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泸州市二○二五年初中学业水平考试
数学试题
全卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页．全卷满分120分．考试
时间共120分钟．
注意事项：
1．答题前，请考生务必在答题卡上正确填写自己的姓名、准考证号和座位号．考试结束，将
试卷和答题卡一并交回．
2．选择题每小题选出的答案须用2B铅笔在答题卡上把对应题目的答案标号涂黑．如需改动，
用橡皮擦擦净后，再选涂其它答案．非选择题须用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上对应
题号位置作答，在试卷上作答无效．
第Ⅰ卷（选择题 共36分）
一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的）
1. 下列各组数中，互为相反数的是（ ）
A. 和 B. 和 C. 2和 D. 和
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了相反数的定义，熟练掌握相反数的定义是解题的关键．根据只有符号不同的两个数互
为相反数进行解答即可得．
【详解】解：A. 和 互为相反数，故该选项正确，符合题意；
B. 和 ，不互为相反数，故该选项不正确，不符合题意；
C. 和 ，不互为相反数，故该选项不正确，不符合题意；
D. 和 ，不互为相反数，故该选项不正确，不符合题意；
故选：A．
2. 据我国文化和旅游部数据中心测算，2025年“五一”期间，国内游客出游 人次，将数据
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用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了科学记数法．科学记数法的表示形式为 的形式，其中 ， 为整
数．确定 的值时，要看把原数变成 时，小数点移动了多少位， 的绝对值大于 与小数点移动的位数
相同．
【详解】解： ，
故选：C．
3. 如图，直线 ，若 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质，邻补角的定义，根据邻补角的定义可得 ，进而根据平行线
的性质，即可求解．
【详解】解：如图，
∵ ，
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∴ ，
∵ ，
∴
故选：B．
4. 下列人工智能助手图标中，是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了轴对称图形的识别，解题的关键在于熟练掌握：在平面内，一个图形沿一条直线折叠，
直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形．
根据轴对称图形的定义即可求解．
【详解】解：A、该图形不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B、该图形不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C、该图形是轴对称图形，故本选项符合题意；
D、该图形不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
故选：C．
5. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了负整数指数幂，合并同类项，积的乘方运算，以及完全平方公式，熟练掌握各知识点
是解题的关键．
分别根据负整数指数幂，合并同类项，积的乘方运算法则，以及完全平方公式判断即可．
【详解】解：A、 ，原写法错误，故本选项不符合题意；
B、 ，原写法错误，故本选项不符合题意；
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C、 ，写法正确，故本选项符合题意；
D、 ，原写法错误，故本选项不符合题意；
故选：C．
6. 某校七年级甲、乙、丙、丁四名同学参加1分钟跳绳测试，每人10次跳绳成绩的平均数（单位：个）
及方差（单位：个2）如下表所示：
甲 乙 丙 丁
平均数 205 217 208 217
方差 4.6 4.6 6.9 9.6
根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的同学参加比赛，应选择（ ）
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查的是方差和算术平均数，掌握方差反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，
方差越小，数据越稳定是解题的关键．根据平均环数比较成绩的优劣，根据方差比较数据的稳定程度．
结合表中数据，先找出平均数最大的同学；再根据方差的意义，找出方差最小的同学即可．
【详解】解：从平均数的角度分析，乙和丁同学平均成绩最高，
从方差角度分析，乙和甲方差最小，最稳定，
∴选择乙同学参加比赛，
故选：B．
7. 矩形具有而菱形不具有的性质是（ ）
A. 对角线相等 B. 对角线互相平分 C. 对角线互相垂直 D. 对角相等
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了矩形和菱形的性质，特殊四边形的性质要从边、角、对角线三方面入手，并加以考虑
