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7-2 导数与函数的单调性
1.结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系.
2.能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)．
7-2 导数与函数的单调性..........................................................1
一、主干知识................................................................1
考点1：导数和函数的单调性的关系：.......................................2
考点2：利用导数求解多项式函数单调性的一般步骤：.........................2
【常用结论总结】.........................................................2
二、分类题型................................................................2
题型一 不含参数的函数的单调性............................................3
题型二 含参数的函数的单调性..............................................3
题型三 函数单调性的应用..................................................4
命题点1 比较大小或解不等式..........................................4
命题点2 根据函数的单调性求参数的范围................................5
三、分层训练：课堂知识巩固..................................................6
1
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一、主干知识
考点1：导数和函数的单调性的关系：
（1）若f′（x）＞0 在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是增函数，f′（x）＞0 的解集与定义
域的交集的对应区间为增区间；
（2）若f′（x）＜0 在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是减函数，f′（x）＜0 的解集与定义
域的交集的对应区间为减区间．
考点2：利用导数求解多项式函数单调性的一般步骤：
（1）确定f（x）的定义域；（2）计算导数f′（x）；（3）求出f′（x）＝0 的根；
（4）用f′（x）＝0 的根将f（x）的定义域分成若干个区间，列表考察这若干个区间内f′（x）的符号，
进而确定f（x）的单调区间：f′（x）＞0，则f（x）在对应区间上是增函数，对应区间为增区间；f′
（x）＜0，则f（x）在对应区间上是减函数，对应区间为减区间．
【常用结论总结】
1．若函数f(x)在(a，b)上单调递增，则x∈(a，b)时，f′(x)≥0 恒成立；若函数f(x)在(a，b)上单调递减，则
x∈(a，b)时，f′(x)≤0 恒成立．
2．若函数f(x)在(a，b)上存在单调递增区间，则x∈(a，b)时，f′(x)>0 有解；若函数f(x)在(a，b)上存在单调
递减区间，则x∈(a，b)时，f′(x)<0 有解．
2
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二、分类题型
题型一 不含参数的函数的单调性
【例题精析1】
（2023·上海徐汇·上海市南洋模范中学校考模拟预测）函数
的单调增区间为______．
【解答】因为
，所以
，令
，解得
，
所以
的单调增区间为
.故答案为：
.
【例题精析2】
（2023·内蒙古赤峰·校联考模拟预测）已知函数
，则
的单调递减区间
为______.
【解答】由题得
的定义域为
，由
可得
，令
，
，得
，所以
的单调递减区间为
.故答案为：
3
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【例题精析3】
（2023·全国·高三专题练习）e 是自然对数的底数，
的零点为
______.
【解答】由
得
，
因为
，所以
，
当且仅当
，即
，取等号，
令
，
，
令
解得
；令
解得
，
所以
在
单调递增，在
单调递减，
所以
，所以要使
，只能
，
，
所以
零点为
，故答案为:
.
确定不含参的函数的单调性，按照判断函数单调性的步骤即可，但应注意一是不能漏掉求函
数的定义域，二是函数的单调区间不能用并集，要用“逗号”或“和”隔开．
【对点精练1】
函数f(x)＝(x－1)ex－x2的单调递增区间为________，单调递减区间为________．
【解答】f(x)的定义域为R，f′(x)＝xex－2x＝x(ex－2)，令f′(x)＝0，得x＝0 或x＝ln 2，
当x 变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表，
x
(－∞，0)
0
(0，ln 2)
ln 2
(ln 2，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
单调递增
单调递减
单调递增
∴f(x)的单调递增区间为(－∞，0)，(ln 2，＋∞)，单调递减区间为(0，ln 2)．
【对点精练2】
（2023·云南·校联考二模）函数
的单调递增区间为____________．
4
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【解答】由题得函数定义域为
，
所以
在
上单调递增，又
，所以当
时，
，
故
的单调递增区间为
（或
）．故答案为：
【对点精练3】
（2023·上海崇明·上海市崇明中学校考模拟预测）函数
的单调增区间为______．
【解答】函数
的定义域为
，求导得：
，
由
，即
，解得
，
所以函数
的单调增区间为
.
故答案为：
题型二 含参数的函数的单调性
【例题精析4】
（2023·全国·高三专题练习）已知
．
(1)若
在
上单调递增，求a 的取值范围，
【解答】（1）由
，可得
，
因为
在
上单调递增，则
在
上恒成立，
即
在
上恒成立，
令
，则
在
上恒成立，即
在
上单调
5
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递减，
所以
，
由
在
上恒成立，可得
，
所以实数
的取值范围为
.
【例题精析5】
（2023·全国·高三专题练习）已知函数
.
(1)当
时，求函数
的单调区间；
【解答】（1）
时，
，
，
令
，得
；令
，得
，
∴函数
的单调递增区间为
；单调递减区间为
.
【例题精析6】
（2023·河南·统考模拟预测）已知函数
.
(1)若函数
在定义域内单调递增，求a 的取值范围；
【解答】（1）
，函数定义域为
，
∵
在
上单调递增，∴
在
上恒成立，
，记
，
，解得
，
，解得
，
∴
在
上单调递减，在
上单调递增，
∴
，
6
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∴
，
a 的取值范围为
(1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论．
(2)划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为零的点和函数的间断点．
【对点精练4】
设函数
.
