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数学
A 卷（共 100 分）
第Ⅰ卷（选择题，共32分）
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一
项符合题目要求）
1. 如果某天中午的气温是 ，傍晚比中午下降了 ，那么傍晚的气温是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查有理数减法的实际应用，用中午的气温减去下降的气温进行计算即可．
【详解】解： ；
故选B．
2. 下列几何体中，主视图和俯视图相同的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了简单几何体的三视图．熟练掌握主视图和俯视图，是解决问题的关键．
在正面内得到的由前向后观察物体的视图，叫做主视图；在水平面内得到的由上向下观察物体的视图，叫
做俯视图．根据主视图，俯视图定义逐一判断，即得．
【详解】A、圆柱的主视图是矩形，俯视图是圆，主视图和俯视图不相同，故该选项不符合题意；
B、三棱柱的主视图是矩形（中间有一条竖线 ），俯视图是三角形，主视图和俯视图不相同主视图是长方
形，俯视图是三角形，主视图和俯视图不相同，故该选项不符合题意；
C、球的主视图和俯视图都是圆，主视图和俯视图相同，故该选项符合题意；；
D、四棱锥的主视图是三角形，俯视图是带对角线的四边形，主视图和俯视图不相同．
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故选：C．
3. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查整式的运算相关知识，熟练掌握运算法则是解题的关键；
可根据合并同类项、幂的乘方、完全平方公式、单项式乘法的运算法则，对选项逐一分析：
【详解】A． 与 不是同类项，不能合并，所以 ，该选项错误，不符合题意；
B．根据幂的乘方法则 ，该选项错误，不符合题意；
C．根据完全平方公式 ，该选项错误，不符合题意；
D．根据单项式乘法法则，系数相乘，同底数幂相乘， ，该选项正确，
符合题意；
故选：D．
4. 在平面直角坐标系 中，点 所在的象限是（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查判断点所在的象限，根据点的符号特点，判断点所在的象限即可，熟练掌握各象限的点
的符号特点，是解题的关键．
【详解】解：∵ ， ， ，
∴点 在第二象限；
故选B．
5. 在第25个全国科技活动周中，某班每位学生结合自己的兴趣从元宇宙、脑机接口和人形机器人中选择
一项进行深入了解，现将选择结果绘制成如下统计图表：
人
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数
元宇宙 16
脑机接口 a
人形机器
14
人
根据图表信息，表中a的值为（ ）
A. 8 B. 10 C. 12 D. 15
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查统计表和扇形统计图，根据元宇宙的人数以及所占的比例求出总人数，进而求出 的值
即可．
【详解】解： ；
故选B．
6. 中国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个题目：今有善田一亩，价三百；恶田七亩，价五百．
今并买一顷，价钱一万．问善、恶田各几何？其大意是：今有良田1亩价值300钱；劣田7亩价值500钱．
今合买良、劣田1顷（100亩），价值10000钱．问良田、劣田各有多少亩？设良田为x亩，劣田为y亩，
则可列方程组为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查根据实际问题列方程组，根据合买良、劣田1顷（100亩），价值10000钱，列出方程
组即可．
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【详解】解：设良田为x亩，劣田为y亩，由题意，得：
；
故选A．
7. 下列命题中，假命题是（ ）
A. 矩形的对角线相等 B. 菱形的对角线互相垂直
C. 正方形的对角线相等且互相垂直 D. 平行四边形的对角线相等
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查判断命题的真假，根据矩形的性质，菱形的性质，正方形的性质和平行四边形的性质，
逐一进行判断即可．熟练掌握相关性质，是解题的关键．
【详解】解：A、矩形的对角线相等，是真命题，不符合题意；
B、菱形的对角线互相垂直，是真命题，不符合题意；
C、正方形的对角线相等且互相垂直，是真命题，不符合题意；
D、平行四边形的对角线互相平分，不一定相等，原命题是假命题，符合题意；
故选：D．
8. 小明从家跑步到体育馆，在那里锻炼了一段时间后又跑步到书店买书，然后步行回家（小明家、书店、
体育馆依次在同一直线上），如图表示的是小明离家的距离与时间的关系．下列说法正确的是（ ）
A. 小明家到体育馆的距离为 B. 小明在体育馆锻炼的时间为
C. 小明家到书店的距离为 D. 小明从书店到家步行的时间为
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查用函数图象表示变量之间的关系，从函数图象中有效的获取信息，逐一进行判断即可．
【详解】解：由图象可知：小明家到体育馆的距离为 ；故选项A错误；
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小明在体育馆锻炼的时间为 ；故选项B错误；