它们之间的联系和区别．
根据矩形和菱形的性质判断即可．
的
【详解】解：A、矩形 对角线相等，而菱形的对角线不一定相等，故本选项符合题意；
B、矩形和菱形对角线都互相平分，故本选项不符合题意；
C、菱形的对角线垂直，矩形的对角线不一定垂直，故本选项不符合题意；
D、矩形和菱形都是对角相等，故本选项不符合题意；
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故选：A．
8. 如图，四边形 内接于 ， 为 的直径．若 ，则 （
）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了等边对等角，直径所对的圆周角是直角，根据等边对等角以及三角形内角和定理可得
，根据同弧所对的圆周角相等可得 ，进而根据 为 的直径，得
出 ，进而得出 即可求解．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
的
∵ 为 直径，
∴ ，
∴
故选：B．
9. 《九章算术》是中国古代一部重要的数学著作，在“方程”章中记载了求不定方程（组）解的问题．例
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如方程 恰有一个正整数解 ．类似地，方程 的正整数解的个数是（
）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程的解，根据题意写出 的正整数解，即可求解．
【详解】解：∵
∴
正整数解为： ， ； ， ； ， 共3个，
故选：C．
10. 已知抛物线 的对称轴为直线 ，与 轴的交点位于 轴下方，且 时， ，
下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程之间的关系，根据对称轴计算
公式可得 ，即 ，据此可判断A；根据题意可得当 时， ，再由当 时，
，可得抛物线与 轴的一个交点一定在直线 和 轴之间，则抛物线与 轴的另一个交点一定
在直线 和直线 之间，据此可判断B；当 时， ，再由 ，即可判
断D；当 时， ，当当 时，则原函数解析式为
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，则当 时， ，据此可判断C．
【详解】解：∵抛物线 的对称轴为直线 ，
∴ ，
∴ ，故A选项中原结论错误，不符合题意；
∵抛物线与 轴的交点位于 轴下方，
∴当 时， ，
∵当 时， ，
∴抛物线与 轴的一个交点一定在直线 和 轴之间，
∴抛物线与 轴的另一个交点一定在直线 和直线 之间，
∴抛物线与 轴有两个不同的交点，
∴关于 的一元二次方程 有两个不相同的实数根，
∴ ，故B选项中原结论错误，不符合题意；
∵当 时， ，且当 时， ，
∴抛物线开口向上，
∵抛物线与 轴的另一个交点一定在直线 和直线 之间，
∴当 时， ，
∴ ，即 ，故D选项中原结论正确，符合题意；
当 时， ，
当 时，则原函数解析式为 ，
当 时， ，故C选项中原结论不正确，不符合题意；
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故选：D．
11. 如图，在边长为2的正方形 中， 为 的中点， 为 上的点，且 ，则 的
长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，解直角三角形，三线合一，解题的关键在于熟练掌握
相关知识．
过点D作 于G，过点F作 于H，由正方形的性质得到
；由线段中点的定义得到 ，由勾股定理
求出 ，解直角三角形可得 ；可证明 ，解
得到 ，由三线合一定理得到 ，则 ；解 得到
， ，则 ，在 中，由勾股定理得 ，即可解题．
【详解】解：如图所示，过点D作 于G，过点F作 于H，
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∵四边形 是边长为2的正方形，
∴ ；
∵ 为 的中点，
∴ ；
在 中，由勾股定理得 ，
∴ ；
∵ ，
∴ ，
∴ ；
在中， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ；
在 中， ，
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，
∴ ，
在 中，由勾股定理得 ．
故选：B．
12. 对于任意实数 ，定义新运算： ，给出下列结论：① ；②若
，则 ；③ ；④若 ，则 的取值范围为 ．其中正
确结论的个数是（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了实数的新定义运算，解一元一次不等式组，根据新定义运算分类讨论是解题的关键．
根据新定义运算法则，逐项分析判断，即可求解．
【详解】解：①∵ ，
∴ ，故①正确，
②∵ ，
当 时， ，
当 时， ，即 ，故②不正确；
③ 不成立，例如 ，则 ，故③不正确；
④当 即 时，
则： ，
解得： ，
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∴ ；
当 ，即 时，
则： ，
解得： ，
∴ ，
综上所述， ，故④正确，
故正确的有①和④，共2个，
故选：B．
第Ⅱ卷（非选择题 共84分）
注意事项：用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上对应题号位置作答，在试卷上作答无效．
