专题1.10 二次函数与一元二次方程、不等式（举一反三专项训练）
【全国通用】
目录
第一部分题型专练
【题型1
一元二次不等式的求解】...........................................................................................................................1
【题型2
由一元二次不等式的解确定参数】...........................................................................................................2
【题型3
分式、绝对值不等式的求解】...................................................................................................................5
【题型4
一元二次方程根的分布问题】...................................................................................................................6
【题型5
二次函数的图象分析与判断】...................................................................................................................8
【题型6
一元二次不等式恒成立问题】.................................................................................................................10
【题型7
一元二次不等式有解问题】.....................................................................................................................12
第二部分分层突破
A 组
基础跟踪练
B 组
培优提升练
C 组
真题·实战演练
【题型1
一元二次不等式的求解】
1．（2026·陕西西安·二模）已知集合�= {�∣�−2 < 2}, �= �∣�2 −4�−5 ≤0 ，则∁��∩�=（
）
A．�∣−1 ≤�≤0
B．�∣4 ≤�≤5
C．�∣0 ≤�≤4
D．{�∣−1 ≤�≤0 或4 ≤�≤5}
【答案】D
【解题思路】解不等式求得集合�, �，进而利用补集，交集的意义求解即可.
【解答过程】因为�= {�∣�−2 < 2} = {�∣−2 < �−2 < 2} = {�∣0 < �< 4}，所以∁��= {�∣�≤0 或�≥4}，
又�= �∣�2 −4�−5 ≤0 = �∣−1 ≤�≤5 ，则∁��∩�= {�∣−1 ≤�≤0 或4 ≤�≤5}.
故选：D.
2．（25-26 高二上·西藏昌都·期末）已知条件�: 2�−4 > 0，条件�: �2 −5�+ 6 < 0，则�是�的（
）
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A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解题思路】根据已知得�: �> 2、�: 2 < �< 3，再由充分、必要性定义确定条件间的关系.
【解答过程】由2�−4 > 0，得�> 2，即�: �> 2，
由�2 −5�+ 6 < 0，得2 < �< 3，即�: 2 < �< 3.
�> 2 推不出2 < �< 3，但2 < �< 3 能推出�> 2，
∴�是�的必要不充分条件.
故选：B.
3．（2026·天津河北·模拟预测）不等式��−1 > 0 的解集为（
）
A．��< 0 ，或�> 1
B．�0 < �< 1
C．��<−1 ，或�> 0
D．�−1 < �< 0
【答案】A
【解题思路】应用一元二次不等式的解法求解集.
【解答过程】由��−1 > 0，可得�< 0 或�> 1，故解集为��< 0 ，或�> 1 .
故选：A.
4．（2026·甘肃白银·模拟预测）使不等式�2 + 3 ≤4�成立的一个充分不必要条件为（
）
A．1 ≤�≤3
B．0 ≤�≤3
C．�> 3
D．1 < �< 3
【答案】D
【解题思路】解不等式�2 + 3 ≤4�可得1 ≤�≤3，结合充分条件及必要条件的定义判断结论.
【解答过程】解不等式�2 + 3 ≤4�，可得1 ≤�≤3，
所以不等式�2 + 3 ≤4�成立的一个充分不必要条件必须为�1 ≤�≤3 的非空真子集，
所以可以排除选项A，B，C，
因为由1 < �< 3 可推得1 ≤�≤3，由1 ≤�≤3 不能推得1 < �< 3，
所以使不等式�2 + 3 ≤4�成立的一个充分不必要条件为1 < �< 3．
故选：D．
【题型2
由一元二次不等式的解确定参数】
5．（25-26 高一上·江西抚州·阶段检测）已知不等式��2 −��−1 ≤0 的解集是−
1
2 ,
1
3 ，则不等式�2 −��−
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�< 0 的解集是（
）
A．−3,2
B．−∞, 2 ∪3, + ∞
C．
1
3 ,
1
2
D．−∞,
1
3 ∪
1
2 , + ∞
【答案】A
【解题思路】由题意可得�> 0 且−
1
2和
1
3为方程��2 −��−1 = 0 的两个根，由韦达定理求出�, �，再求解一
元二次不等式即可.
【解答过程】因为不等式��2 −��−1 ≤0 的解集是−
1
2 ,
1
3 ，
所以�> 0 且−
1
2和
1
3为方程��2 −��−1 = 0 的两个根，
所以
−
1
2 +
1
3 =
�
�=−
1
6
−
1
2 ×
1
3 =−
1
�=−
1
6
，解得�= 6, �=−1，
所以�2 −��−�< 0 即为�2 + �−6 < 0，解得−3 < �< 2,
故不等式�2 −��−�< 0 的解集是−3,2 .
故选:A.
6．（25-26 高一上·辽宁·阶段检测）已知关于�的不等式�2 −�+ 3 �+ 2�+ 2 ≤0 �∈�的整数解恰有4
个，则�的取值范围为（
）
A．−3, −2 ∪4,5
B．−3, −2 ∪4,5
C．−3, −2 ∪4,5
D．−3, −2 ∪4,5
【答案】C
【解题思路】先对不等式�2 −�+ 3 �+ 2�+ 2 ≤0 �∈�变形为�−2 �−�+ 1
≤0，再根据不等
式�2 −�+ 3 �+ 2�+ 2 ≤0(�∈�）的整数解恰有4 个，对�+ 1 进行限制即可得出答案.
【解答过程】由�2 −�+ 3 �+ 2�+ 2 ≤0，得�−2 �−�+ 1
≤0，因为不等式�2 −�+ 3 �+ 2�+
2 ≤0(�∈�）的整数解恰有4 个，则−2 < �+ 1 ≤−1 或5 ≤�+ 1 < 6，所以−3 < �≤−2 或4 ≤�< 5．
故选：C．
7．（25-26 高一上·四川成都·阶段检测）已知关于�的一元二次不等式�2 −��+ �≥0 的解集为( −∞, 1] ∪
[2, + ∞)，则�+ �=（
）
A．3
B．4
C．5
D．6
【答案】C
【解题思路】先把一元二次不等式的解集转化为一元二次方程的根，再结合韦达定理求出�, �，进而求
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解�+ �．
【解答过程】∵一元二次不等式�2 −��+ �≥0 的解集为( −∞, 1] ∪[2, + ∞)，
∴�2 −��+ �= 0 的两个根为�1 = 1 和�2 = 2，
由韦达定理得�1 + �2 = �= 3
�1�2 = �= 2
，∴�+ �= 2 + 3 = 5，故C 正确．
故选：C．
8．（25-26 高一上·江苏·期中）若关于�的不等式(��−1)2 < �2恰有3 个整数解，则实数�的取值范围是（
）
A．( −
3
2 , −
4
3 ] ∪[
4
3 ,
3
2 )
B．( −
4
3 , −
5
4 ] ∪[
5
4 ,
4
3 )
C．[ −
3
2 , −
4
3 ) ∪(
4
3 ,
3
2 ]
D．( −
4
3 , −
5
4 ) ∪(
5
4 ,
4
3 )
【答案】B
【解题思路】先化简(��−1)2 < �2为[(�+ 1)�−1][(�−1)�−1] < 0，再对�分类讨论分别求出原不等式的
解集，然后根据其解集中恰有3 个整数解求出实数�的取值范围.
