专题1.9 二次函数与一元二次方程、不等式（举一反三复习讲义）
【全国通用】
考点要求
(1)会从实际情景中抽象出一元二次不等式
(2)掌握三个“二次”的关系，会解一元二次不等式
(3)了解分式、高次、绝对值不等式的解法
高考真题
统计
考点
2024 年
2025 年
2026 年
二次函数与一
元二次方程、
不等式
上海卷（秋考）：第3
题，4 分
全国二卷：第4 题，5
分
天津卷：第15 题，5
分
上海卷（秋考）：第2
题，4 分
上海卷（春考）：第2
题，4 分
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命题规律
分析
1、二次函数与一元二次方程、不等式
一元二次不等式是每年高考数学的重要内容，从近三年高考情况来看，
解不等式是常考内容，高考中主要以选择题、填空题的形式呈现，一般最多
考查1 题，分值为4 分或5 分，主要考查解一元二次不等式、分式不等式，
难度不大，是基础题；复习时要加强解不等式的练习，做到简单题不丢分。
知识点1
一元二次不等式
1．一元二次不等式的解法
(1)解不含参数的一元二次不等式的一般步骤：
①通过对不等式变形，使二次项系数大于零；
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②计算对应方程的判别式；
③求出相应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程没有实根；
④根据函数图象与x 轴的相关位置写出不等式的解集．
(2)解含参数的一元二次不等式的一般步骤：
①若二次项系数含有参数，则需对二次项系数大于0、等于0 与小于0 进行讨论；
②若求对应一元二次方程的根需用公式，则应对判别式Δ进行讨论；
③若求出的根中含有参数，则应对两根的大小进行讨论．
2．分式、高次、绝对值不等式的解法
(1)解分式不等式的一般步骤：
①对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意分母不
为零．
②对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，
然后再用上述方法求解．
(2)解高次不等式的一般步骤：
高次不等式的解法：如果将分式不等式转化为正式不等式后，未知数的次数大于2，一般采用“穿针引线法”，
步骤如下：①标准化；②分解因式；③求根；④穿线；⑤得解集.
(3)解绝对值不等式的一般步骤：
对于绝对值不等式，可以分类讨论然后去括号求解；还可以借助数轴来求解.
3．一元二次不等式恒成立、存在性问题
不等式对任意实数x 恒成立，就是不等式的解集为R，对于一元二次不等式ax2＋bx＋c>0，它的解集为R
的条件
．
一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0，它的解集为R 的条件为
．
一元二次不等式ax2＋bx＋c>0 的解集为∅的条件为
．
知识点2
三个“二次”的关系
1．二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
∆>0
∆=0
∆<0
y=ax2+bx+ c(a>0)
的图象
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ax2+bx+ c=0(a>0)
的根
有两个不相等的实数根
x1,x2（x1<x2）
有两个相等的实数根
没有实数根
ax2+bx+ c>0(a>0)
的解集
{x|x<x1 或x>x2}
R
ax2+bx+ c<0(a>0)
的解集
{x|x1<x<x2}
【注】：(1)对于一元二次不等式的二次项系数为正且存在两个根的情况下，其解集的常用口诀是：大于取两
边，小于取中间．
(2)对于二次项系数是负数(即a<0)的不等式，可以先把二次项系数化为正数，再对照上述情况求解．
【方法技巧与总结】
1．已知关于x 的一元二次不等式
0
2
c
bx
ax
的解集为R，则一定满足
0
0
a
；
2．已知关于x 的一元二次不等式
0
2
c
bx
ax
的解集为∅，则一定满足
0
0
a
；
3．已知关于x 的一元二次不等式
0
2
c
bx
ax
的解集为R，则一定满足
0
0
a
；
4．已知关于x 的一元二次不等式
0
2
c
bx
ax
的解集为∅，则一定满足
0
0
a
．
【题型1
一元二次不等式的求解】
【例1】（2026·重庆·一模）“�2 + �−2 < 0”是“
2�
�−2 < 1”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解题思路】解不等式，利用集合之间的包含关系，充分条件、必要条件的概念即可得解
【解答过程】因为�2 + �−2 < 0，所以(�+ 2)(�−1) < 0，解得−2 < �< 1，
由
2�
�−2 < 1 ⇒
�+2
�−2 < 0 ⇒�+ 2
�−2 < 0 ⇒−2 < �< 2，
因为�| −2 < �< 1 是�| −2 < �< 2 的真子集，
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所以�2 + �−2 < 0 是
2�
�−2 < 1 成立的充分不必要条件.
故选：A.
【变式1-1】（2026·天津河东·二模）已知�∈�，“ 1 −2�≥3”是“�2 −2�−3 ≥0”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
【答案】B
【解题思路】先解出不等式，再根据集合间的关系，即可得答案．
【解答过程】1 −2�≥3 ⇒1 −2�≥3 或1 −2�≤−3，解得�= {�|�≤−1 或�≥2}，
�2 −2�−3 ≥0，解得�= {�|�≤−1 或�≥3}，
因为�是�的真子集，
所以“ 1 −2�≥3”是“�2 −2�−3 ≥0”的必要不充分条件．
故选：B．
【变式1-2】（2026·上海闵行·二模）设�∈�，不等式�2 −4�< 0 的解集是__________.
【答案】(0,4)
【解题思路】由一元二次不等式的解法求解即可.
【解答过程】因为�2 −4�< 0，即�(�−4) < 0，
令�(�−4) = 0，
解得�1 = 0, �2 = 4，
所以�(�−4) < 0 的解集为(0,4).
即不等式�2 −4�< 0 的解集是(0,4).
故答案为：(0,4).
【变式1-3】（2026·陕西渭南·二模）不等式�2 + 2|�| −3 < 0 的解集为__________．
【答案】�| −1 < �< 1
【解题思路】分�≥0 和�< 0 两种情况求解一元二次不等式的解集，最后求并集即得到结果.
