高考数学代数模块中的49 个易混易错全归纳
内容导览
易混易错01 对集合表示方法的理解偏差致错.......................................................................................................................
易混易错02 忽视（漏）空集致错..............................................................................................................................................
易混易错03 充分、必要条件判断颠倒致错...........................................................................................................................
易混易错04 命题否定中量词与结论漏改致错.......................................................................................................................
易混易错05 忽略不等式性质成立的前提条件致错...........................................................................................................10
易混易错06 一元二次不等式恒成立问题混淆范围致错..................................................................................................13
易混易错07 解含参不等式讨论不全致错..............................................................................................................................16
易混易错08 多变量不等式问题混淆主元致错....................................................................................................................20
易混易错09 基本不等式求最值忽略前提条件致错...........................................................................................................23
易混易错10 复合函数定义域的理解不当致错....................................................................................................................26
易混易错11 研究性质时忽略函数定义域致错.....................................................................................................................28
易混易错12 使用换元法时忽略新元的范围致错................................................................................................................30
易混易错13 混淆“单调区间”与“在区间上单调”致错..............................................................................................32
易混易错14 忽略对参数取值范围讨论而致错....................................................................................................................34
易混易错15 对根式性质理解不到位出错..............................................................................................................................36
易混易错16 忽略底数对指数函数性质的影响致错...........................................................................................................38
易混易错17 忽视对数式成立的条件致错..............................................................................................................................40
易混易错18 判断对数型复合函数的单调性忽略定义域致错.........................................................................................42
易混易错19 利用换元法求值域遗忘范围致错....................................................................................................................44
易混易错20 错判幂函数的性质致错.......................................................................................................................................47
易混易错21 忽视零点存在定理的条件或不可逆性而致错..............................................................................................50
易混易错22 二次函数零点分布问题考虑不全致错...........................................................................................................51
易混易错23 画函数图象时不准确致错..................................................................................................................................54
易混易错24 数学建模时忽视实际意义而致错....................................................................................................................58
易混易错25 错用函数的求导法则致错..................................................................................................................................61
易混易错26 混淆“在某点”和“过某点”切线的区别致错..........................................................................................64
易混易错27 利用导数求函数单调区间忽略定义域致错..................................................................................................67
易混易错28 淆极值点与导数等于零的点的区别致错........................................................................................................69
易混易错29 已知单调性求参数时混淆条件致错................................................................................................................. 73
易混易错30 判断函数零点个数时画图致错..........................................................................................................................75
易混易错31 诱导公式认识不深导致变形致错....................................................................................................................79
易混易错32 三角求值不能深挖角的范围致错....................................................................................................................80
易混易错33 判断三角函数的单调性忽略系数
的符号致错........................................................................................83
易混易错34 混淆函数图象变换的规律而致错....................................................................................................................85
易混易错35 参数问题不能准确判断临界点致错................................................................................................................88
易混易错36 解三角形时错判解的个数致错.........................................................................................................................91
易混易错37 忽略边角互化条件致错.......................................................................................................................................93
易混易错38 忽略三角形中的隐含条件致错.......................................................................................................................96
易混易错39 对平面向量的基本概念理解不到位掉入陷阱.............................................................................................100
易混易错40 忽略平面向量夹角的范围与方向性致错....................................................................................................102
易混易错41 忽略向量共线时的两种情况致错..................................................................................................................104
易混易错42 错用平面向量的运算律致错........................................................................................................................... 106
易混易错43 混淆复数的实部、虚部等基本概念致错......................................................................................................109
易混易错44 复数的几何意义应用陷阱................................................................................................................................110
易混易错45 忽略数列与一般函数的区别致错...................................................................................................................112
易混易错46 由Sn 求an 忽略n=1 的讨论致错..................................................................................................................113
易混易错47 等比数列问题忽略公比q 的讨论致错.........................................................................................................115
易混易错48 裂项相消法求和时漏项、添项或忽视系数而致错..................................................................................117
易混易错49 错位相减求和错判项数、公比或符号致错................................................................................................119
易混易
错
01
对集合表示方法的理解偏差致错
辨析：对集合表示法的理解不能只流于形式上的“掌握”，要对本质进行剖析，需要明确集合中的代表元
素类型（点集或者数集）及代表元素的含义．
【典例1】（25-26 高三一上·上海普陀·月考）关于x，y 的方程组
的解集是（ ）
A．
B．
C．
D．
或
【答案】C
【解析】由
，则
，
所以方程组的解集为
.(易错点)
方程组的解是有序实数对，要用小括号括起来
故选：C
【典例2】（2025·湖北黄冈·二模）若集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为集合
表示直线
上所有点的集合，其元素是点，
集合
表示直线
上所有点的横坐标的集合，其元素是数，
所以
.故选：D.
【跟踪训练】（25-26 高三下·山西阳泉·开学考试）下列说法错误的是（ ）
A．集合
与集合
不是同一个集合
B．已知
，满足条件的集合
的个数有7 个
C．代数式
的值组成的集合是
D．函数
的零点为
【答案】D
【解析】选项A，
是点集，
是数集，不是同一个集合，A 对；
选项B，因为
，
所以满足条件的集合
的个数有
，B 对；
选项C，当
时，
；
当
或
时，
；
当
时，
，C 对；
选项D，函数
的零点不是点，是变量x 的值，
所以函数
的零点是
，D 错．
易混易错
02
忽视（漏）空集致错
辨析：空集不含任何元素，在解题过程中容易被忽略，特别是在隐含有空集参与的集合问题中，往往
容易因忽略空集的特殊性而导致漏解．
【典例1】（25-26 高三上·天津河北·月考）已知集合
，集合
，
若
为
的真子集，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】当
时，满足
为
的真子集，此时
，解得
.（易错点）
空间是任意集合的子集，是任意非空集合的真子集
当
时，则
,而后面两不等式等号不会同时成立，故解得
.
综上，
，即
的取值范围是
.
故选：C.
【典例2】（25-26 高三上·山东聊城·月考）已知集合
，
，
，则实数a
的取值构成的集合为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】对于集合
，
当
时，
，满足
，符合题意；
当
时，
，因为集合
，且
，所以
，或
，解得：
，或
.
当
时，
，符合题意；
当
时，
，符合题意.
所以实数a 的取值构成的集合为
.
故选：D .
【跟踪训练】（25-26 高一上·天津和平·期中）设集合
，集合
，若
，则实数m 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】当
，即
时，
，此时
，符合题意；
当
，即
时，
，
由
，得
，或
.
解得
，或
.
综上所述，实数m 的取值范围为
，或
，或
,
即
.
故选：D.
易混易错
03
充分、必要条件判断颠倒致错
辨析：在判断充分条件、必要条件、充要条件时，要特别注意哪一个是“条件”，哪一个是“结论”,否则
将犯“张冠李戴”的错误.需注意：若p 是q 的…,则p 是条件，q 是结论;若p 的…条件是q,则p 是结论,q 是
条件.
【典例1】（25-26 高三上·浙江宁波·阶段测试）命题“
，
”为假命题的一个充分不
必要条件是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】若命题“
，
”为假命题，
则命题的否定“
，
”为真命题，
即
，
恒成立，
，
，当
，取得最大值
，
所以
，选项中只有
是
的真子集，
所以命题“
，
”为假命题的一个充分不必要条件为
.（易错点）
本题条件在后，结论在前，实质是问哪个选项是该命题为假命题的充分不必要条件
故选D
【典例2】（24-25 高三上·青海西宁·期中）已知
，
，则使
成立的一个充分条件是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】对于A，取
，
，显然有
成立，但
不成立，不符合题意.
对于B，由
，得
，所以
，可推出
，
符合题意.
对于C，
，可得
，不符合题意.
对于D，由
，得
，因为
，
，所以
，所以
，不能推出
，不符合题意.
故选：B．
【跟踪训练1】（25-26 高三上·安徽马鞍山·阶段练习）下列说法正确的是（ ）
A．
是
的充要条件
B．使不等式
成立的一个充分条件是
C．若“
”的一个必要不充分条件是“
”，则实数
的取值范围是
D．若关于x 的不等式
在
上的解集是空集，则实数
的取值范围是
【答案】C
【解析】对于A，若
，当
时，
，故由
不能推出
；
若
，例如
，
，此时
不成立，
故由
也不能推出
，
即
是
的既不充分也不必要条件，故A 错误；
对于B，当
时，则
，
，
所以
不是不等式
成立的充分条件，故B 错误；
对于C，由
解得
，记集合
，
设
为集合
，
若“
”的一个必要不充分条件是“
”，
即B 是A 的必要不充分条件，则
是
的真子集，
故需满足
或
，解得
，
经检验，当
时，
是
的真子集，符合题意，
故实数
的取值范围是
，故C 正确；
对于D，关于x 的不等式
在
上的解集是空集，
则
，解得
即实数
的取值范围是
，故D 错误.
故选：C.
【跟踪训练2】（25-26 高三上·广东东莞·阶段练习）已知集合
.
(1)是否存在实数
，使得
是
成立的充要条件，若存在，求出实数
的值，若不存在，请说明理
由；
(2)若
是
成立的必要不充分条件，求出
的取值范围.
【答案】(1)不存在，理由见解析
(2)
【解析】（1）若存在实数
，使得
是
成立的充要条件，则
.
故
，无解，故不存在实数
，使得
是
成立的充要条件.
（2）因为
，所以
，故
，
由
是
成立的必要不充分条件，得
真包含于
，
所以
且不等式组的两个等号不同时取得，解得
，又
，
所以
的取值范围为
.
易混易错
04
命题否定中量词与结论漏改致错
辨析：在写出含有一个量词的命题的否定时，要注意“变量词，否结论”，常见错误是只变量词，或者只
否定结论.
【典例1】（25-26 高三上·河北·期中）设命题
，
，则
的否定为（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
【答案】C
【解析】先变量词：将
变为
，
再否结论，将结论
否定为：
，
从而可得
的否定为：
，
（易错点）.
既要变量词，又要否结论，缺一不可
故选C.
【典例2】（25-26 高三上·广东梅州·期中）命题“
”的否定是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】命题“
”为全称量词命题，
其否定为：
.
故选：A
【跟踪训练1】（多选）（2026·河南南阳·模拟预测）下列结论正确的有（ ）
A．
，
B．“
，
”是假命题
C．“有理数的平方是有理数”是存在量词命题
D．“
，
”的否定是“
，
”
【答案】AB
【解析】选项A：将不等式变形：
，配方得：
，
对所有实数恒成立，因此选项A 正确；
选项B：由绝对值的非负性，
，
因此
，不可能小于0，因此选项B 正确；
选项C：“有理数的平方是有理数”等价于“所有有理数的平方都是有理数”，
是全称量词命题，而非存在量词命题，因此选项C 错误；
选项D：全称量词命题的否定应为存在量词命题，而非改变
的取值范围，因此选项D 错误.
故选：AB.
【跟踪训练2】（多选）（25-26 高三上·安徽合肥·月考）下列命题正确的是（ ）
A．命题“
”的否定是“
”
B．“至少有一个
，使
成立”是全称量词命题
C．“
”是真命题
D．“
”的否定是真命题
【答案】AD
【解析】命题“
”的否定是“
”，A 选项正确；
“至少有一个
，使
成立”是特称量词命题，B 选项错误；
当
时，
，
，C 选项错误；
当
时，
，所以“
”是假命题，命题的否定是真命题，D 选项正确；
故选：AD.
易混易错
05
忽略不等式性质成立的前提条件致错
辨析：（1）利用几个代数式的范围求某一个代数式的范围时,不可多次将不等式相加,否则容易扩大范围.可
以使用整体代换的思想或用待定系数法求解代数式的取值范围问题.
（2）一般数学结论都有前提，不等式性质也是如此．在运用不等式性质之前，一定要准确把握前提条件，
一定要注意不可随意放宽其成立的前提条件．
【典例1】（25-26 高一上·江西南昌二中月考）已知
，则
的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】设
（易错点）；
则{
m+n= 4 ,
m-n=-2,解得{
m=1,
n=3,
所以
.
因为
，所以
又
，
两式相加得
，
即
.
【典例2】（2026·新疆乌鲁木齐·一模）若
，则下列选项正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为
，所以
，因为
，所以
，A 错误；
，因为
，所以
，则
，
，B 错误；
因为
，所以
，C 错误；
因为
且
，所以
，则
，即
，所以
，D 正确.
故选：D
【跟踪训练1】（2026 高三·全国·专题练习）设
，则
的取值范围是________；
的
取值范围是________；
的取值范围是________；
的取值范围是________．
【答案】
【解析】①由
，得
.
又
，所以
.
所以
的取值范围是
.
②由
，
，知
.
所以
的取值范围是
.
③由
，得
；
由
，得
.
所以
.
所以
的取值范围是
.
④由
，得
.
又
，所以
.
所以
的取值范围是
.