【解答过程】不等式(��−1)2 < �2可化为[(�+ 1)�−1][(�−1)�−1] < 0，
当�= 1 时，原不等式等价于2�−1 > 0，其解集为(
1
2 , + ∞)，不满足题意；
当�=−1 时，原不等式等价于2�+ 1 < 0，其解集为( −∞, −
1
2 )，不满足题意；
当�> 1 时，原不等式等价于(�−
1
�+1 )(�−
1
�−1 ) < 0，其解集为(
1
�+1 ,
1
�−1 )，
其解集中恰有3 个整数解，所以
3 <
1
�−1
4 ≥
1
�−1
，解得
5
4 ≤�<
4
3；
当−1 < �< 1 时，原不等式等价于(�−
1
�+1 )(�−
1
�−1 ) > 0，
其解集为( −∞,
1
�−1 ) ∪(
1
�+1 , + ∞)，不满足题意；
当�<−1 时，原不等式等价于(�−
1
�+1 )(�−
1
�−1 ) < 0，其解集为(
1
�+1 ,
1
�−1 )，
其解集中恰有3 个整数解，所以
1
�+1 <−3
1
�+1 ≥−4
，解得−
4
3 < �≤−
5
4，
综上，实数�的取值范围是( −
4
3 , −
5
4 ] ∪[
5
4 ,
4
3 ).
故选：B.
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【题型3
分式、绝对值不等式的求解】
9．（2026·江苏·模拟预测）不等式
3�−1
2−�≥1 的解集为（
）
A．�
3
4 ≤�≤2
B．{�∣
3
4 ≤�< 2}
C．{�∣�> 2 或�≤
3
4 }
D．�∣�≥
3
4
【答案】B
【解题思路】利用分式不等式的解法求解.
【解答过程】不等式
3�−1
2−�≥1，可转化为
3�−1
2−�−1 ≥0，
即
4�−3
2−�≥0，即4�−3
2 −�≥0 且�≠2，
即�−2
�−
3
4 ≤0 且�≠2，
解得
3
4 ≤�< 2，
所以不等式
3�−1
2−�≥1 的解集为{�∣
3
4 ≤�< 2}，
故选：B.
10．（2026·吉林白山·模拟预测）设p：2�−3 < 1，q：
�−3
�−2 ≤0，则p 是q 的（
）.
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【解题思路】解两命题对应不等式，然后由充分，必要条件与集合包含之间的关系可得答案.
【解答过程】2�−3 < 1 ⇒−1 < 2�−3 < 1 ⇒2 < 2�< 4 ⇒1 < �< 2，
�−3
�−2 ≤0 ⇒
�−3
�−2 ≤0
�≠2
⇒2 < �≤3，
注意到�2 < �≤3 与集合�1 < �< 2 之间无包含关系，
则命题�是命题�的既不充分也不必要条件.
故选：D.
11．（2026·新疆·三模）不等式
�−3
�−1 >−1 的解集为__________.
【答案】��< 1 或�> 2
【解题思路】将分式不等式化成一元二次不等式，求解即得.
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【解答过程】由
�−3
�−1 >−1 可得
�−3
�−1 +
�−1
�−1 > 0 ⇒
2�−4
�−1 > 0 ⇒�−1
2�−4 > 0，
故�> 2 或�< 1，
故不等式的解集为��< 1 或�> 2 .
故答案为：��< 1 或�> 2 .
12．（2026·上海杨浦·三模）不等式
�+1
�−2 ≤2 的解集为__________.
【答案】{�|�≥5,或�< 2}.
【解题思路】将分式不等式化成一元二次不等式，求解即得.
【解答过程】
�+1
�−2 ≤2 等价于
−�+5
�−2 ≤0，即
�−2 ≠0
(�−5)(�−2) ≥0 ，
解得�≥5 或�< 2，即原不等式的解集为：{�|�≥5,或�< 2}.
故答案为：{�|�≥5,或�< 2}.
【题型4
一元二次方程根的分布问题】
13．（25-26 高一上·山东威海·期中）已知方程�2 −2��+ �+ 2 = 0 的两根都在区间(1,4)内，则m 的取值
范围为（
）
A．[2,3)
B．(1,
18
7 )
C．[
18
7 , 3)
D．[2,
18
7 )
【答案】D
【解题思路】根据给定条件，利用一元二次方程实根分布列出不等式组求解即得.
【解答过程】令�(�) = �2 −2��+ �+ 2，设�(�) = 0 的两根为�1, �2，
由�1, �2都在区间(1,4)内，得
�(1) = 3 −�> 0
�(4) = 18 −7�> 0
Δ = 4�2 −4(�+ 2) ≥0
1 < �< 4
，解得2 ≤�<
18
7 ，
所以m 的取值范围为[2,
18
7 ).
故选：D.
14．（2026 高一·全国·专题练习）已知方程�2 + 2��−�+ 12 = 0 的两根都大于−2，则实数�的取值范围
是（
）
A．�<−4
B．−5 < �<−4
C．�≤−4
D．�> 4 或�<−4
【答案】C
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【解题思路】利用二次函数的性质建立不等式，求解参数范围即可.
【解答过程】令��= �2 + 2��−�+ 12，
因为方程�2 + 2��−�+ 12 = 0 的两根都大于−2，
所以由题意可得
−
2�
2 >−2
�−2 = 4 −4�−�+ 12 > 0
Δ = 2�2 −4 −�+ 12 ≥0
，解得�≤−4．
故选：C．
15．（24-25 高一上·重庆·期中）“�> 2”是“一元二次方程�2 −��+ �+ 1 = 0 有两个正实根”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解题思路】根据一元二次方程根的分布可得出关于实数�的不等式组，求出实数�的取值范围，再利用集
合的包含关系判断可得出结论.
