D组，
故答案为：D；
【小问3详解】
解： ，
，
该景区 月份的服务质量良好．
20. 如 图 ， 四 边 形 的 顶 点 都 在 半 圆 O 上 ， 是 半 圆 O 的 直 径 ， 连 接 ，
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．
（1）求证： ；
（2）若 ， ，求 的长．
【答案】（1）详见解析
（2）6
【解析】
【分析】本题主要考查了圆周角定理，垂径定理，三角形中位线定理，勾股定理，熟知圆周角定理和垂径
定理是解题的关键．
（1）由圆周角定理可得 ，则可证明 ，据此可证明 ．
（2）连接 ，交 于点E．由题意知，由直径所对的圆周角是直角得到 ，即 ，
则可证明 ，由垂径定理可得点 E 为 的中点，则 是 的中位线，即可得到
．设半圆的半径为r，则 ．由勾股定理知 ，解方程即
可得到答案．
【小问1详解】
证明：∵ ， ，
∴ ，
∴ ．
【小问2详解】
解：连接 ，交 于点E．由题意知，
∵ 是 的直径，
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∴ ，即 ，
∵ ，
∴ ，
∴点E为 的中点，
又∵O是 的中点，
∴ 是 的中位线，
∴ ．
设半圆的半径为r，则 ．
由勾股定理知， ，
即 ，
解得 ， （舍去）．
∴ ．
六、（本题满分12分）
21. 综合与实践
【项目主题】
某劳动实践小组拟用正三角形和正六边形两种环保组件改善小区幼儿园室内活动场地．
【项目准备】
（1）密铺知识学习：用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，使图形之间既没有空隙也
没有重叠地铺成一片，叫做图形的密铺．
（2）密铺方式构建：运用密铺知识得到图1、图2所示的两种拼接方式，其中正六边形和正三角形组件的
边长均为 ．
（3）密铺规律探究：为方便研究，称图3、图4分别为图1、图2的“拼接单元”．
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观察发现：自左向右拼接图1时，每增加一个图3所示的拼接单元，则增加1个正六边形和2个正三角形，
长度增加 ，从而x个这样的拼接单元拼成一行的长度为 ．
自左向右拼接图2时，每增加一个图4所示的拼接单元，则增加① 个正六边形和② 个正三角形，
长度增加③ cm，从而y个这样的拼接单元拼成一行的长度为④ cm．
【项目分析】
（1）项目条件：场地为长 、宽 的矩形；正三角形和正六边形组件的单价分别为1元和5元．
（2）基本约定：项目成本仅计算所需组件的费用．
（3）方式确定：
（i）考虑成本因素，采用图1方式进行密铺；
（ii）每行用正六边形组件顶着左墙开始，从左向右用一个正六边形与两个正三角形组件按图 1所示方式
依次交替拼接，当不能继续拼接时，该行拼接结束；
（iii）第一行紧靠墙边，从前往后按相同方式逐行密铺，直至不能拼接为止．
（4）方案论证：按上述确定的方式进行密铺，有以下两种方案．
方案一：第一行沿着长度为6 m的墙自左向右拼接（如图5）．
根据规律，令 ，解得 ，所以每行可以先拼 块拼接单元，即共用去 个正六边
形和 个正三角形组件，由 知，所拼长度为 ，剩余 恰好还可以摆放一个
正六边形组件（如图 5 所示的阴影正六边形）．最终需用 个正六边形和 个正三角形组件，由
知，方案一每行的成本为 元．
由于每行宽度为 （按 计算），设拼成s行，则 ，解得 ，
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故需铺 行．由 知，方案一所需的总成本为 元．
方案二：第一行沿着长度为 的墙自左向右拼接．
类似于方案一的成本计算，令
方案二每行的成本为⑤ 元，总成本为⑥ 元．
【项目实施】
根据以上分析，选用总成本较少的方案完成实践活动（略）．
请将上述材料中横线上所缺内容补充完整：
________；②________；③________；④________；⑤________；⑥________．
【答案】 ； ； ； ； ；
【解析】
【分析】本题主要考查了平面镶嵌，通过观察图4所示的拼接单元，数出增加的正六边形和正三角形的数
量，再根据边长计算出长度的增加量，进而得出y个拼接单元拼成一行的长度．涉及根据给定的拼接条件
进行不等式计算，以确定拼接单元数量、组件数量，
进而计算每行成本和总成本．方案二的计算方法与方案一类似．
【详解】解：项目主题：
观察图4可知，每增加一个图4所示的拼接单元，增加1个正六边形和6个正三角
形；
由正六边形和正三角形组件的边长均为 ，观察图4可得
增加的长度为3个边长，即
计算 y个拼接单元拼成一行的长度第一个拼接单元有一个正六边形左边的 ，每增加一个拼接单元长
度增加 ，所以y个这样的拼接单元拼成一行的长度为
项目分析：
计算方案二每行可拼接的单元数量令 ，
移项可得 ，即 ，
两边同时除以 ，解得 ，
每行可以先拼 块拼接单元．
计算方案二每行所需的正六边形和正三角形组件数量
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拼 块拼接单元，
共用去 个正六边形和 个正三角形组件．
为
由 知，所拼长度 ，
剩余 ，无法再摆放组件．
由 知，方案二每行的成本为 元．
由于每行宽度为 （按 计算），设拼成s行，
则 ，
两边同时除以 ， ，
