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专题1.1 集合的概念与运算
思维导图
知识点总结
1.元素与集合
(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性.
(2)元素与集合的关系是属于或不属于，表示符号分别为∈和∉.
(3)集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法.
(4)常用数集及记法
名称
自然数集
正整数集
整数集
有理数集
实数集
记法
N
N * 或
N ＋
Z
Q
R
1
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2.集合间的基本关系
(1)子集：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A 中任意一个元素都是集合B
中的元素，就称集合A 为集合B 的子集.记作A⊆B(或B⊇A).
(2)真子集：如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，就称集合A 是集合B 的
真子集.
(3)相等：若A⊆B，且B ⊆ A ，则A＝B.
(4)空集的性质：∅是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.
3.集合的基本运算
集合的并集
集合的交集
集合的补集
符号表示
A∪B
A∩B
若全集为U，则集
合A 的补集为∁UA
图形表示
集合表示
{x|x∈A，或
x∈B}
{ x | x ∈
A ，且
x ∈
B }
{x|x∈U，且x∉A}
4.集合的运算性质
(1)A∩A＝A，A∩∅＝∅，A∩B＝B∩A.
(2)A∪A＝A，A∪∅＝A，A∪B＝B∪A.
(3)A∩(∁UA)＝∅，A∪(∁UA)＝U，∁U(∁UA)＝A.
常用结论
1.若有限集A 中有n 个元素，则A 的子集有2n个，真子集有2n－1 个，非空子集
有2n－1 个，非空真子集有2n－2 个.
2.注意空集：空集是任何集合的子集，是非空集合的真子集.
3.A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔∁UA⊇∁UB.
4.∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)，∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB).
典型例题分析
考向一 集合的基本概念
典例一
1.已知集合A＝{(x，y)|x，y∈N*，y≥x}，B＝{(x，y)|x＋y＝8}，则A∩B 中元素
2
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的个数为( )
A.2
B.3
C.4
D.6
2.设集合A＝{－1，0，1，2，3，4}，B＝{x|x∈A 且2x∈A}，则集合B 为
________.
感悟提升 1.研究集合问题时，首先要明确构成集合的元素是什么，即弄清该
集合是数集、点集，还是其他集合；然后再看集合的构成元素满足的限制条件
是什么，从而准确把握集合的含义.
2.利用集合元素的限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数时，要注意检
验集合中的元素是否满足互异性.
考点二 集合间的基本关系
典例二
1.已知集合A＝{x|x2－2x－3≤0}，集合B＝{x||x－1|≤3}，集合C＝，则集合
A，B，C 的关系为( )
A.B⊆A
B.A＝B
C.C⊆B
D.A⊆C
2. 已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若B⊆A，则实数m
的取值范围为________.
3
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感悟提升 1.若B⊆A，应分B＝∅和B≠∅两种情况讨论.
2.已知两个集合间的关系求参数时，关键是将两个集合间的关系转化为元素或
区间端点间的关系，进而求得参数范围.注意合理利用数轴、Venn 图帮助分析及
对参数进行讨论.求得参数后，一定要把端点值代入进行验证，否则易增解或漏
解.
考向三 集合间的基本运算
典例3
1.已知集合S＝{s|s＝2n＋1，n∈Z}，T＝{t|t＝4n＋1，n∈Z}，则S∩T＝( )
A.∅
B.S
C.T
D.Z
2.设全集为R，集合A＝{y|y＝2x，x＜1}，B＝{x|y＝}，则A∩(∁RB)＝( )
A.{x|－1＜x＜2}
B.{x|0＜x＜1}
C.∅
D.{x|0＜x＜2}
3.集合M＝{x|2x2－x－1＜0}，N＝{x|2x＋a＞0}，U＝R.若M∩(∁UN)＝∅，则a
的取值范围是( )
A.(1，＋∞)
B.[1，＋∞)
C.(－∞，1)
D.(－∞，1]
4
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感悟提升 1.进行集合运算时，首先看集合能否化简，能化简的先化简，再研
究其关系并进行运算.
2.数形结合思想的应用：
(1)离散型数集或抽象集合间的运算，常借助Venn 图求解；
(2)连续型数集的运算，常借助数轴求解，运用数轴时要特别注意端点是实心还
是空心.
考向四 Venn 图的应用
在部分有限集中，我们经常遇到元素个数的问题，常用Venn 图表示两个集
合的交、并、补集，借助于Venn 图解决集合问题，直观简捷，事半功倍.用
Card 表示有限集中元素的个数，即Card(A)表示有限集A 的元素个数.