【解答过程】设一元二次方程�2 −��+ �+ 1 = 0 的两个正实根分别为�1、�2，
由题意可得
Δ = �2 −4 �+ 1 ≥0
�1 + �2 = �> 0
�1�2 = �+ 1 > 0
，解得�≥2 + 2 2，
因为��> 2 ��≥2 + 2 2 ，
所以，“�> 2”是“一元二次方程�2 −��+ �+ 1 = 0 有两个正实根”的必要不充分条件.
故选：B.
16．（25-26 高一上·全国·课后作业）已知一元二次方程�2 + �2 + 1 �+ �−2 = 0 的一根比1 大，另一根
比1 小，则实数a 的取值范围是（
）
A．�−3 < �< 1
B．�−2 < �< 0
C．�−1 < �< 0
D．�0 < �< 2
【答案】C
【解题思路】由一元二次方程的根与二次函数的关系，即可由二次函数的性质求解.
【解答过程】记�= �2 + �2 + 1 �+ �−2，则函数为开口向上的二次函数，
要使方程的根一个大于1 一个小于1，则只需要�= 1 时，�< 0 即可，
即1 + �2 + 1 + �−2 < 0，解得−1 < �< 0，所以实数a 的取值范围是�−1 < �< 0 .
故选：C.
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【题型5
二次函数的图象分析与判断】
17．（25-26 高一上·江苏常州·阶段检测）已知二次函数�= ��2 + ��+ �(�≠0)的图象如图所示，则下列结
论中不正确的是（
）
A．�+ �+ �< 0 B．�=−2�
C．�+ �< �
D．���< 0
【答案】A
【解题思路】根据二次函数的图象和性质直接可得.
【解答过程】由�(�) = ��2 + ��+ �的图象可知，
�< 0
−
�
2�= 1
�(1) = �+ �+ �> 0
�( −1) = �−�+ �< 0
�(0) = �> 0
，
得�=−2�，�+ �< �，�< 0，�> 0，�> 0.
即�=−2�，�+ �< �，���< 0.
所以BCD 正确，A 错误.
故选：A.
18．（2026 高一上·全国·专题练习）不等式��2+��+�> 0 的解集为�∣−1 < �<
1
2 ，则函数�= ��2 −��−�
的图象大致为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
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【解题思路】根据三个二次的关系，求解�, �, �间的数量关系，代入函数�= ��2 −��−�，分析即可判断函
数图象.
【解答过程】因为��2+��+�> 0 的解集为�∣−1 < �<
1
2 ，
所以方程��2+��+�= 0 的两根分别为
1
2和−1，且c < 0，
则
−1+
1
2 =−
�
�
−1×
1
2 =
�
�
，解得�=
1
2 �, �=−
1
2 �，
故函数�= ��2 −��−�=
�
2 �2 +
�
2 �−�=
�
2 �+ 2
�−1 的图象开口向下，
且与�轴的交点坐标为1,0 和−2,0 ，故A 选项的图象符合.
故选：A.
19．
（25-26 高一上·山西·期中）已知函数��= ��2 + ��+ ��≠0 的图像如图所示，则关于�的不等式��2 +
��+ �≥0 的解集为（
）
A．−
1
2 , 1
B．−2,1
C．−∞, −2 ∪1, + ∞
D．−∞, −
1
2 ∪1, + ∞
【答案】B
【解题思路】分析可得�< 0，�=−2�，�= �，利用二次不等式的解法解不等式��2 + ��+ �≥0，即可得
解.
【解答过程】因为抛物线的开口向下，所以�< 0.
由二次函数的图像可知，函数��的图像开口向上，且该函数的图像与�轴相切，对称轴为直线�= 1，
所以，��= ��−1 2 = ��2 −2��+ �，且�< 0，则�=−2�，�= �，
不等式��2 + ��+ �≥0 即��2 + ��−2�≥0，即�2 + �−2 ≤0，解得−2 ≤�≤1，
因此，不等式��2 + ��+ �≥0 的解集为−2,1 .
故选：B.
20．（25-26 高三上·河南南阳·期中）已知不等式2�2 + ��+ �< 0 的解集是−
1
2 , 0 ，设��= ��2 + ��+ �，
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则函数�= ��的大致图象不可能为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解题思路】根据一元二次不等式的解集求得�, �，由此对�进行分类讨论，从而确定正确答案.
【解答过程】由题知−
1
2 , 0 是2�2 + ��+ �= 0 的两个实数根，可得
0 + −
1
2 =−
�
2
0 × −
1
2 =
�
2
，
解得�= 1
�= 0 ，所以��= ��2 + �.
当�= 0 时，��= �，故A 符合题意；
当�> 0 时，二次函数��= ��2 + �的图象开口向上，
由��= ��2 + �= ���+ 1 = 0，解得�= 0 或�=−
1
�，
所以，��的零点为0 和−
1
�，且−
1
�< 0，故B 符合题意，而C 不符合；
当�< 0 时，二次函数��= ��2 + �的图象开口向下，
��的零点为0 和−
1
�，且−
1
�> 0，故D 符合题意.
故选：C.
【题型6
一元二次不等式恒成立问题】
21．（25-26 高一上·湖南长沙·期末）关于�的不等式�2 −2��+ �> 0 对∀�∈�恒成立，则�的取值范围是
（
）
A．0 < �< 1
B．0 < �< 2
C．0 < �<
1
2
D．�> 0
【答案】A
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【解题思路】先分析不等式恒成立需满足的条件，再计算求解．
【解答过程】不等式�2 −2��+ �> 0 对∀�∈�恒成立，需满足对应函数开口向上，且判别式小于零：
��= �2 −2��+ �开口向上，满足条件；
Δ = 4�2 −4�< 0，解得0 < �< 1，
∴�的取值范围是0 < �< 1，故A 正确．
故选：A．
22．（2026·甘肃张掖·模拟预测）命题�:“∃�∈R，使得不等式��2 + 2��+ 2 < 0 成立”为假命题，则实数�
的取值范围为（
）
A．0, 4
B．2, 4
C．1, 2
D．0, 2
【答案】D
【解题思路】题意说明¬�：“∀�∈R，��2 + 2��+ 2 ≥0 恒成立”是真命题，然后对�分类讨论可得.