故需铺17行．
计算方案二的总成本 ．
方案二所需的总成本为 元．
项目实施：
两种方案比较可知： ．
选方案二完成实践活动．
故答案为： ； ； ； ； ； ．
七、（本题满分12分）
22. 已知点 在正方形 内，点E在边 上， 是线段 的垂直平分线，连接 ， ．
（1）如图1，若 的延长线经过点D， ，求 的长；
（2）如图2，点F是 的延长线与 的交点，连接 ．
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①求证： ；
②如图3，设 ， 相交于点G，连接 ， ， ．若 ，判断 的形状，并说
明理由．
【答案】（1）
（2） 详见解析； 为等腰直角三角形，理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据线段的垂直平分线的性质得出 ， ，证明 ，得出
，结合正方形的性质可判断 是等腰直角三角形，求出 ，然后
根据勾股定理求出 ，即可求解；
（2）①由正方形的性质和线段的垂直平分线的性质得出 ，根据等边对等角以及三角形内
角和定理可求出 ，即可求解；
②（方法一）作 交 于点M，交 于点N．根据三线合一的性质得出M为 的中点．可
证 ，根据平行线分线段成比例判断出N是 的中点，根据三角形中位线定理得出 ．
根据 证明 ，得出 ，则E为 的中点．结合 ，
根据三角形中位线定理和平行线的性质得出 ．同理可证 ，得出
，即可得出结论；
（方法二）设 ，则 ．根据等边对等角得出 ，根据三
角形内角和定理求出 ，由（1）中 ，得出 ，则
． 根 据 等 边 对 等 角 得 出 ． 根 据 三 角 形 内 角 和 定 理 求 出
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，由角的和差关系求出 ， ，根据 证明
，得出 ， ．结合①中 求出 ，
则 ，即可得出结论．
【小问1详解】
解：∵四边形 是正方形， 的延长线经过点D，
∴ ， ， ，
由垂直平分线的性质知， ， ，
又 ，
∴ ，
∴ ．
又 ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【小问2详解】
解：①证明：由题意知， ，
∴ ， ．
∴
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，
∴ ．
②解： 是等腰直角三角形．
理由如下：
（方法一）作 交 于点M，交 于点N．
∵ ，
∴M为 的中点．
又 ，
∴ ，
∴ ，
∴N是 的中点，
∴ 是 的中位线， ．
∵ ， ，且 ，
∴ ，
∴ ，
即E为 的中点．
又 ，
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∴ ，
∴ ．
同理可证 ，
∴ ．
∴ 是等腰直角三角形．
（方法二）设 ，则 ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∴ ，
∴ ．
∴ ．
∴ ，
又 ， ，
∴ ．
∴ ， ．
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由①知 ，
∴ ．
又 ，
∴ 为等腰直角三角形．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，平行线分线段
成比例，勾股定理，三角形的中位线定理等知识，掌握相关性质定理进行推理论证是解题的关键．
八、（本题满分14分）
23. 已知抛物线 经过点 ．
（1）求该抛物线的对称轴；
（2）点 和 分别在抛物线 和 上（ 与原点都不重合）．
①若 ，且 ，比较 与 的大小；
②当 时，若 是一个与 无关的定值，求 与 的值．
【答案】（1）对称轴是直线
（2） ； ，
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，求抛物线的对称轴，判断函数值的大小，利用函数值的
数量关系求系数，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质．
（1）将已知点的坐标代入解析式中，得出系数之间的关系，利用对称轴公式即可求解；
（2）①根据题意得出函数的解析式，将 代入解析式中，利用作差法即可得出函数值的大小；
②将函数值用各自自变量表示，整理 得出两自变量的数量关系，即 ，
再利用特殊值法即可求出系数的值．
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【小问1详解】
解：由题意得，将点 代入 得，
，即 ，
所以 ，
故所求抛物线的对称轴是直线 ．
【小问2详解】
解：①由（1）可知，抛物线的解析式为 ．
又 ，
故 ．
因为抛物线 过原点，且点A与原点不重合，所以 ．
于是 ，
故 ．
②由题意知， ， ．
∵ ，
∴ ．
因为两条抛物线均过原点，且A，B与原点都不重合，所以 ， ．
故 ，即 ．
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于是 ．
依题意知， 是与 无关的定值．
则 ，解得 ．
经检验，当 时， 是一个与 无关的定值，符合题意．
所以 ， ．
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