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专题13 双曲线
目录一览
2023 真题展现
考向一 双曲线的离心率
真题考查解读
近年真题对比
考向一 双曲线的渐近线方程
命题规律解密
名校模拟探源
易错易混速记/二级结论速记
考向一 双曲线的离心率
1．（2023•新高考Ⅰ•第16 题）已知双曲线C：x
2
a
2 −y
2
b
2 =1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2．点
A 在C 上，点B 在y 轴上，F1 A
→
⊥F1B
→
，F2 A
→
=−2
3 F2B
→
，则C 的离心率为 ．
【答案】3√5
5
解：（法一）如图，设F1（﹣c，0），F2（c，0），B（0，n），
设A（x，y），则F2 A
→
=( x −c，y )，F2B
→
=(−c，n)，
又F2 A
→
=−2
3 F2B
→
，则{
x−c = 2
3 c
y =−2
3 n
，可得A( 5
3 c，−2
3 n)，
又F1 A
→
⊥F1B
→
，且F1 A
→
=( 8
3 c，−2
3 n)，F1B
→
=(c，n)，
则F1 A
→
⋅F1B
→
= 8
3 c
2−2
3 n
2=0，化简得n2＝4c2．
又点A 在C 上，则
25
9 c
2
a
2
−
4
9 n
2
b
2 =1，整理可得25c
2
9a
2 −4 n
2
9b
2 =1，
代n2＝4c2，可得25c
2
a
2 −16c
2
b
2 =9，即25e
2−16e
2
e
2−1
=9，
1
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解得e
2= 9
5或1
5（舍去），
故e = 3√5
5
．
（法二）由F2 A
→
=−2
3 F2B
→
，得
| F2 A
→
|
| F2B
→
|
= 2
3，
设| F2 A
→
|=2t ，| F2B
→
|=3t，由对称性可得| F1B
→
|=3t，则| A F
→
1|=2t +2a，| AB
→
|=5t，
设∠F1AF2＝θ，则sinθ = 3t
5t = 3
5，所以cosθ = 4
5 = 2t +2a
5t
，解得t＝a，
所以| A F
→
1|=2t +2a= 4 a，| A F
→
2|=2a，
在△AF1F2 中，由余弦定理可得cosθ = 16a
2+ 4 a
2−4 c
2
16a
2
= 4
5 ，
即5c2＝9a2，则e = 3√5
5
．
【命题意图】
考查双曲线的定义、标准方程、几何性质、直线与双曲线．考查运算求解能力、逻辑推导能力、分析
问题与解决问题的能力、数形结合思想、化归与转化思想．
【考查要点】
双曲线的定义、方程、性质是高考常考内容，以小题出现，常规题，难度中等．
【得分要点】
一、双曲线的定义
把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这
两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．
注：1、集合语言表达式
双曲线就是下列点的集合:
.常数要小于两个定点的距离．
2、对双曲线定义中限制条件的理解
2
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(1)当||MF1|－|MF2||＝2a＞|F1F2|时，M 的轨迹不存在．
(2)当||MF1|－|MF2||＝2a＝|F1F2|时，M 的轨迹是分别以F1，F2为端点的两条射线．
(3)当||MF1|－|MF2||＝0，即|MF1|＝|MF2|时，M 的轨迹是线段F1F2的垂直平分线．
(4)若将定义中的绝对值去掉，其余条件不变，则动点的轨迹为双曲线的一支．具体是哪一支,取决于
与
的大小.
①若
,则
,点
的轨迹是靠近定点
的那一支;
②若
,则
,点
的轨迹是靠近定点
的那一支.
二、双曲线的方程及简单几何性质
标准方程
－＝1
(a>0，b>0)
－＝1
(a>0，b>0)
性质
图形
焦点
F1( －
c, 0)
，
F 2( c, 0)
F1(0
，－
c ) ，
F 2(0
，
c )
焦距
| F 1F2| ＝
2 c
范围
x ≤
－
a 或 x ≥
a ，y∈
y ≤
－
a 或 y ≥
a ，x∈
对称性
对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点
A1( －
a, 0)
，
A 2( a, 0)
A1(0
，－
a ) ，
A 2(0
，
a )
轴
实轴：线段A1A2，长：；
虚轴：线段B1B2，长：；
半实轴长：，半虚轴长：
离心率
e＝∈(1
，＋
∞
)
渐近线
y＝±x
y＝±x
三、双曲线的焦点三角形
双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角形．解决焦点三角形问题常利用双曲线的定义
和正弦定理、余弦定理．
以双曲线
x2
a2−y2
b2 =1(a>0,b>0)
上一点P(x0，y0)(y0≠0)和焦点F1(－c,0)，F2(c,0)为顶点的△PF1F2
中，若∠F1PF2＝θ，则
(1)双曲线的定义：||PF 1|−|PF 2||=2a
(2)余弦定理：|F1 F2|2
＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|·cos θ.
(3)面积公式：S△PF1F2＝|PF1||PF2|·sin θ，
3
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重要结论：S△PF1F2=
b2
tan θ
2
推导过程：由余弦定理得|F1F2|2=|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|·cos θ 得
由三角形的面积公式可得
S△PF1F2=
=
四、直线与双曲线的位置关系
1、把直线与双曲线的方程联立成方程组，通过消元后化为ax2＋bx＋c＝0 的形式，在a≠0 的情况下考察
方程的判别式．
(1)Δ>0 时，直线与双曲线有两个不同的公共点．
(2)Δ＝0 时，直线与双曲线只有一个公共点．
(3)Δ<0 时，直线与双曲线没有公共点．
当a＝0 时，此时直线与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线有一个公共点．
注：直线与双曲线的关系中：一解不一定相切，相交不一定两解，两解不一定同支．
2、弦长公式
直线被双曲线截得的弦长公式，设直线与椭圆交于
，
两点，则
（
为直线斜率）
3、通径的定义：过焦点且垂直于实轴的直线与双曲线相交于
、
两点，则弦长a=±1 .
考向一 双曲线的渐近线方程
2．（2021•新高考Ⅱ）已知双曲线
﹣
＝1（a＞0，b＞0）的离心率e＝2，则该双曲线的渐近线方程
4
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为
．
【解答】解：∵双曲线的方程是
，
∴双曲线渐近线为y＝
又∵离心率为e＝
＝2，可得c＝2a
∴c2＝4a2，即a2+b2＝4a2，可得b＝
a
由此可得双曲线渐近线为y＝
故答案为：y＝
查考近几年真题推测以小题出现，常规题，难度中等．双曲线的定义、方程、性质是高考常考内容，
一．双曲线的标准方程（共5 小题）
1．（2023•郑州模拟）已知双曲线
（a＞0，b＞0）的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为
（ ）
A．x±y＝0
B．
C．
D．2x±y＝0
【解答】解：∵双曲线的方程是
（a＞0，b＞0），
∴双曲线渐近线为y＝±
x．
又∵离心率为e＝
＝2，
∴c＝2a，
∴b＝
＝
a，
由此可得双曲线渐近线为y＝±
x＝±
x，即：
故答案为：
．
故选：C．
2．（2023•宝山区校级模拟）若双曲线经过点
，且渐近线方程是
，则这条双曲线的方
程是
．
5
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【解答】解：根据题意，双曲线的渐近线方程是
，
则可设双曲线的标准方程为
，（λ≠0）；
又因为双曲线经过点
，
代入方程可得，λ＝﹣1；
故这条双曲线的方程是
；
故答案为：
．
3．（2023•通州区模拟）双曲线
的焦点坐标为（ ）
A．（±1，0）
B．（±
，0）
C．（±
，0）
D．（±
，0）
【解答】解：双曲线
，可知a＝
，b＝1，c＝
，所以双曲线的焦点坐标为（
，
0）．
故选：C．
4．（2023•西山区校级模拟）已知双曲线
的一条渐近线的倾斜角为
，则双曲线的离心率为
（ ）
A．
B．
C．
D．2
【解答】解：双曲线
的一条渐近线的倾斜角为
，
则tan
＝
，
所以该条渐近线方程为y＝
x；
所以
＝
，
解得a＝
；
所以c＝
＝
＝2
，
所以双曲线的离心率为e＝
＝
＝
．
故选：A．
6