(1)当
时，讨论
的单调性；
【解答】（1）解：因为
，可得
，
设
，则
所以当
时，
，函数
在
上单调递增，
即函数
在
上单调递增，
又由
，所以当
时，
；当
时，
，
所以当
时，
在
上单调递减，在
上单调递增.
【对点精练5】
（2022·全国·高三专题练习）已知函数
.
(1)若
在定义域内单调递增，求a 的取值范围；
【解答】（1）由已知
，
在定义域上单调递增，则
，即
在
上恒成立，
7
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而
，“＝”在
时取得，∴
.
【对点精练6】
（2023·湖南岳阳·统考三模）已知函数
.
(1)若
在定义域内单调递增，求a 的取值范围；
【解答】（1）解：由题意，函数
，可得
，
因为
在定义域内单调递增，因此
恒成立.
当
时，
，不满足题意.
当
时，
，满足题意.
当
时，
即
，得
，
设
，则
，
令
，可得
，所以函数
单调递减，
且
时，
，
因此在
时，
，
单调递增，
在
时，
，
单调递减，
得
，从而
，得
.
综上，实数a 的取值范围为
.
【对点精练7】
（2022·四川成都·石室中学校考模拟预测）已知函数
．
(1)若函数
在
上单调递增，求
的取值范围；
8
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【解答】(1)解：由题意，函数
，可得
，
因为函数
在
递增，所以
恒成立，
即
在
上恒成立，
设
，可得
，
令
，即
，解得
，
当
时，
；当
时，
，
故函数
在
递减，在
递增，
故
时，
取得最小值
，所以故
，
故
的范围是
；
【对点精练8】
（2022·陕西宝鸡·校考三模）已知函数
.
(1)若
在
上单调递增，求实数
的取值范围；
【解答】（1）解：（1）
，
所以
又
在
上单调递增；
在
上恒成立，即
在
上恒成立
在
上恒成立，··
设
则
在
上递减，故
，故实数
的取值范围
.
9
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题型三 函数单调性的应用
命题点1 比较大小或解不等式
【例题精析7】
（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考模拟预测）
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【解答】令
，
，则
，
所以当
时
，即
在
上单调递增，
所以
，即
，即
，即
，
令
，则
，
在
时，
，则
为减函数，
∴
，即
；
令
，
，则
，
故
在
为减函数，∴
，即
；
10
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∴
，令
，则
，即
，∴
，所以
．故选：D．
【例题精析8】
（2022 秋·天津红桥·高二统考期末）已知函数
，
，对一切
，
恒成立，则实数
的取值范围为________.
【解答】因为
，代入解析式可得
分离参数a 可得
令
（
）
则
，令
解得
所以当0＜x＜1，
，所以h（x）在（0，1）上单调递减
当1＜x，
，所以h（x）在（1，+∞）上单调递增，
所以h（x）在x=1 时取得极小值，也即最小值．
所以h（x）≥h（1）=4．
因为对一切x∈（0，+∞），2f（x）≥g（x）恒成立，
所以a≤h（x）min=4．
所以a 的取值范围为
【例题精析9】
（2023 春·河北保定·高二河北省唐县第一中学校考阶段练习）关于
的不等式
在
上恒成立，则
的最小值是__________.
【解答】
，即
，
设
，
恒成立，故
单调递增.
11
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原不等式转化为
，即
，
即
在
上恒成立.
设
，
，
当
时，
，函数单调递增；
当
时，
，函数单调递减；
故
，
即
，解得
.
所以
的最小值是
.
故答案为：
.
【对点精练9】
（2023·全国·高三专题练习）若
，则
的大小关系是
___________.
【解答】设
，则
，
当
时，
，故
，
若
，则
，从而
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，因为函数
，
在
上递减，
，
，得
，
，故
.
故答案为：
【对点精练10】
（2023·全国·高三专题练习）已知函数
，若
，则
的取值范围
为_______．
【解答】
等价于
，令
，则
．
当
时，
,
单调递增；当
时，
,
单调递减．
所以
.
故
转化为
，即
恒成立.
令
，
，则
，则
，因为
恒
成立，所以
.
故
的取值范围为
．故答案为：
.
【对点精练11】
（2023·甘肃·模拟预测）若关于
的不等式
对任意的
恒成立，
则整数
的最大值为______.
【解答】因为
对于任意
恒成立，
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等价于
对于任意
恒成立，
令
，
，则
，
令
，
，则
，
所以
在
上单调递增，又
，
，
所以
在
有且仅有一个根
，满足
，即
，
当
时，
，即
，函数
单调递减，
时，
，即
，函数
单调递增，
所以
，
由对勾函数可知
，即
，
因为
，所以
，
，所以
.
故整数
的最大值为1.
故答案为：1
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命题点2 根据函数的单调性求参数的范围
【例题精析10】
（2023·全国·统考高考真题）设
，若函数
在
上单调递增，
则a 的取值范围是______.
【解答】由函数的解析式可得
在区间
上恒成立，则
，即
在区间
上恒成立，
故
，而
，故
，
故
即
，故
，
结合题意可得实数
的取值范围是
.故答案为：
.