【解答过程】当�≥0 时，不等式变为�2 + 2�−3 < 0，即�+ 3
�−1 < 0，
解得−3 < �< 1，又�≥0，所以此时不等式的解集为0 ≤�< 1；
当�< 0 时，不等式变为�2 −2�−3 < 0，即�−3
�+ 1 < 0，
解得−1 < �< 3，又�< 0，所以此时不等式的解集为−1 < �< 0；
所以不等式�2 + 2|�| −3 < 0 的解集为�| −1 < �< 1 .
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故答案为：�| −1 < �< 1 .
【题型2
由一元二次不等式的解确定参数】
【例2】（2026·陕西·模拟预测）已知关于x 的一元二次不等式2�2 −�+ �< 0 的解集为�−1 < �<
3
2 ，
则a=（
）
A．-3
B．3
C．−
1
2
D．
1
2
【答案】A
【解题思路】根据一元二次不等式的解与一元二次方程根的关系，结合韦达定理即可求解.
【解答过程】由不等式2�2 −�+ �< 0 的解集为�−1 < �<
3
2 ，
得−1 和
3
2是方程2�2 −�+ �= 0 的两个根，所以−1 ×
3
2 =
�
2，�=−3．
故选：A.
【变式2-1】（2026·黑龙江大庆·模拟预测）若关于�的不等式��2 + ��−2 > 0 的解集是
1
�, −2 ，则�的取
值范围是（
）
A．−∞, −
1
2
B．−
1
2 , + ∞
C．−
1
2 , 0
D．−
1
2 , 0 ∪0, + ∞
【答案】C
【解题思路】由已知根据解集的形式判断二次函数的开口方向和方程根的大小关系，即可求解.
【解答过程】因为关于�的不等式��2 + ��−2 > 0 的解集是
1
�, −2 ，
所以�< 0 且
1
�<−2，
解得−
1
2 < �< 0，所以�的取值范围是−
1
2 , 0 .
故选：C.
【变式2-2】（2026 高一上·湖南邵阳·专题练习）关于�的不等式�2 −(�+ 1)�+ �≤0 的解中有且仅有3 个
正整数解，则实数�的取值范围（）
A．3,4
B．4,5
C．3,4
D．4,5
【答案】C
【解题思路】对参数�分类讨论求解不等式�2 −(�+ 1)�+ �≤0，再根据解得情况分析可得实数�的取值范
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围.
【解答过程】由�2 −(�+ 1)�+ �≤0 可得(�−1)(�−�) ≤0
当�= 1 时，不等式的解集为1 ，不符合题意，舍去，
当�< 1 时，不等式的解集为��≤�≤1 ，其正整数解至多有1 个，不符合题意，舍去，
当�> 1 时，不等式的解集为�1 ≤�≤�，因为有且仅有3 个正整数解，故正整数解为1，2，3，所以
3 ≤�< 4，
综上，实数�的取值范围是3 ≤�< 4.
故选：C.
【变式2-3】（25-26 高一上·陕西咸阳·期中）甲、乙两人解关于�的不等式�2 + ��+ �< 0，甲写错了常数�，
得到的解集为�−3 < �< 2 ；乙写错了常数�，得到的解集为�1 < �< 4 ．若甲、乙两人除写错常数外，
其余求解过程都正确，则原不等式的解集为（
）
A．�−1 < �< 6
B．�−6 < �< 1
C．�−3 < �< 2
D．�2 < �< 3
【答案】A
【解题思路】根据给定条件，求出常数�和�，再解一元二次不等式即可.
【解答过程】由题意知，甲的常数�正确，由韦达定理可得�=−3 × 2 =−6，
乙的常数�正确，由韦达定理可得�=−1 + 4 =−5，
所以原不等式为�2 −5�−6 < 0，解得−1 < �< 6，
所以解集为�| −1 < �< 6 ，故A 正确.
故选：A.
【题型3
分式、绝对值不等式的求解】
【例3】（2026·辽宁沈阳·一模）不等式
�+1
3−�≥1 的解集（
）
A．1,3
B．1,3
C．−∞, 1
D．1,3 ∪3, + ∞
【答案】B
【解题思路】根据题意，化简不等式为
2(�−1)
�−3 ≤0，结合分式不等式的解法，即可求解.
【解答过程】由不等式
�+1
3−�≥1，可得
�+1
3−�−1 =
�+1−(3−�)
3−�
=
2�−2
3−�≥0，
即
2(�−1)
�−3 ≤0，即2(�−1)(�−3) ≤0，且�−3 ≠0，解得1 ≤�< 3，
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所以不等式的解集为1,3 .
故选：B.
【变式3-1】（2026·宁夏银川·模拟预测）已知集合�= �
2�−5
�+3 ≤0 ，�= �| −1 ≤�≤3 ，则�∪�=（
）
A．−3,3
B．−3,3
C．−1,
5
2
D．−1,
5
2
【答案】B
【解题思路】先求解分式不等式得到集合A，再结合集合B 求并集即可.
【解答过程】分式不等式
2�−5
�+3 ≤0 等价于
2�−5
�+ 3 ≤0
�+ 3 ≠0
，解得−3 < �≤
5
2，
则�= �−3 < �≤
5
2 .
所以�∪�= �−3 < �≤3 ，即�∪�= −3,3 .
故选：B.
【变式3-2】（25-26 高三下·湖南长沙·阶段检测）不等式
2�+5
�−2 ≤1 的解集为___________.
【答案】[ −7,2)
【解题思路】移项通分后转化为一元二次不等式求解．
【解答过程】因为
2�+5
�−2 ≤1 ⇒
2�+5
�−2 −1 ≤0 ⇒
�+7
�−2 ≤0
则{(�+ 7)(�−2) ≤0
�−2 ≠0
，解得−7 ≤�< 2，
所以不等式
2�+5
�−2 ≤1 的解集为[ −7,2).
故答案为：[ −7,2).
【变式3-3】（2026·上海闵行·一模）不等式
�+3
�−2 < 0 的解集为__________.
【答案】( −3,2)
【解题思路】将分式不等式转化为二次不等式，即可得解.
【解答过程】不等式
�+3
�−2 < 0 等价于(�+ 3)(�−2) < 0，
∴
�+3
�−2 < 0 的解集为−3,2 .
故答案为：( −3,2).
