《2026初高衔接》[第三讲]——不等式性质与基本不等式_2026版高中《罗老师初升高讲义》十五讲（数学）_《初高衔接2026版》教师版

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选择胜于努力，笃行成就未来
3
不等式性质与基本不等式
不等式性质与基本不等式
[教学重难点]
[教学目标]
[核心素养]
不等式性质
熟练运用不等式性质变形、掌握判
断大小的方法
数学运算、逻辑推理
基本不等式的认识与应用
掌握基本不等式结构，能求代数式
最值
数学运算、数学抽象
一不等式及其性质
初中阶段，我们已经学习了一元一次不等式及不等式的基本性质，进入高中后，我们将对这一知识模块展
开更深层次的探究．
不等式及其解集
区间：不等式解集的简化写法．能取等号用“中括号
[、]”表达．取不到等号用“小括号,


”表达．全体
实数用区间表示(-∞，+∞)，“∞”读作“无穷大”．
高中
区间的概念表示解集
解
集
图
示
区
间
x > a
a
a,+∞


x ≤a
a
-∞,a


a < x < b
a
b
a,b


a ≤x ≤b
a
b
a,b)

x ≤a 或x > b
a b
-∞,a


∪b,+∞


初中
不等式的解集：
画数轴表示解集．如x < 2．
2
1
3
2
1
0
x
初中
不等式的性质：
1. 对称性：a > b ⇔b < a
2. 传递性：a > b，b > c ⇒a > c
3. 加减性：a > b ⇒a ± c > b ± c
4. 乘除性：若a>b
c>0

⇒ac > bc，a
c > b
c ；
若a>b
c<0

⇒ac < bc，a
c < b
c
高中
不等式性质：
1. 同向可加：a>b
c>d

⇒a + c > b + d
2. 同向同正可乘：a>b>0
c>d>0

⇒ac > bd
3. 乘方性：a > b > 0，⇒an> bn
4. 开方性：a > b > 0,n ≥2 ⇒n a > n b
不等式的解集中，若出现两段
不连续的取值范围(对应“或”
的关系)，我们用符号“∪”
(读作并) 来连接，含义是把两
个区间合在一起作为完整解集．
要点补注
要点补注
mathxiaoshu01
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1 (★★★☆☆)已知-1 < 2s + t < 2，3 < s - t < 4，则5s + t 的取值范围
(1，8)
(用区间表示)．
设5s + t = m(2s + t) + n(s - t)
则5s + t = (2m + n)s + (m - n)t，
则
2m+n=5
m-n=1

，解得
m=2
n=1

则5s + t = 2(2s + t) + (s - t)，
∵-1 < 2s + t < 2，∴-2 < 2(2s + t) < 4，
又∵3 < s - t < 4，∴1 < 2(2s + t) + (s - t) < 8，
即1 < 5s + t < 8，∴5s + t 的取值范围是(1，8)．
1
(原创•★☆☆☆☆)将下列不等式和区间互相改换．
(1) x ≥-2
(2) -2 < x ≤-1
(3) x <-2 或x ≥0
(1) 用区间可表示为[-2，+∞)
(2) 用区间可表示为(-2，-1]．
(3) 用区间可表示为(-∞，-2) ∪[0，+∞)
(4)
- 1
2 ，5



(5) (-∞，2) ∪(2，+∞)
(6) (-∞，1) ∪(2，3]
(4) 用不等式可表示为- 1
2 ≤x < 5
(5) 用不等式可表示为x ≠2
(6) 用不等式可表示为x < 1 或2 < x ≤3
2
(原创•★★☆☆☆)根据不等式性质求下列代数式y 的范围，并且用区间表示．
(1)x > 1，y = 2x + 1
(2)x ≥-2，y = 3
2 x - 1
(1) ∵x > 1，∴2x > 2，∴2x + 1 > 3，∴y 的范围是3,+∞