二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分）
13. 若点 在第一象限，则 的取值范围是____________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查象限内点的符号特征，解一元一次不等式．解题的关键是掌握坐标系中每个象限内点的
符号特点如下：第一象限 ，第二象限 ，第三象限 ，第四象限 ．
根据第一象限内点的坐标符号为 ，得到 ，再解一元一次不等式即可．
【详解】解：∵点 在第一象限，
∴ ，
解得： ，
故答案为： ．
14. 一组数据3，2，6，7，4，6的中位数是____________．
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【答案】5
【解析】
【分析】本题主要考查了求一组数据的中位数，把一组数据按照从小到大的顺序排列，处在最中间的那个
数据或最中间的两个数据的平均数叫做这组数据的中位数，据此求解即可．
【详解】解；把这组数据按照从小到大的顺序排列为：2，3，4，6，6，7，处在最中间的两个数分别为
4，6，
∴中位数为 ，
故答案为：5．
15. 若一元二次方程 的两根为 ，则 的值为____________．
【答案】10
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的解，一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握如果一元二次
方程 的两根为 ， ，则 ．
先根据题意得到 ， ，则将 变形为 ，
即可求解．
【详解】解：∵一元二次方程 的两根为 ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：10．
的
16. 如图，梯形 中， ， 与梯形 各边都相切，且 的面积
为 ，则点 到 的距离为____________．
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【答案】
【解析】
【分析】本题考查了圆的切线的性质，切线长定理，相似三角形的判定与性质，勾股定理，矩形的判定与
性质，难度较大，正确添加辅助线是解题的关键．
设 分别与 的切点记为点 ，连接 ，过点 作 于点 ，过
点 作 于点 ，过点 作 于点 ，由圆的切线的性质证明四边形 为矩形，
则 ，可求圆的半径为 ，设 ，在 中有勾股定
理建立方程 ，解得： 或 （舍），同理可得： ， ，
最后由 即可求解．
【详解】解：设 分别与 的切点记为点 ，连接 ，过点 作
于点 ，过点 作 于点 ，过点 作 于点 ，
∴ ， ，
∴ ，
∵梯形 ， ，
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∴点 共线，
∴四边形 为矩形，
∴ ，
∵ 的面积为 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
设 ，
∵ ，
∴ ，
∴
∵在 中， ，
∴ ，
解得： 或 （舍），
∴ ，
同理可得： ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
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∴ ，
∴ ，
∴点 到 的距离为 ，
故答案为： ．
三、本大题共3个小题，每小题6分，共18分．
17. 计算： ．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了实数 的运算，求特殊角三角函数值，零指数幂，先计算45度角的正切值，再计算
零指数和算术平方根，接着计算乘方，最后计算加减法即可得到答案．
【详解】解：
．
18. 如图，在菱形 中， 分别是边 上的点，且 ．
求证： ．
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了菱形的性质，全等三角形的性质与判定，先根据菱形的性质得到 ，再
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由线段的和差关系证明 ，则可利用 证明 ，据此由全等三角形对应边相
等可证明 ．
【详解】证明：∵四边形 是菱形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，即 ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ．
19. 化简： ．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了分式的混合计算，先把小括号内的式子通分，再把分子合并同类项后分解因式，
再把第一个分式的分子分解因式，接着把除法变成乘法后约分化简即可得到答案．
【详解】解：
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．
四、本大题共2个小题，每小题7分，共14分．
20. 某市教育综合实践基地开设有 ：巧手木艺； ：创意缝纫； ：快乐种植； ：美味烹饪； ：爱
心医护等五门课程．某校组织八年级学生到该基地开展活动，一段时间后，基地采用随机抽样的方式，在
该校八年级抽取部分学生开展了“我最喜欢的综合实践课程”的问卷调查，并根据调查所收集的数据进行
整理，绘制了如下两幅不完整的统计图表．
课程名 巧手木 创意缝 快乐种 美味烹 爱心医