【跟踪训练2】（2025 高三·全国·专题练习）已知
，若
，
，
且
，则实数c 的取值范围是 ．
【答案】
【解析】因为
，
，
故
，
，
在平面直角坐标系aOb 中作出可行域，
由
，可得
，即
．
由
得
，
，
解得
．
易混易错
06
一元二次不等式恒成立问题混淆范围致错
辨析：对于一元二次型不等式恒成立问题，恒大于0 就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x
轴上方，恒小于0 就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x 轴下方，解决一元二次不等式中的
恒成立、能成立问题常常转化为求二次函数的最值或分离参数后求最值的方法解决问题．
【典例1】（25-26 高三上·云南昆明·期中）若函数
在
上恒成立，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】令
，
，
，
可转化为
（易错点），
换元后要注意新元的取值范围与旧元的范围不同
又
开口向上，且对称轴为
，
在
上单调递增，
，
函数
在
上恒成立，即
在
上恒成立，
也就是
（易错点），
本题容易错求成
，解得
.
实数
的取值范围为
.
故选：C.
【典例2】（25-26 高一上·黑龙江大庆·期末）若存在
，使不等式
成立，则a 的取
值范围是 ．
【答案】
【解析】因为
，所以
.
又因为
，所以
，所以
，
设
，其中
，则
.
设
，则
转化为
，
，
因为
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以
，即
，
所以存在
，使不等式
成立时，只需
，
故
的取值范围是
，
【跟踪训练1】（25-26 高二上·云南昭通·期末）已知关于
的不等式
对任意
恒成立，
则
的取值范围是________．
【答案】
【解析】当
时，不等式为
，显然恒成立，符合题意；
当
时，
因为关于
的不等式
对任意
恒成立，
所以二次函数
的图像在
轴的下方，
所以
，解得
，
综上，可得
的取值范围是
．
【跟踪训练2】（2026·河南南阳·模拟预测）已知对
，关于
的不等式
恒成立，则实数
的取值范围为_____.
【答案】
【解析】对
，有
，所以
，
所以不等式左右两侧同时除以
，
所以
，
转化为关于
的一元二次不等式，所以
，
令
，
，
，
，当
时，
，即函数
在
上单调递增，
当
时，
，即函数
在
上单调递减，
所以
；
由基本不等式可得
，
当且仅当
时，即当
时，等号成立，故
，
因为
，故对任意的
，则
，
故当
时，
，
，
由
可得
，
故
，故
，即实数
的取值范围是
.
易混易错
07
解含参不等式讨论不全致错
辨析：在求解过程紧抓三点就可以有效的避免失误：一是分析二次项系数是否需要讨论；而是分析方程根
的存在型是否需要讨论；三是根的大小关系是否需要讨论.
【典例1】（25-26 高三上·宁夏中卫·月考）（1）关于
的不等式：
；
①当
时，解不等式；
②当
时，解不等式.
（2）已知函数
，求函数
的值域.
【解析】（1）①当
时，
，即
，解得
，
所以原不等式的解集为
；
②当
时，原不等式可化为
，
若
，不等式为
，解得
（易错点）；
讨论不全，漏掉a=0 这一种情形
若
，令
，解得
或
，
当
时，则
，解得
或
；
当
时，则
，
若
，则
，解得
；
若
，原不等式为
，解得
（易错点）；；
讨论不全，漏掉a=0 这一种情形
若
，则
，解得
；
综上所述，若
，不等式解集为
；
若
时，不等式解集为
；
若
，不等式解集为
；
若
，不等式解集为
；
若
，不等式解集为
.
（2）因为函数
的图象开口向下，对称轴为
，
设函数
的最大值为
，最小值为
，
当
，即
时，则
，
，
所以函数
的值域为
；
当
，即
时，则
，
，
所以函数
的值域为
；
当
，即
时，则
，
，
所以函数
的值域为
；
当
，即
时，则
，
，
所以函数
的值域为
；
综上所述：当
时，函数
的值域为
；
当
时，函数
的值域为
；
当
时，函数
的值域为
；
当
时，所以函数
的值域为
.
【典例2】（2026 高三·全国·专题练习）设
.
(1)若不等式
对于一切实数
恒成立，求实数
的取值范围；
(2)解关于
的不等式
.
【解析】（1）不等式
对于一切实数
恒成立等价于
对于一切实数
恒成立，
当
时，不等式可化为
，不满足题意；
当
时，
，解得
；
综上，实数
的取值范围为
.
（2）不等式
等价于
，即
，
当
时，不等式可化为
，所以不等式的解集为
；
当
时，不等式可化为
，此时
，
所以不等式的解集为
；
当
时，不等式可化为
，
①当
时，
，不等式的解集为
；
②当
时，
，不等式的解集为
或
；
③当
时，
，不等式的解集为
.
综上可得：当
时，不等式的解集为
，
当
时，不等式的解集为
，
当
时，不等式的解集为
，
当
时，不等式的解集为
或
，
当
时，不等式的解集为
.
【跟踪训练1】(25-26 高一上·天津东丽·月考）已知关于x 的不等式
的解集为
.
(1)求实数a，b 的值；
(2)若
，求关于x 的不等式
的解集.
【解析】（1）由题意知，
，即
.
因为不等式
的解集为
，
所以
是方程
的两个实根，
有
，解得
,
此时不等式为
，符合题意，
所以
；
（2）由（1）知，
，
则不等式
可变形为
，
若
，则
，解得
，
此时原不等式的解集为
；
若
，则方程
的解为
或
，
当
即
时，原不等式的解集为
；
当
即
时，原不等式的解集为
；
当
即
时，原不等式的解集为
.
综上，当
时，不等式的解集为
；
当
时，不等式的解集为
；
当
时，不等式的解集为
；
当
时，不等式的解集为
.
【跟踪训练2】（25-26 高一上·天津滨海新区·期中）已知幂函数
为偶函数．
(1)求
的解析式；
(2)若
，求
的取值范围；
(3)当
时，求不等式
的解集．
【解析】（1）由
为幂函数，得
，解得
或
，
当
时，
为奇函数，舍去；
当
时，
为偶函数，符合题意.
综上所述，
.
（2）因为函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
且
为偶函数，
则
，等价于
，
则
，整理得
，解得
或
，
所以
的取值范围为
．
（3）由
，
则
，即
，
当
时，不等式为
，则不等式的解集为
；
当
时，
，不等式的解集为
；
当
时，
，不等式的解集为
；
当
时，
，不等式的解集为
.
易混易错
08
多变量不等式问题混淆主元致错
辨析：关于不等式的恒成立问题，主元法是一个常用方法，所谓主元法就是在一个多元数学问题中以其中
一个为“主元”，将问题化归为该主元的函数、方程或不等式等问题，其本质是函数与方程思想的应用．
有些看似复杂的问题，如果选取适当的字母作为主元，往往可以起到化难为易的作用.
【典例1】（24-25 齐鲁名校共同体联考）已知函数
是定义在
，
上的奇函数，对于任意
，
，
，
总有
且
（1）
．若对于任意
，
，存在
，
，使
成立，则实数的取值范围是
A．
B．
或
C．
或
D．
或
或
【答案】D
【解析】
是定义在
，
上的奇函数，
当
、
，
，且
时，有
，
函数
在
，
上单调递增．
（1）
，
的最小值为
（1）
，最大值为
（1）
，
若对于任意
，
，存在
，
，使
成立（易错点），
先视x 为主元，转化为
即
对所有
，
恒成立，
，
设
（a）
（易错点），
变更主元，将a 视为自变量，t 视为参系数
则满足
，即
，
或
或
，
故选：
．
【典例2】（25-26 高二上·福建厦门·期中）已知函数
，
，若
，
，使得
，则实数
的取值范围是 .
【答案】
【解析】依题意知
.
因为
在
上单调递减，所以
.
又
在
上单调递增，所以
，
因此
，则
.
【跟踪训练1】（2026·福建·一模）若实数
使得命题：“
，使得
，均有
”是假命题，则
的取值范围是___________．
【答案】
【解析】由题意可知，原命题的否命题：“
，使得
”是真命题．
所以对任意实数，方程
都有实数解
．
故而
对任意固定的实数都有解．
即关于
的不等式
对任意固定的实数都有解．
对不等式
分情况讨论：
①.若
,即
.当
时,不等式为
,对任意显然有解.
当
时,关于
的二次函数
开口向上,
其值域包含正数,故对任意,总存在
使得
.所以
符合题意.
②.若
,即
.关于
的二次函数
开口向下,
其最大值为
.
要使不等式
对任意都有解,则需要其最大值对任意都非负,
即
对任意恒成立,这显然是不可能的.故
不符合题意.
因此，
的取值范围是
．
【跟踪训练2】（25-26 高三上·天津和平·月考）已知定义在
上的函数
满足
且
，其中
的解集为A.函数
，
，若
，
使得
，则实数a 的取值范围是 .
【答案】
【解析】构造函数
，
所以
，
因为定义在
上的函数
满足
，
所以
，所以
在
上单调递增，且
，
所以不等式
可化为
，即
，
所以
，
所以
的解集
，
函数
，当且仅当
，
或
时等号成立，在A 上仅当
时等号成立，
所以
在A 上的值域为
，
为增函数，
所以
在A 上的值域为
，
若
，
使得
，
则
，
所以
，又因为
即实数a 的取值范围是
.
易混易错
09
基本不等式求最值忽略前提条件致错
辨析：通过拼凑法利用基本不等式求最值的策略
拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键，利用拼凑法求解最值应注意以下几个
方面的问题：
(1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形；
(2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标；
(3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提．
【典例1】（24-25 高三上·江苏·阶段练习）下列函数中最小值为4 的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BC
【解析】对于选项A：令
，可得
，
所以
4 不是
的最小值（易错点），
不能用基本不等式求此函数的最值，因为lnx 与
可能为负数
故A 错误；
对于选项B：因为
，则
，
当且仅当
，即
时，等号成立，
所以
的最小值为4，故B 正确；
对于选项C：因为
，则
，
当且仅当
，即
时等号成立，所以
的最小值为4，故C 正
确；
对于选项D：因为
，则
，
当且仅当
，即
时等号成立（易错点），
不能用基本不等式求最值，因为等号取不到
但
，所以
的最小值不为4，故D 错误.
故选：BC.
【典例2】（24-25 高三上·天津红桥·期中）已知
，则
的最小值为（ ）
A．2
B．
C．6
D．
【答案】C
【解析】由
，则
、
，
所以
，
当且仅当
，即
时取等号，
所以
的最小值为6.
故选：C
【跟踪训练1】7．（25-26 高三下·重庆北碚·开学考试）已知正实数
，则ab 的最大值为
________．
【答案】0.5/
.
【解析】因为
为正实数，
，
已知
，则
，所以
.
当且仅当
时取等号，此时
，
，满足正实数条件.
所以
的最大值为
.
故答案为：
.
【跟踪训练2】（2025 高三·全国·专题练习）
的三边分别为
，记
边上的中线长分别
为
，则
的最小值是_____．
【答案】
【解析】根据余弦定理得
，
所以
，
所以
，
同理可得
，
.
所以
，
，
，
则
，当且仅当
时等号成
立
．
所以
的最小值是
．
易混易错
10
复合函数定义域的理解不当致错
辨析：已知
的定义域求解
的定义域，或已知
的定义域求
的定义域，遵循两点
①定义域是指自变量的取值范围；②在同一对应法则∫下，括号内式子的范围相同，另外对于实际问题中
函数的定义域，还需根据实际意义再限制，从而得到实际问题函数的定义域.
【典例1】（24-25 高三上·贵州贵阳·阶段练习）已知函数
的定义域为
.记
的定义域为集
合
的定义域为集合
.则“
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
的定义域为
.
当
时，
（易错点）
定义域是x 的取值范围
的定义域为
，即
.
令
，解得
（易错点）
中的
与
中的x 的取值范围一致
的定义域为
，即
.
“
”是“
”的必要不充分条件，
故选：B.
【典例2】（25-26 高三上·江苏镇江·月考）已知函数
的定义域为
，则
的定义域
为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由
.
所以函数
的定义域为
.
故选：C
【跟踪训练1】（25-26 高三上·安徽马鞍山·期中）已知函数
的定义域是
，则函数
的定义域是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由
，得
，所以
，
所以函数
的定义域是
.
故选：B.
【跟踪训练2】（25-26 高三上·重庆·期中）若函数
的定义域为
，则
的定义域为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因为函数
的定义域为
，则
，所以
的定义域是
，
所以函数
中
，解得
，
故选：B．
易混易错
11
研究性质时忽略函数定义域致错
辨析：研究函数性质时，要注意建立“定义域优先”的解题原则.
【典例1】(2026 四川广安期中)奇函数
是定义域为
上的增函数.且
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
，
D．
【答案】B
【解析】
，
，
是奇函数，
，
是定义域为
上的增函数，
（易错点），
注意定义域优先
，解得
，
的取值范围是
.