(2) ∵x ≥-2，∴3
2 x ≥-3，∴3
2 x - 1 ≥-4，∴y 的范围是-4,+∞


(3) x > 4，y =
x-3
(4) 2 ≤x ≤7，y = 5 -
x-2
(3) ∵x > 4，∴x - 3 > 1，∴
x-3 > 1，∴y 的范围是(1, +∞)
(4) ∵2 ≤x ≤7，∴0 ≤x - 2 ≤5，∴0 ≤
x-2 ≤
5，∴- 5 ≤- x-2 ≤0
∴5 -
5 ≤5 -
x-2 ≤5，∴y 的范围是[5 -
5, 5]
(5) x ≥1，y =
1
x+1
(6)x ≥1，y = 2x-1
x+1
(3) ∵x ≥1，∴x + 1 ≥2，∴0 <
1
x+1 ≤1
2 ，∴y 的范围是0, 1
2



(4) ∵y = 2x-1
x+1 = 2 -
3
x+1 ，∵x ≥1，∴x + 1 ≥2
∴0 <
1
x+1 ≤1
2 - 3
2 ≤-
3
x+1 < 0，1
2 ≤2 -
3
x+1 < 2，∴y 的范围是
1
2 ,2



- 错误做法：拆分变量求s,t 各自
范围，会破坏约束关系，导致范
围失真、偏大．
- 正确做法：待定系数法将目标式
配凑为已知式的线性组合，全程
不拆变量，保留关联，结果准确．
要点补注
要点补注
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(7)x ≥0，y = x-1
x+1
(8)x ≥0，y = 3x-1
x+2
(7) ∵y = x-1
x+1 = 1 + -2
x+1 ，∵x ≥0，∴x + 1 ≥1，∴0 <
1
x+1 ≤1 -2 ≤-
2
x+1 < 0，-1 ≤1 -
2
x+1 < 1，∴y 的范围是-1,1


(8) ∵y = 3x-1
x+2 = 3(x+2)-7
x+2
= 3 -
7
x+2 ，∵x ≥0，∴x + 2 ≥2，∴0 <
1
x+2 ≤1
2
- 7
2 ≤-
7
x+2 < 0，- 1
2 ≤3 -
7
x+2 < 3，∴y 的范围是- 1
2 ,3



(9) - 3 < x < 2，y = |x|
(10)1 ≤x ≤5，y = 3 + |x - 4|
(9) - 3 < x < 2，当0 ≤x < 2 时，0 ≤|x| < 2 或当-3 < x < 0 时，0 < |x| < 3
综合得：0 ≤|x| < 3，取值范围：[0, 3)
(10) ∵1 ≤x ≤5，∴-3 ≤x - 4 ≤1，根据绝对值性质：0 ≤|x - 4| ≤3
∴3 + 0 ≤3 + |x - 4| ≤3 + 3，即3 ≤y ≤6，y 取值范围：[3, 6]
3
(★☆☆☆☆)不等式x >-2 且x ≠2023 用区间可表示为
( C )
A. (-2，+∞)
B. (2023，+∞)
C. (-2，2023) ∪(2023，+∞)
D. (-2，2023)
集合{x|x >-2 且x ≠2023} 用区间可表示为(-2，2023) ∪(2023，+∞)．C．
4 (★☆☆☆☆)已知区间[-a，2a + 1)，则实数的a 的取值范围是
( C )
A.
-∞，+∞


B.
- 1
3 ，+∞



C.
- 1
3 ，+∞


D.
-∞，- 1
3


由2a + 1 >-a．得3a >-1．即a >- 1
3 ，
故选：C．
5
(★☆☆☆☆)不等式(a + 1)x > 2 的解集为1,+∞


，则a 的值是
( C )
A. a =-1
B. a >-1
C. a = 1
D. a > 1
∵关于x 的不等式(a + 1)x > 2 的解集为x > 1，∴a + 1 = 2，解得：a = 1，故选：C．
6
(★★☆☆☆) x 落在区间(b，a) 内且x ≠0，1
x 落在区间
1
a ，1
b


内，则实数a，b 满足
( D )
A. a < b < 0
B. a < 0 < b
C. a > 0 > b
D. a > b > 0
∵x ∈(b，a)，∴b < a，
∵1
x ∈
1
a ，1
b