称 艺 纫 植 饪 护
人数 6 12 18
根据图表信息，回答下列问题：
（1） ______，扇形统计图中表示“巧手木艺”部分对应扇形的圆心角度数是________；
（2）若该校八年级共有480名学生，请你估计该校八年级最喜欢 两门课程的学生人数；
（3）小明同学从 四门课程中随机选择两门，求恰好选中 两门课程的概率．
【答案】（1）15；
（2）120名 （3）
【解析】
【分析】本题主要考查了频数分布表，扇形统计图，用样本估计总体，树状图法或列表法求解概率，正确
读懂统计图和统计表以及熟知概率计算公式是解题的关键．
（1）用最喜爱“快乐种植”的人数除以其人数占比得到参与调查的学生人数，进而可求出a、b的值，再
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用360度乘以“巧手木艺”的人数占比即可求出对应的圆心角度数；
（2）用480乘以样本中八年级最喜欢 两门课程的学生人数占比即可得到答案；
（3）先列表得到所有等可能性的结果数，再找到恰好选中 两门课程的结果数，最后依据概率计算公
式求解即可．
【小问1详解】
解； （名），
∴本次一共调查了60名学生，
∴ ；
∴ ，
∴扇形统计图中表示“巧手木艺”部分对应扇形的圆心角度数是 ；
故答案为：15； ；
【小问2详解】
解： （名），
答：估计该校八年级最喜欢 两门课程的学生人数为120名；
【小问3详解】
解：根据题意列表如下；
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由表格可知，一共有12中等可能性的结果数，其中恰好选中 两门课程的结果数有两种，
∴恰好选中 两门课程的概率为 ．
21. 某超市购进甲、乙两种商品，2022年甲、乙两种商品每件的进价均为125元，随着生产成本的降低，
甲种商品每件的进价年平均下降25元，乙种商品2024年每件的进价为80元．
（1）求乙种商品每件进价的年平均下降率；
（2）2024年该超市用不超过7800元的资金一次购进甲、乙两种商品共100件，求最少购进多少件甲种商
品．
【答案】（1）乙种商品每件进价的年平均下降率为
（2）最少购进甲种商品40件
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意列出方程
和不等式是解题的关键．
（1）设乙种商品每件进价的年平均下降率为x，根据乙商品2022年的进价为125元，经过两次降价后，
2024年的进价为80元列出方程求解即可；
（2）设购进甲种商品m件，则购进乙种商品 件，根据购买资金不超过7800元列出不等式求出m
的取值范围即可得到答案．
【小问1详解】
解：设乙种商品每件进价的年平均下降率为x，
由题意得， ，
解得 或 （舍去），
答：乙种商品每件进价的年平均下降率为 ；
【小问2详解】
解：设购进甲种商品m件，则购进乙种商品 件，
由题意得， ，
∴ ，
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解得 ，
∴m的最小值为40，即最少购进甲种商品40件，
答：最少购进甲种商品40件．
五、本大题共2个小题，每小题8分，共16分．
22. 如图，一次函数 的图象与反比例函数 的图象的一个交点为 ．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）将一次函数 的图象沿 轴向下平移12个单位，与反比例函数 的图象相交于点 ，
求 的值．
【答案】（1） ；
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，一次函数图象的问题，熟知待定系数法求函数解析
式是解题的关键．
（1）把点A坐标分别代入两个函数解析式中计算求解即可得到答案；
（2）根据“上加下减，左减右加”的平移规律可得直线 解析式为 ，则可求出
，过点A作 轴交直线 于T，则 ，再根据
列式求解即可．
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【小问1详解】
解：∵一次函数 的图象经过 ，
∴ ，
∴ ，
∴一次函数解析式为 ；
∵反比例函数 的图象经过 ，
∴ ，
∴ ，
∴反比例函数解析式为 ；
【小问2详解】
解：∵将一次函数 的图象沿 轴向下平移12个单位，与反比例函数 的图象相交于点
，
∴直线 解析式为 ，
联立 ，解得 或 ，
∴ ；
如图所示，过点A作 轴交直线 于T，
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∵ ，
∴点T的横坐标为2，
在 中，当 时， ，
∴ ，
∴ ，
∴
．
23. 如图，在水平地面上有两座建筑物 ，其中 ．从 之间的 点（ 在同一
水平线上）测得 点， 点的仰角分别为 和 ，从 点测得 点的仰角为 ．
（1）求 的度数；
（2）求建筑物 的高度（计算过程和结果中的数据不取近似值）．
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【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，三角形内角和定理，矩形的性质与判定等等，正确作
出辅助线构造直角三角形是解题的关键。
（1）过点C作 于H，则 ，利用三角形内角和定理分别求出 的
度数即可得到答案；
（2）过点E作 于T，则 ，求出 ，则可求出
；解 得到 ，解 得到 ， ，则解
可得 ，则 ，解 可得
；再证明四边形 是矩形， 得到 ，则
.