【典例2】（2025 高三·全国·专题练习）定义在
上的函数
，则满足
的x 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
为
上的偶函数，且在
上为单调递增，
∴
等价于
即
，
由（1）得
,即
,解得
或
,
由（2）得
，解得
,
∴
或
,
即不等式的解集为：
,
故选：C.
【跟踪训练1】．（25-26 高三上·河北石家庄·期末）已知定义在
上的函数
满足：对任意
均有
成立，且
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因为任意
均有
，
即
，
令
，则
，
所以
在
上单调递减，
因为
，所以
，
所以不等式
，化为
，
因为
在
上单调递减，故
，
因为
定义在
上，所以
，
即
，解得
，
故原不等式解集为
.
故选：B.
【跟踪训练2】（25-26 高三上·河北承德·期末）已知定义在
上的函数
满足：当
时，
，且对任意的
且
，均有
．若
，
则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】令
，得
，所以
；
再令
，得
，所以
，
所以
为
上的奇函数，
设
，且
，则
，得
，
所以
，所以
，所以
，
所以
在
上单调递增，
又因为
，所以
在
上单调递增，
又
为
上的奇函数，所以
在
上单调递增，
所以
在
上单调递增，
由
，得
，即
，
解得：
，所以
的取值范围是
.
故选：C.
易混易错
12
使用换元法时忽略新元的范围致错
辨析：换元要注意新旧变元的取值范围的变化.要避免代换的新变量的取值范围被缩小;若新变量的取值范
围被扩大了,则在求解之后要加以检验.
【典例1】（24-25 高三上·吉林·阶段练习）已知
，则
的解析式为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】令
（易错点），
注意新元t 的取值范围
由
，
则
，即
.
故选：C.
【典例2】（25-26 高三上·云南·期末）已知函数
，则函数
的解析式为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】设
，则
，因为
，可得
，
所以函数
．
故选：C．
【跟踪训练1】（25-26 高一上·陕西榆林·月考）已知函数
，则
的解析式为
______.
【答案】
.
【解析】因为函数
，且
，
所以
.
故答案为：
.
【跟踪训练2】（2025 高三·全国·专题练习）若
，则函数
______．
【答案】
，
【解析】
，即
令
，
当
时，由基本不等式得
，
当
时，
，由基本不等式得
，即
，
，
则
，
，
，
，
，
.
易混易错
13
混淆“单调区间”与“在区间上单调”致错
辨析：单调区间是指一个函数的定义域中所有具有递增或递减性质的区间;在区间上单调是指函数在某一个
区间上单调,二者有本质区别,若函数在区间[a,b]上单调,则该函数在此区间的任意子区间上具有相同的单调
性.
【典例】（25-26 高三上·河北·期中）已知函数f(x)=|2x+a|.
(1)若f(x)的单调递增区间为[3,+∞),求实数a 的值;
(2)若f(x)在区间[3,+∞)上单调递增,求实数a 的取值范围.
【解析】(1)由题意知f(x)={
-2 x -a, x<- a
2 ,
2 x +a, x ≥- a
2 ,
∴函数f(x)的单调递增区间为[- a
2 ,+∞),
∴ 3=-
a
2, ( 易错点)
- a
2
为增区间和减区间的分界点
解得a=-6.
(2)由(1)可知, f(x)的单调递增区间为[- a
2 ,+∞),
∵f(x)在[3,+∞)上单调递增,
∴ - a
2≤ 3, (易错点)
[3,+∞)为单调增区间的子区间
即a≥-6.
∴实数a 的取值范围为[-6,+∞).
【跟踪训练1】（多选）（25-26 高三上·重庆璧山·期中）已知幂函数
是
上的偶
函数，且函数
在区间
上单调递减，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】因
是幂函数，则
，解得
或
，
当
时，
，其定义域为
，且为奇函数，故舍去；
当
时，
是
上的偶函数，符合题意.
则
，其图象对称轴为直线
，
由该函数在区间
上单调递减，可得
，解得
.
故选：C.
【跟踪训练2】（25-26 高三上·浙江宁波·期中）已知函数
，则下列选项正确的是（
）
A．若
的定义域为
，则
B．若
的定义域为
，则
C．若
的值域为
，则
D．若
在
上单调递增，则
【答案】AB
【解析】对于A，由
的定义域为
，得
成立，
当
时，
成立，则
；
当
时，
，解得
，因此
，A 正确；
对于B，由
的定义域为
，得
是不等式
的解集，
则
，且
为方程
的两根，
，解得
，B 正确；
对于C，由
的值域为
，得函数
的值域包含
，
则
，解得
，C 错误；
对于D，由
在
上单调递增，得
，解得
，D 错误.
故选：AB
易混易错
14
忽略对参数取值范围讨论而致错
辨析：对于含参的函数问题，要注意恰当讨论，对于含参的分段函数问题，除了要注意研究各段解析式的
性质，还要从整体上把握分段函数的性质.
【典例1】（2026 安徽天一大联考）若函数
在
上单调递减，则实数
的取值
范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】 当
时，
为增函数，不合题意；
当
时，
为常数函数，不合题意；
所以
，即
；
于是得
（易错点），
注意考虑每一段函数的单调性
解得
.
【典例2】（25-26 高一上·陕西西安·期末）已知函数
，若函数
在
上单调递
增，则实数
的取值范围是__________.
【答案】
【解析】由题知
，即
；
在
上单调递增，
所以
，解得
，
综上，实数
的取值范围是
【跟踪训练1】（25-26 高二上·云南保山·期末）函数
是
上的单调函数，则
的
取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由题意可知
是
上的单调函数，而指数函数
是增函数，
则
，解得
．
【跟踪训练2】（25-26 高一上·贵州铜仁·期末）设函数
，若对
，都有
，则实数
的取值范围为______．
【答案】
【解析】由题意知函数
在
上单调递减，需满足以下条件：
，解得
易混易错
15
对根式性质理解不到位出错
辨析：(1)处理根式问题一定要注意分析根指数的奇偶性，因为根指数奇偶性的不同，被开方数的取值范围
不同，如
中当
为奇数时,
为偶数时,
，另外根式的化简结果也不同；
(2)分数指数幂
中的
不能随便约分，要注意底数取值范围的改变．
【典例1】(多选题)（25-26 高一上·湖南衡阳·期末）下列各式一定成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABD
【解析】对于A：由
（易错点），故A 正确；
此选项求解时容易错写成
对于B：由
，故B 正确；
对于C：当
为正奇数，则
，当
为正偶数，则
（易错点），
注意对a 分正、负数两种情况讨论
如
，故C 错误；
对于D：由
，故D 正确.
故选：ABD
【典例2】（多选）（25-26 高一上·吉林·期中）下列计算正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ACD
【解析】A 选项，
，A 选项正确；
B 选项，
，B 选项错误；
C 选项，
，C 选项正确；
D 选项，
，D 选项正确.
故选：ACD
【跟踪训练1】（24-25 高一上·黑龙江大庆·期中）下列根式与分数指数幂的互化正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】对于A 选项：
，
，故A 错误；
对于B 选项：
，故B 错误；
对于C 选项：
，故C 正确；
对于D 选项：当
时，
，而当
时，
没有意义，故D
错误.
故选：C
【跟踪训练2】（多选）（25-26 高一上·黑龙江绥化·月考）下列根式、分数指数幂的互化中，正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】BC
【解析】对于选项A：
，故A 错误；
对于选项B：
，故B 正确；
对于选项C：
，故C 正确；
对于选项D：
，故D 错误．
故选：BC.
易混易错
16
忽略底数对指数函数性质的影响
致错
辨析：若指数(型)函数的底数含参,则解题时要根据底数与1 的大小关系进行分类讨论.
【典例】(多选题)(2026 山东泰安外国语学校月考)已知函数
，
的值域
为
，则
的取值范围是 ．
【.答案】
【解析】 当
时，
，
当
时，
取得最小值，最小值为
，此时
的值域为
，
当
时，
，
①当
时（易错点）
需对a 分两种情况讨论：a>1 或0<a<1，
函数
在
上为单调递增，可得
的值域为
，
要使得函数
的值域为
，则
，解得
；
②当
时（易错点），函数
在
为单调递减，可得
的值域为
，
此时函数
的值域不可能为
，舍去，
综上可得，实数
的取值范围为
.
【跟踪训练1】（25-26 高一上·四川成都·期末）已知函数
，若函数
满足：对于任意的
，当
时，都有
，则实数a 的取值范围是______.
【答案】
【解析】因为
，所以
，
令函数
，则
是减函数.
因为
，
所以
，
因为
是减函数，所以
在
上单调递减，
在
上单调递减，且衔接点
左侧函数值不小于右侧函数值.
当
时，根据
的图象可知，
在
上，随着x 的增大，
与
的差越来越大，
即
在
上单调递增，不符合题意，所以
，
所以
，解得
.
【跟踪训练2】（25-26 高三·河北衡水·期末）已知函数
（
且
）在区间
上单调
递增，则a 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由
且
，得
为单调递减函数，
由复合函数单调性法则得
，
又
，解得
．
故选：C．
易混易错
17
忽视对数式成立的条件
致
错
辨析：基于对数式
，其中对应的参数各自有其成立的条件，分别为底数a>0 且a≠1,真数N>0，在
解决对数问题时，一定要充分考虑对应的隐含条件或限制条件,避免出现遗漏或多解.
【典例1】（24-25 高三上·山西太原·期中）已知函数
（
，
）的图象经过点
，
则不等式
的解集为 .
【答案】
【解析】由题意可得
，则
，解得
，
由函数
在
上单调递减，
则
，可得
，（易错点）
忽视对数式的真数大于0 而致错
解得
，
【典例2】（25-26 高三上·湖南长沙·月考）已知集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由已知可得：
，
，
所以
.
故选：D.
【跟踪训练1】（25-26 高三上·湖北武汉·期中）若
：
，
：
，则
是
的
（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
，故
，解得
，
，解得
，
因为
是
的真子集，
所以
是
的充分不必要条件.
故选：A
【跟踪训练2】（25-26 高三上·山西忻州·期末）已知函数
，则关于
的不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】根据题意，函数
设
，则有
，解可得
，
即函数
的定义域为
，关于原点对称，
又由
，即函数
为奇函数，
设
，则
，
，在
上为增函数，而
在
上为增函数，
故
在区间
上为增函数，
又
为增函数，所以
在区间
上为增函数，
不等式
即为
，
也即
，
所以
，解得
.
故选：A.
易混易错
18
判断对数型复合函数的单调性忽略定义域致错
辨析：因为单调区间是定义域的子集，在解函数问题时，一定要树立“定义域优先”的意识.
【典例1】（25-26 高三上·天津蓟州·月考）函数
的单调递减区间是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
（易错点），
注意在定义域范围内求单调区间
由于
为减函数，
在
上单调递增，在
上单调递减，
则
的单调递减区间是
，
故选：C.
【典例2】（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数
在R 上单调递增，则a 的取
值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因为
在
上单调递增，且
时，
单调递增，
则需满足
，解得
，
即a 的范围是
.
故选：B.
【跟踪训练1】（25-26 高三上·河北邯郸·月考）函数
，其中
且
，在
上是减
函数，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】令
，
，
在定义域上为减函数，
又函数
在
上是减函数，则
在定义域上为增函数，
，
要使函数
有意义，则
，
又
在
上为减函数，
在
上的最小值为
，即
，
综上，实数
的取值范围为
.
故选：A.
【跟踪训练2】（2025·陕西西安·模拟预测）关于函数
，下列说法不正确的是（ ）
A．
的定义域为
B．
在区间
上单调递增
C．
的值域为
D．
的图象关于原点对称
【答案】C
【解析】选项A：由题意
，即
，
所以
，即
，解得
，故A 正确；
选项B：令
，
当
时，
单调递减，
所以
在
上单调递增，
又当
时，函数
在
上单调递增，
根据复合函数单调性原则可知
在
上单调递增，故B 正确；
选项C：因为
，所以
，
则
，所以
，
则
，
所以
值域为
，故C 错误；
选项D：因为定义域为
关于原点对称，且
，
所以
，
所以
为奇函数，图象关于原点对称，故D 正确.
故选：C
易混易错
19
利用换元法求值域遗忘范围致错
辨析：研究形如y=loga f(x)(a>0 且a≠1)的函数的性质,可转化为研究f(x)的性质,同时要注意f(x)>0 这一隐含
条件.
【典例1】（2026 江西南昌五中月考）若函数
值域为R 且在区间
上单调递
增，则实数
的取值范围是 .
【答案】
【解析】 因为
的值域为
，在区间
上单调递增
所以函数
与
轴有交点，即方程
有实根，
所以
，解得
或
①；
因为函数
在区间
单调递增，
且
是减函数，所以
在区间
单调递减且恒为正，
所以
(易错点)
在区间
内真数t 的值不能为负数
解得
②，
由①②可得
，所以实数
的取值范围是
.