【例题精析11】
（2023·全国·高二专题练习）若函数
在区间
上不单调，则实数
的
取值范围为________．
【解答】由
可知，其定义域为
，
则
，易知当
时，
；当
时，
；
即函数
在
单调递减，在
上单调递增；若函数
在区间
上不单调，
则需满足
，解得
；
所以实数
的取值范围为
.故答案为：
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【例题精析12】
（2023 春·广东深圳·高二深圳市高级中学校考期中）设函数
，若函数
在
上是单调减函数，则k 的取值范围是______．
【解答】解：∵
定义域为
，
，
在
上是单调减函数，∴
恒成立；∴
，
，
∵
，
，
，当且仅当
时取等号.
∴
，∴
，即：k 的取值范围是
．故答案为：
.
根据函数单调性求参数的一般思路
(1)利用集合间的包含关系处理：y＝f(x)在(a，b)上单调，则区间(a，b)是相应单调区间的子集．
(2)f(x)为增(减)函数的充要条件是对任意的x (a
∈，b)都有f′(x)≥0(f′(x)≤0)，且在(a，b)内的任一
非空子区间上，f′(x)不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则会漏解．
(3)函数在某个区间上存在单调区间可转化为不等式有解问题．
【对点精练12】
（2023·湖北·荆门市龙泉中学校联考模拟预测）若函数
在区间
上单调递
增，则
的取值范围为_________.
【解答】
，在区间
恒成立，
所以
，在区间
恒成立，即
在区间
恒成立，
所以
.故答案为：
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【对点精练13】
（2023 春·重庆开州·高二重庆市开州中学校考阶段练习）已知函数
在
上单调递减，则实数
的取值范围为______．
【解答】因为
，则
，
因为
在
上单调递减，所以
在
上恒成立，
即
在
上恒成立，所以，
，即实数
的取值范围为
．
故答案为：
．
三、分层训练：课堂知识巩固
1．（2023•甲卷）已知函数
．记
，
，
，则
A．
B．
C．
D．
【解答】解：令
，则
的开口向下，对称轴为
，
，
而
，
，
，
17
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由一元二次函数的性质可知
，
，
而
，
，
，
综合可得
，又
为增函数，
，即
．
故选：
．
2．（2023•新高考Ⅱ）已知函数
在区间
上单调递增，则
的最小值为
A．
B．
C．
D．
【解答】解：对函数
求导可得，
，
依题意，
在
上恒成立，
即
在
上恒成立，
设
，则
，
易知当
时，
，
则函数
在
上单调递减，
则
．
故选：
．
3．（2021•乙卷）设
，
，
，则
A．
B．
C．
D．
【解答】解：
，
，
18
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，
令
，
，
令
，则
，
，
，
在
上单调递增，
（1）
，
，
，
同理令
，
再令
，则
，
，
，
在
上单调递减，
（1）
，
，
，
．
19
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故选：
．
4．（2020•全国）函数
的单调递增区间是
A．
B．
，
C．
D．
【解答】解：已知函数
，
则函数的定义域为：
，
则
，
令
，
解得
，
即函数
的单调递增区间是
，
故选：
．
二．填空题（共1 小题）
5．（2023•乙卷）设
，若函数
在
上单调递增，则
的取值范围是
，
．
【解答】解：
函数
在
上单调递增，
在
上恒成立，
即
，化简可得
在
上恒成立，
而在
上
，
故有
，由
，化简可得
，
即
，
，
解答
，
20
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故
的取值范围是
，
．
故答案为：
，
．
三．解答题（共28 小题）
6．（2023•北京）设函数
，曲线
在点
，
（1）处的切线方程为
．
（Ⅰ）求
，
的值；
（Ⅱ）设
，求
的单调区间；
（Ⅲ）求
的极值点的个数．
【解答】解：（Ⅰ）因为函数
，
所以
，
因为
在点
，
（1）处的切线方程为
，
所以
，即
，
解得
，
．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
，所以
，
所以
，
所以
，
令
，解得
或
，
所以
与
的关系列表如下：
0
，
，
0
0
0
21
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单调递
增
单调递减
单调递增
单调递减
所以
在区间
和
，
上单调递增，在区间
和
，
上单调递减；
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当
时，
单调递增，
当
时，
，
，
所以存在
，使得
，
又因为
在
上单调递减，在
，
上单调递增，
所以
是
的一个极小值点；
当
时，
单调递减，且
（1）
，
所以存在
，使得
，所以
在
上单调递增，在
，
上单调递减，
所以
是
的一个极大值点；
当
，
时，
单调递增，
又因为
（3）
，所以存在
，
，使得
，
所以
在
，
上单调递减，
，
上单调递增，
所以
是
的一个极小值点，
又因为当
时，
，所以
在
上单调递增，无极值点；
综上，
在定义域
上有3 个极值点．
7．（2023•甲卷）已知
，
．
（1）若
，讨论
的单调性；
22
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（2）若
恒成立，求
的取值范围．
【解答】解：（1）已知
，函数定义域为
，
若
，此时
，
可得
，
因为
，
，
所以当
，即
时，
，
单调递增；
当
，即
时，
，
