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数学
A 卷（共 100 分）
第Ⅰ卷（选择题，共32分）
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一
项符合题目要求）
1. 如果某天中午的气温是 ，傍晚比中午下降了 ，那么傍晚的气温是（ ）
A. B. C. D.
的
2. 下列几何体中，主视图和俯视图相同 是（ ）
A B.
.
C. D.
3. 下列计算正确的是（ ）
.
A B.
C. D.
4. 在平面直角坐标系 中，点 所在的象限是（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
5. 在第25个全国科技活动周中，某班每位学生结合自己的兴趣从元宇宙、脑机接口和人形机器人中选择
一项进行深入了解，现将选择结果绘制成如下统计图表：
人
数
元宇宙 16
脑机接口 a
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人形机器
14
人
根据图表信息，表中a的值为（ ）
A. 8 B. 10 C. 12 D. 15
6. 中国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个题目：今有善田一亩，价三百；恶田七亩，价五百．
今并买一顷，价钱一万．问善、恶田各几何？其大意是：今有良田1亩价值300钱；劣田7亩价值500钱．
今合买良、劣田1顷（100亩），价值10000钱．问良田、劣田各有多少亩？设良田为x亩，劣田为y亩，
则可列方程组为（ ）
A. B.
C. D.
7. 下列命题中，假命题是（ ）
A. 矩形的对角线相等 B. 菱形的对角线互相垂直
C. 正方形的对角线相等且互相垂直 D. 平行四边形的对角线相等
8. 小明从家跑步到体育馆，在那里锻炼了一段时间后又跑步到书店买书，然后步行回家（小明家、书店、
体育馆依次在同一直线上），如图表示的是小明离家的距离与时间的关系．下列说法正确的是（ ）
A. 小明家到体育馆的距离为 B. 小明在体育馆锻炼的时间为
C. 小明家到书店的距离为 D. 小明从书店到家步行的时间为
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第Ⅱ卷（非选择题，共68分）
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9. 若 ，则 的值为________．
10. 任意给一个数x，按下列程序进行计算．若输出的结果是15，则x的值为________．
11. 正六边形 的边长为1，则对角线 的长为________．
12. 某蓄电池的电压为定值．使用此电源时，用电器的电流I（A）．与电阻R（Ω）之间的函数关系为
，则电流Ⅰ的值随电阻R值的增大而________（填“增大”或“减小”）．
13. 如图，在 中， ， ， ．以点A为圆心，以 长为半径作弧；
再以点C为圆心，以 长为半径作弧，两弧在 上方交于点D，连接 ，则 的长为________．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14. （1）计算： ．
（2）解不等式组：
15. 某公司需要经常快递物品，准备从A，B两家快递平台中选择一家作为日常使用．该公司让七位相关员
工对这两家平台从物品完好度、服务态度与物流时长三项分别评分（单位：分），其中对平台A的服务态
度评分为：86，88，89，91，92，95，96；对平台B的服务态度评分为：86，86，89，90，91，93，95．
现将每项七个评分的平均值作为该项的得分，平台A，B各项的得分如下表：
物品完好
服务态度 物流时长
度
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平台
92 m 90
A
平台
95 n 88
B
（1）七位员工对平台A的服务态度评分的极差（最大值与最小值的差）是________；
（2）求表格中m，n的值，并以此为依据，请判断哪家平台服务态度更好；
（3）如果公司将物品完好度、服务态度、物流时长三项的得分按 的比例确定平台的最终得分，并
以此为依据选择平台，请问该公司会选择哪家平台？
16. 在综合与实践活动中，某学习小组用无人机测量校园西门A与东门B之间的距离．如图，无人机从西
门A处垂直上升至C处，在C处测得东门B的俯角为 ，然后沿 方向飞行60米到达D处，在D处
测得西门A的俯角为 ．求校园西门A与东门B之间的距离．（结果精确到0.1米；参考数据：
， ， ， ）
17. 如图，点C在以 为直径的半圆O上，连接 ，过点C作半圆O的切线，交 的延长线于
点D，在 上取点E，使 ，连接 ，交 于点F．
（1）求证： ；
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（2）若 ， ，求半圆O的半径及 的长．
18. 如图，在平面直角坐标系 中，直线 与反比例函数 的图象的一个交点为 ，
与x轴的交点为 ．
（1）求k的值；
（2）直线 与反比例函数的图象在第三象限交于点C，点D在反比例函数的图象上，若 ，
求直线 的函数表达式；
（3）P为x轴上一点，直线 交反比例函数的图象于点E（异于A），连接 ，若 的面积为2，
求点E的坐标．
B卷（共50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19. 多项式 加上一个单项式后，能成为一个多项式的平方，那么加上的单项式可以是________（填
一个即可）．
20. 从 ，1，2这三个数中任取两个数分别作为a，b的值，则关于x的一元二次方程 有
实数根的概率为________．
21. 如图， 的半径为1，A，B，C是 上的三个点．若四边形 为平行四边形，连接AC，则
图中阴影部分的面积为________．
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22. 如图，在 中， ，点D在 边上， ， ， ，则
的值为________；点E在 的延长线上，连接 ，若 ，则 的长为
________．
23. 分子为1的真分数叫做“单位分数”，也叫“埃及分数”．古埃及人在分数计算时总是将一个分数拆
分成几个单位分数之和，如： ．将 拆分成两个单位分数相加的形式为________；一般地，
对于任意奇数k（ ），将 拆分成两个不同单位分数相加的形式为________．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24. 2025年8月7日至17日，第12届世界运动会将在成都举行，与运动会吉祥物“蜀宝”“锦仔”相关
的文创产品深受大家喜爱．某文旅中心在售A，B两种吉祥物挂件，已知每个B种挂件的价格是每个A种
挂件价格的 ，用300元购买B种挂件的数量比用200元购买A种挂件的数量多7个．
（1）求每个A种挂件的价格；
（2）某游客计划用不超过600元购买A，B两种挂件，且购买B种挂件的数量比A种挂件的数量多5个，
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求该游客最多购买多少个A种挂件．
25. 如图，在 中，点 在 边上，点 关于直线 的对称点 落在 内，射线 交
射线 于点 ，交射线 于点 ，射线 交 边于点 ．
【特例感知】
（1）如图1，当 时，点 在 延长线上，求证： ；
【问题探究】
（2）在（1）的条件下，若 ， ，求 的长；
【拓展延伸】
（3）如图2，当 时，点 在 边上，若 ，求 的值．（用含 的代数式表示）
26. 如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线 过点 ，且对称轴 为直线 ，直线
与抛物线交于A，B两点，与x轴交于点C．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）当 时，直线 与y轴交于点D，与直线 交于点E．若抛物线 与线段
有公共点，求h的取值范围；
（3）过点C与 垂直的直线交抛物线于P，Q两点，M，N分别是 ， 的中点．试探究：当k变化
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时，抛物线的对称轴上是否存在定点T，使得 总是平分 ？若存在，求出点T的坐标；若不存
在，请说明理由．
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