【典例2】（25-26 高三上·广东湛江·月考）
的值域为
，则a 的取值范围为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】 因为
的值域为
，
所以
的值域包含
，
所以
，解得
.
故选：C.
【跟踪训练1】 (多选)（24-25 高三上·海南省直辖县级单位·期中）已知函数
，则下列说法正
确的是（ ）
A．定义域为R
B．值域为
C．在
上单调递增
D．在
上单调递减
【答案】ABD
【解析】对于A，函数
的定义域为R，故A 正确；
对于B，因为
，所以
，
故函数
的值域为
，故B 正确；
对于CD，因为
在R 上是减函数，
在
上是减函数，在
上是增函数，
所以函数
在
上单调递减，C 错误，D 正确.
故选：ABD.
【跟踪训练2】（多选）（25-26 高一上·天津河西·月考）已知
的值域
为
，则
，函数
，在区间
上是减函数，则实数
的取
值范围为 ．
【答案】
，
【解析】因为
令
，则
，
由二次函数性质可知，函数
在区间
上单调递减，在区间
上单调递增，
因为
，
，
所以
，
，
所以函数
的值域为
，即函数
的值域为
，故
，
所以函数
由题意可知函数
在区间
上是减函数，
当
时，
，二次函数的对称轴为
，在对称轴左侧单调递减，
，解得
；
当
时，
，在
时单调递减；
又
，即
；
综上，实数
的取值范围是
．
易混易错
20
错判幂函数的性质致错
辨析：对于幂函数
，整数m,n 取不同的值，对幂函数的单调性、奇偶性、定义域以及图像分布都
有影响，这一点在判断幂函数的性质时是一个容易出错的知识点，要在复习中高度重视.
【典例1】（多选）（24-25 高三上·海南海口·阶段练习）已知幂函数
（m，
，m，n 互
质），下列关于
的结论正确的是（ ）
A．m，n 是奇数时，幂函数
是奇函数
B．m 是奇数，n 是偶数时，幂函数
是偶函数
C．m 是偶数，n 是奇数时，幂函数
是偶函数
D．
时，幂函数
在
上是增函数
【答案】ABD
【解析】对于选项A：若m，n 是奇数时，则
，
此时
的定义域为R，且
，
所以幂函数
是奇函数，故A 正确；
对于选项B：若m 是奇数，n 是偶数时，则
，
此时
的定义域为R，且
，
所以幂函数
是偶函数，故B 正确；
对于选项C：m 是偶数，n 是奇数时，则
，
此时
的定义域为
，不关与原点对称(易错题)，
忽略函数的定义域致错
所以幂函数
不具有奇偶性，故C 错误；
对于选项D：
时，由幂函数性质可知：
在
上是增函数，故D 正确；
故选：ABD.
【典例2】（多选）（25-26 高一上·四川成都·期末）已知幂函数
的图象经过点
，则下列说法
正确的是（ ）
A．函数
的定义域为
B．函数
为偶函数
C．令函数
，则不等式
的解集为
D．若函数
，
，
，则
【答案】ABD
【解析】设幂函数
的解析式为
，
因为幂函数
的图象经过点
，所以
，解得
，即
，
对于A，函数
的定义域为
，故A 正确；
对于B，因为
，且
的定义域为
，
故
为偶函数，故B 正确；
对于C，
，故
为偶函数，
因为
在
上为增函数，而
在
上为增函数，
故
在
上为增函数，而
即为
，
故
，故
即
的解集为
，故C 错误；
对于D，
，
而
，
因为
，
，故
，
当且仅当
等号成立，故
，
故
，即
，
当且仅当
等号成立，故D 成立.
【跟踪训练1】（25-26 高三上·江苏淮安·期末）已知幂函数
，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
是奇函数
D．
的值域为
【答案】D
【解析】幂函数
，A 选项错误；
定义域为
，又因为
，所以
是偶函数，C 选项错误；
幂函数
，所以
的值域为
，D 选项正确；
因为幂函数
在
上单调递增，所以
，B 选项错误.
故选：D.
【跟踪训练2】（多选）（河北省邢台市2025-2026 学年高三上期末）已知幂函数
在
上单调递增，函数
．若
，
，
，则
的值可能是
（ ）
A．8
B．18
C．24
D．27
【答案】BC
【解析】由题意知
，解得
或；
当
时，函数
在
上单调递增，符合题意；
当
时，函数
在
上单调递减，不合题意；
因此
，
由
，可得
,
因为函数
在
上单调递增，若
，可得
，
依题意可知
，解得
；
所以
，即
的值可能是18，24.
故选：BC
易混易错
21
忽视零点存在定理的条件或不可逆性而致错
辨析：利用零点存在性定理解题时要牢记：必须满足闭区间连续、端点函数值异号，才能判定有零点；定
理不可逆，有零点不能反推端点异号；
【典例】（2026 广东广雅中学月考)已知函数
图象是连续不断的，并且是
上的增函数，有如下
的对应值表
x
1
2
3
4
y
1.21
3.79
10.28
以下说法中错误的是（ ）
A．
B．当
时，
C．函数
有且仅有一个零点
D．函数
可能无零点
【答案】D
【解析】对于A，因为函数
是
上的增函数，所以
，A 正确；
对于B，因为函数
是
上的增函数，所以当
时，
，B 正确；
对于C，因为函数
是
上的增函数，
且
，即
，所以函数
有且仅有一个在区间
的零点（易错点），C 正确；
在某区间内单调的函数最多一个零点
对于D，因为函数
的图象连续，且
，即
，所以函数
在区间
上一定存在零点（易错点），D 错误.
利用零点存在性定理判定零点的存在性
【跟踪训练1】（25-26 高三上·上海·期中）已知
，且函数
有且仅有
一个零点.若方程
无解，则实数
的取值范围是（ ）.
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】对任意的
，
，故函数
的定义域为
，
，故函数
为偶函数，
若函数
存在一个非零的零点
，则
也必为函数
的零点，这与已知条件矛盾，
由于函数
有且只有一个零点，则该零点必为
，即
，
所以
，
当且仅当
时，即当
时，等号成立，故函数
的值域为
，
因为方程
无解，故
，即实数
的取值范围是
.
故选：A.
【跟踪训练2】（25-26 高三上·江西南昌·期末）已知函数
的零点为
，若
，且
，则
（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】C
【解析】函数
的定义域为
，
根据对数函数的性质可知
在
上单调递增，
又
，
，
所以
，
根据函数的零点的判定定理可得：函数
的零点所在的区间是
，
所以
.
故选：C.
易混易错
22
二次函数零点分布问题考虑不全致错
研究二次函数零点的分布，一般从以下三个方面考虑：
(1)一元二次方程根的判别式；
(2)对应二次函数区间端点函数值的正负；
(3)对应二次函数图象，即抛物线的对称轴x＝－与区间端点的位置关系．
【典例1】（24-25 高三上·江西赣州·阶段练习）函数
的两个不同的零点均大于1 的一
个充分不必要条件是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由函数
的两个不同的零点均大于1，得
，（易错点）
此处易犯的错误是：所列式子不全面
解得
，
因此所求充分不必要条件是
的非空真子集，ABD 不满足，C 满足.
故选：C
【典例2】（25-26 高一上·江苏扬州·期末）设
为实数，若关于
的方程
有两根
，且
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
或
【答案】B
【解析】关于
的方程
有两根
，且
.
，解得
.
故选：B
【跟踪训练1】（25-26 高二上·云南昆明·期中）已知
是函数
的零点，
则
的最小值为（ ）
A．0
B．1
C．4
D．5
【答案】B
【解析】因为
是函数
的零点，
所以
，即
，则
或
，
解得
或
，
当
时
，当且仅当
时取等号，所以
的最小值为；
当
时
，当且仅当
时取等号，所以
的最小值为
；
又
，综上可得
的最小值为，此时
，
.
故选：B
【跟踪训练2】（2026·陕西延安·一模）设函数
,若
有四个不同的零点
，且满足
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】令
，
由
有四个不同的零点，
则
与
有四个不同的交点，
令
，解得
或，
故当
或
时，
；当
时，
；
且当
，
；
解方程
，得
；
作函数
的图象，对称轴为
.
要使
与
有四个不同的交点，如图可得
.
又
满足
，
则
，可得
.
因为
图象关于
对称，所以
，
则
，
则
，令
，则
，
构造函数
，
，
由
，函数
在
单调递增，
则
，即
.
故选：A
易混易错
23
画函数图象时不准确
致
错
辨析：常利用图象法研究函数的零点问题，此时要特别注意函数的定义域、图象的渐近线等，尤其是在
换元后要注意新元的取值范围.
【典例1】（多选题）(2026·河北衡水中学月考)已知函数
函数
有四
个不同的零点
，且
，则（ ）
A．
的取值范围是
B．
C．
的最小值是
D．
越大，
的值越大
【答案】BCD
【解析】画出
的图象，如下图所示:
对于A,由图可知
(易错点) ,则A 错误.
当x<0 时，函数
的图象存在一条渐近线直线y=1
对于B,因为
，所以
，
所以
，则B 正确.
对于项C,由图可知
，所以
，
当且仅当
时，等号成立，则C 正确.
对于选项D：
在
上单调递减.
因为
越大，
越小，所以
的值越大，则D 正确.
【典例2】（25-26 高三下·辽宁·开学考试）设函数
，若方程
有且仅
有三个解，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】如下图：作出函数
图象及
与
图象，
由图象可知，当
时，
与
有且仅有三个交点，
故实数
的取值范围为
.
【跟踪训练1】(2026·陕西西安·模拟预测）已知函数
，
．若
函数
有3 个不同的零点，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．(0，1)
C．
D．
【答案】C
【解析】函数
，由
，得
，
令函数
，由函数
有3 个不同的零点，
得方程
有3 个不同的解，即直线
与函数
的图象有3 个交点，
函数
在
上单调递增，在
上单调递减，在
上单调递减，
在同一坐标系内作出直线
与函数
的图象，如图：
观察图象，当且仅当
时，直线
与函数
的图象有3 个交点，
所以
的取值范围是
.
【跟踪训练2】（25-26 高三上·北京西城·期末）函数
，
和
，
的图象如
图所示，其中
，则（ ）
A．方程
恰有一个解
B．方程
恰有两个解
C．方程
恰有三个解
D．方程
恰有四个解
【答案】C
【解析】对A：令
，数形结合可知，
或
；
令
，
，
又因为
，而
，
可知
无解，故方程
无解，A 错误；
对B：令
，数形结合可知，
或
；
令
，因为
，
数形结合可知，方程
有三个根，
有两个解，
故方程
有五个解，故B 错误；
对C：令
，数形结合可知，
或
；
令
，
由题可知，
，数形结合可知，方程
有三个根，
方程
无解，
故方程
有三个解，故C 正确；
对D：令
，数形结合可知，
或
；
令
，又
，
数形结合可知，
无解，
有两个解，
故方程
有两个解，D 错误.
故选：C
易混易错
24
数学建模时忽视实际意义而致错
辨析：建模前先明确变量实际意义，严格确定定义域；列式后检验是否符合现实约束，验证结果合理性；
不忘单位统一，确保函数与情境匹配，杜绝纯代数思维.
【典例】（25-26 高一上·四川南充·期中）如图1，有一个半径为2 的半圆，一个等腰梯形
的下底
是
的直径，上底
的端点在圆周上，记线段
的长度为
，梯形
的周长为
．
(1)写出
与
的函数关系式，并求出它的定义域；
(2)当梯形
的周长取得最大值时，如图2 所示建立平面直角坐标系，直线：
与下底
交
于
.记梯形
位于直线左侧的图形的面积为
，求函数
的解析式；
(3)在（2）的条件下，当
时，求
的长．
【解析】（1）如图，过
作
于
，圆心为
，连接
，设
，则
，
由
，得
，
整理得
，
，
，
，
，即
，解得
(易错点)．
注意各线段长均为正数
与
的函数关系式为
，
．
（2）
，
，
当
时，
取得最大值，此时
，
，
，
，
故等腰梯形
的底角为
，面积为
，
令
，当
时，
；
当
时，
；
当
时，
；
．
（3）
，
令
，则
时，
，解得
（舍去）；
当
时，
，解得
满足条件；
当
时，
，解得
（舍去）或
（舍去），
综上所述，
，故
．
【跟踪训练】（25-26 高三上·黑龙江·期中）如图，在
中，
，
，直线与边
，
分别交于
，
两点，且
的面积是
面积的一半.设
，
，记
，则
的定义域为 ，
的最小值与最大值之和为 .