【题型4
一元二次方程根的分布问题】
【例4】（25-26 高一上·安徽合肥·期中）已知关于x 的方程�2 + �−2 �+ 5 −�= 0 有两个大于2 的相异
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实数根，则实数m 的取值范围是（
）
A．�| −5 < �≤−4 或�≥4}
B．�| −5 < �<−4
C．�| −5 < �≤−4
D．�| −5 < �<−4 或�> 4}
【答案】B
【解题思路】设关于x 的方程�2 + �−2 �+ 5 −�= 0 的两个根分别为�1, �2，根据�1, �2满足的条件列不
等式组，解不等式组即可得实数�的取值范围.
【解答过程】设关于x 的方程�2 + �−2 �+ 5 −�= 0 的两个根分别为�1, �2,
则由根与系数的关系，知�1 + �2 = 2 −�, �1�2 = 5 −�
所以由题意知，
Δ > 0
�1 −2 + �2 −2 > 0
�1 −2
�2 −2 > 0
即
�−2 2 −4 5 −�> 0
2 −�−4 > 0
5 −�−2 2 −�+ 4 > 0
，解得−5 < �<−4.
故选：B.
【变式4-1】（25-26 高三·全国·一轮复习）方程2�+ 1 �2 −2��+ �−1 = 0 有一正根和一负根的充分
不必要条件是（
）
A．−
1
2 < �< 1
B．�<−
1
2
C．0 < �< 1
D．−2 < �< 1
【答案】C
【解题思路】结合韦达定理和Δ研究一元二次方程的根或结合一元二次函数的图象特点求出�的范围，最后结
合充分条件、必要条件的定义判断.
【解答过程】方法1：因为方程有一正根和一负根，
则
2�+ 1 ≠0
�−1
2�+1 < 0
Δ = 4�2 −4 2�+ 1
�−1 > 0
，得−
1
2 < �< 1，
所以条件成立的一个充分不必要条件为0 < �< 1．
方法2：设��= 2�+ 1 �2 −2��+ �−1 ，
因为方程有一正根和一负根，
所以
2�+ 1 > 0
�0 = �−1 < 0 或
2�+ 1 < 0
�0 = �−1 > 0 ，解得−
1
2 < �< 1，
所以条件成立的一个充分不必要条件是0 < �< 1．
故选：C．
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【变式4-2】（25-26 高一上·北京延庆·期中）若关于�的方程(�−2)�2 + 2 3�+ �= 0 有一个正根和一个负
根，则实数�的取值范围是（
）
A．0 < �< 3
B．0 < �< 2
C．−1 < �< 3
D．−1 < �< 0
【答案】B
【解题思路】根据给定条件，借助韦达定理列出不等式求解即得.
【解答过程】由关于�的方程(�−2)�2 + 2 3�+ �= 0 有一个正根和一个负根，得该方程为一元二次方程，
因此
�
�−2 < 0，解得0 < �< 2，所以实数�的取值范围是0 < �< 2.
故选：B.
【变式4-3】（25-26 高一上·陕西·阶段检测）关于�的方程��2 −�+ 1 �−2�+ 3 = 0 有两个不相等的实数
根�1, �2，若−2 < �1 < �2 < 3，则实数�的取值范围是（
）
A．{�∣�> 1}
B．{�∣�> 1 或�<−
5
4 }
C．{�∣�>
1
5或�<
1
9 }
D．{�∣�> 1 或�<−
1
5 }
【答案】B
【解题思路】按照�= 0、�> 0 和�< 0 分类讨论，按照二次方程根的分布列不等式组求解即可.
【解答过程】当�= 0 时，方程−�+ 3 = 0 只有一个根，显然不符合题意；
当�> 0 时，则
−2 <
�+1
2�< 3
Δ = �+ 1 2 −4�3 −2�> 0
�−2 2 −�+ 1
−2 −2�+ 3 > 0
�⋅32 −3 �+ 1 −2�+ 3 > 0,
，解得�> 1；
当�< 0 时，则
−2 <
�+1
2�< 3
Δ = �+ 1 2 −4�3 −2�> 0
�−2 2 −�+ 1
−2 −2�+ 3 < 0
�⋅32 −3 �+ 1 −2�+ 3 < 0,
，解得�<−
5
4，
故�∈{�∣�> 1 或�<−
5
4 }．
故选：B.
【题型5
二次函数的图象分析与判断】
【例5】（25-26 高一上·广东揭阳·开学考试）如图，已知二次函数�= ��2 + ��+ ��≠0 的图象顶点在第
一象限，且经过�−1, 0 、�0, 1 两个点．则下列说法正确的是：（
）
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①���< 0；②−1 < �< 0；③0 < �< 1；④0 < �+ �+ �< 2．
A．①②④
B．①③④
C．②③④
D．①②③④
【答案】D
【解题思路】根据图象结合一元二次函数的性质逐项判断即可.
【解答过程】由图象可知，二次函数图象开口向下，则�< 0，图象与�轴交点为�0,1 ，所以�= 1 > 0，顶
点在第一象限，对称轴�=−
�
2�> 0，
又�< 0，所以�> 0，所以���< 0，①说法正确；
因为图象经过�−1,0 、�0,1 两个点，所以�−�+ �= 0
�= 1
，
解得�= �+ 1，因为�< 0，�> 0，所以−1 < �< 0，②说法正确；
由−1 < �< 0 得0 < �+ 1 < 1，即0 < �< 1，③说法正确；
因为图象顶点在第一象限，且经过�−1,0 ，由二次函数的对称性可知与�轴另一个交点的横坐标在1, + ∞
上，
所以当�= 1 时，�+ �+ �> 0，又−1 < �< 0，0 < �< 1，�= 1 > 0，
所以�+ �+ �< 2，即0 < �+ �+ �< 2，④说法正确.
故选：D.
【变式5-1】（25-26 高一上·全国·期末）二次函数�(�) = ��2 + ��+ �的部分对应值如表所示：
�
−3
−2
3
4
�(�)
−12
�
0
�
则关于�的不等式��2 + ��+ �> 0 的解集为（
）
A．( −1,3)
B．( −2,4)
C．( −∞, −1) ∪(3, + ∞)
D．( −∞, −2) ∪(4, + ∞)
【答案】A
【解题思路】根据给定数表，结合二次函数性质确定其图象对称轴及开口方向，进而求出不等式的解集.