【解答过程】命题�:“∃�∈R，使得不等式��2 + 2��+ 2 < 0 成立”为假命题，则命题¬�：“∀�∈R，��2 + 2��+
2 ≥0 恒成立”是真命题，
�= 0 时，不等式为2 ≥0 恒成立，满足题意，
�≠0 时，则
�> 0
Δ = 4�2 −8�≤0 ，解得0 < �≤2，
综上，�的取值范围是[0,2].
故选：D．
23．（24-25 高三上·河南许昌·期中）∀�∈−2, + ∞，�2 + 4 −��+ 7 −2�≥0 恒成立，则实数�的最大
值为（
）
A．3
B．3
C．2 3
D．6
【答案】C
【解题思路】分离参数变为�≤
�2+4�+7
�+2
在−2, + ∞上恒成立，利用基本不等式求解最值得�≤2 3，即可得
解.
【解答过程】∀�∈−2, + ∞，�2 + 4 −��+ 7 −2�≥0 恒成立，
即�2 + 4�+ 7 ≥��+ 2 在−2, + ∞上恒成立，
所以�≤
�2+4�+7
�+2
=
�+2 2+3
�+2
= �+ 2 +
3
�+2在−2, + ∞上恒成立，
又�+ 2 +
3
�+2 ≥2
�+ 2 ⋅
3
�+2 = 2 3，当且仅当�+ 2 =
3
�+2，即�=
3 −2 时取等号，
所以�≤2 3，则实数�的最大值为2 3.
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24．（25-26 高一上·安徽芜湖·阶段检测）设0 < �<
1
2，若关于x 的不等式2��2 −�+ 3 �+ 2 ≥0 恒成立，
则实数k 的最大值为（
）
A．8
B．9
C．10
D．11
【答案】B
【解题思路】根据题意整理可得�≤
3�−2
2�2−�，换元令�= 2 −3�，结合基本不等式运算求解即可.
【解答过程】因为2��2 −�+ 3 �+ 2 ≥0，可得�2�2 −�≥3�−2，
且0 < �<
1
2，则2�2 −�= �2�−1 < 0，可得�≤
3�−2
2�2−�，
令�= 2 −3�∈
1
2 , 2 ，则�=
2−�
3 ，
可得�≤
−�
2 2−�
3
2
−2−�
3
=−
9�
2�2−5�+2 =
9
5−2 �+1
�
，
因为�+
1
�≥2 �⋅
1
�= 2，故5 −2 �+
1
�
≤1，因此
9
5−2 �+1
�
≥9，
当且仅当�=
1
�，即�= 1，�=
1
3时，等号成立，
可得�≤9，所以实数k 的最大值为9.
故选：B.
【题型7
一元二次不等式有解问题】
25．（25-26 高一上·湖北孝感·期中）当1 ≤�≤3 时，关于�的不等式�2 −��+ 4 ≥0 有解，则实数�的取
值范围是（
）
A．�≤4
B．�≤−4 或�≥4
C．�≤5
D．�≤
13
3
【答案】C
【解题思路】根据题意参变分离得�≤�+
4
�max，再根据对勾函数求最值即可．
【解答过程】由1 ≤�≤3 时，�2 −��+ 4 ≥0 有解，
所以�≤�+
4
�max，
又�= �+
4
�在1,2 上单调递减，在2,3 上单调递增，
且�= 1 时，�= 5，�= 3 时，�=
13
3
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所以�≤�+
4
�max = 5．
故选：C．
26．（25-26 高一上·黑龙江·期中）若存在�∈−2,0 ，使得�2 −2�+ 5 −�< 0 成立，则m 的取值范围为
（
）
A．�> 13
B．�> 4
C．�> 5
D．�> 8
【答案】C
【解题思路】将问题转化为�> �2 −2�+ 5 min，利用二次函数性质求解最值即可.
【解答过程】存在�∈−2,0 ，使得�2 −2�+ 5 −�< 0 成立，
所以�> �2 −2�+ 5 min，�∈−2,0 ，
由二次函数的性质可知�= �2 −2�+ 5 在−2,0 上单调递减，
所以当�= 0 时，函数�= �2 −2�+ 5 取得最小值5，所以�> 5．
故选：C.
27．（25-26 高一上·云南·期中）若
1
�+
9
�= 1 �> 0, �> 0 ，且不等式�+ �< �2 −6�有解，则�的取值范围
是（
）
A．−∞, −2 ∪8, + ∞
B．−2,8
C．−∞, −8 ∪2, + ∞
D．−8,2
【答案】A
【解题思路】根据题意，利用基本不等式，求得�+ �取得最小值16，转化为�2 −6�> 16，结合一元二次不
等式的解法，即可求解.
【解答过程】由�> 0, �> 0 且
1
�+
9
�= 1
可得�+ �=
1
�+
9
�
�+ �= 10 +
�
�+
9�
�≥10 + 2
�
�⋅
9�
�= 16，
当且仅当
�
�=
9�
�时，即�= 4, �= 12 时，�+ �取得最小值16，
因为不等式�+ �< �2 −6�有解，可得�2 −6�> 16，即�2 −6�−16 > 0，
解得�<−2 或�> 8，所以实数�的取值范围为−∞, −2 ∪8, + ∞.
故选：A.
28．（25-26 高一上·江西赣州·阶段检测）当1 ≤�≤4 时，关于x 的不等式�2 −��−�+ 15 ≤0 有解的充
要条件是（
）
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A．�∈−∞, + 5 B．�∈6, + ∞
C．�∈7, + ∞
D．�∈8, + ∞
【答案】B
【解题思路】参变分离得到�≥
�2+15
�+1
min，换元，利用基本不等式求出
�2+15
�+1
min = 6，从而得到答案.
【解答过程】�2 −��−�+ 15 ≤0 ⇒��+ 1 ≥�2 + 15 ⇒�≥
�2+15
�+1 ，1 ≤�≤4，
关于x 的不等式�2 −��−�+ 15 ≤0 有解，故�≥
�2+15
�+1
min即可，
令�= �+ 1 ∈2,5 ，则�= �−1，
�−1 2+15
�
=
�2−2�+16
�
= �+
16
�−2 ≥2 �⋅
16
�−2 = 6，
当且仅当�=
16
�，即�= 4, �= 3 时，等号成立，
所以�≥6，故充要条件为�∈6, + ∞.
故选：B.