【答案】
【解析】因为
的面积是
面积的一半，
即
，即
，可得
，
又因为
，即
，
且
，可得
，
所以
，且
的定义域为的定义域为
；
令
，则
在
上单调递减，在
上单调递增，
且
，
可知
在
上的最小值为2，最大值为
，
即
在
上的最小值为2，最大值为
，
所以
的最小值与最大值之和为
.
易混易错
25
错用函数的求导法则
致错
辨析：（1）复合函数对自变量的导数等于已知函数对中间变量的导数,乘以中间变量对自变量的导数,即
；
（2）求函数导数的总原则：先化简解析式，再求导．注意以下几点：连乘形式则先展开化为多项式
形式，再求导；三角形式，先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导；分式形式，先化为整式函
数或较为简单的分式函数，再求导；复合函数，先确定复合关系，由外向内逐层求导，必要时可换元.
【典例1】（2025 高三·全国·专题练习）函数
的导数为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为
，
所以
. （易错点）
注意复合函数求导时内层函数也要求导
故选：D
【典例2】（25-26 高三上·江苏·月考）已知函数
及其导函数
的定义域均为
，若
，
都为偶函数，则
（ ）
A．440.5
B．441.5
C．442.5
D．443.5
【答案】C
【解析】因为
为偶函数，
所以
，
即
，
即
，
所以
；
又因为
是偶函数，
所以
，
即
，
所以
，
即
，
所以
，
即
，
，
在
中，令
，
则有
所以
；
在
中，令
，
可得
，
在
中，令
，
则有
，
所以
；
又因为
，
所以
，
所以
成等差数列，公差
，首项为
，
所以
；
同理可得
，
所以
成等差数列，公差
，首项为
，
所以
；
所以
.
故选：C.
【跟踪训练1】(多选）（25-26 高二上·安徽·月考）下列计算正确的是（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．若
，则
D．若
，则
【答案】AC
【解析】
，则
，故A 正确；
，则
，故
错误；
，则
，故C 正确；
，则
，故D 错误．
故选：AC
【跟踪训练2】（25-26 高二下·山东滨州·开学考试）下列选项正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由于
为常数，故
，故A 错误；
而
，故B 错误；
而
，故C 正确；
而
，故D 错误．
易混易错
26
混淆“在某点”和“过某点”切线的区别
致错
辨析：利用导数研究曲线的切线问题，一定要熟练掌握以下三点：
（1）函数在切点处的导数值是切线的斜率，即已知切点坐标可求切线斜率，已知斜率可求切点坐标．
（2）切点既在曲线上，又在切线上，切线还有可能和曲线有其它的公共点．
（3）曲线
“在”点
处的切线与“过”点
的切线的区别：曲线
在点
处的切线是指点P 为切点，若切线斜率存在，切线斜率为
，是唯一的一条切线；曲线
过点
的切线，是指切线经过点P，点P 可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可
能有多条．
【典例1】（24-25 高三上·上海·开学考试）经过点
可以作与曲线
相切的不同直线共
有（ ）
A．0 条
B．1 条
C．2 条
D．3 条
【答案】D
【解析】设切点为
（易错点），
易错之处是误以为点P 一定是切点
，
则切线的斜率为
，
又切线过点
，
所以
，
则
，设
，
则
，令
，
解得
或
，
当
和
时
，函数
单调递增，
当
时
，函数
单调递减，
又
，g(0)=1>0，
，
，
所以存在
,
；
；
，
所以
与
轴有3 个交点，
则经过
有3 条切线.
故选：D.
【典例2】（2025·全国一卷·高考真题）若直线
是曲线
的一条切线，则
.
【答案】
【解析】法一：对于
，其导数为
，
因为直线
是曲线的切线，直线的斜率为2，
令
，即
，解得
，
将
代入切线方程
，可得
，
所以切点坐标为
，
因为切点
在曲线
上，
所以
，即
，解得
.
故答案为：
.
法二：对于
，其导数为
，
假设
与
的切点为
，
则
，解得
.
【跟踪训练1】（25-26 高二上·安徽·期末）已知函数
，过点
作曲线
的切线，则此
切线与
轴和直线
所围成的三角形的面积为（ ）
A．
B．
C．
D．1
【答案】A
【解析】函数
，求导得
，设切点为
，则
，
依题意，
，解得
，因此切点
，切线斜率
，
切线方程为
，由
得两直线交点
，如图：
而切线与
轴交于点
，则
，
所以所求三角形面积为
.
故选：A
【跟踪训练2】（26-27 高二上·重庆·期末）过
作函数
的切线恰好能作两条，则实数
的取值
范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】设切点为
，由
求导得
，则切线的斜率为
，故切线方程为
，
因切线经过点
，则得
，化简得
，显然
，则得
，
又因过
作函数
的切线恰好能作两条，即函数
与函数
有两个不同的
交点.
的定义域为
，函数求导得
，
则当
时，
，当
时，
，当
时，
，
即函数
在
上单调递增，在
上单调递减，且
，
当
时，
，当
时，
，当
时，
，当
时，
.
作出函数
的图象如下：
由图知，过
作函数
的切线恰好能作两条等价于
或
，解得
或
.
故选：D.
易混易错
27
利用导数求函数单调区间忽略定义域
致错
辨析：（1）求函数的单调区间必须树立定义域优先的思想，即先求函数的定义域，然后再定义域上求函
数的单调区间；（2）含参函数单调性讨论的分类标准：①函数类型；②开口方向；③判别式；④导数等
于0 有根无根；⑤两根大小；⑥极值点是否在定义域内.
【典例】（24-25 高二下·福建泉州·月考）函数
的单调减区间为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】函数
的定义域为
，
，
由
得
，所以
的单调减区间为
. （易错点）
注意此函数的定义域不是R
故选：D.
【跟踪训练1】（2025·四川·模拟预测）已知函数
，则
的单调递增区间为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】函数
的定义域为
，则
，
因为
，由
，可得
，
故函数
的单调递增区间为
.
故选：A.
【跟踪训练2】（多选题）（2026·湖北武汉·模拟预测）对于函数
，则（ ）
A．函数
的单调递减区间为
B．
C．若方程
有6 个不等实数根，则
D．对任意正实数
，且
，若
，则
【答案】BCD
【解析】函数
的定义域为
，求导得
，
对于A，由
，得
或
，由
，得
，
因此函数
的单调递减区间为
和
，A 错误；
对于B，由A 得，函数
在
上单调递增，
，B 正确；
对于C，
为偶函数，当
时，
，
由A 项知，函数
的单调减区间为
和
，单调递增区间为
，
又当
时，
，当
时，
，
当
时，
，
时，
，
当
时，
，当
时，
，
时，
，
函数
的图象如图：
观察图象得，当且仅当
时，直线
与函数
的图象有6 个不同交点， C 正确；
对于D，不妨设
，由
，得
，即
，
令函数
，
，
求导得
，
当
时，
，
，
在
上单调递增，
由
，得
，即
，因此
，
函数
，求导得
，当
时，
，
在
上单调递减，
而
，则
，即
，D 正确.
故选：BCD
易混易错
28
淆极值点与导数等于零的点的区别
致错
辨析：导数等于零点的点不一定是函数的极值点，对于可导函数而言，其极值点应满足两个条件，一是导
数等于零，二是在极值点两边导函数的符号相反.
【典例1】（25-26 高三上·吉林长春·阶段练习）若
是函数
的
极小值点，则
的极大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由
可得
，
又
是函数
的极小值点，所以
，解得
或
（易错点），
注意：可导函数在极值点处的导数为0，但导数为0 的点不一定是极值点
当
时，
，
当
时，
，此时
单调递增，
当
时，
，此时
单调递减，
即
是
的极大值点，不符合题意，故舍去(易错点)；
需注意检验，极值点不一定是极大值点
当
时，
，
当
时，
，此时
单调递增，
当
时，
，此时
单调递减，
当
时，
，此时
单调递增，
即
是
的极大值点，
是
的极小值点，符合题意，
此时
，
所以
的极大值为
.
故选：D
【典例2】（25-26 高二上·陕西榆林·期末）已知函数
，若
为
的极小值点，则实
数
的值为（ ）
A．
B．1
C．3
D．1 或3
【答案】B
【解析】函数
，定义域为
.
所以
.
由题可知，
，即
，所以
或
.
当
时，
.
令
，则
或
；令
，则
.
所以
在
上单调递减，在
上单调递增.
所以
在
处取得极小值.
当
时，
.
令
，则
或
；令
，则
.
所以
在
上单调递增，在
上单调递减.
所以
在
处取得极大值.
综上，实数
的值为.
故选：B.
【跟踪训练1】（25-26 高二上·河北石家庄·期末）已知函数
在
处取得极大值，则
（ ）
A．9 或1
B．3
C．2
D．1
【答案】B
【解析】因为函数
，所以
，
又因为在
处取得极大值，所以
，所以
或
，
当
时，
，所以
单调递减，
单调递增，
所以
在
处取得极小值，不符合题意舍去；
当
时，
，所以
单调递增，
单调递减，
所以
在
处取得极大值，符合题意；
则
.
【跟踪训练2】（多选）（25-26 高二上·江苏南京·期末）已知函数
有两个
极值点
，则（ ）
A．
B．当
时，
有三个零点
C．当
时，
仅有一个零点
D．
【答案】BCD
【解析】对于A，由
，得
，
因为函数
有两个极值点
，
所以
有两个不等的实数根，
即
有两个不等的实数根
，
所以
，解得
或
，故A 错误；
对于B，当
时，二次函数
与
轴有两个不同的交点，开口向上，
当
时，
；当
，
；当
，
，
所以
是极大值，
是极小值，又
，则可得
有三个零点.
同理可得当
时，
有三个零点，故B 正确；
对于C，当
时，由B 可知
是极小值，又
，所以
，
此时极大值
，所以函数在
，函数从
递增到
有1 个零点，
其余区间内无零点，
同理可得当
时，函数
仅有一个零点，
综上所述：当
时，
仅有一个零点，故C 正确；
对于D，由韦达定理可得
，
，
又
，
所以
，故D 正确.
故选：BCD.
易混易错
29
已知单调性求参数时混淆条件
致错
辨析：已知函数的单调性求参数时，要注意以下几点：（1）熟悉基本函数的单调性。
（2）注意下列二者之间的区别：函数在区间I 上单调递增（减）；函数的单调递增（减）区间是D.
注意：其中
.
（3）首先明确已知函数的单调性；然后根据已知条件列出关于所求参数的不等式，正确解出含参数
的不等式，结果要用集合或区间的形式表示出来.
【典例1】（24-25 高三上·山东临沂·期中）若函数
的单调递减区间恰为
，
则实数a 的值为 ．
【答案】
【解析】由题意得，
，
∵函数
的单调递减区间恰为
，
即
的解集为
，（易错点）
注意单调递减区间为[-1,4]与在区间[-1,4]上递减是有区别的
∴所以
和4 是
的两根，
∴
．
【典例2】（25-26 高二上·北京·期中）如果
在区间
上不单调，那么实数a 的取值范围
为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】易知
，依题意可得
在
上有解，
即方程
在
上有解，显然当
时，
，
因此实数a 的取值范围为
.
【跟踪训练1】（25-26 高三下·海南·月考）已知函数
在
上单调递增，则
的取值
范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】因为函数
，则
，
因为
在
上单调递增，故
在
上恒成立，
即
在
上恒成立，即
，
又
，当且仅当
，即
时等号成立，
所以函数
在
上的最大值为
，所以
，
所以
的取值范围为
．
【跟踪训练2】（2026 高二下·福建福州·专题练习）若函数
存在单调递减区间，则
实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】函数
的定义域为
，
导函数
，
假设函数
不存在单调递减区间，则
在
恒成立，
即
在
恒成立，即
，
令
，因为
，所以
，
则函数
在
时取得最小值，最小值为
，
所以
，所以
，
根据题意，函数
存在单调递减区间，
所以
.
易混易错
30
判
断函数零点个数时画图
致错
利用导数研究函数的图象变化时一定要区分图象趋向无穷时，是趋近无穷还是趋近于一个常数.
【典例1】（24-25 高三上·辽宁沈阳·阶段练习）已知
，若
有两个零点，则
实数m 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】若
有两个零点，则
有两个解，
等价于
有两个解，因为
，x>0，所以
，
令
，原式等价于
有两个解，
因为
，则当
时
，所以
在
上单调递增，
所以
有两个大于零的解
. （易错点）
注意定义域：x 不能为负
解
，可得
，令
，
则
，当
时，
，当
时，
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，且
，
的图象如图：（易错点）
当x 趋近于正无穷大时，
趋近于0，而不是趋近于负无穷大
所以当
时，
有两个交点，即
有两个零点.