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5．（2023•青羊区校级模拟）已知双曲线
的右焦点为F，O 为坐标原点，
以OF 为直径的圆与双曲线C 的一条渐近线交于点O 及点
，则双曲线C 的方程为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：由双曲线的方程可得渐近线的方程：y＝
x，因为A（
，
） 在渐近线上，故
＝
所以a＝
，
又A 在以OF 为直径的圆上，所以OA⊥AF，
所以AF2+OA2＝OF2，即（
﹣c）2+（
）2+（
）2+（
）2＝c2 解得：c＝2，a＝
，b＝1，
所以双曲线的方程为：
﹣y2＝1，
故选：C．
二．双曲线的性质（共33 小题）
6．（2023•天山区校级模拟）已知双曲线
（a＞0，b＞0）的左右焦点分别为F1、F2，过F2且垂
直于x 轴的直线与双曲线交于A、B 两点，若△F1AB 为等腰直角三角形，则该双曲线的离心率为
（ ）
A．2
B．
C．
D．
【解答】解：已知双曲线
的左右焦点分别为F1、F2，
过F2且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A、B 两点，
若△F1AB 为等腰直角三角形，
此时|AF1|＝|BF1|，且∠AF1B＝90°，
因为∠AF1F2＝∠BF1F2＝45°，
而|AF2|＝|F1F2|，
则
，
即b2＝2ac，①
7
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又b2＝c2﹣a2，②
联立①②，解得
，
因为e＞1，
所以
．
故选：C．
7．（2023•朝阳区一模）过双曲线
的右焦点F 作一条渐近线的垂线，垂足为
A．若∠AFO＝2∠AOF（O 为坐标原点），则该双曲线的离心率为（ ）
A．
B．
C．2
D．
或2
【解答】解：在Rt△AFO 中，因为∠AFO＝2∠AOF，
所以∠AOF＝30°，则
，
所以
，
故选：B．
8．（2023•博白县模拟）已知F1，F2分别是双曲线C：
﹣
＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，P 为
双曲线右支上一点，若∠F1PF2＝60°，
＝
ac，则双曲线的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．2
【解答】解：设PF1＝m，PF2＝n，则
＝
＝
ac，
∴mn＝4ac，
由余弦定理可得：|F1F2|2＝4c2＝m2+n2﹣mn＝（m﹣n）2+mn，
由双曲线的定义可知m﹣n＝2a，
∴4c2＝4a2+4ac，即c2﹣a2＝ac，
∴e2﹣e﹣1＝0，解得e＝
或e＝
（舍）．
故选：A．
9．（2023•郑州模拟）点（4，0）到双曲线Γ：
的一条渐近线的距离为
，
则双曲线的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．5
8
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【解答】解：由题意可得双曲线的一条渐近线为：ay﹣bx＝0，
所以（4，0）到ay﹣bx＝0 的距离为
，
不妨设b＝4m（m＞0），
则
．
故选：C．
10．（2023•武鸣区校级二模）双曲线x2﹣
＝1 的焦点坐标为（ ）
A．（±1，0）
B．（0，±
）
C．（±
，0）
D．（0，±1）
【解答】解：根据题意，双曲线的方程为x2﹣
＝1，
其中a＝1，b＝
，其焦点在x 轴上，
则c＝
＝
，
所以双曲线的焦点坐标为（±
，0）；
故选：C．
11．（2023•河南模拟）已知双曲线
的左、右焦点分别为F1，F2，P 是双
曲线C 的一条渐近线上的点，且线段PF1的中点M 在另一条渐近线上．若∠PF2F1＝45°，则双曲线C 的
离心率为（ ）
A．
B．
C．2
D．
【解答】解：因为M，O 分别是PF1，F1F2的中点，
所以MO∥PF2，又∠PF2F1＝45°，
所以∠MOF1＝45°，即
，
所以a＝b，故
．
故选：A．
12．（2023•源汇区校级模拟）已知F1、F2分别为双曲线
＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，P 为
双曲线右支上任意一点，若
的最小值为2c，c＝
，则该双曲线的离心率是（ ）
A．3
B．4
C．
D．
【解答】解：由双曲线的性质可得|PF1|＝2a+|PF2|，
9
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所以|PF1|2＝4a2+4a|PF2|+|PF2|2，
所以
＝|PF2|+
+4a≥2
+4a＝8a，
由题意可2c＝8a，即c＝4a，
所以双曲线的离心率为e＝
＝4．
故选：B．
13．（2023•四川模拟）已知双曲线C：x2﹣
＝1（a＞b＞0）的左，右顶点分别为A，B，点P 在双曲线
C 上，过点B 作x 轴的垂线BM，交PA 于点M．若∠PAB＝∠PBM，则双曲线C 的离心率为（ ）
A．
B．
C．2
D．3
【解答】解：设P（m，n），可得m2﹣
＝1，
双曲线C：x2﹣
＝1（a＞b＞0）的左，右顶点分别为A，B，点P 在双曲线C 上，
过点B 作x 轴的垂线BM，交PA 于点M．∠PAB＝∠PBM，
过P 作x 轴的垂线，垂足为N，所以△PAN∽△BPN，
可得
，结合m2﹣
＝1，
可得b＝1，又a＝1，所以双曲线的离心率为：e＝
＝
．
故选：A．
14．（2023•贺兰县校级模拟）人们在进行工业设计时，巧妙地利用了圆锥曲线的光学性质．从双曲线右
焦点F2发出的光线通过双曲线镜面反射出发散光线，且反射光线的反向延长线经过左焦点F1.已知双曲
线的方程为x2﹣y2＝1，则当入射光线F2P 和反射光线PE 互相垂直时（其中P 为入射点），∠F1F2P 的
余弦值大小为（ ）
10
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A．
B．
C．
D．
【解答】解：设|PF1|＝m，|PF2|＝n，
则m﹣n＝2，m2+n2＝
，
解得m＝
+1，n＝
﹣1，
∴cos∠F1F2P＝
＝
，
故选：D．
15．（2023•海淀区校级模拟）若双曲线
的一条渐近线被圆（x﹣2）2+y2＝4 所截
得的弦长为
，则双曲线C 的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：由双曲线
的方程可得渐近线的方程为：y＝±
x，
即ax±2y＝0，
由圆（x﹣2）2+y2＝4 的方程可得圆心C（2，0），半径r＝2，
可得d＝
，
所以可得弦长2
＝2
＝
，解得a2＝
，
可得离心率e＝
＝
＝
＝
，
故选：B．
16．（2023•广西模拟）双曲线C：
（a＞0，b＞0）的左顶点为A，点P，Q 均在C 上，且关于
y 轴对称．若直线AP，AQ 的斜率之积为
，则C 的离心率为（ ）
A．
B．
C．2
D．
【解答】解：由题意知双曲线左顶点为A（﹣a，0），设P（x0，y0），则Q（﹣x0，y0），
11
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则有
，
又
，将
代入
中，得
，
即a2＝4b2，所以
，故
，
故选：A．
17．（2023•未央区模拟）设O 为坐标原点，F1，F2是双曲线C：
的左、右焦
点，已知双曲线C 的离心率为
，过F2作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P，则
＝（ ）
A．
B．2
C．
D．
【解答】解：设双曲线的一条渐近线为y＝
，
过F2作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P，则|PF2|＝b，
则|OP|＝a，cos∠PF2O＝
，
在△PF1F2中，cos∠PF2O＝
＝
，
得|PF1|2＝4c2﹣3b2＝4（a2+b）2﹣3b2＝4a2+b2，
∵e＝
，得
＝1+
＝3，
得
＝2，
则
＝
＝
＝
＝
＝
，
故选：A．
12
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18．（2023•贵阳模拟）已知双曲线C：mx2﹣ny2＝1（m＞0，n＞0）的离心率为
，虚轴长为4，则C
的方程为（ ）
A．3x2﹣4y2＝1
B．
C．
D．
【解答】解：由双曲线C：mx2﹣ny2＝1（m＞0，n＞0），
得
，可得a＝
，b＝
，c＝
，
∵双曲线的离心率为
，虚轴长为4，
∴
，解得
．
∴C 的方程为
．
故选：D．
19．（2023•郑州模拟）已知双曲线
的左焦点为F，过原点O 的直线与C 交于点A，B，若|
OF|＝|OA|，则|AF||BF|＝（ ）
A．2
B．4
C．8
D．16
【解答】解：双曲线
，则a＝2，b＝1，
，
由|OF|＝|OA|可得AF⊥BF，设A 为右支上一点，F2为右焦点，连接AF2、BF2，
13
