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7-2
数
函数的单调性
导
与
1.结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系.
2.能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)．
7-2 导数与函数的单调性...................................................................................................................................... 1
一、主干知识..................................................................................................................................................... 1
考点1：导数和函数的单调性的关系：............................................................................................2
考点2：利用导数求解多项式函数单调性的一般步骤：...........................................................2
【常用结论总结】....................................................................................................................................2
二、分类题型..................................................................................................................................................... 2
题型一 不含参数的函数的单调性......................................................................................................3
题型二 含参数的函数的单调性..........................................................................................................3
题型三 函数单调性的应用....................................................................................................................4
命题点1 比较大小或解不等式.................................................................................................4
命题点2 根据函数的单调性求参数的范围..........................................................................5
三、分层训练：课堂知识巩固.....................................................................................................................6
1
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、
一
主干知识
考点1：
数
函数的单调性的关
：
导
和
系
（1）若f′（x）＞0 在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是增函数，f′（x）＞0 的解集与定义
域的交集的对应区间为增区间；
（2）若f′（x）＜0 在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是减函数，f′（x）＜0 的解集与定义
域的交集的对应区间为减区间．
考点2：
用
数求解
式函数单调性的
：
利
导
多项
一般步骤
（1）确定f（x）的定义域；（2）计算导数f′（x）；（3）求出f′（x）＝0 的根；
（4）用f′（x）＝0 的根将f（x）的定义域分成若干个区间，列表考察这若干个区间内f′（x）的符号，
进而确定f（x）的单调区间：f′（x）＞0，则f（x）在对应区间上是增函数，对应区间为增区间；f′
（x）＜0，则f（x）在对应区间上是减函数，对应区间为减区间．
【
用
常
结论总结】
1．若函数f(x)在(a，b)上单调递增，则x∈(a，b)时，f′(x)≥0 恒成立；若函数f(x)在(a，b)上单调递减，则
x∈(a，b)时，f′(x)≤0 恒成立．
2．若函数f(x)在(a，b)上存在单调递增区间，则x∈(a，b)时，f′(x)>0 有解；若函数f(x)在(a，b)上存在单调
递减区间，则x∈(a，b)时，f′(x)<0 有解．
2
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、分
二
类题型
题型一不含参数的函数的单调性
【例题精析1】
（2023·上海徐汇·上海市南洋模范中学校考模拟预测）函数
的单调增区间为______．
【例题精析2】
（2023·内蒙古赤峰·校联考模拟预测）已知函数
，则
的单调递减区间
为______.
【例题精析3】
（2023·全国·高三专题练习）e 是自然对数的底数，
的零点为
______.
确定不含参的函数的单调性，按照判断函数单调性的步骤即可，但应注意一是不能漏掉求函
数的定义域，二是函数的单调区间不能用并集，要用“逗号”或“和”隔开．
3
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【对点精练1】
函数f(x)＝(x－1)ex－x2的单调递增区间为________，单调递减区间为________．
【对点精练2】
（2023·云南·校联考二模）函数
的单调递增区间为____________．
【对点精练3】
（2023·上海崇明·上海市崇明中学校考模拟预测）函数
的单调增区间为______．
题型二含参数的函数的单调性
【例题精析4】
（2023·全国·高三专题练习）已知
．
(1)若
在
上单调递增，求a 的取值范围，
【例题精析5】
（2023·全国·高三专题练习）已知函数
.
(1)当
时，求函数
的单调区间；
【例题精析6】
（2023·河南·统考模拟预测）已知函数
.
(1)若函数
在定义域内单调递增，求a 的取值范围；
(1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论．
(2)划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为零的点和函数的间断点．
4
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【对点精练4】
设函数
.
(1)当
时，讨论
的单调性；
【对点精练5】
（2022·全国·高三专题练习）已知函数
.
(1)若
在定义域内单调递增，求a 的取值范围；
【对点精练6】
（2023·湖南岳阳·统考三模）已知函数
.