单调递减；
（2）不妨设
，函数定义域为
，
，
令
，
，
此时
，
不妨令
，
可得
，
所以
单调递增，
此时
（1）
，
①当
时，
，
所以
在
上单调递减，
此时
，
23
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则当
时，
恒成立，符合题意；
②当
时，
当
时，
，
所以
，
又
（1）
，
所以在区间
上存在一点
，使得
，
即存在
，使得
，
当
时，
，
所以当
时，
，
单调递增，
可得当
时，
，不符合题意，
综上，
的取值范围为
，
．
8．（2023•甲卷）已知函数
，
．
（1）当
时，讨论
的单调性；
（2）若
，求
的取值范围．
【解答】解：（1）当
时，
，
，
，
令
，
，
，
24
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，
又
，
，
在
上单调递减；
（2）设
，
，
则
，
，
，
在
上单调递减，
若
，又
，则
，
，
当
时，
，
又
，
，
，
，
，满足题意；
当
时，
，
，
，满足题意；
综合可得：若
，则
，
所以
的取值范围为
，
．
9．（2023•乙卷）已知函数
．
（1）当
时，求曲线
在点
，
处的切线方程；
25
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（2）若函数
在
单调递增，求
的取值范围．
【解答】解：（1）当
时，
则
，
求导可得，
，
当
时，
（1）
，
当
时，
（1）
，
故曲线
在点
，
处的切线方程为：
，即
；
（2）
，
则
，
函数
在
单调递增，
则
，化简整理可得，
，
令
，
求导可得，
，
当
时，
则
，
，
故
，即
在区间
上单调递减，
，不符合题意，
令
，
则
，
26
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当
，即
时，
，
，
故
在区间
上单调递增，即
在区间
上单调递增，
所以
，
在区间
上单调递增，
，符合题意，
当
时，令
，解得
，
当
时，
，
在区间
上单调递减，即
单调递减，
，
当
时，
，
单调递减，
，
当
时，
，不符合题意，
综上所述，
的取值范围为
．
10．（2023•新高考Ⅰ）已知函数
．
（1）讨论
的单调性；
（2）证明：当
时，
．
【解答】解：（1）
，
则
，
①当
时，
恒成立，
在
上单调递减，
27
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②当
时，令
得，
，
当
时，
，
单调递减；当
，
时，
，
单调递增，
综上所述，当
时，
在
上单调递减；当
时，
在
上单调递减，在
，
上单调递增．
证明：（2）由（1）可知，当
时，
，
要证
，只需证
，
只需证
，
设
（a）
，
，
则
（a）
，
令
（a）
得，
，
当
时，
（a）
，
（a）单调递减，当
，
时，
（a）
，
（a）单调递增，
所以
（a）
，
即
（a）
，
所以
得证，
即
得证．
11．（2022•北京）已知函数
．
（Ⅰ）求曲线
在点
，
处的切线方程；
（Ⅱ）设
，讨论函数
在
，
上的单调性；
28
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（Ⅲ）证明：对任意的，
，有
．
【解答】解：（Ⅰ）对函数求导可得：
，
将
代入原函数可得
，将
代入导函数可得：
，
故在
处切线斜率为1，故
，化简得：
；
（Ⅱ）解法一：由（Ⅰ）有：
，
，
令
，令
，
设
，
恒成立，
故
在
，
单调递增，又因为
，
故
在
，
恒成立，故
，
故
在
，
单调递增；
解法二：由（Ⅰ）有：
，
，
设
，
，则
，
由指数函数的性质得
上
上是增函数，且
，
，当
时，
，
单调递增，
且当
时，
，
在
，
单调递增．
29
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（Ⅲ）证明：由（Ⅱ）有
在
，
单调递增，又
，
故
在
，
恒成立，故
在
，
单调递增，
设
，
，
由（Ⅱ）有
在
，
单调递增，又因为
，所以
，
故
单调递增，又因为
，故
，
即：
，又因为函数
，
故
，得证．
12．（2022•新高考Ⅱ）已知函数
．
（1）当
时，讨论
的单调性；
（2）当
时，
，求
的取值范围；
（3）设
，证明：
．
【解答】解：（1）当
时，
，
，
，
当
时，
，
单调递增；当
时，
，
单调递减．
（2）令
，
，
，
在
上恒成立，
30
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又
，
令
，则
，
，
①当
，即
，存在
，使得当
时，
，即
在
上单调递增．
因为
，所以
在
内递增，所以
，这与
矛盾，故舍去；
②当
，即
，
，
若
，则
，
所以
在
，
上单调递减，
，符合题意．
若
，则
，
所以
在
上单调递减，
，符合题意．
综上所述，实数
的取值范围是
．
另解：
的导数为
，
①当
时，
，
所以
在
递增，所以
，与题意矛盾；
②当
时，
，
所以
在
递减，所以
，满足题意；．
③当
时，
．
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设
，
，则
在
递减，所以
，
，所以
在
递减，所以
，满足题意；
④当
时，
，
令
，则
，
，
可得
递减，
，
所以存在
，使得
．当
时，
，
在
递增，此时
，
所以当
时，
，
在
递增，所以
，与题意矛盾．
综上可得，
的取值范围是
，
．
（3）由（2）可知，当
时，
，
令
得，
，
整理得，
，
，
，
，
即
．
另解：运用数学归纳法证明．
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当
时，左边
成立．
假设当
时，不等式成立，即