故选：A
【典例2】（2026·江西新余·一模）已知
在
上有两个不同零点，则
的取值
范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由
可得
，
故等式可变形为
，
等式两边同时乘以
可得
，
若
，对任意的
，
，则
，故
，
所以
，但
，等式不成立，不符合题意，所以
，
构造函数
，其中
，则
，
所以函数
在
上为增函数，
由
可得
，
所以
，参变分离得
，
构造函数
，其中
，则
，
当
时，
，即函数
在
上单调递增，
当
时，
，即函数
在
上单调递减，
所以函数
的极大值为
，
又因为
，
，且
，如下图所示：
由图可知，当
时，直线
与函数
在
上的图象有两个交点，
因此实数
的取值范围是
.
故选：D.
【跟踪训练1】（2026·安徽合肥·一模）已知函数
有且仅有三个零点，则
的取值
范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】因为
有且仅有三个零点，则方程
有且仅有三个根，
令
，则
，
由
得
；
得
；
则
在
单调递增，在
上单调递减，则
，
因为
时
；
时
，且
时
，
所以
的函数图象如图：
因为
不是
的根，
所以
有两个根，其中一个根位于
，另一根位于
或另一根是
，
但方程
的两根的乘积为
，
所以
一个根位于
，另一根位于
，
则
，得
，
故
的取值范围是
.
故选：C
【跟踪训练2】（2026·安徽安庆·一模）已知
，若函数
恰有1 个零点，则
（ ）
A．e
B．
C．1
D．3
【答案】B
【解析】由
，可得
恒为
的一个零点，
令
，则
恰有1 个零点，
等价于
的唯一零点是
，或
无零点.
因为
，且
，
所以
恒成立，
在
上单调递增.
又
时
，
时
，因此
必然存在唯一零点.
当
的零点是
时，可得
即
，解得
，
.
易混易错
31
诱导公式认识不深导致变形
致错
辨析：正确应用诱导公式的前提条件有两个：一是弄清什么时候需要应用诱导公式，这时要学会观察所给
角与特殊角或条件角与待求角之间的关系，看看它们的和或差是否为
的整数倍；二是要记牢诱导公式，
做到这一点就需要平时多加练习，将公式牢记在心.
【典例1】（25-26 高三上·山东菏泽·期末）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
（易错点），
利用诱导公式求值时特别要注意所求值的符号
又
，
所以
.
故选：A.
【典例2】（2025·北京·高考真题）已知
，且
，
.
写出满足条件的一组
的值
，
．
【答案】
（答案不唯一），
（答案不唯一）
【解析】因为
，
，
所以
的终边关于
轴对称，且不与
轴重合，
故
且
，
即
，
故取
可满足题设要求.
【跟踪训练1】（2026·陕西商洛·二模）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因为
，可得
．又
，
所以
，所以
．
所以
．
【跟踪训练2】（25-26 高一上·四川成都·期末）已知
，且
，则
的
值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因为
，所以
，
而
，故
，
所以
，
而
，
所以
.
易混易错
32
三角求值不能深挖角的范围
致错
辨析：应用三角变换公式求值求角时，要特别注意根据角的范围判断符号，而求角的范围除去利用给出的
范围，有时还需要根据三角函数值的符号深挖隐含范围.
【典例1】（24-25 高三上·江苏常州·期中）已知
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由
，则
，
，
，
由
，易知
，解得
，
由
，
，且
，则
，
可得
，
所以
，
当
时，
，
，
此时
，则
，
由
，
，
则
，易知
，解得
，此时
（易错点）
注意缩小角的范围
；
当
时，
，
，
此时
，则
（易错点），
由
缩小角的范围
由
，
，
则
，易知
，解得
，
；
故选：B.
【典例2 】（25-26 高三上· 山东菏泽· 期末）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为
，
所
以
，
且
，
即
，
所以
，且
，
则
.
故选：D.
【跟踪训练1】（25-26 高一上·安徽合肥·期末）已知
、
，且
，
，则
的值是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因为
，
，
所以
，
又因为
、
，所以
，
，
则
，
，所以
，
因为
，
所以
，故
.
故选：B.
【跟踪训练2】（24-25 高一下·江苏南京·月考）若
，且
，
，
则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】因为
，所以
，又
，
所以
，则
，
因为
，
，所以
，
又
，所以
，
所以
，
因为
，
，所以
，
所以
，
所以
.
故选：C
易混易错
33
判断三角函数的单调性忽略系数
的符号
致错
辨析：求三角函数的单调区间时首先要对三角函数解析式进行变形，化为y＝sin(ωx＋φ)、y＝cos(ωx＋
φ)、y＝tan (ωx＋φ)的形式，然后求出定义域，结合复合函数单调性的判断方法求解，如对于函数
y=A sin(ωx+ϕ)来说，当
时，由于内层函数
是单调递增的，所以函数
y=A sin(ωx+ϕ)的单调性与函数y=sin x 的单调性相同，故可完全按照函数y=sin x 的单调性来解决；
但当
时，内层函数
是单调递减的，所以函数y=A sin(ωx+ϕ)的单调性与函数
y=sin x 的单调性正好相反，就不能按照函数y=sin x 的单调性来解决.一般来说，应根据诱导公式将
的系数化为正数加以解决，对于带有绝对值的三角函数宜根据图象从直观上加以解决.
【典例1】（2026 高三·全国·专题练习）函数
的单调递减区间是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因为
(易错点)，
注意利用诱导公式先将x 的系数化为正，再将函数与y=-sinx 类比确定单调区间
令
，
，
解得
，
，
所以函数的单调递减区间为
．
故选：B
【典例2】（25-26 高三上·河南驻马店·阶段练习）函数
的单调递增区间是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由题意得
，
要求
的递增区间即求
的递减区间，
当
，
，即
，
时，
单调递减，即
单调递增，故B 正确.
故选：B.
【跟踪训练1】（2004·天津·高考真题）函数
，
的增区间是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由题意，得
.
令
，解得
.
所以函数
的单调增区间为
.
因为
，所以令
，则得函数
，
的单调增区间为
.
故选：C.
【跟踪训练2】（2025·全国二卷·高考真题）已知函数
．
(1)求
;
(2)设函数
，求
的值域和单调区间．
【解析】（1）由题意
，所以
；
（2）由（1）可知
，
所以
，
所以函数
的值域为
，
令
，解得
，
令
，解得
，
所以函数
的单调递减区间为
，
函数
的单调递增区间为
.
易混易错
34
混淆函数图象变换的规律而致错
辨析：在进行图象变换时要注意两点：（1）化简解析式：即将函数解析式化为y=Asin(ωx+φ)（或
y=Acos(ωx+φ)）形式；（2）统一名称：即分析变换前后的三角函数是否同名，不同名时用诱导公式化为
同名形式；（3）变换：提倡先平移后伸缩（先相位后周期），但先伸缩后平移（先周期后相位）在题目
中也经常出现，所以必须熟练掌握，无论哪种变化，切记每一个变换总是对变量而言的，即图象变换要
看“变量”发生多大变化，而不是“角
”变化多少．
【典例1】（25-26 高三上·河南南阳·期末）想要得到函数
的图象，只需将函数
的图象（ ）
A．各点横坐标变为原来的2 倍，再把图象向右平移
个单位
B．各点横坐标变为原来的2 倍，再把图象向左平移
个单位
C．各点横坐标变为原来的
倍，再把图象向右平移
个单位
D．各点横坐标变为原来的
倍，再把图象向右平移
个单位
【答案】C
【解析】
（易错点），
利用诱导公式转化时特别要注意符号
将函数
的图象各点横坐标变为原来的
倍，再把图象向右平移
个单位，即可
得出函数
的图象(易错点)，
注意：左右平移是针对x 而言的
故选：C．
【典例2】（25-26 高三上·山西临汾·期末）为了得到函数
的图象，只需将函数
的
图象（ ）
A．向左平移
个单位
B．向右平移
个单位
C．向左平移
个单位
D．向右平移
个单位
【答案】D
【解析】因为函数
，又函数
，
所以只需将函数
的图象向右平移
个单位即可得到函数
的图象.
故选：D
【跟踪训练1】（2026·山西晋中·模拟预测）已知函数
的一个零点是
，为了得到函
数
的图象，只需将
的图象（ ）
A．向左平移
个单位长度
B．向左平移
个单位长度
C．向右平移
个单位长度
D．向右平移
个单位长度
【答案】A
【解析】已知
是
的零点，因此
，
代入得：
，即
，解得
，
所以
又
所以将
向左平移
个单位长度得到函数
的图象.
【跟踪训练2】（25-26 高三下·天津河西·开学考试）已知函数
，则下
列结论正确的是（ ）
A．
的最小正周期为
，且图象关于直线
对称
B．
的图象关于点
中心对称，且在区间
上单调递增
C．将
的图象向左平移
个单位长度后，所得函数图象关于直线
对称
D．函数
在区间
上有且仅有
个零点，且这两个零点之和为
【答案】D
【解析】因为
，
对于A 选项，函数
的最小正周期为
，
因为
，
故函数
的图象不关于直线
对称，A 错；
对于B 选项，因为
，
所以函数
的图象不关于点
中心对称，
当
时，
，故函数
在区间
上不单调，B 错；
对于C 选项，将
的图象向左平移
个单位长度后，
得到函数
的图象，
因为
，故函数
的图象不关于直线
对称，
C 错；
对于D 选项，由
可得
，
当
时，
，所以
或
，解得
或
，
所以函数
在区间
上有且仅有
个零点，且这两个零点之和为
，D 对.
易混易错
35
参数问题不能准确判断临界点
致错
辨析：这类问题的基本解题思路是：先将函数的解析式化简为
的形式；根据题设给出
限制条件（如单调性、对称轴的个数、零点个数或最值个数等）判断周期满足的条件，求出
的大致范围；
在求出
的取值范围，分析左（或右）端点的大致位置，再确定另一个端点位置；找出临界点，列出
不等式求解.
【典例1】（25-26 高三上·广东·阶段练习）将函数
的图象向右平移
个单位长度，
再将所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的
，纵坐标不变，得到函数
的图象.若
在
上
单调递增，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由题可得
，
因为
，所以当
时，
，且
因为
在
单调递增，所以
（易错点），
实质是
又
，解得
.
故选：B
【典例2】（2025·北京·高考真题）设函数
，若
恒成立，且
在
上存在零点，则
的最小值为（ ）
A．8
B．6
C．4
D．3
【答案】C
【解析】函数
，
设函数
的最小正周期为T，由
可得
，
所以
，即
；
又函数
在
上存在零点，且当
时，
，
所以
，即
；
综上，
的最小值为4.
故选：C.
【跟踪训练1】（2026·福建龙岩·一模）已知函数
的图象关于直线
对称，
且在区间
上单调递减，则
的值为（ ）
A．
B．1
C．
D．4
【答案】B
【解析】因为函数
的图象关于直线
对称，
所以
，
解得
，
又因为函数在区间
上单调递减，
所以函数在
处取得最大值，
所以
,
所以
,
解得
，
解得
.
又因为
.
故选：B.
【跟踪训练2】（25-26 高三下·浙江·开学考试）已知函数
在区间
上单调
递增，则
取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
因为
在区间
上单调递增，所以
解得
由于区间
包含原点附近的正负区间，仅当
时的递增区间
可以覆盖该区间，因此
，解得
又
，所以
易混易错
36
解三角形时错判解的个数
致错
辨析：两边和其中一边的对角，求其它的边和角时，由于正弦函数在在区间
内不单调，此时三角形
解的情况可能是无解、一解、两解，此时可通过大边对大角进行分析，也通过几何法来判断三角形解的个
数.
【典例1】（25-26 高三上·河南洛阳·期末）在
中，已知
，
，
，则
（ ）
A．
或
B．
C．
D．
或
【答案】C
【解析】因为在
中，
，
，
，
由正弦定理
，得
，
解得
或
（易错点），
此处需对这两解进行检验，剔除不合题意的解
又因为
可得
，所以
不符合题意，舍去．
可得
，故A，B，D 错误．
故选：C.
【典例2】（25-26 高三上·海南·月考）在
中，
,
，则“
”是“
有两
解”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】若
有两解，则
，
即
，所以
，
所以
有两解可以推出
.
所以“
”是“
有两解”的必要不充分条件.
故选：B
【跟踪训练1】（2025·陕西咸阳·一模）在
中，角A，B，C 的对边分别是a，b，c，下列说法正确的
是（ ）．
A．若
，
，
，则
有两解
B．若
，则
C．若
，则
为锐角三角形
D．若
，则
为等腰三角形
【答案】AC
【解析】对于A，由正弦定理得
，则
，
所以
，又
，则
，
所以
有两解，则
有两解，故A 正确；
对于B，在
中，
，由正弦定理得，
，故B 错误；
对于C，由
，可得
，且
，
均为锐角，
所以
，
则
，所以
也为锐角，
则
为锐角三角形，故C 正确；
对于D，由
，由正弦定理得，
，
则
，所以
或
，
则
或
，所以
为等腰三角形或直角三角形，故D 错误.