(1)若
在定义域内单调递增，求a 的取值范围；
【对点精练7】
（2022·四川成都·石室中学校考模拟预测）已知函数
．
(1)若函数
在
上单调递增，求
的取值范围；
【对点精练8】
（2022·陕西宝鸡·校考三模）已知函数
.
(1)若
在
上单调递增，求实数
的取值范围；
题型三函数单调性的应用
命题点1 比较大小或解不等式
【例题精析7】
（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考模拟预测）
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【例题精析8】
（2022 秋·天津红桥·高二统考期末）已知函数
，
，对一切
5
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，
恒成立，则实数
的取值范围为________.
【例题精析9】
（2023 春·河北保定·高二河北省唐县第一中学校考阶段练习）关于
的不等式
在
上恒成立，则
的最小值是__________.
【对点精练9】
（2023·全国·高三专题练习）若
，则
的大小关系是
___________.
【对点精练10】
（2023·全国·高三专题练习）已知函数
，若
，则
的取值范围
为_______．
【对点精练11】
（2023·甘肃·模拟预测）若关于
的不等式
对任意的
恒成立，
则整数
的最大值为______.
命题点2 根据函数的单调性求参数的范围
【例题精析10】
（2023·全国·统考高考真题）设
，若函数
在
上单调递增，
则a 的取值范围是______.
【例题精析11】
（2023·全国·高二专题练习）若函数
在区间
上不单调，则实数
的
取值范围为________．
【例题精析12】
（2023 春·广东深圳·高二深圳市高级中学校考期中）设函数
，若函数
6
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在
上是单调减函数，则k 的取值范围是______．
根据函数单调性求参数的一般思路
(1)利用集合间的包含关系处理：y＝f(x)在(a，b)上单调，则区间(a，b)是相应单调区间的子集．
(2)f(x)为增(减)函数的充要条件是对任意的x (a
∈，b)都有f′(x)≥0(f′(x)≤0)，且在(a，b)内的任一
非空子区间上，f′(x)不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则会漏解．
(3)函数在某个区间上存在单调区间可转化为不等式有解问题．
【对点精练12】
（2023·湖北·荆门市龙泉中学校联考模拟预测）若函数
在区间
上单调递
增，则
的取值范围为_________.
【对点精练13】
（2023 春·重庆开州·高二重庆市开州中学校考阶段练习）已知函数
在
上单调递减，则实数
的取值范围为______．
、分
三
层训练：课堂知识巩固
1．（2023•甲卷）已知函数
．记
，
，
，则
A．
B．
C．
D．
7
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2．（2023•新高考Ⅱ）已知函数
在区间
上单调递增，则
的最小值为
A．
B．
C．
D．
3．（2021•乙卷）设
，
，
，则
A．
B．
C．
D．
4．（2020•全国）函数
的单调递增区间是
A．
B．
，
C．
D．
5．（2023•乙卷）设
，若函数
在
上单调递增，则
的取值范围是 ．
6．（2023•北京）设函数
，曲线
在点
，
（1）处的切线方程为
．
（Ⅰ）求
，
的值；
（Ⅱ）设
，求
的单调区间；
（Ⅲ）求
的极值点的个数．
7．（2023•甲卷）已知
，
．
（1）若
，讨论
的单调性；
（2）若
恒成立，求
的取值范围．
8．（2023•甲卷）已知函数
，
．
（1）当
时，讨论
的单调性；
（2）若
，求
的取值范围．
9．（2023•乙卷）已知函数
．
（1）当
时，求曲线
在点
，
处的切线方程；
8
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（2）若函数
在
单调递增，求
的取值范围．
10．（2023•新高考Ⅰ）已知函数
．
（1）讨论
的单调性；
（2）证明：当
时，
．
11．（2022•北京）已知函数
．
（Ⅰ）求曲线
在点
，
处的切线方程；
（Ⅱ）设
，讨论函数