．
当
时，要证
，
只要证
，
即证
．
可令
，则
，
，则需证明
，
再令
，则需证明
．
构造函数
，
，
，
可得
在
，
上递减，
则
（1）
，所以原不等式成立，
即
时，
成立．
综上可得，
成立．
13．（2022•浙江）设函数
．
（Ⅰ）求
的单调区间；
33
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（Ⅱ）已知
，
，曲线
上不同的三点
，
，
，
，
，
处的切线都经
过点
．证明：
（ⅰ）若
，则
（a）
；
（ⅱ）若
，
，则
．
（注
是自然对数的底数）
【解答】解：（Ⅰ）
函数
，
，
，
由
，得
，
在
，
上单调递增；
由
，得
，
在
上单调递减．
（Ⅱ）
证明：
过
有三条不同的切线，
设切点分别为
，
，
，
，
，
，
，
，2，
，
方程
有3 个不同的根，
该方程整理为
，
设
，
则
，
当
或
时，
；当
时，
，
在
，
上为减函数，在
上为增函数，
有3 个不同的零点，
（e）
且
（a）
，
34
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，且
，
整理得到
且
，
此时，
，且
，
此时，
，
整理得
，且
，
此时，
（a）
，
设
（a）为
上的减函数，
（a）
，
．
当
时，同
讨论，得：
在
，
上为减函数，在
上为增函数，
不妨设
，则
，
有3 个不同的零点，
（a）
，且
（e）
，
，且
，
整理得
，
，
，
，
设
，则方程
即为：
，即为
，
35
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记
，
则
，
，
为
有三个不同的根，
设
，
，
要证：
，
即证
，
即证：
，
而
，且
，
，
，
即证
，
即证
，
即证
，
记
，则
，
在
为增函数，
，
，
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设
，
，
则
，
在
上是增函数，
（1）
，
，
即
，
若
，
，则
．
14．（2021•甲卷）设函数
，其中
．
（1）讨论
的单调性；
（2）若
的图像与
轴没有公共点，求
的取值范围．
【解答】解：（1）
，
，
因为
，
所以
，
所以在
上，
，
单调递减，
在
，
上，
，
单调递增．
综上所述，
在
上单调递减，在
，
上
单调递增．
（2）由（1）可知，
，
因为
的图像与
轴没有公共点，
37
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所以
，
所以
，
所以
的取值范围为
，
．
15．（2021•乙卷）已知函数
．
（1）讨论
的单调性；
（2）求曲线
过坐标原点的切线与曲线
的公共点的坐标．
【解答】解：（1）
，△
，
①当△
，即
时，由于
的图象是开口向上的抛物线，故此时
，则
在
上单调递增；
②当△
，即
时，令
，解得
，
令
，解得
或
，令
，解得
，
在
，
，
单调递增，在
，
单调递减；
综上，当
时，
在
上单调递增；当
时，
在
单调递增，
在
单调递减．
（2）设曲线
过坐标原点的切线为，切点为
，
则切线方程为
，
将原点代入切线方程有，
，解得
，
切线方程为
，
令
，即
，解得
或
，
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曲线
过坐标原点的切线与曲线
的公共点的坐标为
和
．
16．（2021•新高考Ⅰ）已知函数
．
（1）讨论
的单调性；
（2）设
，
为两个不相等的正数，且
，证明：
．
【解答】（1）解：由函数的解析式可得
，
，
，
单调递增，
，
，
单调递减，
则
在
单调递增，在
单调递减．
（2）证明：由
，得
，
即
，
由（1）
在
单调递增，在
单调递减，
所以
（1）
，且
（e）
，
令
，
，
则
，
为
的两根，其中
．
不妨令
，
，则
，
先证
，即证
，即证
，
令
，
则
在
单调递减，
39
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所以
（1）
，
故函数
在
单调递增，
（1）
．
，
，得证．
同理，要证
，
（法一）即证
，
根据（1）中
单调性，
即证
，
令
，
，
则
，令
，
，
，
单调递增，
，
，
，
单调递减，
又
时，
，且
（e）
，
故
，
（1）
（1）
，
恒成立，
得证，
（法二）
，
，
又
，故
，
，
40
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故
，
，
令
，
，
，
在
上，
，
单调递增，
所以
（e）
，
即
，所以
，得证，
则
．
17．（2021•甲卷）已知
且
，函数
．
（1）当
时，求
的单调区间；
（2）若曲线
与直线
有且仅有两个交点，求
的取值范围．
【解答】解：（1）
时，
，
，
当
时，
，当
，
时，
，
故
在
上单调递增，在
，
上单调递减．
（2）由题知
在
有两个不等实根，
，
令
，
，
在
上单调递增，在
上单调递减，
又当
时，
，
（1）
，
（e）
，当
时，
，
作出
的图象，如图所示：
41
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由图象可得
，解得
且
，
即
的取值范围是
，
，
．
18．（2021•全国）已知函数
．
（1）求
的单调区间；
（2）当
时，
，求
的取值范围．
【解答】解：（1）已知函数
，
则
，
，
令
，解得：
或
，
令
，解得：
，
即
的单调增区间为
，
，单调减区间为
；
（2）由（1）可得：函数
在
单调递增，在
单调递减，
则当
时，
（2）
，
又当
时，
，
42
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即
，
即
，
即
的取值范围为：
