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自贡市 2025 年初中学业水平考试暨高中阶段学校招生考试
数学
本试题卷分为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共6页，满分150分．答卷
前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，答卷时，须将答案答在答题卡上，
在本试题卷、草稿纸上答题无效．考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回．
第I卷 选择题
注意事项：必须使用2B铅笔将答案标号填涂在答题卡上对应题目标号的位置上．知常改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．
一、选择题（共12个小题，每小题4分，共48分，在每题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的）
1. 若 ，则 内的数字是（ ）
A. B. 2 C. 4 D.
的
2. 起源于中国 围棋深受青少年喜爱．以下由黑白棋子形成的图案中，为中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
3. 如图，一束平行光线穿过一张对边平行的纸板，若 、则 的度数为（ ）
A. B. C. D.
4. 中国新能源汽车性能优越，近年来销售量持续攀升，2024年度销量已达到 万辆．12866000用科
学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
5. 如图，一横一竖两块砖头放置于水平地面，其主视图为（ ）
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A. B. C. D.
6. 某校举行“唱红歌”歌咏比赛，甲、乙、丙三位选手的得分如下表所示．三项评分所占百分比如下图所
示，平均分最高的是（ ）
选 专家组评 教师组评 学生组评
手 分 分 分
甲 7 7 9
乙 8 7 8
丙 7 8 8
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 平均分都相同
7. 如图，在平面直角坐标系 中，正方形 的边长为5， 边在 轴上． ．若将正方
形 绕点 逆时针旋转 ．得到正方形 ．则点 的坐标为（ ）
A. B.
C. D.
8. 如图，正六边形与正方形的两邻边相交，则 （ ）
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A. B. C. D.
9. 某小区人行道地砖铺设图案如图所示．用10块相同的小平行四边形地砖拼成一个大平行四边形．若大
平行四边形短边长 ．则小地砖短边长（ ）
A. 7cm B. 8 C. 9 D.
10. 分别与 相切于 两点．点 在 上，不与点 重合．若 ，则
的度数为（ ）
A. B. C. D. 或
11. 如图，在平面直角坐标系中，将 平移，得到 ，点 在坐标轴上．若
，则点 坐标为（ ）
A. B. C. D.
12. 如图，正方形 边长为6，以对角线 为斜边作 、 ，点 在 上．连接
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．若 ．则 的最小值为（ ）
A. 6 B. 6 C. 3 D. 4
第II卷（非选择题共102分）
注意事项：必须使用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上题目所指示区域内作答，作图题可
先用铅笔绘出．确认后再用0.5毫米黑色墨水签字笔描清楚，答在试题卷上无效．
二、填空题（共5个小题，每小题4分，共20分）
13. 计算： ___________．
14. 分解因式： ______．
15. 若 ，则 的值为___________．
的
16. 如图，在 中， ， 于点 ， ．以点 为圆心， 长为半
径画弧，交 于点 ．以点 为圆心． 的长为半径画弧．交 于点 ，过点 作 ，
交 于点 ；再以点 为圆心， 的长为半径画弧，交 于点 ，以 的长为半径画弧，交
于点 ，过点 作 ，交 于点 ；又以点 为圆心……重复以上操作．则
的长为___________．
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17. 如图，在平面直角坐标系 中， 的顶点 ， 分别在 轴， 轴正半轴上，
， ， ．以 为边作等边 ．连接 ，则 的最大值为
___________．
三、解答题（共8个题．共82分）
18. 解不等式组： ，并在数轴上表示其解集．
19. 如图， ， ．求证： ．
20. 去年暑假，小张与小李同学主动帮刘大爷掰玉米，他们各掰了36筐和30筐，两人劳动时间相同，小张
平均每小时比小李多掰2筐，请问小李平均每小时掰玉米多少筐？
21. 某校七年级拟组建球类课外活动兴趣班，为了解同学们的参与意向，学生会进行了随机问卷调查，要
求被调查的同学在足球、篮球、乒乓球、羽毛球中任选一项．以下是依据调查数据，正在绘制中的统计图
和统计表，请根据相关信息解答下列问题，
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选择球类兴趣班人数条形统计图
选择球类兴趣班人数占比统计表
组 球类活动兴趣 占调查总人数百分
别 班 比
A 足球
B 篮球
C 乒乓球
D 羽毛球
（1）请补全上述条形统计图和占比统计表，若用扇形统计图反映选择球类活动兴趣班的人数占比，则篮
球兴趣班的扇形圆心角为___________度；
（2）估计该校七年级400名学生中，选择乒乓球兴趣班的人数；
（3）若用电脑随机选择A，B，C，D四类兴趣班，请用列表或画树状图的方法，求该校七年级甲、乙两
名同学都选择乒乓球兴趣班的概率
22. 如图，等圆 和 相交于 两点， 经过 的圆心 ，连接 ，作直径 ，延长
到点 ，使 ，连接 ．
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（1） ___________度；
（2）求证： 为 的切线；
（3）若 ，求 上 的长．
23. 如图，正比例函数 与反比例函数 的图象交于点 ，点 是线段 上异于端点
的一点，过点 作 轴的垂线．交反比例函数的图象于点 ．
（1）求 的值；
（2）若 ，求点 坐标；
（3）双曲线 关于 轴对称的图象为 ，直接写出射线 绕点 旋转 后与 的交点坐标．
24. 如图1，自贡彩灯公园内矗立着一座高塔，它见证过自贡灯会的辉煌历史．小蕊参加了测量该塔高度
的课外实践活动，小组同学研讨完测量方案后，活动如下．
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（1）制作工具
如图2，在矩形木板 上 点处钉上一颗小铁钉，系上细绳，绳的另一端系小重物 ，过点 画射线
．测量时竖放木板，当重垂线 时，将等腰直角三角尺 的直角顶点 紧靠铁钉，
绕点 转动三角尺，通过 边瞄准目标 ，测量 可得仰角度数．采用同样方式，可测俯角度数．
是
测量时， 否水平呢？小蕊产生了疑问．组长对她说：“因为 始终垂直于水平面，满足
就行．”求证： ．
（2）获取数据
的
如图3，同学们利用制作 测量工具，在该塔对面高楼上进行了测量．已知该楼每层高3米，小蕊在15楼
阳台 处测得塔底 的仰角为 ，在25楼对应位置 处测得塔底 的俯角为 ，塔顶 的仰角为
．
如图4，为得到仰角与俯角的正切值，小蕊在练习本上画了一个 ， ， ，
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．在边 上取两点 ， ，使 ， ，量得 ，
， ，则 ___________， ___________，
___________（结果保留小数点后两位）．
（3）计算塔高
请根据小蕊的数据，计算该塔高度（结果取整数）．
（4）反思改进
的
小蕊 测量结果与该塔实际高度存在2米的误差．为减小误差，小组同学想出了许多办法．请你也帮小蕊
提出两条合理的改进建议（总字数少于50字）．
25. 如图，在 中， 分别是 的中点，连接 ， 交于点 ．
（1）若 ， ， ，则四边形 的面积为___________；
（2）若 ， 的最大面积为 ．设 ，求 与 之间的函数关系式，并求 的最大
值；
（3）若（2）问中 取任意实数，将函数 的图象依次向右、向上平移1个单位长度，得到函数 的图象．
直线 交该图象于点 ， （ 点在 点左边），过点 的直线 交该图象于另
一点 ，过点 的直线与直线 交于点 ．若 ，试问直线 是否过定点？若过定点，
求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．
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