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则四边形AFBF2为矩形，所以|AF2|＝|BF|，
设|AF|＝m，|BF|＝n，则m﹣n＝4，m2+n2＝20，
所以
．
故选：A．
20．（2023•蕉城区校级二模）已知双曲线
的左、右焦点分别为F1、F2，
过F2 的直线l 交双曲线的右支于A 、B 两点．点M 满足
，且
，者
，则双曲线的离心率是（ ）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：如下图所示，取线段BF1的中点E，连接AE，
因为
，则
，
因为E 为BF1的中点，则AE⊥BF1，且∠ABF1＝∠AF1B，
由双曲线的定义可得2a＝|AF1|﹣|AF2|＝|AB|﹣|AF2|＝|BF2|，
所以|BF1|＝|BF2|+2a＝4a，则|BE|＝|EF1|＝2a，
由余弦定理可得
14
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＝
＝
，
所以
，因此该双曲线的离心率为
．
故选：C．
21．（2023•凉山州模拟）已知以直线y＝±2x 为渐近线的双曲线，经过直线x+y﹣3＝0 与直线2x﹣y+6＝0
的交点，则双曲线的实轴长为（ ）
A．6
B．
C．
D．8
【解答】解：由
，解得
，则双曲线过点（﹣1，4）．
若双曲线的焦点在x 轴，设为
，
由双曲线的渐近线方程为y＝±2x，得
，即b＝2a，
将（﹣1，4）代入方程
，得
，
有
，无解，不符合题意；
若双曲线的焦点在y 轴，设为
，
由双曲线的渐近线方程为y＝±2x，得
，即a＝2b，
将（﹣1，4）代入方程
，得
，
有
，解得
，
所以双曲线的实轴长为
．
故选：C．
22．（2023•滨海新区校级三模）点F 是抛物线x2＝8y 的焦点，A 为双曲线C：
的左顶点，直线
AF 平行于双曲线C 的一条渐近线，则实数b 的值为（ ）
A．2
B．4
C．8
D．16
【解答】解：抛物线x2＝8y 的焦点为（0，2）．
15
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设A 为双曲线C：
的左顶点（﹣2
，0），渐近线方程为y＝±
x，
因为直线AF 平行于双曲线C 的一条渐近线，
所以
＝
，解得b＝4，
故选：B．
23．（2023•恩施市校级模拟）已知F1，F2分别为双曲线C：
的左右焦点，且F1到渐
近线的距离为1，过F2的直线l 与C 的左、右两支曲线分别交于A，B 两点，且l⊥AF1，则下列说法正
确的为（ ）
A．△AF1F2的面积为2
B．双曲线C 的离心率为
C．
D．
【解答】解：设双曲线C 的半焦距为c＞0，因为双曲线C 的焦点在x 轴上，且a＝2，
则其中一条渐近线方程为
，即bx﹣2y＝0，且F1（﹣c，0），
则F1到渐近线的距离为
，可得
，
对于A：因为|AF2|﹣|AF1|＝4 且
，
可得
，解得|AF1|⋅|AF2|＝2，
所以△AF1F2的面积为
，故A 错误；
对于B：双曲线C 的离心率为
，故B 错误；
对于C：因为
，可得
，
所以
•
＝
•
＝
•（
•+
）＝
2+
•
＝
2＝10﹣4
，故C 错误；
对于D：设|BF2|＝m，则
，
因为
，即
，解得
，
所以
＝
+
＝
，故D 正确．
故选：D．
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24．（2023•郑州模拟）已知F1，F2 分别是双曲线Γ：
的左、右焦点，过F1
的直线分别交双曲线左、右两支于A，B 两点，点C 在x 轴上，
，BF2平分∠F1BC，则双曲线
Γ 的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：因为
，则CB∥F2A，
所以△F1AF2∽△F1BC，
设|F1F2|＝2c，则|F2C|＝8c，
设|AF1|＝t，则|BF1|＝5t，|AB|＝4t．
因为BF2平分∠F1BC，由角平分线定理可知，
，
所以|BC|＝4|BF1|＝20t，
所以
，
由双曲线定义知|AF2|﹣|AF1|＝2a，即4t﹣t＝2a，
，①
又由|BF1|﹣|BF2|＝2a 得|BF2|＝5t﹣2a＝2t，
在△ABF2中，由余弦定理知
，
在△F1BF2中，由余弦定理知
，
即
，
化简得c2＝6t2，
把①代入上式得
，
解得
．
故选：A．
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25．（2023•沙坪坝区校级模拟）已知双曲线C：
的左、右焦点分别为F1，
F2，过双曲线C 上一点P 向y 轴作垂线，垂足为Q，若|PQ|＝|F1F2|且PF1与QF2垂直，则双曲线C 的离
心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：设双曲线
焦距为2c，不妨设点P 在第一象限，
由题意知PQ∥F1F2，由|PQ|＝|F1F2|且PF1与QF2垂直可知，四边形PQF1F2为菱形，
且边长为2c，而△QF1O 为直角三角形，|QF1|＝2c，|F1O|＝c，
故∠F1QO＝30°，∴∠QF1O＝60°，则∠F1QP＝120°
则
，|PF2|＝2c，
故
，
即离心率
．
故选：B．
26．（2023•林芝市二模）已知双曲线
的左、右焦点分别是F1，F2，双曲
线C 上有两点A，B 满足
，且
，若四边形F1AF2B 的周长l 与面积S 满足
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，则双曲线C 的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：不妨设|AF1|＝m，|AF2|＝n（m＞n），由双曲线的定义可知，m﹣n＝2a，则m2+n2﹣2mn＝
4a2①，又
，
所以由余弦定理可得m2+n2+mn＝4c2②，由①②可得
，
所以
．又四边形F1AF2B 为平行四边形，故四边形F1AF2B 的周长l＝2（m+n），
则
，面积
，因为
，
所以
，整理得2c2＝3a2，
故双曲线C 的离心率为
，
故选：A．
27．（2023•安徽模拟）在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线
的左、右
焦点分别为F1，F2，过F1的直线与双曲线C 的右支相交于点P，过点O，F2作ON⊥PF1，F2M⊥PF1，
垂足分别为N，M，且M 为线段PN 的中点，|ON|＝a，则双曲线C 的离心率为（ ）
A．2
B．
C．
D．
【解答】解：因为F1，F2为双曲线C 的左、右焦点，
所以|F1F2|＝2c，
因为ON⊥PF1，F2M⊥PF1
所以ON∥F2M，又O 为线段F1F2的中点，
所以N 为线段F1M 的中点，且
，
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又M 为线段PN 的中点，
所以
，
在Rt△OF1N 中，|ON|＝a，|OF1|＝b，
所以
，
所以|PF1|＝3b，|MP|＝b，
因为点P 在双曲线的右支上，
所以|PF1|﹣|PF2|＝2a，
故|PF2|＝3b﹣2a，
在Rt△MF2P 中，|MF2|＝2a，|MP|＝b，|PF2|＝3b﹣2a，
由勾股定理可得：（2a）2+b2＝（3b﹣2a）2，
所以8b2＝12ab，即2b＝3a，
所以4b2＝9a2，又b2＝c2﹣a2，
故4c2＝13a2，
所以
，
故选：D．
28．（2023•长沙模拟）已知双曲线4x2﹣
＝1 的左、右焦点分别为F1，F2，点M 是双曲线右支上一点，
满足
•
＝0，点N 是线段F1F2上一点，满足
＝λ
．现将△MF1F2沿MN 折成直二面角
F1﹣MN﹣F2，若使折叠后点F1，F2距离最小，则λ＝（ ）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：易知双曲线
中，
，
则
，
又
，即
，
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又
，
∴
，
如图，设∠NMF2＝θ，F2G⊥MN，F1H⊥MN，
则
，
∴
＝4sin2θ+（2cosθ﹣3sinθ）2+9cos2θ＝13（sin2θ+cos2θ）﹣12sinθcosθ＝13
﹣6sin2θ，
由三角函数知识可知，当
时，F1F2取得最小值，此时MN 为△MF1F2的角平分线，
由角平分线性质可知，此时
，则
，
∴
．
故选：C．
29．（2023•濠江区校级模拟）已知双曲线
的右焦点为F，过点F 且斜率为k
（k≠0）的直线l 交双曲线于A、B 两点，线段AB 的中垂线交x 轴于点D．若
，则双
曲线的离心率取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：设双曲线的右焦点为F（c，0），A（x1，y1），B（x2，y2），则直线l：y＝k（x﹣c），
联立方程
，消去y 得：（b2﹣a2k2）x2+2a2k2cx﹣a2（k2c2+b2）＝0，