．
19．（2021•浙江）设
，
为实数，且
，函数
．
（Ⅰ）求函数
的单调区间；
（Ⅱ）若对任意
，函数
有两个不同的零点，求
的取值范围；
（Ⅲ）当
时，证明：对任意
，函数
有两个不同的零点
，
，满足
．
（注
是自然对数的底数）
【解答】解：（Ⅰ）
，
①当
时，由于
，则
，故
，此时
在
上单调递增；
②当
时，令
，解得
，令
，解得
，
此时
在
单调递减，在
单调递增；
综上，当
时，
的单调递增区间为
；当
时，
的单调递减区间为
，单
调递增区间为
；
（Ⅱ）注意到
时，
，当
时，
，
由（Ⅰ）知，要使函数
有两个不同的零点，只需
即可，
43
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对任意
均成立，
令
，则
，即
，即
，即
，
对任意
均成立，
记
，则
，
令
（b）
，得
，
①当
，即
时，易知
（b）在
，
单调递增，在
单调递减，
此时
（b）
，不合题意；
②当
，即
时，易知
（b）在
，
单调递减，
此时
，
故只需
，即
，则
，即
；
综上，实数
的取值范围为
，
；
（Ⅲ）证明：当
时，
，
，令
，解得
，
易知
，
有两个零点，不妨设为
，
，且
，
由
，可得
，
要证
，只需证
，只需证
，
而
，则
，
44
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要证
，只需证
，只需证
，
而
，
，即得证．
20．（2021•新高考Ⅱ）已知函数
．
（Ⅰ）讨论
的单调性；
（Ⅱ）从下面两个条件中选一个，证明：
恰有一个零点．
①
，
；
②
，
．
【解答】解：（Ⅰ）
，
，
①当
时，当
时，
，当
时，
，
在
上单调递减，在
上单调递增，
②当
时，令
，可得
或
，
当
时，
当
或
时，
，当
时，
，
在
，
，
上单调递增，在
，
上单调递减，
时，
且等号不恒成立，
在
上单调递增，
当
时，
45
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当
或
时，
，当
时，
，
在
，
，
上单调递增，在
，
上单调递减．
综上所述：
当
时，
在
上单调递减；在
上 单调递增；
当
时，
在
，
和
上单调递增；在
，
上单调递减；
当
时，
在
上单调递增；
当
时，
在
和
，
上单调递增；在
，
上单调递减．
（Ⅱ）证明：若选①，由 （Ⅰ）知，
在
上单调递增，
，
单调递减，
，
上
单调递增．
注意到
．
在
上有一个零点；
，
由
得
，
，
，当
时，
，此时
无零点．
综上：
在
上仅有一个零点．
另解：当
，
时，有
，
，
而
，于是
，
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所以
在
没有零点，当
时，
，
于是
，所以
在
，
上存在一个零点，命题得证．
若选②，则由（Ⅰ）知：
在
，
上单调递增，
在
，
上单调递减，在
上单调递增．
，
，
，
，
，
当
时，
，此时
无零点．
当
时，
单调递增，注意到
，
取
，
，
，又易证
，
，
在
上有唯一零点，即
在
上有唯一零点．
综上：
在
上有唯一零点．
21．（2020•新课标Ⅰ）已知函数
．
（1）当
时，讨论
的单调性；
（2）若
有两个零点，求
的取值范围．
【解答】解：由题意，
的定义域为
，且
．
（1）当
时，
，令
，解得
．
当
时，
，
单调递减，
47
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当
时，
，
单调递增．
在
上单调递减，在
上单调递增；
（2）当
时，
恒成立，
在
上单调递增，不合题意；
当
时，令
，解得
，
当
时，
，
单调递减，
当
时，
，
单调递增．
的极小值也是最小值为
．
又当
时，
，当
时，
．
要使
有两个零点，只要
即可，
则
，可得
．
综上，若
有两个零点，则
的取值范围是
，
．
22．（2020•山东）已知函数
．
（1）当
时，求曲线
在点
，
（1）处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；
（2）若
，求
的取值范围．
【解答】解：（1）当
时，
，
，
（1）
，
（1）
，
48
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曲线
在点
，
（1）处的切线方程为
，
当
时，
，当
时，
，
曲线
在点
，
（1）处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积
．
（2）方法一：由
，可得
，即
，
即
，
令
，
则
，
在
上单调递增，
，
即
，
令
，
，
当
时，
，函数
单调递增，
当
时，
，函数
单调递减，
（1）
，
，
，
故
的范围为
，
．
方法二：由
可得
，
，
，
49
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即
，
设
，
恒成立，
在
单调递增，
，
，
即
，
再设
，
，
当
时，
，函数
单调递减，
当
时，
，函数
单调递增，
（1）
，
，
即
，则
，
此时只需要证
，
即证
，
当
时，
恒成立，
当
时，
，此时
不成立，
50
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综上所述
的取值范围为
，
．
方法三：由题意可得
，
，
，
易知
在
上为增函数，
①当
时，
（1）
，
，
存在
使得
，
当
时，
，函数
单调递减，
（1）
，不满足题意，
②当
时，
，
，
，
令
，
，
易知
在
上为增函数，
（1）
，
当
时，
，函数
单调递减，
当
时，
，函数
单调递增，
（1）
，
即
，
51
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综上所述