小明家到书店的距离为 ；故选项C正确；
小明从书店到家步行的时间为 ；故选项D错误；
故选C．
第Ⅱ卷（非选择题，共68分）
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9. 若 ，则 的值为________．
【答案】4
【解析】
【分析】本题主要查了比例的性质．根据比例的性质解答即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ．
故答案为：4
10. 任意给一个数x，按下列程序进行计算．若输出的结果是15，则x的值为________．
【答案】3
【解析】
【分析】本题考查了程序框图的计算，一元一次方程的应用，正确理解题意是解题的关键．
根据程序框图的运算法则建立一元方程求解即可．
【详解】解：由题意得： ，
解得： ，
故答案为：3．
11. 正六边形 的边长为1，则对角线 的长为________．
【答案】2
【解析】
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【分析】本题考查正多边形的内角，等边对等角，含30度角的直角三角形的性质，如解图，连接 ，求
出正六边形的一个内角的度数，等边对等角，求出 的度数，进而推出 为含30度角的直角三
角形，进行求解即可．
【详解】解：连接 ，
∵正六边形 ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵正六边形为轴对称图形，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
故答案为：2．
12. 某蓄电池的电压为定值．使用此电源时，用电器的电流I（A）．与电阻R（Ω）之间的函数关系为
，则电流Ⅰ的值随电阻R值的增大而________（填“增大”或“减小”）．
【答案】减小
【解析】
【分析】本题考查反比例函数的实际应用，根据反比例函数的增减性，进行判断即可．
【详解】解：∵ ， ，
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∴电流与电阻成反比，
∴电流Ⅰ的值随电阻R值的增大而减小；
故答案为：减小
13. 如图，在 中， ， ， ．以点A为圆心，以 长为半径作弧；
再以点C为圆心，以 长为半径作弧，两弧在 上方交于点D，连接 ，则 的长为________．
【答案】 ##
【解析】
【分析】本题考查线段垂直平分线的判定与性质、勾股定理，根据作图过程得到 垂直平分 是解答
的关键．连接 ， ，设 与 相交于O，先根据线段垂直平分线的判定与性质得到根据作图过
程 ， ，再利用勾股定理求得 ，然后利用三角形的面积求得 即可
解答．
【详解】解：连接 ， ，设 与 相交于O，
根据作图过程，得 ， ，
∴ 垂直平分 ，则 ， ，
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∵在 中， ， ， ，
∴ ，
由 得
，
∴ ，
故答案为： ．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14. （1）计算： ．
（2）解不等式组：
【答案】（1）3；（2）
【解析】
【分析】本题考查的是实数的运算和解一元一次不等式组，熟知运算法则和不等式组的解法是解题的关键．
（1）分别根据负整数指数幂、二次根式的性质、特殊角的三角函数、绝对值的性质进行计算，再把结果
相加减；
（2）分别解出每个不等式的解集，然后确定不等式组的解集即可．
【详解】解：（1）
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；
（2）
解不等式①得： ，
解不等式②得： ，
所以原不等式组的解集为 ．
15. 某公司需要经常快递物品，准备从A，B两家快递平台中选择一家作为日常使用．该公司让七位相关员
工对这两家平台从物品完好度、服务态度与物流时长三项分别评分（单位：分），其中对平台A的服务态
度评分为：86，88，89，91，92，95，96；对平台B的服务态度评分为：86，86，89，90，91，93，95．
现将每项七个评分的平均值作为该项的得分，平台A，B各项的得分如下表：
物品完好
服务态度 物流时长
度
平台
92 m 90
A
平台
95 n 88
B
的
（1）七位员工对平台A 服务态度评分的极差（最大值与最小值的差）是________；
（2）求表格中m，n的值，并以此为依据，请判断哪家平台服务态度更好；
（3）如果公司将物品完好度、服务态度、物流时长三项的得分按 的比例确定平台的最终得分，并
以此为依据选择平台，请问该公司会选择哪家平台？
【答案】（1）10分 （2） ， ，平台A的服务态度更好；
（3）该公司会选择平台B
【解析】
【分析】本题主要考查了求极差，算术平均数，加权平均数：
（1）求出七位员工对平台A的服务态度评分的最大值与最小值的差，即可求解；
（2）根据算术平均数公式计算，即可求解；
（3）根据加权平均数计算，即可求解．
【小问1详解】
解： 分，
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即七位员工对平台A的服务态度评分的极差是10分；
故答案为：10
【小问2详解】
解： ，
，
∵ ，
∴平台A的服务态度更好；
【小问3详解】
解：平台A的得分 分，
平台B的得分 分，
∵ ，
∴该公司会选择平台B．
16. 在综合与实践活动中，某学习小组用无人机测量校园西门A与东门B之间的距离．如图，无人机从西
门A处垂直上升至C处，在C处测得东门B的俯角为 ，然后沿 方向飞行60米到达D处，在D处
测得西门A的俯角为 ．求校园西门A与东门B之间的距离．（结果精确到0.1米；参考数据：