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则可得
，
则
，
设
线
段
AB
的
中
点
M
（
x0
，
y0
）
，
则
，
即
，
且k≠0，线段AB 的中垂线的斜率为
，
则线段AB 的中垂线所在直线方程为
，
令y＝0，则
，解得
，
即
，则
，
由题意可得：
，即
，
整理得
，则
，
注意到双曲线的离心率e＞1，
∴双曲线的离心率取值范围是
．
故选：A．
30．（2023•洛阳模拟）已知双曲线C：
的左、右焦点分别为F1（﹣c，0），
F2（c，0），过点F1的直线l 与双曲线C 的左支交于点A，与双曲线C 的一条渐近线在第一象限交于点
B，且|F1F2|＝2|OB|（O 为坐标原点）．下列四个结论正确的是（ ）
①
；
②若
，则双曲线C 的离心率
；
③|BF1|﹣|BF2|＞2a；
22
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④
．
A．①②
B．①③
C．①②④
D．①③④
【解答】解：如图，∵|F1F2|＝2|OB|，O 为F1F2的中点，∴|OF1|＝|OF2|＝|OB|，得BF1⊥BF2，
则
，即|BF1|＝
，故①正确；
设∠BOF2＝θ，则tanθ＝
，cosθ＝
，sinθ＝
，
作AA1⊥x 轴，垂足为A1，BB1⊥x 轴，垂足为B1，
则|OB1|＝|OB|cosθ＝c•
＝a，|BB1|＝|OB|sinθ＝c•
＝b，
∵
，∴
＝
，得|AA1|＝
b，|A1F1|＝
（a+c），
则A（
（a﹣2c），
b），
∴
，得
（2c﹣a）＝
a，则e＝
，故②正确；
设直线l 与C 右支的交点为M，则|MF1|﹣|MF2|＝2a，
∵||MB|﹣|MF2||＜|BF2|，∴|MB|﹣|MF2|＞﹣|BF2|，
则|MF1|﹣|MF2|＝|BF1|+|MB|﹣|MF2|＞|BF1|﹣|BF2|，则|BF1|﹣|BF2|＜2a，故③错误；
设A（x0，y0），则|AF1|＝
＝
＝
＝|
|，得|AF1|＝﹣（
+a），由题意可知，0＜y0＜|BB1|＝b，
则a2＜
＝a2（1+
）＜2a2，则﹣
a＜x0＜﹣a，
故c﹣a＜|AF1|＝﹣
﹣a＜
c﹣a，故④正确．
故选：C．
23
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31．（2023•江西二模）已知双曲线E：
，其左右顶点分别为A1，A2，P 在双曲线右支上运动，
若∠A1PA2的角平分线交x 轴于D 点，A2关于PD 的对称点为A3，若仅存在2 个P 使直线A3D 与E 仅有
一个交点，则E 离心率的范围为（ ）
A．
B．
C．
D．（2，+∞）
【解答】解：设直线PA1的倾斜角为α，直线PA2的倾斜角为β，由题设可得P 不为右顶点．
设P（x0，y0），则
．
双曲线在P（x0，y0）处的切线斜率必存在，设切线方程为y＝k（x﹣x0）+y0，
由
可得
，
整理得到：
，
故
，
整理得：
即
，
故
，故切线方程为：
即
．
因为存在2 个P 使直线A3D 与E 仅有一个交点，
故由双曲线的对称性不妨设P 在第一象限，
此时α，β 均为锐角且存在唯一的P 满足题设条件．
故直线PD 与渐近线平行或与双曲线相切或
．
若直线PD 与渐近线平行，则
，
24
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而PD 为∠A1PA2的平分线，故其倾斜角γ 满足γ﹣α＝β﹣γ，故
，
故
，
故
，但
，
故
，
而
，由基本不等式可得
，
当且仅当tanα＝tanβ 即α＝β 时等号成立，此时PA1∥PA2，这不可能，
故直线PD 与渐近线不平行．
若直线PD 与双曲线相切，且切点为P（x0，y0），
双曲线在P 的切线方程为：
，
故
且该切线的斜率为
，所以直线A3D 的斜率为
．
此时
，
而
，
即
25
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，故a2＝a2+b2，矛盾．
故直线
，所以
，
而直线A3D 的倾斜角为α+β，
因为直线A3D 与双曲线有且只有一个交点，且D 在OA2之间，故
，
由P 在第一象限内的唯一性可得存在唯一的α，β，使得
，
而
，故
，
所以
即b2＞3a2，
所以
，
故选：D．
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32．（2023•江西模拟）双曲线
的左焦点为F，过点F 的直线l 与双曲线C 交于A，B 两点，
若过A，B 和点
的圆的圆心在y 轴上，则直线l 的斜率为（ ）
A．
B．
C．±1
D．
【解答】解：由题意可知：F（﹣2，0），设A（x1，y1），B（x2，y2），AB 的中点为P，
过点A，B，M 的圆的圆心坐标为G（0，t），则
，
由题意知：直线AB 的斜率存在且不为0，设直线AB 的方程为：x＝my﹣2，
联立方程组
化简整理可得，（m2﹣3）y2﹣4my+1＝0，
则m2﹣3≠0，Δ＝16m2﹣4（m2﹣3）＝12m2+12＞0，
，
故AB 的中点P 的纵坐标
，横坐标
，
则
，
由圆的性质可知：圆心与弦中点连线的斜率垂直于弦所在的直线，
所以
，化简整理可得：
①，
则圆心G（0，t）到直线AB 的距离
，
，
，即
，
将①代入可得：
，
即
，
27
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整理可得：m4﹣5m2+6＝0，则（m2﹣2）（m2﹣3）＝0，
因为m2﹣3≠0，所以m2﹣2＝0，解得
，
所以
．
故选：A．
33．（多选）（2023•宜章县模拟）已知F1，F2分别为双曲线C：
＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦
点，P 为双曲线C 的渐近线在第一象限部分上的一点，线段PF2与双曲线交点为Q，且|F1P|＝|F1F2|＝2|
PF2|，O 为坐标原点，则下列结论正确的是（ ）
A．|OP|＝2a
B．双曲线C 的离心率e＝
C．|QF1|＝
a
D．若△QF1F2的内心的横坐标为3，则双曲线C 的方程为
＝1
【解答】解：对于A，如图，过F2作F2H⊥PO，垂足点为H，
∵F2（c，0）到直线y＝
x 的距离d＝
＝b，
∴|F2H|＝b，又|OF2|＝c，tan∠POF2＝
，
∴易得|OH|＝a，又|F1F2|＝2|PF2|＝2|OF2|，
∴|PF2|＝|OF2|，∴H 为PO 的中点，
∴|OP|＝2|OH|＝2a，故A 正确；
对于B，设∠POF2＝θ，则tanθ＝
，∴cosθ＝
，sinθ＝
，
又由A 知|OP|＝2a，∴P（2acosθ，2asinθ），即P（
，
），
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又F1（﹣c，0），|F1P|＝|F1F2|＝2c，∴
＝2c，
两边平方化简，可得4a4+c4+4a2c2+4a2b2＝4c4，
∴4a4+c4+4a2c2+4a2（c2﹣a2）＝4c4，∴8a2＝3c2，
∴e2＝
＝
，∴e＝
，故B 错误；
对于C，设|QF1|＝t，则QF2|＝t﹣2a，
又|F1P|＝|F1F2|＝2|PF2|＝2c，∴cos∠QF2F1＝
＝
，
∴在△QF2F1中，由余弦定理，可得
＝
，
∴t＝
，又由B 知c＝
a，
∴t＝
＝
，故C 正确；
对于D，设△QF1F2的内心为I，且内切圆I 与F1F2切于点E，
则根据双曲线的定义及内切圆的几何性质，
可得|QF1|﹣|QF2|＝|F1E|﹣|F2E|＝2a，又|F1E|+|F2E|＝2c，
∴|F1E|＝c+a，|F2E|＝c﹣a，
∴切点E 为右顶点，又△QF1F2的内心的横坐标为3，
∴a＝3，又由B 知e＝
，
∴c＝2
，∴b2＝c2﹣a2＝24﹣9＝15，
∴双曲线C 的方程为
＝1，故D 正确，
故选：ACD．
34．（2023•万州区校级模拟）已知F1，F2为双曲线C：
＝1（a＞0，b＞0）的左右焦点，过点F1
作一条渐近线的垂线交双曲线右支于点P，直线PF2与y 轴交于点Q（P，Q 在x 轴同侧），连接QF1，
如图，若△PQF1内切圆圆心恰好落在以F1F2为直径的圆上，则∠F1PF2＝
；双曲线的离心率e
＝
．
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【解答】解：设F1（﹣c，0），F2（c，0），
如图可得△QF1F2为等腰三角形，则△PQF1的内切圆圆心I 在y 轴上，又I 恰好落在以F1F2为直径的圆
上，
可设I（0，c），双曲线的一条渐近线方程设为bx+ay＝0，
则直线PF1的方程设为ax﹣by+ac＝0，
则I 到直线PF1的距离为
＝|a﹣b|，
由图象可得a＜b，则|a﹣b|＝b﹣a，
设Q（0，t），且t＞c，则直线QF2的方程为tx﹣cy+tc＝0，
由内心的性质可得I 到直线QF2的距离为b﹣a，
即有