一、单选题
1．（2026·海南省直辖县级单位·模拟预测）不等式
6
�+1 ≥1 的解集为（
）
A．{�∣−1 < �≤5}
B．�∣�≤−1
C．�∣−1 ≤�≤5
D．{�∣�> 5}
【答案】A
【解题思路】利用分式不等式的解法求解.
【解答过程】由
6
�+1 ≥1，得
6
�+1 −1 ≥0，即
5−�
�+1 ≥0，
转化为
�−5
�+ 1 ≤0
�+ 1 ≠0
，解得−1 < �≤5，
所以不等式
6
�+1 ≥1 的解集为{�∣−1 < �≤5}.
故选：A.
2．（2026·湖南湘西·三模）已知集合�= �∣�+ 1
�−3 ≤0 , �= �∣�= �2 + 2, �∈�，则�∩�=（
）
A．−1,4
B．−1,3
C．−1, + ∞
D．2,3
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【答案】D
【解题思路】先求出集合�, �，即可求出�∩�.
【解答过程】�= �∣−1 ≤�≤3 ，又�= �∣�= �2 + 2, �∈�= �∣�≥2 ，
所以�∩�= 2,3 ．
故选：D.
3．（25-26 高一上·四川宜宾·阶段检测）“0 < �< 2”是“�2 −4�< 0”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解题思路】先求解不等式�2 −4�< 0，再根据充分条件和必要条件的定义判断.
【解答过程】因为�2 −4�< 0 ⇔��−4 < 0 ⇔0 < �< 4，
因为当0 < �< 2 时，必然满足0 < �< 4，所以“0 < �< 2”能推出“�2 −4�< 0”，充分性成立；
当2 ≤�< 4 时，满足0 < �< 4，但不满足0 < �< 2，所以“�2 −4�< 0”不能推出“0 < �< 2”，必要性不
成立.
故选：A.
4．（2026·辽宁辽阳·二模）不等式
2−�2
�
≥1 的解集是（
）
A．−∞, 1 ∪4, + ∞
B．1,4
C．1,2 ∪2,4
D．0,1 ∪4, + ∞
【答案】D
【解题思路】借助分式不等式与高次不等式的解法计算即可得.
【解答过程】
2−�2
�
−1 =
�2−4�+4−�
�
=
�2−5�+4
�
=
�−1
�−4
�
≥0，
故��−1
�−4 ≥0
�≠0
，解得�≥4 或0 < �≤1，
故该不等式的解集为0,1 ∪4, + ∞.
故选：D.
5．（25-26 高一上·广西钦州·期末）已知关于x 的一元二次不等式�2 −��+ �≤0 的解集为�
1
2 ≤�≤2 ，
则�−�的值为（
）
A．
3
5
B．
2
5
C．
3
2
D．
2
3
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【答案】C
【解题思路】由题意可得
1
2和2 为二次函数的两个根，分别代入二次函数后联立即可求解.
【解答过程】设�(�) = �2 −��+ �，由题意得
1
2和2 为�(�)的两个根，则有：
�
1
2 = 0，即
1
4 −
1
2 �+ �= 0，
�(2) = 0，即4 −2�+ �= 0，
联立
1
4 −
1
2 �+ �= 0
4 −2�+ �= 0
，解得�=
5
2
�= 1
，
故�−�=
3
2.
故选：C.
6．（25-26 高一上·新疆克拉玛依·期末）已知关于x 的不等式�2 + ��+ �< 0 的解集是�1 < �< 4 ，则关
于x 的不等式��2 −�+ �> 0 的解集是（
）
A．−1,
4
5
B．−
4
5 , 1
C．−
5
4 , 1
D．−1,
5
4
【答案】A
【解题思路】根据三个二次之间的关系，可得�2 + ��+ �= 0 的解根据韦达定理可得出参数的关系，代入解
不等式即可.
【解答过程】由题意可得，关于x 的不等式�2 + ��+ �< 0 的解集是�1 < �< 4 ，
即当�2 + ��+ �= 0 的两根为�= 1 或�= 4，由韦达定理可得，
�1 + �2 =−
�
1 = 5
�1 ⋅�2 =
�
1 = 4
，
所以�=−5，�= 4，所以求��2 −�+ �> 0，即是求−5�2 −�+ 4 > 0，解得−1 < �<
4
5.
故选：A.
7．（25-26 高一上·浙江·阶段检测）若二次函数�= ��2 + ��−�的图象如图所示，则不等式��2 + ��+ �> 0
的解集为（
）
A．��<−1 或�>
1
2
B．�−1 < �<
1
2
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C．�|�<−2 或�> 1
D．�−2 < �< 1
【答案】B
【解题思路】根据不等式的解集确定�, �, �的符号和关系，再解一元二次不等式��2 + ��+ �> 0 即可.
【解答过程】由图可知，�< 0，�1 =−1，�2 = 2，∴�1 + �2 =−
�
�= 1，�1 ⋅�2 =
−�
�=−2，
∴�=−�，�= 2�.
∴��2 + ��+ �> 0 等价于2��2 + ��−�> 0，
∵�< 0，∴2�2 + �−1 < 0，解得−1 < �<
1
2.
故选：B.
8．（25-26 高一上·天津南开·阶段检测）已知关于�的不等式��2 −6��+ �+ 8 ≥0 对任意�∈�恒成立，则
�的取值范围是（
）
A．0 ≤�≤1
B．0 < �≤1
C．�< 0 或�> 1
D．�≤0 或�≥1
【答案】A
【解题思路】根据题意，分�= 0 和�≠0 两种情况讨论，即可求出�的取值范围．
【解答过程】当�= 0 时，不等式��2 −6��+ �+ 8 ≥0 化为8 ≥0 恒成立，
当�< 0 时，不等式��2 −6��+ �+ 8 ≥0 不能恒成立，
当�> 0 时，要使不等式��2 −6��+ �+ 8 ≥0 恒成立，需Δ = 36�2 −4 �2 + 8�≤0，
解得0 < �≤1，
综上所述，不等式��2 −6��+ �+ 8 ≥0 对任意�∈�恒成立，�的取值范围是0 ≤�≤1，
故选：A.
二、填空题
9．（2026·上海浦东新·三模）不等式�−1 < 2 的解集为___________．
【答案】−1, 3
【解题思路】利用绝对值不等式的等价变形规则，去掉绝对值符号后转化为一元一次不等式求解。
【解答过程】原不等式�−1 < 2 等价于−2 < �−1 < 2，即−1 < �< 3，
故原不等式的解集为−1,3 .