， ， ， ）
【答案】校园西门A与东门B之间的距离为207.6米
【解析】
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【分析】本题考查解直角三角形的应用，根据题意，易得， ，
米，分别解 ，进行求解即可．
【详解】解：由题意，得： ， 米，
在 中， 米；
在 中， 米；
答：校园西门A与东门B之间的距离为207.6米
17. 如图，点C在以 为直径的半圆O上，连接 ，过点C作半圆O的切线，交 的延长线于
点D，在 上取点E，使 ，连接 ，交 于点F．
（1）求证： ；
（2）若 ， ，求半圆O的半径及 的长．
【答案】（1）见解析 （2）半圆O的半径为2，
【解析】
【分析】（1）连接 ，切线得到 ，等边对等角得到 ，圆周角定理得到
，同角的余角得到 ，等量代换得到 ，
即可得证；
（2）连接 ，设半圆O的半径为 ，解直角三角形 ，求出半径的长，进行求出 的长，平行得
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到 ，解直角三角形 ，求出 ， 的长，角平分线的性质，以及同高三角形的面积比
等于底边比，得到 ，进行求解即可．
【小问1详解】
解：连接 ，则： ，
∴ ，
的
∵过点C作半圆O 切线，交 的延长线于点D，
∴ ，
∴ ，
∵ 为直径，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
【小问2详解】
设半圆O的半径为 ，则 ，
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∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即：半圆O的半径为2；
∴ ，
连接 ，则： ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 平分 ，
的
∴ 到 距离相等，都等于 的长，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
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∴ ．
【点睛】本题考查切线的性质，圆周角定理，解直角三角形，角平分线的性质等知识点，熟练掌握相关知
识点，是解题的关键．
18. 如图，在平面直角坐标系 中，直线 与反比例函数 的图象的一个交点为 ，
与x轴的交点为 ．
（1）求k的值；
（2）直线 与反比例函数的图象在第三象限交于点C，点D在反比例函数的图象上，若 ，
求直线 的函数表达式；
（3）P为x轴上一点，直线 交反比例函数的图象于点E（异于A），连接 ，若 的面积为2，
求点E的坐标．
【答案】（1）
（2）
（3） 或
【解析】
【分析】本题主要查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用数形结合思想解答是解题的关键．
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（1）把 代入 ，可求出一次函数的解析式，从而得到点A的坐标，即可求解；
（2）连接 ，求出点C的坐标为 ，可得 ，设点D的坐标为 ，可得到
，再由勾股定理求出m的值，即可求解；
（3）设点E的坐标为 ，求出直线 的解析式，可用t表示点E的坐标，再由三角形的面积公式解
答，即可求解．
【小问1详解】
解：∵直线 与x轴的交点为 ，
∴ ，
解得： ，
∴一次函数的解析式为 ，
把 代入 得：
，解得： ，
∴点 ，
把点 代入 得： ；
【小问2详解】
解：如图，连接 ，
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由（1）得：反比例函数的解析式为 ，
∵直线 与反比例函数的图象在第三象限交于点C，点 ，
∴点C的坐标为 ，
∴ ，
设点D的坐标为 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
解得： 或 （舍去），
∴点D的坐标为 ，
设直线 的函数表达式为 ，
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把点 ， 代入得：
，解得： ，
∴直线 的函数表达式为 ；
【小问3详解】
解：设点E的坐标为 ，
设直线 的解析式为 ，
把点 ， 代入得：
，解得： ，
∴直线 的解析式为 ，
当 时， ，
解得： ，
∴点P的坐标为 ，
∴ ，
∴ ，
∵ 的面积为2，
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∴ ，
解得： 或 ，
∴点E的坐标为 或 ．
B卷（共50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19. 多项式 加上一个单项式后，能成为一个多项式的平方，那么加上的单项式可以是________（填
一个即可）．
【答案】 （答案不唯一）
【解析】
【分析】本题主要考查了用完全平方公式分解因式，根据题意可得多项式 加上一个单项式后可以
变为一个多项式的平方的展开式，据此根据完全平方公式的特点求解即可．
的
【详解】解：由题意得，加上 单项式可以为 ，理由如下：
，
∴ 符合题意，
故答案为： （答案不唯一）．
20. 从 ，1，2这三个数中任取两个数分别作为a，b的值，则关于x的一元二次方程 有
实数根的概率为________．
【答案】 ##
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，树状图法或列表法求解概率，根据判别式和一元二次