在
，
上的单调性；
（Ⅲ）证明：对任意的，
，有
．
12．（2022•新高考Ⅱ）已知函数
．
（1）当
时，讨论
的单调性；
（2）当
时，
，求
的取值范围；
（3）设
，证明：
．
13．（2022•浙江）设函数
．
（Ⅰ）求
的单调区间；
（Ⅱ）已知
，
，曲线
上不同的三点
，
，
，
，
，
处的切线都经
过点
．证明：
（ⅰ）若
，则
（a）
；
9
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（ⅱ）若
，
，则
．
（注
是自然对数的底数）
14．（2021•甲卷）设函数
，其中
．
（1）讨论
的单调性；
（2）若
的图像与
轴没有公共点，求
的取值范围．
15．（2021•乙卷）已知函数
．
（1）讨论
的单调性；
（2）求曲线
过坐标原点的切线与曲线
的公共点的坐标．
16．（2021•新高考Ⅰ）已知函数
．
（1）讨论
的单调性；
（2）设
，
为两个不相等的正数，且
，证明：
．
17．（2021•甲卷）已知
且
，函数
．
（1）当
时，求
的单调区间；
（2）若曲线
与直线
有且仅有两个交点，求
的取值范围．
18．（2021•全国）已知函数
．
（1）求
的单调区间；
（2）当
时，
，求
的取值范围．
19．（2021•浙江）设
，
为实数，且
，函数
．
10
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（Ⅰ）求函数
的单调区间；
（Ⅱ）若对任意
，函数
有两个不同的零点，求
的取值范围；
（Ⅲ）当
时，证明：对任意
，函数
有两个不同的零点
，
，满足
．
（注
是自然对数的底数）
20．（2021•新高考Ⅱ）已知函数
．
（Ⅰ）讨论
的单调性；
（Ⅱ）从下面两个条件中选一个，证明：
恰有一个零点．
①
，
；
②
，
．
21．（2020•新课标Ⅰ）已知函数
．
（1）当
时，讨论
的单调性；
（2）若
有两个零点，求
的取值范围．
22．（2020•山东）已知函数
．
（1）当
时，求曲线
在点
，
（1）处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；
（2）若
，求
的取值范围．
23．（2020•新课标Ⅲ）已知函数
．
（1）讨论
的单调性；
（2）若
有三个零点，求
的取值范围．
11
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24．（2020•江苏）已知关于
的函数
，
与
，
在区间
上恒有
．
（1）若
，
，
，求
的表达式；
（2）若
，
，
，
，求
的取值范围；
（3 ）若
，
，
，
，
，
，求证：
．
25．（2020•新课标Ⅱ）已知函数
．
（1）若
，求
的取值范围；
（2）设
，讨论函数
的单调性．
26．（2019•新课标Ⅰ）已知函数
，
为
的导数．
（1）证明：
在区间
存在唯一零点；
（2）若
，
时，
，求
的取值范围．
27．（2019•新课标Ⅱ）已知函数
．
（1）讨论
的单调性，并证明
有且仅有两个零点；
（2）设
是
的一个零点，证明曲线
在点
，
处的切线也是曲线
的切线．
28．（2019•天津）设函数
，
为
的导函数．
（Ⅰ）求
的单调区间；
（Ⅱ）当
，
时，证明
；
12
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（Ⅲ）设
为函数
在区间
，
内的零点，其中
，证明：
．
29．（2019•浙江）已知实数
，设函数
，
．
（Ⅰ）当
时，求函数
的单调区间；
（Ⅱ）对任意
，
均有
，求
的取值范围．
注：
为自然对数的底数．
30．（2019•全国）已知函数
．
（1）当
时，求
的单调区间；
（2）若
在区间
，
的最小值为
，求
．
31．（2018•新课标Ⅰ）已知函数
．
（1）讨论
的单调性；
（2）若
存在两个极值点
，
，证明：
．
32．（2018•天津）已知函数
，
，其中
．
（Ⅰ）求函数
的单调区间；
（Ⅱ）若曲线
在点
，
处的切线与曲线
在点
，
处的切线平行，证明：
；
（Ⅲ）证明当
时，存在直线，使是曲线
的切线，也是曲线
的切线．
13
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33．（2018•新课标Ⅱ）已知函数
．
（1）若
，求
的单调区间；
（2）证明：只有一个零点．
14