故答案为：−1,3 .
10．（2026·上海浦东新·三模）设�为实数，则不等式
�−2
5−�≥0 的解集是__________.
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【答案】[2,5)
【解题思路】根据分式不等式解法求解即可.
【解答过程】因为
�−2
5−�≥0 ⇒
�−2
5 −�≥0
5 −�≠0
，
解得2 ≤�≤5 且�≠5，即2 ≤�< 5，
所以不等式
�−2
5−�≥0 的解集是[2,5).
故答案为：[2,5).
11．（25-26 高一上·辽宁丹东·期末）方程�2 −�−1 �+ �−1 = 0 有两个正实根，则实数�的取值范围为
___________．
【答案】5, + ∞
【解题思路】若一元二次方程有两个正实根，则需满足
Δ ≥0
�1 + �2 > 0
�1�2 > 0
，直接列不等式求解即可.
【解答过程】因为方程�2 −�−1 �+ �−1 = 0 有两个正实根�1, �2 ，
所以
Δ = �−1 2 −4 �−1 ≥0
�1 + �2 = �−1 > 0
�1�2 = �−1 > 0
，解得�≥5 ；
实数�的取值范围为5, + ∞.
故答案为：5, + ∞.
12．（2026·上海普陀·二模）设�∈�，若关于x 的不等式
�
�−1 ≤1 的解集是−∞, 1 ∪2, + ∞，则a 的值为
___________.
【答案】1
【解题思路】将分式不等式化为等价的二次不等式，根据“三个二次”的关系求解.
【解答过程】由不等式
�
�−1 ≤1 可得
�+1−�
�−1 ≤0，等价于
�+ 1 −�
�−1 ≤0
�−1 ≠0
，
因为原不等式的解集是−∞, 1 ∪[2, + ∞)，所以1,2 是方程�+ 1 −�
�−1 = 0 的两根，
所以�+ 1 = 2，解得�= 1.
故答案为：1.
一、单选题
1．（24-25 高一上·江苏盐城·期中）关于�的不等式��2 + ��+ �> 0 的解集为2,3 ，则下列选项正确的是
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（
）
A．�> 0
B．不等式��2 −��+ �> 0 的解集为�−
6
5 < �< 1
C．�−�+ �> 0
D．不等式��+ �< 0 的解集为��>
5
6
【答案】D
【解题思路】利用二次不等式与解集的关系可判断A 选项；利用二次不等式的解法可判断B 选项；利用韦达
定理可得出�、�与�的等量的关系，可判断C 选项；利用一次不等式的解法可判断D 选项.
【解答过程】对于A 选项，由题意得关于�的不等式��2 + ��+ �> 0 的解集为2,3 ，则�< 0，故A 错误；
对于B 选项，由题意可知，关于�的方程��2 + ��+ �= 0 的两根分别为2、3，
由韦达定理可得
2 + 3 =−
�
�
2 × 3 =
�
�
，可得�=−5�
�= 6�，
所以，不等式��2 −��+ �> 0 即为−5��2 −��+ 6�> 0，
即5�2 + �−6 > 0，解得�<−
6
5或�> 1，
因此不等式��2 −��+ �> 0 的解集为��<−
6
5 或�> 1 ，故B 错误；
对于C 选项，由题意得�−�+ �= �+ 5�+ 6�= 12�< 0，故C 错误；
对于D 选项，不等式��+ �< 0 即为6��−5�< 0，即6�−5 > 0，解得�>
5
6，
因此不等式��+ �< 0 的解集为��>
5
6 ，故D 正确.
故选：D.
2．（25-26 高一下·山东德州·阶段检测）已知关于�的不等式��2 −��+ 2 < 0 的解集为
−∞, −�∪
1
�, + ∞，其中�> 0，则
�
2 +
4
�的最小值为（
）
A．2
B．2 3
C．3
D．4 3
【答案】B
【解题思路】由题意可知：
1
�，−�是方程��2 −��+ 2 = 0 的两根，利用韦达定理可得
�
2 =−
1
�+ �，再利用
基本不等式求最值即可.
【解答过程】由题意可知：
1
�，−�是方程��2 −��+ 2 = 0 的两根，且�< 0，
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则
1
�−�=
�
�
1
�× −�=
2
�
，可得�=−2，
�
2 =−
1
�+ �，
又�> 0，则
�
2 +
4
�=
3
�+ �≥2
3
�⋅�= 2 3，当且仅当�=
3时取等号，
所以其最小值为2 3.
故选：B.
3．（25-26 高一上·江苏镇江·阶段检测）关于�的不等式�2 −�+ 3 �+ 3�< 0 恰有两个整数解，则实数�
的取值范围为（
）
A．0 ≤�< 1
B．0 < �≤1 或5 < �≤6
C．5 < �≤6
D．0 ≤�< 1 或5 < �≤6
【答案】D
【解题思路】根据一元二次方程�2 −�+ 3 �+ 3�= 0 两根的大小关系，结合一元二次不等式的解法分类讨
论进行求解即可.
【解答过程】�2 −�+ 3 �+ 3�< 0 ⇒�−3
�−�< 0，
当�= 3 时，原不等式的解集为空集，不符合题意；
当�> 3 时，原不等式的解集为3, �，
因为原不等式恰有两个整数解，
所以这两个正整数一定为4,5，因此5 < �≤6；
当�< 3 时，原不等式的解集为�, 3 ，
因为原不等式恰有两个整数解，
所以这两个正整数一定为2,1，因此0 ≤�< 1，
综上所述：实数�的取值范围为0 ≤�< 1 或5 < �≤6，
故选：D.
4．（2026 高一上·江苏·专题练习）已知对任意的�∈�∣�2 −5�+ 6 ≤0 , �∈�∣�−3
�−8 ≤0 ，不等
式��2 −4��+ �2 ≥0 恒成立，则实数�的最小值是（
）
A．4
B．3
C．2
D．1
【答案】A
【解题思路】由题可得�∈2,3 , �∈3,8 ，由不等式的性质可得，
�
�∈1,4 .不等式��2 −4��+ �2 ≥0 可转化
为�≥
4�
�−
�2
�2，令�=
�
�∈1,4 ，则原题意等价于对一切�∈1,4 ，�≥4�−�2恒成立.由二次函数的性质即
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可求解.