故选：AC
【跟踪训练2】(多选) (25-26 高三上·河南安阳·期末）下列说法错误的有（ ）
A．命题
的否定是
B．若
，则
，
的夹角为锐角
C．若方程
有两个不等的正实数根，则
D．在
中，若角
，则
有两解
【答案】BD
【解析】对于A，命题
的否定是
，故A 正确；
对于B，若
，可得
，
的夹角为锐角或
，B 错误；
对于C，若方程
有两个不等的正实数根，
则
，解得
，故C 正确；
对于D，由正弦定理，
，不符合题意，
此时三角形无解，故D 错误.
故选：BD .
易混易错
37
忽略边角互化条件
致错
辨析：若等式中每一项的边或者三角的正弦
的个数相同，可以考虑直接改成对应
角的正弦或者对应角的边，否则就得利用
进行等量代换.
【典例1】（2026·湖北·模拟预测）记
内角
的对边分别为
，已知
.
(1)求
；
(2)若
为锐角三角形，且外接圆直径为
，求
的取值范围.
【解析】（1）易得
，
由正弦定理得
（易错点），
易错之处是不知该选择正弦定理还是余弦定理进行转化
而
，
故
，
易知
，
故
，
即
，
又因为
，
所以
，
所以
，
解得
；
（2）因外接圆直径为
，
则由正弦定理可知
，
故
，
，
因为
是锐角三角形，
所以
，
得
，
，
则
，
所以
，
由对勾函数的性质可知，
在
上单调递减，
故
的取值范围为
.
【典例2】（2025·天津·高考真题）在
中，角
的对边分别为
．已知
，
，
．
(1)求A 的值；
(2)求c 的值；
(3)求
的值．
【解析】（1）已知
，由正弦定理
，
得
，显然
，
得
，由
，
故
；
（2）由（1）知
，且
，
，
由余弦定理
，
则
，
解得
（
舍去），
故
；
（3）由正弦定理
，且
，
得
，且
，则
为锐角，
故
，故
，
且
；
故
.
【跟踪训练1】（2025·上海·高考真题）在
中，角A、B、C 所对的边分别为a、b、c，且
．
(1)若
，求a；
(2)若
，求
的面积的最大值．
【解析】（1）由正弦定理可得
即
，
又
，所以
，即
，解得
，
所以
.
（2）因为
，且
，
，
所以
，当且仅当
时等号成立，
当
取最小值时，
取最大值，最大值
，
所以
的面积的最大值为
.
【跟踪训练2】（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）记
的内角A、B、C 的对边分别为a，b，c，已知
，
(1)求B；
(2)若
的面积为
，求c．
【解析】（1）由余弦定理有
，对比已知
，
可得
，
因为
，所以
，
从而
，
又因为
，即
，
注意到
，
所以
.
（2）由（1）可得
，
，
，从而
，
，
而
，
由正弦定理有
，
从而
，
由三角形面积公式可知，
的面积可表示为
，
由已知
的面积为
，可得
，
所以
.
易混易错
38
忽略三角形中的隐含条件致错
辨析：处理三角形中的三角函数问题时一定深挖三角形中的隐含条件，如三角形是锐角三角形时，则三角
形的三个内角都是锐角，而三角形是钝角三角形时，只需要三角形最大的内角是钝角.
【典例】（24-25 高三上·河北·期中）已知
是锐角三角形，角
、
、
所对的边分别为
、
、，
为
的面积，
，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因为
，由三角形的面积公式和余弦定理可得
，
整理可得
，
因为
，则
，可得
，所以，
，
因为
为锐角三角形，则
，即
（易错点），
注意锐角三角形的每个角都必须是锐角
解得
，
所以，
，则
，
所以，
.
故选：B.
【跟踪训练1】（2026 高三上·四川眉山·专题练习）已知
的面积记为.
内角
，
，
的对
边分别为
，
，，
.
(1)若
，
，求
；
(2)若
为锐角三角形，
，求
的取值范围.
【解析】（1）由
，得
，
因为
为三角形边长，所以
，所以
，
若
，则
，代入得
，矛盾，
所以
，方程两边同除以
得
，又
，所以
.
根据余弦定理
，
得
.即
，整理得
.
解得
或
（舍去）.所以
.
（2）由
，得
，
，
因为
，则
，
，
所以
，
，
因为
为锐角三角形，所以
则
，
所以
，即
取值范围为
.
【跟踪训练2】（25-26 高三上·湖南衡阳·期末）已知锐角三角形
中，角
、
、
的对边分别为
、
、，且满足
，
.
(1)求证：
；
(2)求
的取值范围；
(3)若
，求三角形
面积的取值范围．
【解析】（1）由
及正弦定理可得
，即
，
因为
，则
，所以
，即
，
由余弦定理可得
，所以
，
所以
，由正弦定理可得
，
因为
为锐角三角形，故
，
，所以
，
又函数
在
上单调递增，且
，故
，即
.
（2）
，
因为
为锐角三角形，故
，解得
，
又因为
，可得
，故角
的取值范围是
，
所以
，故
，
令
，
，
任取
、
且
，
则
，
因为
，所以
，则
，所以
，
所以函数
在
上为增函数，故
，
故
的取值范围是
.
（3）由正弦定理可得
，所以
，
，
所以
，
因为
，所以
，
令
，函数
、
在
上均为减函数，
故函数
在
上为减函数，所以
，即
，
因此
，即
面积的取值范围是
.
易混易错
39
对平面向量的基本概念理解不到位掉入陷阱
辨析：(1)注意0 与0 的区别，0 是一个实数，0 是一个向量，且|0|＝0；(2)单位向量有无数个，它们的模相
等，但方向不一定相同；(3)零向量和单位向量是两个特殊的向量，它们的模是确定的，但是方向不确定，
因此在解题时要注意它们的特殊性；(4)任一组平行向量都可以平移到同一直线上；（5）向量平行与向量
共线是完全相同的一个概念，指两个向量的方向相同或相反，亦即向量所在的直线可以平行，也可以重合；
但直线平行不包含直线重合的情况．
【典例1】（25-26 高三上·湖南益阳·开学考试）关于向量
下列说法中，正确的是（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．若
，则
D．若
，则
【答案】D
【解析】对于选项A：若
，则
，
的模长相等，但方向不一定相同，故A 错误；
对于选项
B ：当
时，
，
，此时
未必共线，故
B 错误
(易错点)；
注意：平行于同一向量的两个向量不一定平行
对于选项C：向量模长可以比较大小，但向量不能比较大小，故C 错误（易错点）；
向量是既有大小又有方向的量，方向不能比较大小，故向量不能比较大小
对于选项D：若
，则向量
，
互为相反向量，则
，则D 正确；
故选：D.
【典例2】（24-25 高一下·广东汕头·期中）关于平面向量，下列正确的是（ ）
A．若
是单位向量，
零向量，则
B．若向量
与
不共线，则存在一对实数
，使
C．海拔、温度、角度都是向量
D．若
，则四边形ABCD 是菱形
【答案】B
【解析】对于A，因
是单位向量，
零向量，则
，故A 错误；
对于B，因向量
与
不共线，则
与
可作为一组基底，则由平面向量基本定理可得：
存在一对实数x，y，使
，故B 正确；
对于C，向量为既有大小，又有方向的量，则海拔、温度、角度都不是向量，故C 错误；
对于D，因
，则
，则四边形ABCD 是平行四边形，条件不足，无法判
断是否是菱形，故D 错误.
故选：B.
【跟踪训练1】(多选) （2025 高三·全国·专题练习）下列命题中，正确的是（ ）
A．若
与
都是单位向量，则
B．直角坐标平面上的
轴、
轴都是向量
C．若用有向线段表示的向量
与
不相等，则点
与
不重合
D．海拔、温度、角度都不是向量
【答案】CD
【解析】选项A，由于单位向量长度相等，但是方向不确定，故A 错误；
选项B，由于只有方向，没有大小，故
轴，
轴不是向量，故B 错误；
选项C，由于向量起点相同，但长度不相等，所以终点不同，C 正确；
选项D，海拔、温度、角度只有大小，没有方向，故不是向量，D 正确．
故选：CD
【跟踪训练2】（多选）（25-26 高三上·四川成都·期中）关于非零向量
，
，下列命题中，正确的是
（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．若
，
，则
D．若
，则
【答案】BC
【解析】A 选项，向量的模相等，可能方向不相等，所以A 选项错误.
B 选项，两个向量互为相反向量，则这两个向量平行，所以B 选项正确.
C 选项，非零向量
，
，若
，
，则
成立，所以C 选项正确.
D 选项，向量不能比较大小，所以D 选项错误.
故选：BC.
易混易错
40
忽略平面向量夹角的范围与方向性
致错
辨析：（1）两个向量只有起点重合时所对应的角才是向量的夹角；
（2）向量的夹角是指向量方向的夹角；
（3）向量的夹角范围是
，这一点是与直线的夹角范围是不同的，要注意区分.
【典例1】（24-25 高三上·广东·月考）已知向量
，
，则“
”是“
与
的夹角
为钝角”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】由向量
与向量
的夹角为钝角，
得
，且向量
与向量
不共线，
所以
，即
，
由
有
，解得
，(易错点)
忽视向量数量积为负数时，夹角还可能为平角
所以
的取值范围是
．
故“
”是“
与
的夹角为钝角”的充分不必要条件，
故选：A．
【跟踪训练1】（25-26 高三上·北京顺义·期中）设点
，
，
不共线，则“
与
的夹角为锐角”是
“
”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
由题意知
，
，
不共线，所以
，
所以
与
的夹角为锐角，
故“
与
的夹角为锐角”是“
”的充分必要条件；
故选：C.
【跟踪训练2】（多选）25-26 高三上·重庆沙坪坝·期中）已知平面向量
，则下
列说法正确的有（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．若
与
的夹角为锐角，则实数的范围为
D．当
时，
在
上的投影向量的坐标为
【答案】ABD
【解析】对于A：若
，则
，解得
，故A 正确；
对于B：若
，则
，解得
，故B 正确；
对于C：当
与
夹角为锐角时，则
，解得
，
又
时，
，此时向量
夹角为0，
所以当
与
的夹角为锐角时，的取值范围为
且
，故C 错误；
对于D：当
时，
，所以
，
，
所以
在
上的投影向量为
，故D 正确；
故选：ABD．
易混易错
41
忽略向量共线时的两种情况
致错
辨析：处理平面向量的共线问题一般有两个思路：一是从几何的角度，二是从坐标的角度，这类问题的求
解过程有两类特殊情况需要特别注意，一种是向量为零向量的情况；二是要考虑向量方向相同或相反的情
况
【典例1】（24-25 高二上·安徽马鞍山·阶段练习）已知单位向量
与向量
共线，则向量
的坐标是
．
【答案】
或
.
【解析】由题意，单位向量
与向量
共线，
则向量
（易错点），
此处易错之处是只注意到方向相同的单位向量
即向量
的坐标是
或
.
【典例2】（25-26 高三上·广东梅州·期末）已知向量
不共线，且
，
，若与
同向共线，则实数
的值为（ ）
A．1
B．
C．1 或
D．
或
【答案】A
【解析】因为与
同向共线，所以存在
使得
，
即
，
又向量
不共线，所以
，解得
（舍去）或
.
故选：A
【跟踪训练1】（24-25 高三上·湖北随州·期末）下列命题正确的是（ ）
A．零向量是唯一没有方向的向量
B．零向量的长度等于0
C．若
都为非零向量，则使
成立的条件是
与
反向共线
D．若
则
【答案】BCD
【解析】对于A，零向量是有方向的，其方向是任意的，故A 错误；
对于B，由零向量的定义知，零向量的长度为0，故B 正确；
对于C，因为
与
都是单位向量，所以只有当
与
是相反向量，即
与
是反向
共线时，
才成立，故C 正确；
对于D，由向量相等的定义知结论正确，故D 正确.
故选：BCD.
【跟踪训练2】(多选)（25-26 高一上·广东广州·期末）下列命题中，正确的是（ ）
A．若
，则
或
B．若
共线，则
C．若
且
，则
D．若向量
满足
，且
在
上的投影向量为单位向量，则
【答案】BD
【解析】对于A：若
且
，
，则
，所以A 错误；
对于B：若
共线，则
或
，所以
，所以B 正确；
对于C：若
且
，则
，由A 选项的分析可知不一定有
，故C 不正确；
对于D
，且
在
上的投影向量为单位向量，不妨设在菱形
中，
为
的中点，则
，所以
在向量
上的投影向量为
，如图：
即
在
上的投影向量为
，所以
，所以D 正确.
