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滨城高中联盟2025-2026 学年度上学期高二10 月份考试
数学试题
（时间：120 分钟，满分：150 分）
第I 卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的．
1. 已知向量
1,1, 2 ,
1, 2,
1
PM
PN
a
b
，若
,
,
P M N 三点共线，则
a b
（
）
A.
3
B.
5
C. 3
D. 5
2. 下列说法正确的是（
）
A. 若a
b
，则a
b
B. 若
1,1, 1
a
，则
1
a
C. 在六面体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
中，一定有
1
1
AC
AB
AD
AA
D. 在空间直角坐标系O
xyz
中，点
1,1,1
A
与点
1, 1,1
B
关于平面xOz 对称
3. 已知二面角
M
AB
N 的平面角的大小为30o ，且MN 面ABN ，若ABM
的面积为2，则ABN
的面积为（
）
A. 1
B.
2
C.
3
D. 2
4. 在三棱锥C
PAB
中，
60
0
BPC
APC
PA PB
，
，则棱PC 与平面PAB 所成的角的余弦值是
（
）
A.
1
2
B.
2
2
C.
3
3
D.
6
3
5. 在空间中，若三个非零向量OM ON OT
，，
满足OM
ON ON
OT OT
OM
，
，
，则
MNT
△
的形状一
定是（
）
A. 锐角三角形
B. 直角三角形
C. 钝角三角形
D. 无法判断
6. 阅读材料：空间直角坐标系O
xyz
中，过点
0
0
0
,
,
P x
y z
且一个法向量为
, ,
n
a b c
的平面的方程
为
0
0
0
0
a x
x
b y
y
c z
z
，阅读上面材料，解决下面问题：直线l 是两平面
2
5
0
x
y
与
4
2
1
0
x
z
的交线，则下列向量可以为直线l 的方向向量的是（
）
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A.
3,1,2
B.
1,1, 2
C.
2,1,3
D.
2,1, 4
7. 若空间向量
1e
、
2e
满足
1
2
2
3
2
e
e
e
，则
2e
在
1e
方向上投影向量的长度的最小值是（
）
A. 8 3
3
B. 4 2
3
C. 3 3
2
D. 3
2
8. 如图，在四棱锥PABCD 中，侧面PAD 为正三角形，底面ABCD 为正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，M
为底面ABCD 内的一个动点，且满足MP＝MC．则点M 在正方形ABCD 内的轨迹为（
）
A.
B.
C.
D.
二、多项选择题：本题共3 小题，每小题6 分，共18 分．在每小题给出的四个选项中，有多
项符合题目要求．全部选对的得6 分，部分选对的按部分得分，有选错的得0 分．
9. 已知空间单位向量, ,
i j k
两两互相垂直，设
2 ,
a
i
j
k b
i
j
k
，
2
c
i
j
k
，则下列说法不
正确的是（
）
A. a
与b
的夹角为π
3
B.
,b c
夹角的余弦值为2 2
3
C.
2
a
c
b
∥
D.
, ,
a b c
可以作为基底来表示空间中的任意一个向量
10. 如图，已知正四棱柱
1
1
1
1
ABCD
A B C D
的底面边长为2，侧棱长为4，点E ，F 分别为
1
1
BB
DD
，
的
中点，则下列结论正确的是（
）
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A. 平面
1
1
EAC 平面EAC
B. 三棱锥
1
C
EC F
的体积为8
3
C.
1
AC
CF
D. 四面体EACF 的外接球的表面积为12π
11. 如图几何体是由正方形ABCD 以直线AB 为轴旋转90得到的，已知点G 是圆弧
CE 的中点，点H 是
圆弧
DF 上的动点（含端点），则下列结论正确的是（
）
A. 存在点H ，使得CH 平面BDG
B. 存在点H ，使得直线EH 与平面BDG 的所成角的正切值为
14
7
C. 不存在点H ，使得平面
/ /
AHE
平面BDG
D. 不存在点H ，使得平面BDG 与平面CEH 的夹角的余弦值为1
3
第II 卷（非选择题）
三、填空题：本题共3 小题，每小题5 分，共15 分．
12. 与向量
1, 2,2
a
反向的单位向量是___________
13. 在三棱锥O
ABC
中，棱OA
OB
OC
、
、
两两垂直且OA
OB
OC
，点P 在底面ABC
内（包括边
界
），
且
直
线
OP
与
平
面
ABC
所
成
角
的
正
弦
值
为
4 3
7
，
则
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cos
cos
cos
OP OA
OP OB
OP OC
，
，
，
___________
14. 在四面体ABCD 中，P 是
ABC
V
内部或边界上一点，满足AP
AB
AC
，且
1
3
，设
DP
xDA
yDB
zDC
，则
2
2
2
x
y
z
的取值范围是___________
四、解答题：本题共5 小题，共77 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15. 已知空间中三点
2,0, 2 ,
1, 1, 2 ,
3,0, 4
A
B
C
，设
,
a
AB b
AC
．
（1）求以,a b
为一组邻边的平行四边形的面积S ．
（2）若ka
b
与
2
ka
b
互相垂直，求实数k 的值．
16.
如图，在三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
中，点D 是
1
BC 的中点，
1
AC
，
1
2
BC
CC
，
1
1
90
60
ACC
ACB
BCC
，
，设
1
CA
a CB
b CC
c
，
，
．
（1）用a
b
c
，，表示
1
AB A D
，
；
（2）求异面直线AB 与
1A D 所成角的正弦值．
17. 如图，已知
1
1
1
1
ABCD
A B C D
是底面边长为2 的正四棱柱．
（1）证明：平面
1
/ /
BC D
平面
1
1
AB D ；
（2）若点
1
C 到平面
1
1
AB D 的距离为
2
2
，求正四棱柱
1
1
1
1
ABCD
A B C D
的高．
18. 在Rt
ABC
△
中，
90 ,
3,
6,
,
C
BC
AC
D E
分别是
,
AC AB 上的点，满足DE
BC
∥
且DE 经过
ABC
V
的重心，将
ADE
V
沿DE 折起到
1A DE
△
的位置，使
1AC
CD
，M 是
1A D 的中点，如图所示．
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（1）求CM 与平面
1A BE 所成角的大小；
（2）在线段
1AC （不包括端点）上是否存在点N ，使平面CBM 与平面BMN 夹角的余弦值为
3
4
？若存
在，求出CN 的长度；若不存在，请说明理由．
19. 如图所示，半圆柱
1
OO 与四棱锥A
BCDE
拼接而成的组合体中，F 是半圆弧BC 上（不含B
C
，
）
的动点，FG 为圆柱的一条母线，点A 在半圆柱下底面所在平面内，
1
2
2
2 2
OB
OO
AB
AC
，
．
（1）求证：CG
BF
；
（2）若
/ /
DF
面ABE ，求平面FOD 与平面GOD 夹角的余弦值；
（3）求点G 到直线OD 距离的最大值．