【解答过程】由�∈�∣�2 −5�+ 6 ≤0 , �∈�∣�−3
�−8 ≤0 可得：�∈2,3 , �∈3,8 ，
所以
1
�∈
1
3 ,
1
2 ，∴
�
�∈1,4 .
又∵��2 −4��+ �2 ≥0，且�∈2,3 ，�2 > 0，可得�≥
4�
�−
�2
�2，
令�=
�
�∈1,4 ，则原题意等价于对一切�∈1,4 ，�≥4�−�2恒成立，所以�≥4�−�2
max.
由二次函数的性质可知�= 4�−�2的图象开口向下，对称轴�= 2，
则当�= 2 时，�= 4�−�2取到最大值�max = 8 −4 = 4，
所以�≥4,故实数�的最小值是4.
故选：A.
二、填空题
5．（2026·天津河东·二模）已知二次函数��= ��2 −2�+ �，若对于任意�∈�, 2�，都有��≥0 成立，
则实数�的取值范围是____________．
【答案】1, + ∞
【解题思路】根据�的范围分类讨论，结合对于任意�∈�, 2�，都有��≥0 成立，解不等式即可求解．
【解答过程】因为�, 2�是一个区间，所以2�> �⇒�> 0，
二次函数��= ��2 −2�+ �的对称轴为直线�=
1
�，
①当
1
�≤�时，即�≥1，函数�(�)在�, 2�上单调递增，
所以�(�)min = �(�) = �3 −2�+ �= �3 −�，
要使对于任意�∈�, 2�，都有��≥0 成立，则�(�)min ≥0，
所以�3 −�≥0 ⇒��−1
�+ 1 ≥0，解得�≥1；
②当�<
1
�< 2�时，即
2
2 < �< 1 时，
函数�(�)在�=
1
�处取得最小值，�(�)min = �(
1
�) = �−
1
�，
则�(�)min ≥0 ⇒�−
1
�≥0，不等式无解；
③当
1
�≥2�时，即0 < �≤
2
2 ，函数�(�)在�, 2�上单调递减，
所以�(�)min = �(2�) = 4�3 −3�，
则�(�)min ≥0 ⇒4�3 −3�≥0，不等式无解；
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综上所述，�的取值范围是1, + ∞．
故答案为：1, + ∞.
6．（2026·重庆·模拟预测）已知�，�∈�且�> 0，若对任意的�∈0, + ∞，不等式��3 + �2 −���−�≤0
恒成立，则4�2 + �的最小值为____________.
【答案】4
【解题思路】由题设可得��+ 1
�2 −�≤0，随后讨论�的取值可得�< 0，�2�= 1，最后由基本不等式
可得答案.
【解答过程】由��3 + �2 −���−�≤0 得���2 −�+ �2 −�= ��+ 1
�2 −�≤0，
故当0 < �<
�时，��+ 1 ≥0，
当�>
�时，��+ 1 ≤0，故�< 0，
故当�=
�时，��+ 1 = 0，
即��+ 1 = 0 ⇒�2�= 1，故4�2 + �=
4
�+ �≥2
4
�⋅�= 4，
当且仅当
4
�= �，即�= 2 时取等号，故4�2 + �的最小值为4.
故答案为：4.
三、解答题
7．（25-26 高一上·湖南怀化·期末）已知函数��= �2 −��+ �，
(1)若关于�的不等式��< 0 的解集为�−1 < �<
1
5 ，求不等式��2 + ��+ 1 ≥0 的解集；
(2)当�= 2, �= 0 时，对任意�> 0, �> 0 满足
1
�+
2
�= 1，且�+ 2�−��≥0 恒成立，求实数�的取值范围.
【答案】(1) �∣−5 ≤�≤1
(2)−
10 + 1 ≤�≤
10 + 1.
【解题思路】（1）由条件可得�1 =−1, �2 =
1
5是方程�2 −��+ �= 0 的两个根，结合韦达定理即可求得�,�，
再解不等式即可.
（2）条件不等式�+ 2�−��≥0 恒成立可转化为(�+ 2�)min ≥�2 −2�，利用基本不等式求�+2�的最小
值，再解不等式即可.
【解答过程】（1）∵不等式�2 −��+ �< 0 的解集是�−1 < �<
1
5 ，
∴�1 =−1, �2 =
1
5是方程�2 −��+ �= 0 的两个根，
由韦达定理得：−1 +
1
5 = �, −1 ×
1
5 = �即�=−
4
5 , �=−
1
5，
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所以不等式��2 + ��+ 1 ≥0 可化为−
1
5 �2 −
4
5 �+ 1 ≥0，
化简得�2 + 4�−5 ≤0，
所以−5 ≤�≤1
故不等式��2 + ��+ 1 ≥0 的解集为�∣−5 ≤�≤1 ；
（2）∵�+ 2�−��≥0 恒成立，即�+ 2�≥�2 −2�恒成立，
∴(�+ 2�)min ≥�2 −2�,
�+ 2�= (�+ 2�) 1
�+ 2
�= 5 + 2�
�+ 2�
�≥5 + 2 2�
�⋅2�
�= 9,
当且仅当
2�
�=
2�
�，即�= �= 3 时等号成立，
解�2 −2�≤9 得−
10 + 1 ≤�≤
10 + 1，
则实数�的范围是：−
10 + 1 ≤�≤
10 + 1.
8．（25-26 高二下·宁夏石嘴山·阶段检测）已知关于�的不等式�−1 �2 −2��−2 < 0 的解集为{�| −1 <
�< 2}．
(1)求实数�，�的值；
(2)若�≤0，求关于�的不等式���2 + �−��−1 ≥0 的解集；
(3)若对任意实数�∈1,2 ，���2 + �−��−1 ≥��恒成立，求实数�的取值范围．
【答案】(1)�= 2，�=
1
2
(2)当�= 0 时，所求不等式的解集为−∞, −
1
2 ；
当−2 < �< 0 时，所求不等式的解集为
1
�, −
1
2 ；
当�=−2 时，所求不等式的解集为−
1
2 ；
当�<−2 时，所求不等式的解集为−
1
2 ,
1
�
(3)
3
2 , + ∞
【解题思路】（1）根据−1 和2 是方程�−1 �2 −2��−2 = 0 的两根，利用韦达定理可求�, �的值.
（2）对�的取值分类讨论，结合一元二次不等式解集的形式解不等式.