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方程的定义可得 ，则 且 ，再列出表格得到所有等可能性的结果数，接着找
到 且 的结果数，最后依据概率计算公式求解即可．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程 有实数根，
∴ ，
∴ 且 ，
列表如下：
1 2
1
2
由表格可知，一共有6种等可能性的结果数，其中满足 且 的结果数有 ， ，
，共3种，
∴关于x的一元二次方程 有实数根的概率为 ，
故答案为： ．
21. 如图， 的半径为1，A，B，C是 上的三个点．若四边形 为平行四边形，连接AC，则
图中阴影部分的面积为________．
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【答案】
【解析】
【分析】本题考查菱形的判定和性质，求不规则图形的面积，连接 ，证明四边形 为菱形，易得
为等边三角形， ，得到 ，根据阴影部分的面积等于弓形
的面积加上 的面积，即为扇形 的面积，进行求解即可．
【详解】解：连接 ，交 于点 ，则： ，
∵四边形 为平行四边形， ，
∴四边形 为菱形，
∴ ， ，
∴ 为等边三角形，
∴ ，
∴ ，
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∴阴影部分的面积 ；
故答案为： ．
22. 如图，在 中， ，点D在 边上， ， ， ，则
的值为________；点E在 的延长线上，连接 ，若 ，则 的长为
________．
【答案】 ①. 4 ②. ##
【解析】
【分析】作 ，垂足分别为 ，易得四边形 为矩形，得到
，证明 为等腰直角三角形，得到 ，三线合一得到 ，
，证明 ，得到 ，设 ， ，
求出 的长，正切的定义求出 ，勾股定理求出 的值，进而求出 的值，证明
，列出比例式进行求解即可．
【详解】解：作 ，垂足分别为 ，则四边形 为矩形，
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∴ ， ，
∵ ，
∴ 为等腰直角三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴设 ， ，则： ， ，
∴ ，
∴ ，
∴在 中， ，由勾股定理，得： ，
∴ （负值舍去），
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∴ ， ，
∵ ， ， ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
解得： （舍去）或 ；
故答案为：4， ．
【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，
解直角三角形等知识点，综合性强，难度较大，熟练掌握相关知识点，添加辅助线，构造特殊图形和相似
三角形，是解题的关键．
23. 分子为1的真分数叫做“单位分数”，也叫“埃及分数”．古埃及人在分数计算时总是将一个分数拆
分成几个单位分数之和，如： ．将 拆分成两个单位分数相加的形式为________；一般地，
对于任意奇数k（ ），将 拆分成两个不同单位分数相加的形式为________．
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【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】本题考查数字类规律探究，理解题中定义，找到等式左右两边代数式的变化规律是解答的关键．
先根据题中定义，结合题干例子可求解第一空；分别求得 、5、7… 对应等式，由此得到等式
左右两边代数式的变化规律，进而可得答案．
【详解】解： ；
由题意，
当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
……，
当 时， ，
又 ，
∴对于任意奇数k（ ）， ，
故答案为： ； ．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24. 2025年8月7日至17日，第12届世界运动会将在成都举行，与运动会吉祥物“蜀宝”“锦仔”相关
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的文创产品深受大家喜爱．某文旅中心在售A，B两种吉祥物挂件，已知每个B种挂件的价格是每个A种
挂件价格的 ，用300元购买B种挂件的数量比用200元购买A种挂件的数量多7个．
（1）求每个A种挂件的价格；
（2）某游客计划用不超过600元购买A，B两种挂件，且购买B种挂件的数量比A种挂件的数量多5个，
求该游客最多购买多少个A种挂件．
【答案】（1）每个A种挂件的价格为25元
（2）该游客最多购买11个A种挂件
【解析】
【分析】本题考查分式方程的应用、一元一次不等式的应用，理解题意，正确列出方程和不等式是解答的
关键．
（1）设每个A种挂件的价格为x元，则每个B种挂件的价格为 ，根据题意列分式方程求解即可；
（2）设该游客购买y个A种挂件，则购买 个B种挂件，根据题意列不等式求解即可．
【小问1详解】
解：设每个A种挂件的价格为x元，则每个B种挂件的价格为 元．
根据题意，得 ，
解得 ，经检验 是原方程的解，且符合题意，
答：每个A种挂件的价格为25元；
【小问2详解】
解：设该游客购买y个A种挂件，则购买 个B种挂件，
由（1）得每个B种挂件的价格为 （元），
根据题意，得 ，
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解得 ，