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【解答过程】在二次函数�(�) = ��2 + ��+ �中，由�( −2) = �(4) = �，得�(�)图象的对称轴为直线�= 1，
由�(3) = 0，得�( −1) = 0，而�( −3) < �( −1)，则�(�)的图象开口向下，
所以�(�) = ��2 + ��+ �> 0 的解集为( −1,3).
故选：A.
【变式5-2】（25-26 高一上·湖南株洲·阶段检测）不等式��2 + ��+ �> 0 的解集为�−1 < �<
1
2 ，则函数
�= ��2 + ��−�的图象大致为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解题思路】根据不等式的解集得到�< 0，−1,
1
2为��2 + ��+ �= 0 的两个根，由韦达定理得到�=
1
2 �<
0, �=−
1
2 �> 0，从而根据二次函数的对称轴，开口方向及与�轴交点纵坐标的正负得到答案.
【解答过程】由题意得�< 0，−1,
1
2为��2 + ��+ �= 0 的两个根，
故−1 +
1
2 =−
�
�, −1 ×
1
2 =
�
�，即�=
1
2 �< 0, �=−
1
2 �> 0，
�= ��2 + ��−�开口向下，AC 选项错误，
对称轴为�=−
�
2�=−
−1
2�
�=
1
2 > 0，D 选项错误.
所以B 选项正确.
故选：B.
【变式5-3】（25-26 高一上·湖南常德·期中）已知二次函数�= ��2 + ��+ � （�, �, �为常数，且�≠0）的部
分图像如图所示，则（
）
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A．���< 0
B．�+ �> 0
C．�+ �+ �> 0
D．不等式��2 −��+ �> 0 的解集为� −
1
2 < �< 1
【答案】D
【解题思路】根据函数的图像，结合函数性质和韦达定理得出�, �, �的符号及相互关系，再利用�, �, �的符号
及相互关系逐一分析判断各选项．
【解答过程】由函数图像可知二次函数开口向上，对称轴为正值，函数的两个零点为−1 和2，
∴
�> 0
−
�
2�> 0
�1 + �2 =−
�
�= 1
�1�2 =
�
�=−2
⇒
�> 0
�=−�< 0
�=−2�< 0
，
选项A：∵�< 0, �< 0，∴��> 0，又∵�> 0，∴���> 0，故A 错误；
选项B：∵�=−�，∴�+ �= �−�= 0，故B 错误；
选项C：∵�=−�, �=−2�, �> 0，∴�+ �+ �= �−�−2�=−2�< 0，故C 错误；
选项D：∵�=−�, �=−2�, �> 0，
∴��2 −��+ �=−2��2 + ��−�= �−2�2 + �+ 1 > 0，
∵�> 0，∴原不等式等价于2�2 −�−1 = �−1
2�+ 1 < 0，解得−
1
2 < �< 1，
∴不等式的解集为� −
1
2 < �< 1 ，故D 正确．
故选：D．
【题型6
一元二次不等式恒成立问题】
【例6】（2026·陕西西安·模拟预测）若命题“∀�∈R,�2 + ��+ �+ 3 ≥0”为真命题，则实数�的取值范围是
（
）
A．−6,2
B．−6, −2
C．−2,6
D．2 −
7，2 +
7
【答案】C
【解题思路】由命题“∀�∈R，�2 + ��+ �+ 3 ≥0”为真命题，利用判别式，即可确定实数�的取值范围．
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【解答过程】由命题“∀�∈R，�2 + ��+ �+ 3 ≥0”为真命题，
∴△= �2 −4（�+ 3）≤0，
解得：−2 ≤�≤6，
故选：C.
【变式6-1】（25-26 高一上·江苏南通·期中）∀�∈−1, + ∞, �2 + 1 −��+ 1 −�≥0 恒成立，则实数�的
取值范围为（
）
A．−∞, −1
B．−∞, 0
C．−3,1
D．−∞, 1
【答案】D
【解题思路】将问题转化为�≤
�2+�+1
�+1 对于�∈−1, + ∞恒成立，进而由
�2+�+1
�+1
= �+ 1 +
1
�+1 −1 结合基本不
等式求解即可.
【解答过程】由�2 + 1 −��+ 1 −�≥0，且�+ 1 > 0，得�≤
�2+�+1
�+1 ，
则问题转化为�≤
�2+�+1
�+1 对于�∈−1, + ∞恒成立，
又
�2+�+1
�+1
=
�+1 2−�+1 +1
�+1
= �+ 1 +
1
�+1 −1 ≥2
�+ 1 ⋅
1
�+1 −1 = 1，
当且仅当�+ 1 =
1
�+1，即�= 0 时等号成立，
所以�≤
�2+�+1
�+1
min = 1，即实数�的取值范围为−∞, 1 .
故选：D.
【变式6-2】（25-26 高一上·云南红河·阶段检测）当0 ≤�≤3 时，不等式�2 −�+ 2 �+ �−3 < 0 恒成
立，则�的取值范围为（
）
A．−1,5
B．−1,3
C．0,3
D．0,5
【答案】C
【解题思路】结合题意利用主元变换法转化为一次函数的恒成立问题，进而建立不等式组，求解参数范围即
可.
【解答过程】因为当0 ≤�≤3 时，不等式�2 −�+ 2 �+ �−3 < 0 恒成立，
所以�2 −��−2�+ �−3 < 0 恒成立，整理得(1 −�)�+ �2 −2�−3 < 0 恒成立，
令�(�) = (1 −�)�+ �2 −2�−3，则
�(0) = �2 −2�−3 < 0
�(3) = 3 −3�+ �2 −2�−3 < 0 ，
解得�∈0,3 ，则�的取值范围为0,3 ，故C 正确.
故选：C.