【小问1详解】
解：如图所示，过点C作 于H，则 ，
由题意得， ，
∴ ， ，
∴ ；
【小问2详解】
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解：如图所示，过点E作 于T，则 ，
∴ ，
∴ ；
在 中， ，
在 中， ，
，
在 中， ，
∴ ，
在 中， ；
∵ ，
∴四边形 是矩形，
∴ ，
∴ ；
答：建筑物 的高度为
六、本大题共2个小题，每小题12分，共24分．
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24. 如图， 是 的直径，过点 的直线与过点 的切线交于点 ，与 的延长线交于点 ，
且 ，连接 交 于点 ．
（1）求证： 是 的切线；
（2）若 ，求 的长．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了切线的性质与判定，解直角三角形，勾股定理，相似三角形的性质与判定，全等
三角形的性质与判定等等，正确作出辅助线是解题的关键．
（1）连接 ，由切线的性质可得 ，证明 ，可得
，据此由切线的判定定理可证明结论；
（2）过点C作 于H，过点D作 于M，设 ，则
，解 得到 ，则 ，解方程可得 ，
则 ， ， ，由勾股定理得 ，则
；解 得到 ，则 ， ，由勾股定理得 ；
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由等面积法可得 ，证明 ，得到 ；证明
可得 ，则 ．
【小问1详解】
证明；如图所示，连接 ，
∵ 是 的切线，
∴ ，即 ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 是 的半径，
∴ 是 的切线；
【小问2详解】
解：如图所示，过点C作 于H，过点D作 于M，
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设 ，则 ，
由（1）可得 ，
在 中， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
在 中，由勾股定理得 ，
∴ ；
在 中， ，
∴ ， ，
在 中，由勾股定理得 ；
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∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ．
25. 如图，在平面直角坐标系 中，抛物线 经过点 ，与 轴交于点 和点
．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）点 在直线 上，点 在 轴上， 是抛物线上位于第一象限的点，若四边形
是正方形，求点 的坐标；
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（3）设点 在抛物线 上，点 在抛物线 上，
当 时， 的最小值为3，求 的值．
【答案】（1）
（2）
（3） 或
【解析】
【分析】（1）直接利用待定系数法求解即可；
（2）如图所示，过点D作 轴于M，过点F作 轴于N，设直线 于y轴交于
T，先求出 ，进而求出 ；由正方形的性质可得
，证明 ，得到 ；设
，则 ；导角证明 ，得到
，解 得到 ，则
，据此可求出 ，再由
在直线 上，得到 ，
解方程即可得到答案；
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（3）分别求出 ， ，令 ，可得
，则二次函数 的对称轴为直线 ，且开口向上，
再分 ， ， ，三种情况根据当 时， 的最小值为3进行讨论求解即可．
【小问1详解】
解：∵，抛物线 经过点 ，与 轴交于点 ，
∴ ，
∴ ，
∴抛物线解析式为 ；
【小问2详解】
解：如图所示，过点D作 轴于M，过点F作 轴于N，设直线 于y轴交于T，
∴ ，
在 中，当 时， ，
∴ ，
∴ ；
∵ ，
∴ ，
∴ ；
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∵四边形 是正方形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ；
设 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
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∴ ，
∴ ，
∵ 在直线 上，
∴ ，
∴ ，
解得 或 （舍去），
∴ ，
∴ ；
【小问3详解】
解：∵点 在抛物线 上，点 在抛物线 上，
∴ ， ，
令
∴
，
∴二次函数 的对称轴为直线 ，且开口向上，
当 时，∵ 时， 的最小值为3，
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∴当 时， ，
∴ ，
解得 或 （舍去）；
当 时，∵ 时， 的最小值为3，
∴当 时， ，
∴ ，
解得 或 （舍去）
当 时，∵ 时， 的最小值为3，
∴当 时， ，
∴ ，
解得 （舍去）；
综上所述， 或 ．
【点睛】本题主要考查了二次函数综合，解直角三角形，二次函数的最值问题，待定系数法求函数解析式，
全等三角形的性质与判定等等，解（2）的关键在于构造全等三角形，从而用点F的横坐标表示出点D的
坐标；解（3）的关键在于构造新二次函数 ，通过讨论对称轴的位置求解．
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