（3）问题转化为2�≥
1
�+ 1
2
−1，�∈1,2 恒成立，再求
1
�+ 1
2
−1，�∈1,2 的最大值即可.
【解答过程】（1）由题意，−1 和2 是方程�−1 �2 −2��−2 = 0 的两根，且�−1 > 0，
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所以
−1 + 2 =
2�
�−1
−1 × 2 =
−2
�−1
，解得
�= 2
�=
1
2
.
（2）因为�= 2，所以不等式���2 + �−��−1 ≥0 可化为2��2 + �−2 �−1 ≥0，
即��−1
2�+ 1 ≥0.
当�= 0 时，不等式可化为2�+ 1 ≤0 ⇒�≤−
1
2；
当�< 0 时，不等式可化为�+
1
2
�−
1
�≤0.
若−
1
2 <
1
�，即�<−2 时，不等式的解为−
1
2 ≤�≤
1
�；
若−
1
2 =
1
�，即�=−2 时，不等式的解为�=−
1
2；
若−
1
2 >
1
�，即−2 < �< 0 时，不等式的解为
1
�≤�≤−
1
2.
综上，当�= 0 时，所求不等式的解集为−∞, −
1
2 ；
当−2 < �< 0 时，所求不等式的解集为
1
�, −
1
2 ；
当�=−2 时，所求不等式的解集为−
1
2 ；
当�<−2 时，所求不等式的解集为−
1
2 ,
1
�.
（3）因为�= 2，所以不等式���2 + �−��−1 ≥��可化为2��2 ≥2�+ 1，
因为�∈1,2 时，不等式2��2 ≥2�+ 1 恒成立，即2�≥
2�+1
�2 =
1
�2 +
2
�=
1
�+ 1
2
−1 恒成立.
因为�∈1,2 ，所以
1
�∈
1
2 , 1 ，
1
�+ 1 ∈
3
2 , 2 ，
1
�+ 1
2
∈
9
4 , 4 ，所以
1
�+ 1
2
−1 ∈
5
4 , 3 .
由2�≥
1
�+ 1
2
−1 恒成立，可得2�≥3 ⇒�≥
3
2.
即所求�的取值范围为
3
2 , + ∞.
一、单选题
1．（2026·上海·高考真题）平移对称法在几何学中具有重要的应用.设平面直角坐标系���中有一图形Ω，过
Ω内任意一点�作垂直于�轴的直线��，满足��∩Ω为一线段.现沿��方向平移这些线段，使得它们的中点均在�
轴上，这样叫做平移对称法.对于−�2 + �+ 1，−�2 −�，直线�= 0 和直线�= 1 围成的封闭图形Ω，对它
进行一次平移对称，得到的图像大致为（
）
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A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解题思路】先作出两函数在区间[0,1]上的图象，根据平移对称法，分别算出�= 0 和�=
1
2时，两函数的函
数值，求得对应线段的中点的纵坐标，从而得出需要将两函数图象上下平移的长度，根据平移后对应点的
坐标结合各选项逐一判断即得；也可以通过计算两函数的函数值差值等分量，根据该函数的类型结合选项
确定答案.
【解答过程】方法一：依题意，作出函数�1 =−�2 + �+ 1 与�2 =−�2 −�在[0,1]上的图象.
按照平移对称法，当�= 0 时，�1 = 1, �2 = 0，线段中点纵坐标为
1
2，
则应将此时的线段沿��方向向下平移
1
2，�1, �2的图象上的对应点纵坐标应分别为
1
2和−
1
2，故排除B 项；
当�=
1
2时，�1 =
5
4 , �2 =−
3
4，线段中点纵坐标为
1
4，则应将此时的线段沿��方向向下平移
1
4，
�1, �2的图象上的对应点纵坐标应分别为1 和−1，故可排除C，D 两项，A 项符合题意.
方法二：根据平移对称法的基本概念，将函数�=−�2 + �+ 1 和函数�=−�2 −�在[0,1]上的函数值差值等
分在�轴上下两侧，
等分量为�=
−�2+�+1−(−�2−�)
2
= �+
1
2，故在[0,1]上线性变化，结合选项知，只有选项A 符合题意.
故选：A.
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2．（2025·全国二卷·高考真题）不等式
�−4
�−1 ≥2 的解集是（
）
A．{�∣−2 ≤�≤1}
B．{�∣�≤−2}
C．{�∣−2 ≤�< 1}
D．{�∣�> 1}
【答案】C
【解题思路】移项后转化为求一元二次不等式的解即可.
【解答过程】
�−4
�−1 ≥2 即为
�+2
�−1 ≤0 即
�+ 2
�−1 ≤0
�−1 ≠0
，故−2 ≤�< 1，
故解集为{�∣−2 ≤�< 1}.
故选：C.
二、填空题
3．（2026·上海·高考真题）关于�的不等式
�+2
�−3 < 0 的解集为___________.
【答案】( −2,3)
【解题思路】由
�+2
�−3 < 0 可得:(�+ 2)(�−3) < 0，解不等式可得其解集.
【解答过程】由
�+2
�−3 < 0 可得:(�+ 2)(�−3) < 0，
解得:−2 < �< 3，
所以不等式
�+2
�−3 < 0 的解集为( −2,3).
故答案为：( −2,3).
4．（2025·上海·高考真题）不等式
�−1
�−3 < 0 的解集为___________．
【答案】1,3
【解题思路】转化为一元二次不等式�−1
�−3 < 0，解出即可.
【解答过程】原不等式转化为�−1
�−3 < 0，解得1 < �< 3，
则其解集为1,3 .
故答案为：1,3 .
5．（2025·上海·高考真题）不等式
�
�−1 < 0 的解集为___________．
【答案】(0,1)
【解题思路】将不等式
�
�−1 < 0 化为��−1 < 0，即可得答案.
【解答过程】由题意得不等式
�
�−1 < 0 即��−1 < 0, ∴�∈0,1 ，
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即不等式
�
�−1 < 0 的解集为(0,1)，
故答案为：(0,1).
6．（2024·上海·高考真题）已知�∈�,则不等式�2 −2�−3 < 0 的解集为___________．
【答案】�| −1 < �< 3
【解题思路】求出方程�2 −2�−3 = 0 的解后可求不等式的解集.
【解答过程】方程�2 −2�−3 = 0 的解为�=−1 或�= 3，
故不等式�2 −2�−3 < 0 的解集为�| −1 < �< 3 ，
故答案为：�| −1 < �< 3 .
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