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【变式6-3】（2026·内蒙古呼伦贝尔·模拟预测）当�> 0，�> 0 且满足�+ �−��=−3 时，若��> �2 + �+ 7
恒成立，则�的取值范围为（
）
A．−∞, −2 ∪1, + ∞
B．−1,2
C．−∞, −1 ∪2, + ∞
D．−2,1
【答案】D
【解题思路】由�+ �−��=−3，�> 0，�> 0，利用基本不等式推得��≥9，再由��> �2 + �+ 7 恒成立
得9 > �2 + �+ 7，求解即得.
【解答过程】因为�> 0，�> 0 且满足�+ �−��=−3，�+ �= ��−3 ≥2 ��，
即
��
2 −2 ��−3 ≥0 ⇔
��−3
��+ 1 ≥0，则��−3 ≥0，即��≥9，当且仅当�= �时，等
号成立，
又因为��> �2 + �+ 7 恒成立，所以9 > �2 + �+ 7，即�2 + �−2 < 0，
即�+ 2
�−1 < 0，解得−2 < �< 1.
故选：D.
【题型7
一元二次不等式有解问题】
【例7】（25-26 高一上·山西太原·期中）若存在�∈�，使得不等式��2 −��−1 > 0 成立，则实数�的取值
范围是（
）
A．−∞, −4
B．0, + ∞
C．−4,0
D．−∞, −4 ∪0, + ∞
【答案】D
【解题思路】应用分类讨论，结合对应二次函数的性质列不等式求参数范围.
【解答过程】当�= 0，则��2 −��−1 =−1 > 0，在�∈�上显然不成立，
当�≠0，则�> 0 或
�< 0
Δ = �2 + 4�> 0 ，得�> 0 或�<−4，
综上，实数�的取值范围是−∞, −4 ∪0, + ∞.
故选：D.
【变式7-1】（25-26 高一上·天津武清·期中）若命题“∃�∈�，使得�2 + 2��+ 2�+ 3 < 0”为真命题，则实数
a 的取值范围是（
）
A．�|�<−1
B．�| −1 ≤�≤3
C．{�|�<−1 或�> 3}
D．�|1 −
7
2 ≤�≤1 +
7
2
【答案】C
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【解题思路】根据题意，关于�的不等式�2 + 2��+ 2�+ 3 < 0 有解，则对应二次函数的判别式Δ > 0，解关于�
的不等式即可.
【解答过程】因为“∃�∈�，使得�2 + 2��+ 2�+ 3 < 0”为真命题，
则Δ = (2�)2 −4(2�+ 3) > 0，即�2 −2�−3 = (�+ 1)(�−3) > 0，
解之得{�|�<−1 或�> 3}，即C 正确.
故选：C.
【变式7-2】（25-26 高一上·江西吉安·期中）若两个正实数�, �满足
1
�+
4
�= 2 且存在这样的�, �使不等式��−
�2 −3�< 0 有解，则实数�的取值范围是（
）
A．( −1,4)
B．( −∞, −4) ∪(1, + ∞)
C．( −4,1)
D．( −∞, −3) ∪(0, + ∞)
【答案】B
【解题思路】运用基本不等式求得��的最小值，存在�, �使��−�2 −3�< 0 成立，即(��)min < �2 + 3�，
解不等式即可.
【解答过程】∵正实数�, �满足
1
�+
4
�= 2 ≥2
4
��，得
4
��≤1
∴��≥4.
当且仅当
1
�=
4
�且
1
�+
4
�= 2，即�= 1, �= 4 时，等号成立.
∵存在�, �使不等式��< �2 + 3�有解，即(��)min < �2 + 3�
∴4 < �2 + 3�，可解得�> 1 或�<−4，即�∈−∞, −4 ∪1, + ∞.
故选：B.
【变式7-3】（25-26 高一上·天津南开·阶段检测）若关于x 的不等式�2 + 2�+ 9 < �2 + 2�有实数解，则实
数m 的取值范围是（
）
A．−∞, −4 ∪2, + ∞
B．−∞, −4 ∪2, + ∞
C．−4,2
D．−∞, −2 ∪4, + ∞
【答案】A
【解题思路】设��= �2 + 2�+ 9，若要使不等式�2 + 2�+ 9 < �2 + 2�有实数解；则�(�)min < �2 + 2�；
然后根据一元二次不等式解出答案．
【解答过程】设��= �2 + 2�+ 9，
若要使不等式�2 + 2�+ 9 < �2 + 2�有实数解；
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则需要满足�(�)min < �2 + 2�即可，
又��= �2 + 2�+ 9 = (�+ 1)2 + 8，
则�(�)min = �−1 = 8；
则8 < �2 + 2�，解得�<−4 或�> 2；
故选：A．
一、单选题
1．（2026·宁夏·一模）不等式
1
�−1 ≥2 的解集为（
）
A．1,
3
2
B．1,
3
2
C．−∞,
3
2
D．−∞, 1
【答案】B
【解题思路】根据分式不等式求解方法进行求解即可．
【解答过程】由不等式
1
�−1 ≥2，即
2�−3
�−1 ≤0，
则
2�−3
�−1 ≤0
�≠1
，解得1 ≤�≤
3
2
�≠1
，即1 < �≤
3
2，
所以不等式
1
�−1 ≥2 的解集为1,
3
2 ．
故选：B.
2．（2026·江苏苏州·三模）设�∈�，则“�≤1”是“�2 ≤�”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解题思路】先求解不等式�2 ≤�的解集得到�的取值范围，再根据充分条件、必要条件的定义判断关系.
【解答过程】由�2 ≤�，得�2 −�= �(�−1) ≤0，即0 ≤�≤1，
则“�≤1
”是“�2 ≤�”的必要不充分条件.
故选：B.
3．（2026·海南儋州·二模）已知集合�= �|�2 −3�≤0 ，�= −2,0,4 ，则∁��∩�=（
）
A．0
B．−2,4
C．−2,0
D．−2,0,4
【答案】B
【解题思路】先计算集合�，然后根据补集以及交集的概念即可求解.
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【解答过程】已知集合�= �|�2 −3�≤0 ，解不等式�2 −3�≤0，得0 ≤�≤3，因此�= �|0 ≤�≤3 ，
所以∁��= {�|�< 0 或�> 3}，
又因为�= −2,0,4 ，所以(∁��) ∩�= { −2,4}，故B 正确.