故选：BD
易混易错
42
错用平面向量的运算律
致错
辨析：（1）在实数中：若
，且
，则
，但在向量的数量积中，若
，且
，不
能推出
．
（2）已知实数
，且ab=bc，则a=c，但在向量的数量积中没有
．
（3）在实数中有
，但是在向量
数量积中
，这是因为左边
是与
共线的向量，而右边是与
共线的向量．
【典例1】(24-25 高二上·山东青岛·期中）已知
，下列关系一定正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
∥
【答案】C
【解析】由已知
，所以
，即
（易错点），
要注意上式两边不能同除以
因为向量不能做除法
所以
，故选C.
【典例2】（多选）（24-25 高三·河北石家庄期末）已知
均为非零向量，则下列结论中正确的有（
）
A. 若
，则
B. 若
，则
C. 若
，则
D. 若
，
，且
，则
的最大值与最小值之和为
【答案】CD
【解析】对于A 选项，因为
，当
与
的夹角为
时，也符合要求，所以选项A 不正确；
对于B 选项，若
，
，
，则
，但
，所以选项B 不
正确；
对于C 选项，
，所以选项C 正确；
对于D 选项，不妨设
，
，
，所以
，整理得
，即
在平面对应的点C 的轨迹是以
为圆心，半径为
的圆，
因此
的最大值为
，最小值为
，所以选项D 正确，
故选：CD.
【跟踪训练1】（25-26 高三上·福建福州·期中）已知
、
、是任意的非零向量，则下列结论正确的是
（ ）
A．非零向量
、
，满足
且
与
同向，则
B．
C．若
，则
不与垂直
D．
【答案】BD
【解析】对于A 中，根据向量的概念，向量不能比较大小，所以A 错误；
对于B 中，由向量的数量积的定义，可得
，
因为
，可得
，所以
，所以B 正确；
对于C 中，由
，可得
，所以
，所以C 错误；
对于D 中，由
，
又
，
因为
，所以
，所以D 正确.
故选：BD.
【跟踪训练2】（多选）（2026·全国·模拟预测）有关平面向量的说法，下列错误的是（ ）
A．若
，
，则
B．若
与
共线且模长相等，则
C．若
且
与
方向相同，则
D．
恒成立
【答案】ABC
【解析】对于A 选项，取
，满足
，
，但
、不一定共线，A 错；
对于B 选项，若
与
共线且模长相等，则
或
，B 错；
对于C 选项，任何两个向量不能比大小，C 错；
对于D 选项，
恒成立，D 对.
故选：ABC.
易混易错
43
混淆复数的实部、虚部等基本概念致错
辨析：求一个复数的实部与虚部，只需将已知的复数化为代数形式z＝a＋bi(a，b∈R)，则该复数的实部为
a，虚部为b.
【典例1】（2025·全国一卷·高考真题）
的虚部为（ ）
A．
B．0
C．1
D．6
【答案】C
【解析】因为
，所以其虚部为
1 ，
（易错点），
注意虚部也是实数，不能带着i
故选：C.
【典例2】（25-26 高二上·云南大理·期末）已知复数
（其中为虚数单位），则
的虚部是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】因为
，则
的虚部是
，故选：C.
【跟踪训练1】（2025·云南·模拟预测）复数
的实部为__________.
【答案】8
【解析】
，所以复数
实部为8.
【跟踪训练2】（25-26 高三上·天津河西·月考）复数
（i 是虚数单位），则复数
的虚部为_____.
【答案】
【解析】由
，
则
，故复数
的虚部为
.
易混易错
44
复数的几何意义应用
陷阱
辨析：复数与复平面内的点、平面向量存在一一对应关系，两个复数差的模可以理解为两点之间的距离.
【典例1】（25-26 浙江绍兴统考）设复数
满足
，且
，则
（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
【答案】C
【解析】设
在复平面内对应的向量分别为
.
由题意可知
，
（易错点），
本处易犯错误是：对复数的向量意义理解不透彻，联想不到利用向量进行转化
由于
，则以
为邻边的平行四边形为矩形，
由于矩形的对角线相等，故
.
故选：C.
【典例2】（2026·上海·高考真题）已知
，对于所有满足
的复数
，都有
的最小值与
的最小值相同，则
.
【答案】3
【解析】由
得复数
对应的点的集合为以原点为圆心，2 为半径的圆，
因为
表示点
到圆上一点的距离，且点
到圆心
的距离为1，
则
的最小值为
，
而
表示点
到圆上一点的距离，且点
到圆心
的距离为
，
则
的最小值为
，
又因为
的最小值与
的最小值相同，
所以
，
，解得
.
【跟踪训练1】（25-26 高三上·江苏常州·期末）已知复数
的模长
，则
的
取值范围为___________．
【答案】
【解析】因为复数
的模长
，
由复数模的三角不等式可得
，
当且仅当
时，等号成立；
，
当且仅当
时，等号成立，
因此
的取值范围是
.
【跟踪训练2】（25-26 高二上·上海·月考）已知复数
满足
，若复数
（是虚数单位），记
，则
的最小值是___________．
【答案】
/
【解析】设
，
，
对应的点为
，
取
.
则由
，得
，即
.
由
，得
，即
，
所以复数
对应的点
在以
为圆心，2 为半径的圆上或圆的内部.
所以
.
所以
的最小值是
，当且仅当
四点共线，且
是线段
与圆的交点时，取得最
小值.
易混易错
45
忽略数列与一般函数的区别致错
辨析：在处理数列的求值、分析数列的性质时一定要注意数列的定义域是离散的，不是连续的.
【典例】（25-26 高三上·安徽部分重点中学期中）已知数列
满足
，
，则
的最小
值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因为数列
满足
，
，即
，
当
时，则有
，所以
，
，
，
，
上述等式全部相加得
，
所以
，
也满足
，故对任意的
，
，
所以
，
由对勾函数的单调性可知，函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
又因为
，因为
，
，故
（易错点），
注意数列中的n 为正整数
所以
的最小值为
.故选B.
【跟踪训练1】（25-26 高三上·山东菏泽·期末）已知数列
满足
，若对于任意的
都有
成立，则正整数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由题意数列
为递增数列，
所以
，则
且
，
又
为正整数，由
知，
，
当
时，
，符合
，
同理
均符合，
当
时，
，不符合
，
故正整数
的取值范围是
.
故选：D.
【跟踪训练2】（25-26 高三上·天津南开·期末）设数列
的通项公式为
，若数列
是单
调递减数列，则实数a 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为数列
是单调递减数列，
所以
恒成立，
则
，即
，
又
，则
，所以
，则实数a 的取值范围为
.
故选：D
易混易错
46
由
Sn
求
an
忽略
n=1
的讨论
致错
辨析：利用Sn与an的关系求an，作差后往往会得到一个项或和的递推关系式，这是一定要检验递推关系是
否对所有的正整数都成立，然后再根据递推关系求通项公式.
【典例】（2024 高三·全国·专题练习）已知数列
的前
项和为
，若
，则数列
的
通项公式 .
【答案】
【解析】由
得，
时，
，两式相减得
，
所以当
时，
是公比为3 的等比数列，而
，则
，
由
不满足上式得
.（易错点）
易错之处是：忽视n=1，而得到错解
.
【跟踪训练1】（25-26 高二上·天津红桥·阶段练习）已知数列
的前
项和为
，且
，
则数列的通项公式为
.
【答案】
【解析】当
时，
，而
不满足上式，
所以数列的通项公式为
.
【跟踪训练2】（2025 高三上·江西南昌·专题练习）已知
是数列
的前
项和，
，
，
则
的通项公式为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】因为
，则
，
所以
，
当
时，
，
当
时，满足
，
所以数列
的通项公式为
.
故选：C
易混易错
47
等比数列问题忽略公比
q 的讨论
致错
辨析：注意等比数列的求和公式是分段表示的：
，所以在利用等比数列求和公式求和
时要先判断公比是否可能为1，，若公比未知，则要注意分两种情况q＝1 和q≠1 讨论.
【典例1】（2025 高三·全国·专题练习）已知在等比数列
中，
，前三项之和
，则公比
的
值是（ ）
A．1
B．
C．1 或
D．
或
【答案】C
【解析】当
时，
，符合题意（易错点）；
本处容易忽视q=1 这一种情形
当
时，
，解得
.
综上，
的值是1 或
.
故选：C
【典例2】（24-25 高三上·浙江绍兴·期中）已知等比数列
，首项为
，公比为
，前
项和为
，若
数列
是等比数列，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】设等比数列
的公比为，则
.
若
，则
，由题意可得
，即
，
所以，
，解得
，不合乎题意；
若
，则
，则
，
由题意可得
，即
，
所以，
，可得
.
故选：B.
【跟踪训练1】（2026·辽宁大连·模拟预测）
是正项等比数列，记
为数列
的前
项和，且满足
，则数列
的公比为___________．
【答案】1
【解析】若
，
成立；
因
是正项等比数列，则
，
且
，
由
可得
，
化简得
，分解因式得
，
故
或
，因为
且
，故此情况下无解．
综上所述：
满足题意．
故答案为：1.
【跟踪训练2】（25-26 高二上·重庆·期末）在等比数列
中，
，
，
则
______．
【答案】
或
【解析】设等比数列
的公比为
.
（1）当
时，若
，则
的各项均为正数，
所以
，与已知不符，所以
，
所以
，
所以
，①
而
，②
②
①得
，即
，解得
.
代入
得
.
（2）当
时，若
，则
的各项均为负数，
所以
，与已知不符，所以
，
所以
，
所以
，③
而
，④
④
③得
，即
，解得
.
代入
得
.
故答案为：
或
.
易混易错
48
裂项相消法求和时漏项、添项或忽视系数而致错
辨析：用裂项相消法求和时，裂项后可以产生连续相互抵消的项，但是要注意抵消后并不一定只剩下第一
项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项，一般来说前面剩余几项后面也剩余几项，若前面剩
余的正数项，则后面剩余的是负数项.
【典例】（25-26 高三上·湖南长沙期末） 已知等差数列
满足：
，且
，
，
成等比数列．
(1)求数列
的通项公式；
(2)若等差数列
的公差不为零，且数列
满足：
，求数列
的前99 项和
.
【解析】（1）设等差数列
的公差为d，依题意，
，
，
成等比数列，
所以
，解得：
或
当
时，
；当
时，
，
所以数列
的通项公式为
或
.
（2）因为等差数列
的公差不为零，由（1）知
（
），
则
，
所以
(易错点)
裂项相消时保留的项往往是与首末序号对称的项，如本题中保留了第2 项和倒数第2 项
【跟踪训练1】（25-26 高二下·全国·单元测试）已知在数列
中，
且
，设
，
，则数列
前
项和
________．
【答案】
【解析】
，
，
为常数列，
，
.
由题设
，当
时，有
，
解得
，即
适合上式．
，
，
，
．
即
.
【跟踪训练2】（2026·广东湛江·一模）在数列
中，
，令
，则数列
的前15 项的和为（ ）
A．2
B．3
C．
D．4
【答案】B
【解析】因为
，所以
，即
，
故
为首项是，公差为的等差数列，所以
，
．
，
所以数列
的前
项的和
，
故
，
故选：B．
易混易错
49
错位相减求和错判项数、公比或符号
致错
辨析：利用错位相减法求和时，首先要判断两边需要乘的公比是多少；二是相减后最后一项要变号；三是
利用等比数列求和公式求和时要判断项数，四是要注意对结果化简，另外可以用n=1 代入检验结果是否成
立.
【典例】（25-26 高三上·新疆喀什·月考）记
为数列
的前n 项和，已知
，
是公差为
的等
差数列.
(1)求
的通项公式；
(2)数列
满足
，求数列
的前n 项和
.
【解析】（1）由
得
，又
是公差为
的等差数列，故
，即
；
当
时，
，两式相减得
，
累乘得：
，
所以通项公式为：
.
（2）由
，代入
得：
，用错位相减法求
：
，
，
两式相减得：
(易错点)，
此处相减后容易漏项或者错判项数
整理后得：
.
【跟踪训练1】（25-26 高三下·青海西宁·开学考试）已知数列
是以2 为首项，2 为公比的等比
数列，且
，数列
的前n 项和为
，则
_________．
【答案】
【解析】因为
是以2 为首项，2 为公比的等比数列，所以
，
所以
，即
，又
，
所以
是首项为1，公差为
的等差数列．
得
，所以
，
所以
，
则
，
两个等式作差可得
，
，
故
．则
．
【跟踪训练2】（25-26 高三上·河南新乡·期末）过三棱柱
的棱
的中点M 且与底面ABC 平
行的平面内的一动点O 满足：
对任意
都成立，且
，则数
列
的前n 项和
．
【答案】
【解析】作出示意图如下：
设
直线与底面ABC 的交点为E，
则根据题意可知O 为
的中点，所以
，
又
，
所以
，
又因为A，B，C，E 四点共面，且
，
，
不共面，
所以
，
所以
，所以
，
因为
，所以数列
是以
为首项，
为公比的等比数列，
所以
，所以
，
所以
，
，
两式相减得：
，
所以
．