＝b﹣a，化简可得abt2﹣tc3+abc2＝0，由Δ＝c6﹣4a2b2c2＝c2（a2﹣b2）2，
解得t＝
或
＜c（舍去），
则Q（0，
），直线QF2的斜率为
＝﹣
，
可得直线QF2与渐近线OM：bx+ay＝0 平行，可得∠F1PF2＝
，
由F1到渐近线OM 的距离为
＝b，|OM|＝
＝a，
由OM 为△PF1F2的中位线，可得|PF2|＝2|OM|＝2a，|PF1|＝2|MF1|＝2b，
又|PF1|﹣|PF2|＝2a，则b＝2a，e＝
＝
＝
．
故答案为：
，
．
另解：设由F1向渐近线y＝﹣
x 所作垂线的垂足为M，△PQF1的内心为I，
由于|QF1|＝|QF2|，所以内心I 在y 轴上．
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又内心I 在以线段F1，F2为直径的圆上，
所以|OF1|＝|OF2|＝c，连接IF1．IF2，
则∠IF1O＝∠IF2O＝45°，设∠QF1I＝∠QF2I＝α，
则∠IF1P＝∠QF1I＝α，因此∠PF1F2＝45°﹣α，
而∠PF2F1＝∠QF2I+∠IF2O＝45°+α，
因此∠PF1F2+∠PF2F1＝45°﹣α+45°+α＝90°，故∠F1PF2＝90°．
又F1M⊥OM，所以OM∥PF2，所以M 为PF 的中点，易求得|OM|＝a，
于是|PF2|＝2a．由双曲线定义可得|PF1|＝2a+2a＝4a，
在Rt△PF1F2中，由勾股定理可得（4a）2+（2a）2＝（2c）2，
于是c2＝5a2，故得双曲线的离心率e＝
．
故答案为：
，
．
35 ．（2023• 淮北一模）已知双曲线C ：
过点
，则其方程为
，设F1，F2分别为双曲线C 的左右焦点，E 为右顶点，过F2的直线与双曲线C 的右支交于A，B 两点
（其中点A 在第一象限），设M，N 分别为△AF1F2，△BF1F2 的内心，则|ME|﹣|NE|的取值范围是
．
【解答】解：①因为双曲线C：
过点
，所以
，
所以双曲线C 的方程为
．
②如图：
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设△AF1F2的内切圆与AF1，AF2，F1F2分别切于H，D，G，
所以|AH|＝|AD|，|HF1|＝|GF1|，|DF2|＝|GF2|，
所以|AF1|﹣|AF2|＝|AH|+|HF1|﹣|AD|﹣|DF2|＝|HF1|﹣|DF2|＝|GF1|﹣|GF2|＝2a，
又|GF1|+|GF2|＝2c，所以|GF1|＝a+c，|GF2|＝c﹣a，
又|EF1|＝a+c，|EF2|＝c﹣a，所以G 与E（a，0）重合，所以M 的横坐标为a，同理可得N 的横坐标也
为a，
设直线AB 的倾斜角为θ．则
，
，
＝
＝
＝
＝
，
当
时，|ME|﹣|NE|＝0，
当
时，由题知，a＝2．c＝4，
．
因为A ，B 两点在双曲线的右支上，∴
，且
，所以
或
，
∴
．
且
，
，
32
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综上所述，
．
故答案为：
；
．
36．（多选）（2023•芜湖模拟）双曲线的光学性质：从双曲线一个焦点出发的光线，经双曲线反射后，
反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点．已知O 为坐标原点，F1，F2 分别是双曲线C：
的左右焦点，过F2 的直线交双曲线C 的右支于M，N 两点，且M（x1，y1）在第一象限，
△MF1F2，△NF1F2的内心分别为I1，I2，其内切圆半径分别为r1，r2，△MF1N 的内心为I．双曲线C 在
M 处的切线方程为
，则下列说法正确的有（ ）
A．点I1、I2均在直线x＝3 上
B．直线MI 的方程为
C．
D．
【解答】解：由双曲线
得a＝3，b＝4，c＝5，
设△MF1F2的内切圆I1与MF1，MF2，F1F2分别切于点A，B，H，
则|MA|＝|MB|，|F1A|＝|F1H|，|F2B|＝|F2H|，
所以|MF1|﹣|MF2|+|F1F2|＝|F1A|+|MA|﹣|F2B|﹣|MB|﹣|F1H+F2H|＝2a+2c＝16，
又|OF1|＝5，所以|OH|＝3，即圆I1与x 轴的切点是双曲线的右顶点，即I1在直线x＝3 上，
同理可得圆I2与x 轴的切点也是双曲线的右顶点，即I2也在直线x＝3 上，故选项A 正确；
因为△MF1N 的内心为I，所以MI 平分∠F1MF2，根据双曲线的光学性质，双曲线C 在M 处的切线就平
分∠F1MF2，故直线MI 的方程为
，故B 正确；
设△NF1F2的内切圆I2与MN 切于点D，连接I1B，I2D，I1F2，I2F2，
设∠I2I1F2＝θ，∠I1I2F1＝α，
因为IB⊥MN，I2D⊥MN，所以I1B∥I2D，所以2θ+2α＝π，即
，所以tanθ•tanα＝1，
又|F2H|＝2，所以tan
，tan
，即tan
＝1，所以r1r2＝4，故C 不正确；
33
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由B 可得MI 的方程为
，①
设N（x2，y2），同理可得NI 的方程为
，②
联立①②可得x＝
，
可设MN 的方程为x＝my+5，可得x1＝my1+5，x2＝my2+5，
则x＝
＝
，所以I 在直线x＝
上，
所以I 到I1I2的距离为d3＝3﹣
＝
，
F2到I1I2的距离为d4＝5﹣3＝2，
所以
＝
＝
．故D 正确．
故选：ABD．
37．（多选）（2023•广东模拟）双曲线
的左右焦点分别为F1，F2，P 为双曲线右支上异于顶
点的一点，△PF1F2的内切圆记为圆I，圆I 的半径为r，过F1作PI 的垂线，交PI 的延长线于Q，则（
）
A．动点I 的轨迹方程为x＝4（y≠0）
B．r 的取值范围为（0，3）
C．若r＝1，则tan∠F1PF2＝
D．动点Q 的轨迹方程为x2+y2＝16（x≠4 且x＞﹣
）
【解答】解：设Ⅰ（x，y），设△PF1F2 的内切圆分别与边PF1，PF2，F1F2 切于A，B，C 三点，如图
34
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所示，
对于A：由题知，a＝4，b＝3，c＝5，F1（﹣5，0），F2（5，0），
8＝|PF1|﹣|PF2|＝（|PA|+|F1A|）﹣（PB|+|F2B|）＝|F1A|﹣|F2B|＝|F1C|﹣|F2C|，
所以（x+5）﹣（5﹣x）＝8，x＝4，显然y≠0，故A 正确；
对于B：根据对称性，不妨假设P 点在x 轴上方，根据A 选项可设Ⅰ（4，r），双曲线的一条渐近线为
，
考虑P 点在无穷远时，直线PF1的斜率趋近于
，此时PF1的方程为
，
圆心到直线的距离为
＝3，
所以r 的取值范围为（0，3），故B 正确；
对于C：r＝1 时，|IB|＝|IC|＝1，|F2C|＝1，此时PF2⊥F1F2，
所以
，
，
因为|F1F2|＝10，PF2⊥F1F2，
所以
，故C 错误；
对于D：分别延长 F1Q，PF2 交于点M，因为PQ 过内切圆圆心I，
所以PQ 为角平分线，且PQ⊥F1M，
所以|PF1|＝|PM|，且Q 为F1M 的中点，
所以|PF1|﹣|PF2|＝|PM|﹣|PF2|＝|MF2|＝8，
又因为点O 为F1F2 的中点，Q 为F1M 的中点，
所以
，
所以动点Q 的轨迹方程为 x2+y2＝16，显然x≠4，
又考虑P 点在无穷远时，此时直线OP 趋近于渐近线
，直线F1Q 为
，
35
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联立方程组
，解得
，则
，
所以点Q 的横坐标
，动点Q 的轨迹方程为
，故D 正确；
故选：ABD．
38．（2023•赤峰模拟）初中时代我们就说反比例函数
的图像是双曲线，建立适当的平面直角坐标系
可以求得这个双曲线的标准方程，比如，把
的图象顺时针旋转
可以得到双曲线
．已
知函数
，在适当的平面直角坐标系中，其标准方程可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：对函数
，其定义域为{x|x≠0}，定义域关于原点对称，
用﹣x，﹣y 替换x，y，方程
不变，故其图象关于原点对称．
又当x＞0，且x 趋近于0 时，y 趋近于正无穷，
当x 趋近于正无穷时，
趋近于0，
此时
的图象与y＝
无限靠近，
故
的两条渐近线为y 轴与y＝
，
为使其双曲线的方程为标准方程，故应建立的坐标轴x′，y′必须平分两条渐近线的夹角，
又y＝
，其斜率为k＝
，
此时其在原坐标系中其倾斜角为30°，与y 轴夹角为60°，
故新坐标系中，x′轴与x 轴的夹角应为60°，
故x′轴所在直线在原坐标系中的方程为y＝
x，y′轴与其垂直，
在如图所示的新坐标系中，设双曲线的方程为
，
36
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联立
，可得x2＝3，y2＝9，
则a2＝x2+y2＝12，
又在新坐标系下，双曲线的渐近线x＝0 与x 轴的夹角为30°，