故选：B.
4．（2026·新疆·二模）不等式
�−3
�+2
�2
≤0 的解集是（
）
A．�∣−2 ≤�≤3
B．{�∣�≥3 或�≤−2}
C．{�∣−2 ≤�< 0 或0 < �≤3}
D．{�∣�> 3 或�<−2}
【答案】C
【解题思路】由题意将原不等式化成不等式组，分别求解再求交集即得.
【解答过程】由
�−3
�+2
�2
≤0 可得
�−3
�+ 2 ≤0
�≠0
,
则可得−2 ≤�≤3 且�≠0,
故不等式的解集为{�∣−2 ≤�< 0 或0 < �≤3}.
故选：C.
5．（2026·陕西咸阳·二模）已知命题“∃�∈�，使�2 + �+ �−2 ≤0”是假命题，则实数�的取值范围是（
）
A．−∞, 0
B．0,4
C．4, + ∞
D．
9
4 , + ∞
【答案】D
【解题思路】由题意可知命题“∀�∈�，�2 + �+ �−2 > 0”为真命题，可得出Δ < 0，可得出实数�的取值范
围.
【解答过程】因为命题“∃�∈�，使�2 + �+ �−2 ≤0”是假命题，
则命题“∀�∈�，�2 + �+ �−2 > 0”为真命题，则Δ = 1 −4 �−2 = 9 −4�< 0，解得�>
9
4，
故实数�的取值范围是
9
4 , + ∞.
故选：D.
6．
（2026·河南·模拟预测）已知关于�的一元二次不等式2�2 −�+ �< 0 的解集为�−1 < �< �
�>−1 ，
则�+ �=（
）
A．−
3
2
B．
3
2
C．−
5
2
D．
5
2
【答案】A
【解题思路】根据一元二次不等式的解与一元二次方程根的关系，结合韦达定理即可求解.
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【解答过程】由题意可得�，−1 为方程2�2 −�+ �= 0 的根，
由韦达定理可得
�−1 =
1
2
�× −1 =
�
2
，解得�=
3
2
�=−3
，故�+ �= −
3
2.
故选：A.
7．（2026·浙江·模拟预测）若关于�的不等式�2 + ��+ �< 0 的解集为(5,6)，则不等式
�2+��−12
�+�
> 0 的解集
为（
）
A．−1,12 ∪30, + ∞
B．−∞, −12 ∪0,30
C．−∞, −30 ∪−1,12
D．−30, −1 ∪12, + ∞
【答案】D
【解题思路】根据给定不等式的解集，结合韦达定理求出�, �，再代入并将不等式转化为不等式组求解.
【解答过程】由不等式�2 + ��+ �< 0 的解集为(5,6)，得5,6 是方程�2 + ��+ �= 0 的二根，
则�=−11, �= 30，不等式
�2+��−12
�+�
> 0 化为
�2−11�−12
�+30
> 0 ⇔
(�+1)(�−12)
�+30
> 0，
即(�+ 1)(�−12) > 0
�+ 30 > 0
或(�+ 1)(�−12) < 0
�+ 30 < 0
，解得−30 < �<−1 或�> 12，
所以所求不等式的解集为−30, −1 ∪12, + ∞.
故选：D.
8．（2026·海南省直辖县级单位·二模）已知正数�，�满足�−2
�−1 = 2.若不等式�+ 2�> �2 −2�
恒成立，则实数�的取值范围是（
）
A．−∞, −4 ∪2, + ∞
B．−∞, −2 ∪4, + ∞
C．−4,2
D．−2,4
【答案】D
【解题思路】由基本不等式乘“1”法，求得�+ 2�的最小值，进而可求解.
【解答过程】由题意可知，不等式�+ 2�> �2 −2�恒成立，
即�+ 2�min > �2 −2�，
∵�−2
�−1 = 2，即�+ 2�= ��
∴
2
�+
1
�= 1，
∴�+ 2�= �+ 2�×
2
�+
1
�= 4 +
4�
�+
�
�，
∵�> 0，�> 0，
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∴
4�
�> 0，
�
�> 0，
∴
4�
�+
�
�≥2
4�
�⋅
�
�= 4，当且仅当
4�
�=
�
�，即�= 4
�= 2 时等号成立，
∴当�= 4
�= 2 时，�+ 2�取得最小值为8，
∴�2 −2�< 8，即�−4
�+ 2 < 0，解得−2 < �< 4.
故选：D.
二、多选题
9．（2026 高一上·江苏·专题练习）（多选）关于�的不等式��2 + 2�−1 �−2 > 0，其中�≤0，则该不等
式的解集可能是（
）
A．−∞, −2
B．−2,
1
�
C．−∞, −2 ∪
1
�, + ∞
D．
1
�, −2
【答案】ABD
【解题思路】对不等式��2 + 2�−1 �−2 > 0 中的参数�讨论分析即可．
【解答过程】当�= 0 时，不等式��2 + 2�−1 �−2 > 0，即−�−2 > 0，�<−2，
故不等式的解集为−∞, −2 ，故A 可能；
当�< 0 时，��2 + 2�−1 �−2 = ��+ 2
�−
1
�> 0，即�+ 2
�−
1
�< 0，
当�∈−
1
2 , 0 时，�+ 2
�−
1
�< 0，其解集为
1
�, −2 ，故D 可能；
当�=−
1
2时，不等式�+ 2
�−
1
�< 0 无解；
当�∈−∞, −
1
2 时，�+ 2
�−
1
�< 0，其解集为−2,
1
�，故B 可能.
故选：ABD.
10．
（2026·西藏林芝·二模）已知关于�的不等式��2 + ��+ �> 0 的解集为−1,2 ，则下列说法正确的是（
）
A．�< 0
B．�+ �+ �< 0
C．不等式��+ �< 0 的解集为−∞, 1
D．不等式��2 + �−1 �+ 2 > 0 的解集为
1
�, 2
【答案】AD
【解题思路】由不等式的解集的特征判断A；利用解集可得�、�、�间关系，即可判断B；利用�、�、�间关
系，计算即可判断C、D.