的取值范围为
，
．
方法四：
，
，
，
，易知
在
上为增函数，
在
上为增函数，
在0，
上为减函数，
与
在0，
上有交点，
存在
，使得
，
则
，则
，即
，
当
时，
，函数
单调递减，
当
，
时，
，函数
单调递增，
设
，
易知函数
在
上单调递减，且
（1）
，
当
，
时，
，
，
时，
，
设
，
，
，
52
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恒成立，
在
，
上单调递减，
（1）
，
当
时，
，
，
．
方法五：
等价于
，该不等式恒成立．
当
时，有
，其中
．
设
（a）
，则
（a）
，
则
（a）单调递增，且
（1）
．
所以若
成立，则必有
．
下面证明当
时，
成立．
设
，
，
在
单调递减，在
单调递增，
，
，
即
，
把
换成
得到
，
，
．
，当
时等号成立．
53
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综上，
．
23．（2020•新课标Ⅲ）已知函数
．
（1）讨论
的单调性；
（2）若
有三个零点，求
的取值范围．
【解答】解：（1）
．
，
时，
，
在
递增，
时，令
，解得：
或
，
令
，解得：
，
在
递增，在
，
递减，在
，
递增，
综上，
时，
在
递增，
时，
在
递增，在
，
递减，在
，
递增；
（2）由（1）得：
，
，
，
若
有三个零点，
只需
，解得：
，
故
．
54
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24．（2020•江苏）已知关于
的函数
，
与
，
在区间
上恒有
．
（1）若
，
，
，求
的表达式；
（2）若
，
，
，
，求
的取值范围；
（3 ）若
，
，
，
，
，
，求证：
．
【解答】解：（1）由
得
，
又
，
，所以
，
所以，函数
的图象为过原点，斜率为2 的直线，所以
，
经检验：
，符合任意，
（2）
，
设
，设
，
在
上，
，
单调递增，
在
上，
，
单调递减，
所以
（1）
，
所以当
时，
，
令
所以
，得，
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当
时，即
时，
在
上单调递增，
所以
，
，
所以
，
当
时，即
时，
△
，即
，
解得
，
综上，
，
．
（3）①当
时，由
，得
，
整理得
，
令△
，
则△
，
记
，
则
，恒成立，
所以
在
，
上是减函数，则
（1），即
，
所以不等式
有解，设解为
，
因此
．
②当
时，
，
设
，
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则
，
令
，得
，
当
时，
，
是减函数，
当
，
时，
，
是增函数，
，
（1）
，
则当
时，
，
则
，因此
，
因为
，
，
，所以
，
③当
时，因为
，
为偶函数，因此
也成立，
综上所述，
．
25．（2020•新课标Ⅱ）已知函数
．
（1）若
，求
的取值范围；
（2）设
，讨论函数
的单调性．
【解答】解：（1）
等价于
．
设
，
．
当
时，
，
单调递增，
当
时，
，
单调递减，
在
时取得极大值也就是最大值为
（1）
，
，即
．
57
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则
的取值范围为
，
；
（2）
，
，
．
．
令
，
则
，
令
，解得
，令
，解得
，
在
上单调递增，在
上单调递减．
（a）
，即
，
在
和
上单调递减．
26．（2019•新课标Ⅰ）已知函数
，
为
的导数．
（1）证明：
在区间
存在唯一零点；
（2）若
，
时，
，求
的取值范围．
【解答】解：（1）证明：
，
，
令
，则
，
当
时，
，当
时，
，
当
时，极大值为
，
又
，
，
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在
上有唯一零点，
即
在
上有唯一零点；
（2）由题设知
，
，可得
．
由（1）知，
在
上有唯一零点
，
使得
，且
在
为正，在
，
为负，
在
，
递增，在
，
递减，
结合
，
，可知
在
，
上非负，
当
，
时，
，
又当
，
，
时，
，
，
的取值范围是
，
．
27．（2019•新课标Ⅱ）已知函数
．
（1）讨论
的单调性，并证明
有且仅有两个零点；
（2）设
是
的一个零点，证明曲线
在点
，
处的切线也是曲线
的切线．
【解答】解析：（1）法一：函数
．定义域为：
，
，
；
，
且
，
在
和
上单调递增，
①在
区间取值有
，
代入函数，由函数零点的定义得，
，
，
，
59
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在
有且仅有一个零点，
②在
区间，区间取值有，
代入函数，由函数零点的定义得，
又
（e）
，
，
（e）
，
在
上有且仅有一个零点，
故
在定义域内有且仅有两个零点；
法二：
的零点的个数，即为函数
与
的交点个数，
作出两函数的图象如图所示．
由两函数图象知有一交点在
，有一交点在
，
故
在定义域内有且仅有两个零点；
（2）
是
的一个零点，则有
，
曲线
，则有
；
由直线的点斜式可得曲线的切线方程，
曲线
在点
，
处的切线方程为：
，
即：
，将
代入，
即有：
，
而曲线
的切线中，在点
，
处的切线方程为：
，
60
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将
代入化简，即：
，
故曲线
在点
，
处的切线也是曲线
的切线．
故得证．
28．（2019•天津）设函数
，
为
的导函数．
（Ⅰ）求
的单调区间；
（Ⅱ）当
，
时，证明
；
（Ⅲ）设
为函数
在区间
，
内的零点，其中
，证明：
．
【解答】（Ⅰ）解：由已知，
，因此，
当
，
时，有
，得
，
单调递减；