故
＝
，即
，
故在新坐标系下双曲线方程为
．
故选：A．
三．直线与双曲线的综合（共22 小题）
39．（2023•射洪市校级模拟）已知双曲线
的右焦点为F，点A（0，m），若直线AF 与C
只有一个交点，则m＝（ ）
A．±2
B．
C．
D．±4
【解答】解：双曲线
的右焦点为F（4，0），点A（0，m），
双曲线的渐近线方程：y＝
x，
直线AF 与C 只有一个交点，
可得
，解得m＝
．
故选：B．
40．（2023•赤峰三模）2022 年卡塔尔世界杯中的数字元素——会徽（如图）正视图近似伯努利双纽线．
定义：在平面直角坐标系xOy 中，把到定点F1（﹣a，0）F2（a，0）的距离之积等于a2（a＞0）的点的
轨迹称为双纽线C．已知P（x0，y0）是双纽线C 上的一点，下列说法错误的是（ ）
37
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A．双纽线C 关于原点O 成中心对称
B．
C．双曲线C 上满足|PF1|＝|PF2|的点P 有两个
D．|OP|的最大值为
【解答】解：对于A，因为定义在平面直角坐标系xOy 中，把到定点F1（﹣a，0），F2（a，0），距离
之积等于a2（a＞0）的点的轨迹称为双纽线C，
所以
，
用（﹣x，﹣y）替换方程中的（x，y），原方程不变，所以双纽线C 关于原点O 中心对称，所以A 正确；
对于B，根据三角形的等面积法可知
＝
，
即|y0|＝
sin∠F1PF2
，所以
，所以B 正确；
对于C，若双纽线C 上的点P 满足|PF1|＝|PF2|，则点P 在y 轴上，即x＝0，
所以
，得y＝0，所以这样的点P 只有一个，所以C 错误；
对于D，因为
，
所以|
|2＝
（
﹣
cos∠F1PF2+
），
由余弦定理得4a2＝
﹣
cos∠F1PF2+
，
所以|
|2＝a2+
cos∠F1PF2＝a2+a2cos∠F1PF2≤2a2，
所以|PO|的最大值为
，所以D 正确．
故选：C．
41．（2023•淮北二模）已知A（﹣2，0），B（2，0），过P（0，﹣1）斜率为k 的直线上存在不同的两
个点M，N 满足：
．则k 的取值范围是（ ）
A．
38
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B．
C．
D．
【解答】解：因为
，
所以M，N 是以A（﹣2，0）、B（2，0）为焦点的双曲线的右支上的两点，且c＝2，
，
所以
，
∴双曲线方程为
，
则过P（0，﹣1）斜率为k 的直线方程为y＝kx﹣1，
由
，消去y 整理得（1﹣3k2）x2+6kx﹣6＝0，
所以
，解得
，即k 的取值范围为
．
故选：C．
42．（2023•河南模拟）设双曲线
的左、右焦点分别为F1，F2，B 为双曲
线E 上在第一象限内的点，线段F1B 与双曲线E 相交于另一点A，AB 的中点为M，且F2M⊥AB，若
∠AF1F2＝30°，则双曲线E 的离心率为（ ）
A．
B．2
C．
D．
【解答】解：双曲线
的左、右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，
0），
∠AF1F2＝30°，可得AB 的方程为：y＝
（x+c），
代入双曲线方程化简可得：（3b2﹣a2）x2﹣2a2cx﹣a2c2﹣3a2b2＝0，
39
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所以xM＝
，yM＝
（
+c），
＝
，
解得a2＝b2，
所以双曲线的离心率为：e＝
＝
＝
．
故选：D．
43．（2023•天津模拟）双曲线
的左右焦点分别是F1，F2，离心率为e，过点
F1的直线交双曲线的左支于M，N 两点．若△MF2N 是以M 为直角顶点的等腰直角三角形，则e2等于（
）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：设|MF2|＝m，
因为△MNF2是以M 为直角顶点的等腰直角三角形，
所以|MN|＝m，|NF2|＝
m，|MF1|＝
，|NF1|＝m﹣
，
由双曲线的定义知，|MF2|﹣|MF1|＝2a，|NF2|﹣|NF1|＝2a，
又|MF1|＝m﹣2a，|NF1|＝
m﹣2a，
，
解得m＝2
a，
则
，
解得
，
双曲线的离心率为e，可得e2＝5﹣2
．
故选：A．
44．（2023•让胡路区校级模拟）已知双曲线
的左、右焦点分别为F1，
40
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F2，过F1的直线与C 的两条渐近线分别交于A，B 两点，若A 为线段BF1的中点，且BF1⊥BF2，则C 的
离心率为（ ）
A．
B．2
C．
D．3
【解答】解：由题意可知，过F1的直线与C 的两条渐近线分别交于A，B 两点，当两个交点分别在第二
和第三象限时不符合，
A 为线段BF1的中点，当交点在x 轴上方或x 轴下方时，根据对称性结果是一样的，选择一种即可，如
图．
根据双曲线可得，F1（﹣c，0），F2（c，0），两条渐近线方程
，
∵BF1⊥BF2，O 为F1F2的中点，
∴BO＝OF1＝OF2＝c，
又∵A 为线段BF1的中点，
∴OA 垂直平分BF1，
可设直线BF1为
①，直线BF2为
②，直线BO 为
③，
由②③得，交点坐标
，点B 还在直线BF1上，
∴
，可得b2＝3a2，c2＝a2+b2＝4a2，
所以双曲线C 的离心率
，
故选：B．
45．（2023•江西模拟）已知双曲线C：
＝1，若直线l：y＝kx+t（kt≠0）与双曲线C 交于不同的两
点P，Q，且P，Q 与M（0，1）构成的三角形中有∠MPQ＝∠MQP，则t 的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，﹣3）∪（0，+∞）
B．
C．
D．
41
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【解答】解：联立直线y＝kx+t（kt≠0）与双曲线C：
＝1，可得（1﹣2k2）x2﹣4ktx﹣2t2﹣2＝
0，
则Δ＝16k2t2﹣4（1﹣2k2）（﹣2t2﹣2）＝8t2+8﹣16k2＞0，即1+t2＞2k2，且1﹣2k2≠0，①
设P（x1，y1），Q（x2，y2），可得x1+x2＝
，
由P，Q 与M（0，1）构成的三角形中有∠MPQ＝∠MQP，可得△MPQ 为等腰三角形，且MP＝MQ，
设PQ 的中点为N，则MN⊥PQ，
又PQ 的中点N 的坐标为（
，
），
直线MN 的斜率为
，
所以
＝﹣
，
化为3t﹣1+2k2＝0，②
1﹣3t＞0，③
由①②③解得
＞t＞0 或t＜﹣3，
故选：B．
46．（2023•咸阳一模）直线l 过双曲线C：
＝1（a＞0，b＞0）的右焦点F，与双曲线C 的两条渐
近线分别交于A，B 两点，O 为原点，且
•
＝0，3
＝
，则双曲线C 的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：如图所示，设渐近线l1：y＝
x，即bx﹣ay＝0，
设渐近线线l1的倾斜角为θ，则tanθ＝
，∠AOF＝∠BOF＝θ，
∴双曲线的焦点F（c，0）到渐近线l1：bx﹣ay＝0 的距离为
＝b，
∵
•
＝0，∴OA⊥AF，
∴|AF|＝b，又|OF|＝c，∴|OA|＝a，
又3
＝
，∴|FB|＝3|AF|＝3b，
∴tan∠AOB＝
＝
＝tan2θ＝
，又tanθ＝
，
42
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∴
，
化简可得a2＝2b2，∴
，
∴双曲线C 的离心率为
＝
＝
＝
，
故选：D．
47．（2023•包河区校级模拟）设点F 为双曲线
的左焦点，经过原点O 且斜率
的
直线与双曲线C 交于A、B 两点，AF 的中点为P，BF 的中点为Q．若OP⊥OQ，则双曲线C 的离心率e
的取值范围是
．
【解答】解：点F 为双曲线
的左焦点，
设双曲线的右焦点为F2，根据双曲线方程知，c＝2．
原点O 平分线段FF2，
又∵经过原点O 且斜率
的直线与双曲线C 交于A、B 两点，
由对称性，原点O 平分线段AB，
∴四边形AFBF2为平行四边形．
△ABF 和△ABF2中，分别有中位线，OQ∥AF，OP∥BF，
∵OP⊥OQ，∴AF⊥BF，∴四边形AFBF2为矩形，∴△BFF2为直角三角形．
不妨设B 在第一象限，设直线AB 倾斜角为2θ，则
，且∠OFB＝∠OBF＝θ，
在Rt△BFF2中可得：2a＝|BF|﹣|BF2|＝4cosθ﹣4sinθ，
∴
，
43
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∵
，∴
，
易知
在
上为增函数，
∴
．
故答案为：[
，+∞）．
48．（2023•宜宾模拟）已知双曲线C：
的左，右焦点分别为F1，F2，离心率
为
，过F2 作渐近线
的垂线交C 于A，B 两点，点A 在第一象限，若
，则
△ABF1的周长为
．
【解答】解：∵e＝
＝
，则
＝1+
＝
，得
＝
﹣1＝