典例四
1.某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，
60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳
的学生数占该校学生总数的比例是( )
A.62%
B.56%
C.46%
D.42%
2.某班有36 名同学参加数学、物理、化学课外探究小组，每名同学至多参
加两个小组，已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26，15，13，同时
参加数学和物理小组的有6 人，同时参加物理和化学小组的有4 人，则同时参
加数学和化学小组的有________人.
5
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基础题型训练
一、单选题
1．已知集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．已知集合
，
，若
，则a 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．设集合
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
4．已知集合
,
,则
A．
B．
C．
D．
5．设关于x 的不等式
的解集为A，且
，
，则实数m 的
取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．对于集合A，B，“
”不成立的含义是
A．B 是A 的子集
B．A 中的元素都不是B 的元素
C．A 中至少有一个元素不属于B
D．B 中至少有一个元素不属于A
二、多选题
7．下列关系式正确的为（ ）
A．
B．
6
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C．
D．
8．（多选）若集合
，
，则集合
或
（ ）
A．
B．
C．
D．
三、填空题
9．已知实数集合
的最大元素等于该集合的所有元素之和，则
__________．
10．设全集
，集合
，
，则图中阴影部分表示的集
合为___________.
11．满足
，且
的集合
的个数是_____________.
12．若集合
有且仅有2 个子集，则满足条件的实数
的最小值
是____.
四、解答题
13．已知集合
，
，若
，求实数
的值.
14．已知全集
，
,
(1)
；
7
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(2)求
.
15．若
，且A B=A
∪
，求由实数a 的值组成的
集合．
16．集合
是由形如
的数构成的，试分别判断
，
，
与集合
的关系.
提升题型训练
一、单选题
1．满足条件
的集合
的个数为
A．6 个
B．7 个
C．8 个
D．9 个
2．已知全集U={1,3,5,7,9},集合A={1,|a-5|,9},∁UA={5,7},则a 的值是( )
A．2
B．8
C．-2 或8
D．2 或8
3．已知集合
，
，全集
，则
等
于（ ）
A．
B．
C．
D．
4．设集合
,
,若
,则
（ ）
A．-1
B．1
C．-1 或1
D．0
5．已知集合
，
，则
A．
B．
C．
D．
8
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6．设集合
，
，则
（ ）．
A．
B．
C．
D．
7．集合A，B，C 满足
，则成立的等式是（ ）．
A．
B．
C．
D．
8．对于集合
，
，定义
，
，设
，
，则
A．
B．
C．
D．
9．已知集合
，若
且集合
中恰有2 个元素，则
满足条件的集合
的个数为（ ）．
A．1
B．3
C．6
D．10
10．若
是一个非空集合，
是一个以
的某些子集为元素的集合，且满足:（1）
；（2）对于
的任意子集
，当
且
时，有
；
（3）对于
的任意子集
当
且
时，有
，则称
是集合
的一
个“
——集合类”例如:
是集合
的一个“
——集合类”.已知
，则所有含
的“
——集合类”的个数为（ ）
A．9
B．10
C．11
D．12
9
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二、多选题
11．已知集合
，
．若
，则实数m 的值为
（ ）
A．0
B．1
C．-3
D．3
12．已知
是同时满足下列条件的集合：①
；②若
，则
；
③
且
，则
．下列结论中正确的有（ ）
A．
B．
C．若
，则
D．若
，则
13．给定集合
，若对于任意
，
，有
，且
，则称集合A 为闭集合，
以下结论正确的是（ ）
A．集合
为闭集合；
B．集合
为闭集合；
C．集合
为闭集合；
D．若集合
为闭集合，则
为闭集合．
14．设非空集合
满足：当
时，有
，给出如下四个命题，其中
真命题是（ ）
A．若
，则
；
B．若
，则
；
C．若
，则
；
D．若
，则
10
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三、填空题
15．关于
的方程
的解集为______．
16．已知集合
，
，若
，则由实数
的所有可能的取值组成的
集合为______.
17．定义有限数集
中的最大元素与最小元素之差为
的“长度”，如：集合
的“长度”为3，集合
的“长度”为0.已知集合
，则
的所有非空
子集的“长度”之和为_________.
18．设集合
是小于5 的质数，则
的真子集的个数为______，
的非空真子集
的个数为______.
11