当
，
时，有
，得
，
单调递增．
61
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的单调增区间为
，
，单调减区间为
，
；
（Ⅱ）证明：记
，依题意及（Ⅰ），
有
，从而
．
因此，
在区间
，
上单调递减，有
．
当
，
时，
；
（Ⅲ）证明：依题意，
，即
．
记
，则
，且
．
由
及（Ⅰ），得
，
由（Ⅱ）知，当
，
时，
，
在
，
上为减函数，
因此，
，
又由（Ⅱ）知，
，
故
．
．
29．（2019•浙江）已知实数
，设函数
，
．
（Ⅰ）当
时，求函数
的单调区间；
（Ⅱ）对任意
，
均有
，求
的取值范围．
注：
为自然对数的底数．
【解答】解：（1）当
时，
，
，
62
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，
函数
的单调递减区间为
，单调递增区间为
．
（2）由
（1）
，得
，
当
时，
，等价于
，
令
，则
，
设
，
，
则
，
当
，
时，
，
则
，
记
，
，
则
，
列表讨论：
，
1
0
单调递减
极小值
（1）
单调递增
63
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（1）
，
．
当
时，
，
令
，
，
，
则
，
故
在
，
上单调递增，
，
由
得
（1）
，
，
，
由
知对任意
，
，
，
，
，
即对任意
，
，均有
，
综上所述，所求的
的取值范围是
，
．
30．（2019•全国）已知函数
．
（1）当
时，求
的单调区间；
（2）若
在区间
，
的最小值为
，求
．
【解答】解：（1）当
时，
，
则
，令
，则
，
当
时，
；当
时，
．
64
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的单调递减区间为
，单调递增区间为
；
（2）
，令
，则
，
当
时，
，
在
，
上单调递增，
，不符合条件；
当
时，
，则当
时，
；当
时，
，
在
上单调递减，在
上单调递增，
，
，符合条件；
当
时，
，则当
时，
，
在
上单调递减，
，
，不符合条件．
在区间
，
的最小值为
，
的值为
．
31．（2018•新课标Ⅰ）已知函数
．
（1）讨论
的单调性；
（2）若
存在两个极值点
，
，证明：
．
【解答】解：（1）函数的定义域为
，
函数的导数
，
设
，
当
时，
恒成立，即
恒成立，此时函数
在
上是减函数，
当
时，判别式△
，
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①当
时，△
，即
，即
恒成立，此时函数
在
上是减函数，
②当
时，
，
，
的变化如下表：
，
，
0
0
递减
递增
递减
综上当
时，
在
上是减函数，
当
时，在
和
，
上是减函数，
则
，
上是增函数．
（2）由（1）知
，不妨设
，则
，
，
则
，
则
，
则问题转为证明
即可，
即证明
，
则
，
即
，
即证
在
上恒成立，
设
，
，其中
（1）
，
66
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求导得
，
则
在
上单调递减，
（1），即
，
故
，
则
成立．
（2）另解：注意到
，
即
，
不妨设
，
由韦达定理得
，
，得
，
，
可得
，即
，
要证
，只要证
，
即证
，
，
构造函数
，
，
，
在
上单调递减，
（1）
，
成立，即
，
成立．
即
成立．
32．（2018•天津）已知函数
，
，其中
．
67
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（Ⅰ）求函数
的单调区间；
（Ⅱ）若曲线
在点
，
处的切线与曲线
在点
，
处的切线平行，证明：
；
（Ⅲ）证明当
时，存在直线，使是曲线
的切线，也是曲线
的切线．
【解答】（Ⅰ）解：由已知，
，有
，
令
，解得
．
由
，可知当
变化时，
，
的变化情况如下表：
0
0
极小值
函数
的单调减区间为
，单调递增区间为
；
（Ⅱ）证明：由
，可得曲线
在点
，
处的切线的斜率为
．
由
，可得曲线
在点
，
处的切线的斜率为
．
这两条切线平行，故有
，即
，
两边取以
为底数的对数，得
，
；
（Ⅲ）证明：曲线
在点
处的切线
，
曲线
在点
，
处的切线
．
要证明当
时，存在直线，使是曲线
的切线，也是曲线
的切线，
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只需证明当
时，存在
，
使得
与
重合，
即只需证明当
时，方程组
由①得
，代入②得：
，③
因此，只需证明当
时，关于
的方程③存在实数解．
设函数
，既要证明当
时，函数
存在零点．
，可知
时，
；
时，
单调递减，
又
，
，
故存在唯一的
，且
，使得
，即
．
由此可得，
在
上单调递增，在
，
上单调递减，
在
处取得极大值
．
，故
．
．
下面证明存在实数，使得
，
由（Ⅰ）可得
，当
时，有
．
存在实数，使得
．
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因此，当
时，存在
，使得
．
当
时，存在直线，使是曲线
的切线，也是曲线
的切线．
33．（2018•新课标Ⅱ）已知函数
．
（1）若
，求
的单调区间；
（2）证明：
只有一个零点．
【解答】解：（1）当
时，
，
所以
时，令
解得
，
当
，
，
时，
，函数是增函数，
当
时，
，函数是单调递减，
综上，
增区间
，
，
，减区间
．
（2）证明：因为
，
所以
等价于
，
令
，
则
，仅当
时，
，所以
在
上是增函数；
至多有一个零点，从而
至多有一个零点．
又因为
，
，
70
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故
有一个零点，
综上，
只有一个零点．
71