，得
＝
，即渐
近线为y＝
x，
不妨设a＝
m，b＝m，c＝2m，
则双曲线方程为
，
A（x1，y1），B（x2，y2），
则AB：x＝2m﹣
，即y＝﹣
（x﹣2m），代入
整理得8y2+4
my﹣3m2＝0，
解得y1＝
，y2＝
，
则
＝
＝
，BF2＝
，AB＝AF2+BF2＝3＝
|y1﹣y2|＝
＝
m，
得m＝
，则a＝3，
则周长为AF1+BF1+AB＝2（AF2+BF2）+4a＝6+12＝18．
故答案为：18．
49．（2023•山东模拟）过双曲线x2﹣y2＝1 的左、右焦点作两条相互平行的弦AB，CD，其中A，B 在双曲
线的左支上，A，C 在x 轴上方，则|AF1|⋅|CF2|的最小值为
1
，当AB 的倾斜角为
时，四边形
AF1F2C 的面积为
．
44
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【解答】解：x2﹣y2＝1 的a＝b＝1，c＝
，
设|AF1|＝m，|CF2|＝n，由对称性可得|BF1|＝|CF2|＝n，
由双曲线的定义可得|AF2|＝|AF1|+2a＝m+2a，
|BF2|＝|BF1|+2a＝n+2a，
在△AF1F2中，cos∠AF1F2＝
＝
，
在△BF1F2中，cos∠BF1F2＝
＝
，
又∠AF1F2+∠BF1F2＝π，
所以cos∠AF1F2+cos∠BF1F2＝
+
＝0，
化为
+
＝2，
由
+
≥2
，可得mn≥1，当且仅当m＝n＝1，
可得|AF1|⋅|CF2|的最小值为1；
当AB 的倾斜角为
时，设直线AB 的方程为y＝
（x+
），
联立双曲线的方程x2﹣y2＝1，可得2x2+6
x+7＝0，
解得A（1﹣
，
﹣
），
由直线CD 的方程y＝
（x﹣
），与双曲线的方程联立，可得2x2﹣6
x+7＝0，
解得A（1+
，
+
），
所以四边形AF1F2C 的面积为
+S△AHC＝2
×（
﹣
）+
2
×
＝2
．
故答案为：1；2
．
45
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50．（2023•黄石模拟）三等分角是古希腊三大几何难题之一．公元3 世纪末，古希腊数学家帕普斯利用双
曲线解决了三等分角问题如图，已知圆心角ACB 是待三等分的角（0＜∠ACB＜π）具体操作方法如下：
在弦AB 上取一点D，满足AD＝2DB，以AD 为实轴，
为虚轴作双曲线，交圆弧AB 于点M，则
∠ACM＝2∠MCB，即CM 为∠ACB 的三等分线已知双曲线E 的方程为
，点A，D 分别为双
曲线E 的左，右顶点，点B 为其右焦点，点C 为双曲线E 的右准线上一点，且不在x 轴上，线段CB 交
双曲线E 于点P 若扇形CMB 的面积为
，则
的值为
．
【解答】解：设C（1，yc），∠ACB＝2a，则圆C：
，
易知
，又有
，即
，
可得yc＝﹣3，则BC：y＝x﹣4，联立
，可得
所以
＝
．
故答案为：
．
51．（2023•九江模拟）过点A（0，1）作斜率为k 的直线l 交双曲线
于P1，P2两点，线段P1P2
的中点在直线
上，则实数k 的值为
．
【解答】解：设P1（x1，y1），P2（x2，y2），线段P1P2的中点坐标为（
，y0），则x1+x2＝2×
＝1，
46
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因为P1，P2两点在双曲线上，
所以
，两式相减得，k＝
＝
＝
，
又直线l 过点A（0，1），所以k＝
＝2（y0﹣1），
所以
＝2（y0﹣1），解得y0＝
，
所以k＝2（y0﹣1）＝±
﹣1，
联立
，得（2﹣k2）x2﹣2kx﹣3＝0，
因为直线l 与双曲线有两个交点，所以Δ＝4k2+12（2﹣k2）＞0，即﹣
＜k＜
，
所以k＝
﹣1．
故答案为：
﹣1．
52．（2023•嘉定区模拟）定义两个点集S、T 之间的距离集为d（S，T）＝{|PQ||P∈S，Q∈T}，其中|PQ|表
示两点P 、Q 之间的距离，已知k 、t∈R ，S ＝{ （x ，y ）|y ＝kx+t ，x∈R} ，
，若d（S，T）＝（1，+∞），则t 的值为
．
【解答】解：∵
，可化为：y2﹣4x2＝1，y≥0，
∴集合T 表示双曲线y2﹣4x2＝1 上支的点，
集合S 表示直线y＝kx+t 上的点，d（S，T）＝（1，+∞），
∴直线与渐近线平行，在渐近线下方，即t＜0，且与渐近线的距离为1．
又双曲线的渐近线为y＝±2x，取2x+y＝0，
则y＝﹣2x+t，即2x+y﹣t＝0，
∴平行线的距离
，
∴
或
（舍去），
故答案为：
．
47
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53．（2023•思明区校级模拟）设F 为双曲线E：
＝1（a＞0，b＞0）的右焦点，A，B 分别为双曲
线E 的左右顶点，点P 为双曲线E 上异于A，B 的动点，直线l：x＝t 使得过F 作直线AP 的垂线交直线
l 于点Q 时总有B，P，Q 三点共线，则
的最大值为
．
【解答】解：由题意可得A（﹣a，0），B（a，0），设直线AP 的斜率为k，直线AP 的方程为y＝k
（x+a），
与双曲线方程b2x2﹣a2y2＝a2b，联立，可得（b2﹣a2k2）x2﹣2k2a3x﹣a4k2﹣a2b2＝0，
则﹣a•xP＝
，解得xP＝
，yP＝k（xP+a）＝
，
设过F（
，0）与直线AP 垂直的直线为l1，方程为y＝﹣
（x﹣
），
由题意可得Q 为直线l1与直线BP 的交点，
直线BP 的方程为y＝
（x﹣a）＝
（x﹣a），与直线l1联立，可得t＝
，
＝
＝
，
令q＝
（q＞1），则
＝
＝﹣
+
+1＝﹣（
﹣
）2+
，
48
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当q＝2，即
＝
时，
取得最大值
．
故答案为：
．
54．（多选）（2023•广州二模）已知双曲线Γ：x2﹣y2＝a2（a＞0）的左，右焦点分别为F1，F2，过F2的
直线l 与双曲线Γ 的右支交于点B，C，与双曲线Γ 的渐近线交于点A，D（A，B 在第一象限，C，D 在
第四象限），O 为坐标原点，则下列结论正确的是（ ）
A．若BC⊥x 轴，则△BCF1的周长为6a
B．若直线OB 交双曲线Γ 的左支于点E，则BC∥EF1
C．△AOD 面积的最小值为4a2
D．|AB|+|BF1|的取值范围为（3a，+∞）
【解答】解：因为双曲线Γ 的标准方程为x2﹣y2＝a2（a＞0），则c＝
a，
易知点F1（﹣
a，0）、F2（
a，0），双曲线Γ 的渐近线方程为y＝±x，
对于A 选项，当BC⊥x 轴，直线BC 的方程为x＝
a，
联立
，可得
，此时，|BC|＝2a，
则|BF1|+|CF1|＝（|BF2|+2a）+（|CF2|+2a）＝|BC|+4a＝6a，
此时，△BCF1的周长为|BC|+|BF1|+|CF1|＝8a，故A 错误；
对于B 选项，因为双曲线Γ 关于原点对称，则点B 关于原点O 的对称点也在双曲线Γ 上，
因为若直线OB 交双曲线Γ 的左支于点E，则点B、E 关于原点对称，
即BE、F1F2的中点均为原点，故四边形BF1EF2为平行四边形，
所以BF2∥EF1，即BC∥EF1，故B 对；
对于C 选项，易知OA 的方程为y＝x，OD 的方程为y＝﹣x，所以OA⊥OD，
因为直线l 与双曲线Γ 的右支交于点B、C，则直线l 不与x 轴重合，
设直线l 的方程为x＝my+
a，设点B（x1，y1）、C（x2，y2），
联立
，可得（m2﹣1）y2+2
may+a2＝0，
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则
，解得m≠±1，
由韦达定理可得y1+y2＝﹣
，y1y2＝
＜0，可得﹣1＜m＜1，
联立
，可得x＝y＝
，即点A（
，
），
联立
，可得x＝
，y＝﹣
，即点D（
，﹣
），
所以|OA|＝
•|xA|＝
，|OD|＝
•|xD|＝
，
所以S△AOD＝
•|OA|•|OD|＝
＝
≥2a2，当且仅当m＝0 时，等号成立，故C 错；
对于D 选项，|AB|+|BF1|＝|AB|+|BF2|+2a＝|AF2|+2a＝
•
+2a＝
a•
+2a＝
•
+2a＝
a•
+2a，
当m＝0 时，|AB|+|BF1|＝2a+
a，
当0＜m＜1 时，|AB|+|BF1|＝
a•
+2a＝
a•
+2a，
因为函数y＝m+
﹣2 在（0，1）上单调递减，
此时|AB|+|BF1|＝
a•
+2a∈（2a+
a，+∞），
当﹣1＜m＜0 时，因为函数y＝m+
﹣2 在（﹣1，0）上单调递减，
此时|AB|+|BF1|＝
a•
+2a∈（3a，2a+
a），
综上所述，|AB|+|BF1|的取值范围是（3a，+∞），故D 对．
故选：BD．
55．（2023•海珠区校级三模）在平面上给定相异两点A，B，设点P 在同一平面上且满足
＝λ，当λ
＞0 且λ≠1 时，P 点的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故我们称这个圆