【解答过程】对于选项A：由关于�的不等式��2 + ��+ �> 0 的解集为−1,2 ，可得�< 0，故A 正确；
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对于选项B：由题意可得��2 + ��+ �= ��+ 1
�−2 = ��2 −��−2�> 0，
故�=−�，�=−2�，则�+ �+ �= �−�−2�=−2�> 0，故B 错误；
对于选项C：��+ �= ��−�= ��−1 < 0，由�< 0，故�−1 > 0，即�> 1，
所以不等式��+ �< 0 的解集为1, + ∞，故C 错误；
对于选项D：��2 + �−1 �+ 2 = ��2 + −2�−1 �+ 2 = ��−1
�−2 > 0，
由�< 0，则该不等式解集为
1
�, 2 ，故D 正确.
故选：AD.
11．（2026·云南昆明·模拟预测）已知关于x 的不等式��2 + ��+ �≥0 的解集为�−3 ≤�≤4 ，则下列
说法正确的有（
）
A．�< 0
B．不等式��2 −��+ �< 0 的解集为�−
1
4 < �<
1
3
C．�+ �+ �< 0
D．9�−3�+ �> 0
【答案】AB
【解题思路】由不等式的解集为两根之间可判断A；由不等式的解集可知对应方程的根，从而得到�, �, �之间
的关系，可判断BCD.
【解答过程】关于x 的不等式��2 + ��+ �≥0 的解集为�−3 ≤�≤4 ，
由不等式的解集为两根之间，得�< 0，故A 正确；
由题意可知−3 和4 是方程��2 + ��+ �= 0 的两根，
可得
−
�
�=−3 + 4
�
�=−3 × 4
，解得
�=−�
�=−12�，
对于B，��2 −��+ �< 0 ⇒−12��2 + ��+ �< 0，所以12�2 −�−1 < 0 ⇒−
1
4 < �<
1
3，
所以不等式的解集为�−
1
4 < �<
1
3 ，故B 正确；
对于C，�+ �+ �= �−�−12�=−12�> 0，故C 错误；
对于D，当�=−3 时，9�−3�+ �= 0，故D 错误.
故选：AB．
三、填空题
12．（2026·广东·三模）不等式
2�−1
�+1 ≤1 的解集是___________．
【答案】�−1 < �≤2
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【解题思路】利用分式的运算性质，结合一元二次不等式的解法进行求解即可.
【解答过程】
2�−1
�+1 ≤1 ⇒
2�−1
�+1 −1 ≤0 ⇒
2�−1
�+1 −
�+1
�+1 ≤0 ⇒
�−2
�+1 ≤0
⇒
�−2
�+ 1 ≤0
�+ 1 ≠0
⇒−1 < �≤2，
所以原不等式的解集为�−1 < �≤2 .
故答案为：�−1 < �≤2 .
13．
（2026·上海·模拟预测）��+ �< 0 的解集为
−∞, −1 ，则
��−�
�+ 2 < 0 的解集为___________．
【答案】−2,1
【解题思路】由不等式��+ �< 0 的解集为( −∞, −1)，可得到�= �且�> 0,代入一元二次不等式求解即
可.
【解答过程】由题干知，不等式��+ �< 0 的解集为( −∞, −1)，
可得到�= �
�> 0 ，代入一元二次不等式得
(��−�)(�+ 2) < 0 ⇒ �(�−1)(�+ 2) < 0，
由于�> 0，所以(�−1)(�+ 2) < 0，即−2 < �< 1.
故答案为：( −2,1).
14．（2026·陕西商洛·模拟预测）若关于�的不等式��2 −��+ 1 > 0 的解集为−∞,
2
�∪�, + ∞，其中
�> 0，则�+
3
�的最小值为___________.
【答案】2 2
【解题思路】由题意得�=
1
2 , �=
1
2 �+
1
�, �> 0，进一步由基本不等式即可求解.
【解答过程】若关于�的不等式��2 −��+ 1 > 0 的解集为−∞,
2
�∪�, + ∞，其中�> 0，
则
�> 0
1
�= �⋅
2
�= 2
�
�= �+
2
�
�>
2
�
，解得�=
1
2 , �=
1
2 �+
1
�, �>
2，
所以�+
3
�=
1
2 �+
4
�≥2 2, �> 0 ，
等号成立当且仅当�= 2 2，
所以�+
3
�的最小值为2 2.
故答案为：2 2.
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四、解答题
15．（25-26 高三·全国·一轮复习）解下列关于�的不等式.
(1) �+ 1 2 −�≥7；
(2)
2�+5
�−2 < 1.
【答案】(1) −∞, −3] ∪[2, + ∞
(2) −7,2
【解题思路】（1）将其整理成一元二次不等式再求解；
（2）利用比值小于0 等价转化成整式不等式再求解.
【解答过程】（1）不等式�+ 1 2 −�≥7 整理得�2 + �−6 = (�−2)(�+ 3) ≥0，
解得�≤−3 或�≥2，
则不等式�+ 1 2 −�≥7 的解集为−∞, −3] ∪[2, + ∞.
（2）
2�+5
�−2 < 1，即
2�+5
�−2 −1 < 0，即
�+7
�−2 < 0，
等价于(�+ 7)(�−2) < 0，解得−7 < �< 2，
因此不等式的解集为−7,2 .
16．
（25-26 高一上·天津东丽·阶段检测）已知关于x 的不等式(�−1)�2 −2��−2 < 0 的解集为{�−1 < �<
2 }.
(1)求实数a，b 的值；
(2)若�≤0，求关于x 的不等式���2 + (�−�)�−1 ≥0 的解集.
【答案】(1)�= 2, �=
1
2
(2)答案见详解
【解题思路】（1）根据一元二次不等式的解集与其对应的方程的根之间的关系，结合韦达定理计算即可求
解；
（2）原不等式可变形为2��2 + (�−2)�−1 ≥0，分类讨论：�= 0、�=−2、−2 < �< 0、�<−2，
解出对应不等式的解集即可.
【解答过程】（1）由题意知，�−1 > 0，即�> 1.
