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第 10 章 概率
§10.1 随机事件与概率
§10.1.1 有限样本空间与随机事件
1. 随机试验：
对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验.
2. 有限样本空间：
样本点：随机试验的每个可能的基本结果称为样本点，用 表示.
样本空间：全体样本点的集合称为试验的样本空间，用 表示.
有限样本空间：如果一个随机试验有 个可能结果，则称样本空间 为有限样本空间.
3. 随机事件
随机试验中的每个随机事件都可以用这个试验的样本空间的子集来表示.
随机事件：样本空间 的子集称为随机事件，简称事件.
基本事件：只包含一个样本点的事件称为基本事件.
事件 发生：在每次试验中，当且仅当 中某个样本点出现时，称为事件 发生.
必然事件：
不可能事件：
必然事件和不可能事件作为随机事件的两个极端情形，这样每个事件都是样本空间的子集.
§10.1.2事件的关系和运算
1. 事件B包含事件 ：
若事件 发生，则事件 一定发生，就称事件 包含事件 （或事件 包含于事件 ），记作
（或 ）.
2. 事件的相等：
如果事件 包含事件 ，事件 也包含事件 ，则称事件 和事件 相等.
3. 并事件（或和事件）：
事件 与事件 至少有一个发生，这样的一个事件中的样本点或者在事件 中，或者在事件 中，我们
称这个事件为事件 与事件 的并事件（或和事件）.记作 （或 ）.
4. 交事件（或积事件）：事件 与事件 同时发生，这样的一个事件中的样本点既在事件 中，也在事件 中，我们称这个事件
为事件 与事件 的交事件（或积事件）.记作 （或 ）.
5. 互斥事件：
如果事件 与事件 不能同时发生，即 是一个不可能事件，即 ，则称事件 与事件
互斥（或互不相容）.
6. 对立事件：
如果事件 和事件 在任何一次试验中有且仅有一个发生，即 ，且 ，那么称事件
与事件 互为对立.事件 的对立事件记为 .
§10.1.3古典概型
1.概率：对随机事件发生可能性大小的度量（数值）称为事件的概率.事件 的概率用表示 .
2.古典概型的特点：
①有限性：样本空间的样本点只有有限个；
②等可能性：每个样本点发生的可能性相等.
2.古典概型概率计算公式：
设试验 是古典概型，样本空间 包含n个样本点，事件 包含其中的k个样本点，则事件 发生的概
率 .
§10.1.4概率的基本性质
性质1：对任意事件 ，都有 .
性质2：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即 .
性质3：如果事件 与事件 互斥，那么 .
性质4：如果事件 与事件 互为对立事件，那么 , .性质5：如果 ，那么 .
性质6： 设 ， 是一个随机试验中的两个事件，有 .
§10.2事件的相互独立性
1. 相互独立事件：对任意两个事件 与 ，如果 成立，则称事件 与
事件 相互独立，简称独立.
注意：当三个事件 , , 两两独立时， 一般不成立.
2. 若事件 与事件 相互独立，则 与 ， 与 ， 与 也相互独立.
§10.3频率与概率
频率的稳定性：
在任何确定次数的随机试验中，一个随机事件 发生的频率具有随机性，一般地，随着试验次数 的增大，
频率偏离概率的幅度会缩小，即事件 发生的频率 会逐渐稳定于事件 发生的概率 .我们称
频率的这个性质为频率的稳定性，因此我们可以用频率 估计概率 .