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为阿波罗尼斯圆．现有双曲线
＝1（a＞0，b＞0），F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，A，B
为双曲线虚轴的上、下端点，动点P 满足
＝2，△PAB 面积的最大值为4．点S，T 在双曲线上，
且关于原点O 对称，Q 是双曲线上一点，直线QS 和QT 的斜率满足kQS•kQT＝3，则双曲线方程是
；过F2 的直线与双曲线右支交于C，D 两点（其中C 点在第一象限），设点M、N 分别为△CF1F2、
△DF1F2的内心，则|MN|的范围是
．
【解答】解：设A（0，b），B（0，﹣b），P（x，y），
由题意知
＝2，即|PB|＝2|PA|，即
＝2
，
整理得x2+（y﹣
）2＝（
）2，则圆心为（0，
），半径为r＝
，
∴△PAB 的最大面积为
×2b×
＝4，解得b2＝3，即
+
＝1，
设Q（x，y），S（x1，y1），则T（﹣x1，﹣y1），
则
﹣
＝1，可得
＝
，同理y2＝
，
则kQS＝
，kQT＝
，
则kQS•kQT＝
＝
＝
，∴a2＝1，
∴双曲线方程为x2﹣
＝1，
设边CF1，CF2，F1F2上的切点分别为R，S，T，
则M，T 横坐标相等，则|CR|＝|CS|，|F1M|＝|F1T|，|F2S|＝|F2T|，
由|CF1|﹣|AF2|＝2，即|CR|+|RF1|﹣（|CS|+|SF2|）＝2，即|RF1|﹣|SF2|＝2，
即|F1T|﹣|F2T|＝2，即点M 的横坐标为x0，则T（x0，0），
于是x0+c﹣（c﹣x0）＝2，可得x0＝1，
同样内心N 的横坐标也为1，则MN⊥x 轴，
设直线CD 的倾斜角为θ，则∠OF2N＝
，∠MF2O＝90°﹣
，
在△MF2N 中，|MN|＝（c﹣a）[tan
+tan（90°﹣
）]
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＝（c﹣a）（
+
）＝（c﹣a）•
＝（c﹣a）•
，
由双曲线的方程可得a＝1，b＝
，则c＝
＝2，
可得|MN|＝
，
又由直线CD 为双曲线右支上的点，且渐近线的斜率为
＝
，倾斜角为60°，
可得60°＜θ≤90°，即
＜sinθ≤1，
可得|MN|的取值范围为[2，
）．
故答案为：x2﹣
＝1；[2，
）．
56．（2023•贵州模拟）已知双曲线E 的焦点为F1（﹣1，0），F2（1，0），过F1的直线l1与E 的左支相
交于A，B 两点，过F2的直线l2与E 的右支相交于C，D 两点，若四边形ABCD 为平行四边形，以AD
为直径的圆过F1，|DF1|＝|AF1|，则E 的方程为（ ）
A．2x2﹣2y2＝1
B．
C．
D．
【解答】解：设|DF1|＝|AF1|＝x，则|DF2|＝x﹣2a，
由双曲线的对称性和平行四边形的对称性可知：|CF2|＝|AF1|＝x，
连接CF1，则有|CF1|＝x+2a，|DC|＝|DF2|+|CF2|＝2x﹣2a，
∵F1在以AD 为直径的圆周上，
∴DF1⊥AF1，
∵ABCD 为平行四边形，AB∥CD，
∴DF1⊥DC，
在直角三角形CDF1中，
，
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即（x+2a）2＝x2+（2x﹣2a）2，解得x＝3a，
∴|DF1|＝3a，|DF2|＝a，
在直角三角形F1F2D 中，
，
即（3a）2+a2＝（2c）2，得5a2＝2c2，
又∵c＝1，
∴
，
，
故双曲线的方程为
．
故选：D．
57．（2023•江西模拟）已知F 双曲线
的右焦点，A1，A2分别是双曲线C
的左右顶点，过F 作双曲线渐近线的垂线与该渐近线在第一象限的交点为M，直线A1M 交C 的右支于
点P，若|MP|＝|MA2|，且
，则C 的离心率为（ ）
A．
B．
C．2
D．
【解答】解：双曲线C：
的右焦点F（c，0），渐近线
，即
bx﹣ay＝0，
显然A1 （﹣a ，0 ），A2 （a ，0 ），由FM⊥OM ，得
，
，
则点
，直线A1M 的方程为
，即
，
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直线A2M 的斜率k
＝
＝
，
因此直线 A2P 的斜率
＝
，于是直线A2P 的方程为
，
设点P（x0，y0），则
，由
，得
，
从而
，解得
，
即有
，则
，
此时M（
，a），
，
由
解得：
，y0＝a，
即
，
＝
，满足|MP|＝|MA2|，
所以C 的离心率为
．
故选：A．
58．（2023•福建模拟）双曲线
的下焦点为F，过F 的直线l 与C 交于A，B 两点，若过A，
B 和点
的圆的圆心在x 轴上，则直线l 的斜率为（ ）
A．
B．
C．±1
D．
【解答】解：由题意可知：F（0，﹣2），设A（x1，y1），B（x2，y2），AB 的中点为P，
过点A，B，M 的圆的圆心坐标为G（t，0），
则
，
由题意知：直线AB 的斜率存在且不为0，
设直线AB 的方程为：y＝kx﹣2，
联立方程组
，化简整理可得，（k2﹣3）x2﹣4kx+1＝0，
则k2﹣3≠0，Δ＝16k2﹣4（k2﹣3）＝12k2+12＞0，
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，
，
故AB 的中点P 的坐标
，则
，
由圆的性质可知：圆心与弦中点连线的斜率垂直于弦所在的直线，
所以
，化简整理可得：
①，
则圆心G（t，0）到直线AB 的距离
，
，
，即
，
将①代入可得：
，即
，
整理可得：k4﹣5k2+6＝0，则（k2﹣2）（k2﹣3）＝0，
因为k2﹣3≠0，
所以k2﹣2＝0，解得
．
故选：B．
59．（多选）（2023•合肥模拟）如图，O 为坐标原点，F1，F2分别为双曲线
的左
右焦点，过双曲线C 右支上一点P 作双曲线的切线l 分别交两渐近线于A、B 两点，交x 轴于点D，则下
列结论正确的是（ ）
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A．|AB|min＝2b
B．S△AOB＝2S△AOP
C．S△AOB＝2b
D．若存在点P，使得
，且
，则双曲线C 的离心率为2 或
【解答】解：对于选项A，先求双曲线
上一点P（x0，y0）的切线方程，
不妨先探究双曲线在第一象限的部分（其他象限由对称性同理可得）．
由
得：
，所以
，
则在点P（x0，y0）的切线斜率为
，
所以在点P（x0，y0）的切线方程为：
，
又因为
，所以在点P（x0，y0）的切线方程为：
，
当P 为右顶点（1，0）时，切线方程为x＝1，易得也满足
，
不失一般性，设点P（x0，y0）是双曲线在第一象限的一点或双曲线的右顶点，A（x1，y1）是切线与渐
近线在第一象限的交点，B（x2，y2）是切线与渐近线在第四象限的交点，双曲线的渐近线方程为y＝
±bx，
联立
，
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所以点
，同理可得：
，
则
，
又因为x0≥1，所以
，即：|AB|min＝2b，故A 项正确；
对于选项B，由A 项知，
，
所以点P（x0，y0）是线段AB 的中点，所以S△AOP＝S△BOP，S△AOB＝2S△AOP，故B 项正确；
对于选项C，因为在点P（x0，y0）的切线方程为：
，
令y＝0 得
，所以点
，
则
，
当点P（x0，y0）在顶点（1，0）时，仍然满足S△AOB＝b，故C 项错误；
对
于
选
项
D
，
因
为
，
所
以
，
又因为
，所以
，解得：
，
即：
，代入
得
，
所以
＝
，
＝
，
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因为
，所以
，
所以
，
解得：c2＝4 或6，所以离心率为
或
，故D 项错误．
故选：AB．
60．（多选）（2023•南通模拟）已知F1，F2 是双曲线
的左、右焦点，
是C 上一点，若C 的离心率为
，连结AF2交C 于点B，则（ ）
A．C 的方程为
B．∠F1AF2＝90°
C．△F1AF2的周长为
D．△ABF1的内切圆半径为
【解答】解：，
是C 上一点，C 的离心率为
，
则
，解得
，
∴双曲线
，故A 正确；
∵F1（﹣2，0），F2（2，0），
，
∴
，
，
，
∴F1A⊥F2A，故B 正确；
，
，|F1F2|＝2c＝4，周长＝
，故C 错
误；
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令|BF2|＝m，
则
，
，
在Rt△ABF1中，
，
∴
，
设△ABF1的周长为l，内切圆半径为r，
则l＝|AF1|+|AB|+|BF1|，
，
∴
，故D 正确；
故选：ABD．
双曲线常用结论：
(1)如图：①动点P 到同侧焦点F2的距离最小值为：|PF2|最小＝|A2F2|＝c－a
；
②焦点到渐近线的距离为：|F2M|＝b；
(2)渐近线求法结论：可直接令方程－＝λ(λ≠0)等号右边的常数为0，化简解得；
59