因为不等式(�−1)�2 −2��−2 < 0 的解集为{�−1 < �< 2}，
所以−1、2 是方程(�−1)�2 −2��−2 = 0 的两个实根，
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有
−1 + 2 =
2�
�−1
−1 × 2 =
−2
�−1
，解得
�= 2
�=
1
2
,
此时不等式为�2 −�−2 < 0，符合题意，
所以�= 2, �=
1
2；
（2）由（1）知，�= 2，
则不等式���2 + (�−�)�−1 ≥0 可变形为2��2 + (�−2)�−1 ≥0，
若�= 0，则−2�−1 ≥0，解得�≤−
1
2，
此时原不等式的解集为{��≤−
1
2 }；
若�< 0，则方程2��2 + (�−2)�−1 = 0 的解为−
1
2或
1
�，
当−
1
2 =
1
�即�=−2 时，原不等式的解集为{��=−
1
2 }；
当−
1
2 >
1
�即−2 < �< 0 时，原不等式的解集为{�
1
�≤�≤−
1
2 }；
当−
1
2 <
1
�即�<−2 时，原不等式的解集为{�−
1
2 ≤�≤
1
�}.
综上，当�= 0 时，不等式的解集为{��≤−
1
2 }；
当�=−2 时，不等式的解集为{��=−
1
2 }；
当−2 < �< 0 时，不等式的解集为{�
1
�≤�≤−
1
2 }；
当�<−2 时，不等式的解集为{�−
1
2 ≤�≤
1
�}.
17．（2026·四川·模拟预测）关于�的不等式�2 + 2 < 3 �+ 2 的解集记为�．关于�的不等式
�−�2
�+1 < 0 的解集
记为�．
(1)求集合�；
(2)若“�∈�”是“�∈�”的必要不充分条件，求实数�的取值范围．
【答案】(1)�= �−1 < �< 4
(2)−2 < �< 2
【解题思路】（1）解二次不等式即可得到集合�；
（2）根据题意求出集合�= �−1 < �< �2 ，再由“�∈�”是“�∈�”的必要不充分条件，得到集合�是集合
�的真子集，则�2 < 4，解不等式即可．
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【解答过程】（1）不等式�2 + 2 < 3 �+ 2 ，
即�2 −3�−4 = �+ 1
�−4 < 0，解得−1 < �< 4，
∴�= �−1 < �< 4 ；
（2）不等式
�−�2
�+1 < 0，
即�−�2
�+ 1 < 0，解得−1 < �< �2，
所以集合�= �−1 < �< �2 ，
又因为“�∈�”是“�∈�”的必要不充分条件，
∴集合�是集合�的真子集，
∴�2 < 4，解得−2 < �< 2，
则实数�的取值范围是−2 < �< 2．
18．（2026·海南儋州·模拟预测）已知关于�的不等式��2 −3�+ �< 0 的解集为�1 < �< 2 .
(1)求a，b 的值并求解不等式��2 + ��−3 ≥0 的解集；
(2)当�> 0，�> 0 且满足
�
�+
�
�= 1 时，有2�+ �≥�2 + 4 恒成立，求�的取值范围.
【答案】(1)�= 1，�= 2；解集为−∞, −3 ∪1, + ∞.
(2) −2,2
【解题思路】（1）根据一元二次不等式与一元二次方程的关系，结合韦达定理即可求出�，�的值，进而求
解不等式.
（2）根据基本不等式求出2�+ �的最值，结合不等式恒成立即可求出范围.
【解答过程】（1）由题意知，1 和2 是��2 −3�+ �= 0 的两个根，且�> 0，
所以1 + 2 =
3
�，1 × 2 =
�
�，解得�= 1，�= 2.
将�= 1，�= 2 代入��2 + ��−3 ≥0 可得，�2 + 2�−3 ≥0，即�−1
�+ 3 ≥0，
解得�≤−3 或�≥1.
所以解集为−∞, −3 ∪1, + ∞.
（2）由（1）知，
�
�+
�
�=
1
�+
2
�= 1（�> 0，�> 0），
所以2�+ �= 2�+ �
1
�+
2
�= 2 +
4�
�+
�
�+ 2 ≥4 + 2
4�
�×
�
�= 4 + 2 × 2 = 8，
当且仅当
4�
�=
�
�，即�= 2�= 4 时，等号成立.
所以2�+ �的最小值为8.
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又2�+ �≥�2 + 4 恒成立，故�2 + 4 ≤8 恒成立，即�2 ≤4，解得−2 ≤�≤2.
�的取值范围为−2,2 .
19．（25-26 高一上·浙江·期中）已知函数��= �2 −�−2 �−2�.
(1)当�= 4 时，求关于�的不等式��< 0 的解集；
(2)求关于�的不等式��< 0 的解集；
(3)若��> 0 在区间3, + ∞上恒成立，求实数�的范围.
【答案】(1) �−2 < �< 4
(2)答案见解析
(3) −∞, 3 .
【解题思路】（1）根据一元二次不等式的解法求解；
（2）对�分类讨论求解即可；
（3）分离参数后得�<
�2+2�
�+2 = �，即可得解.
【解答过程】（1）当�= 4 时，��= �2 −2�−8 < 0，
则�−4
�+ 2 < 0，所以−2 < �< 4.
即不等式��< 0 的解集为�−2 < �< 4 .
（2）因为��= �+ 2
�−�< 0.
所以①当�=−2 时，不等式的解集为∅；
②当�<−2 时，不等式的解集为��< �<−2 ；
③当�>−2 时，不等式的解集为�−2 < �< �；
综上，当�=−2 时，不等式的解集为∅；当�<−2 时，不等式的解集为��< �<−2 ；当�>−2 时，不
等式的解集为�−2 < �< �.
（3）由��> 0 在区间3, + ∞上恒成立得�2 −�−2 �−2�> 0 在区间3, + ∞上恒成立
等价于��+ 2 < �2 + 2�在区间3, + ∞上恒成立.
因为�> 3，所以�+ 2 > 0
则�<
�2+2�
�+2 = �在区间3, + ∞上恒成立.
即�≤3，所以�的取值范围是−∞, 3 .
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