由于y为正整数，
故该游客最多购买11个A种挂件．
25. 如图，在 中，点 在 边上，点 关于直线 的对称点 落在 内，射线 交
射线 于点 ，交射线 于点 ，射线 交 边于点 ．
【特例感知】
（1）如图1，当 时，点 在 延长线上，求证： ；
【问题探究】
（2）在（1）的条件下，若 ， ，求 的长；
【拓展延伸】
（3）如图2，当 时，点 在 边上，若 ，求 的值．（用含 的代数式表示）
【答案】（1）见解析；（2）4；（3）
【解析】
【分析】（1）由折叠的性质得： ，再结合平行四边形的性质可得
，然后根据三角形内角和定理可得 ，即可求证；
（2）根据全等三角形的性质可得 ，从而得到 ，可证明 ，从而得到
，再由折叠的性质得： ，再根据 ，可得 ，
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即可求解；
（3）延长 交于点 ，设 ， ，证明 得出 ，证明
得出 ，证明 得出 ，进而求得 ，
根据 得出 ，根据相似三角形的性质，即可求解．
【详解】解：（1）由折叠的性质得： ，
∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ；
（2）∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
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∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
由折叠的性质得： ，
∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，解得： ，
∴ ，
∴ ；
（3）解：如图，延长 交于点 ，
设 ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∵折叠，
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∴
∵ ，即
∴
∴ 即
∴
∵四边形 是平行四边形，
∴
又∵折叠，
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∵
∴
∴
又∵
∴
∴ 即
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∴
∵
∴
∴
∴
解得：
∴
又∵
∴
∴ ．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，折叠的性
质，熟练掌握以上知识是解题的关键．
26. 如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线 过点 ，且对称轴为直线 ，直线
与抛物线交于A，B两点，与x轴交于点C．
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（1）求抛物线的函数表达式；
（2）当 时，直线 与y轴交于点D，与直线 交于点E．若抛物线 与线段
有公共点，求h的取值范围；
（3）过点C与 垂直的直线交抛物线于P，Q两点，M，N分别是 ， 的中点．试探究：当k变化
时，抛物线的对称轴上是否存在定点T，使得 总是平分 ？若存在，求出点T的坐标；若不存
在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）
（3）抛物线的对称轴上存在 ，使得 总是平分 ．
【解析】
【分析】本题考查二次函数的综合应用，解直角三角形，熟练掌握二次函数的图象和性质，利用数形结合
的思想进行求解，是解题的关键：
（1）待定系数法求解析式即可；
（2）求出 点的坐标，易得抛物线的顶点坐标在直线 上移动，根据抛物线 与线
段 有公共点，得到抛物线与直线 有一个交点开始，将抛物线向右移动直至抛物线与线段 只有
一个交点为 时，均满足题意，求出两个临界值即可得出结果；
（3）先求出 点坐标，进而求出直线 的解析式，联立抛物线与直线 ，根据根与系数的关系结合中
点坐标公式求出 点坐标，同理求出 点坐标，作 根据 平分 ，得到
，设 ，根据正切的定义，列出比例式进行求解即可．
【小问1详解】
解：∵抛物线 过点 ，且对称轴为直线 ，
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∴ ，解得： ，
∴ ；
【小问2详解】
当 时，则： ，
∴当 ， ，当 时， ，
∴ ，
∵ ，
∴顶点坐标在直线 上移动，
∵ 与线段 有公共点，
∴联立 ，整理，得： ，
∴当 ，即： 时，满足题意，
将 从 开始向右移动，直至抛物线与线段 只有一个交点为 时，
与线段 均有公共点，
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∴当 过点 时， ，
解得： 或 ，
∴当 时，抛物线 与线段 有公共点；
【小问3详解】
存在；
∵ ，
∴当 时， ，
∴ ，
∵抛物线的对称轴为直线 ，
∴点 在抛物线的对称轴上，
∵ 过点 ，且与直线 垂直，
∴直线 的解析式为： ，即： ，
联立 ，整理，得： ，
∴ ， ，
∵ 为 的中点，
∴ ，
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联立 ，
同理可得： ，
作 ，
∵ 平分 ，
∴
∴ ，
∴ ，
设 ，则： ，
解得：
∴抛物线的对称轴上存在 ，使得 总是平分 ．
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