，∴1
a < 1
b ，即ab > 0，即a，b 同号，故b < a < 0，或0 < b < a，
7
(★★☆☆☆)下列不等式中成立的是
( B )
A. 若a > b > 0，则ac2> bc2
B. 若a > b > 0，则a2> b2
C. 若a < b < 0，则a2< ab < b2
D. 若a < b < 0，则1
a < 1
b
A．c = 0 时不成立；B．成立．
C．a < b < 0，则a2> ab > b2．因此不成立．D．a < b < 0，则1
a > 1
b ．因此不成立．
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8
(★★☆☆☆)下列说法中，错误的是
( A )
A. 若a2> b2，ab > 0，则1
a < 1
b
B. 若a
c2 > b
c2 ，则a > b
C. 若b > a > 0，m > 0，则a+m
b+m > a
b
D. 若a > b，c < d，则a - c > b - d
对于A，若a2> b2，ab > 0，取a =-4，b =-2，则1
a > 1
b ，故A 错误；
B，若a
c2 > b
c2 ，则1
c2 > 0，所以a > b，故B 正确；
C，若b > a > 0，m > 0，则b - a > 0，则a+m
b+m - a
b = m(b-a)
b(b+m) > 0，所以a+m
b+m > a
b ，故C 正确；
对于D，若a > b，c < d，则-c >-d，所以a - c > b - d，故D 正确．
9
(多选•★★★☆☆)已知a，b，c，d 全是实数，则下列命题正确的是
( BCD )
A. 若a > b，c > d，则ac > bd
B. 若bc - ad > 0，bd > 0，则a+b
b
< c+d
d
C. 若a < b < 0，则b
a < a
b
D. 若a > b，1
a > 1
b ，则a > 0，b < 0
A 选项：当a = 0，b =-1，c = 1，d = 0 时，A 显然错误；
B 选项：若bc - ad > 0，bd > 0，则a+b
b
- c+d
d
= ad-bc
bd
< 0，所以a+b
b
< c+d
d
，故B 正确；
C 选项，因为a < b < 0，则b
a - a
b = b2-a2
ab
= (b-a)(b+a)
ab
< 0，故C 正确；
D 选项，因为a > b，1
a > 1
b ，则1
a - 1
b = b-a
ab
> 0，a > b，所以ab < 0，
又因为a > b，所以a > 0，b < 0，故D 选项正确．故选：BCD．
10 (★★★☆☆)已知2 < a < 3，-2 < b <-1，则2a + b 的取值范围是
( A )
A. (2，5)
B. (-5，-2)
C. (1，3)
D. (-3，-1)
因为2 < a < 3，所以4 < 2a < 6，又因为-2 < b <-1，
所以2 < 2a + b < 5．即2a + b 的取值范围为(2，5)．
11 (★★★☆☆)实数a，b 满足4 ≤a + b ≤7，2 ≤a - b ≤3．
(1) 求实数a，b 的取值范围；
(2) 求3a - 2b 的取值范围．
(1) ∵4 ≤a + b ≤7，2 ≤a - b ≤3，
∴3 ≤a ≤5，1
2 ≤b ≤5
2 ；
(2) 设3a - 2b = m(a + b) + n(a - b) = (m + n)a + (m - n)b，
可得m+n=3
m-n=-2

，解得m = 1
2 ，n = 5
2 ，
即3a - 2b = 5
2 (a - b) + 1
2 (a + b)，
∵2 ≤a - b ≤3，∴5 ≤5
2 (a - b) ≤15
2 ，
∵4 ≤a + b ≤7，∴2 ≤1
2 (a + b) ≤7
2 ，∴3a - 2b ∈[7，11]．
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二基本不等式
我们知道由乘法公式产生的因式分解方法在解方程中有重要作用．在不等式问题中，也有着这样一类法则
式的不等式，它们在解决其它不等式问题时体现着和乘法公式在代数式运算中类似的功能．
作一圆，直径为AB，过C 作垂线，连接AC、BC.
设AD = a，BD = b，则圆的半径OH = a+b
2
.
由ΔACD ∾ΔBCD 可得：AD
CD = CD
BD
CD2 = AD ⋅BD，∴CD =
ab
由图可得不等式：OH ≥CD 恒成立，当且仅当CD = OH，即OA = OB 时取等号．即：
对于任意两个正实数a，b 有：a+b
2
≥
ab，当且仅当a = b 时，等号成立．
我们将上述不等式称为基本不等式或均值不等式．a+b
2
, ab 分别称为a，b 的算术平均值和几何平均值．
习惯性的，在解题时我们一般采用如下形式进行书写：
对于任意两个正实数a，b 有：a + b ≥2 ab，当且仅当a = b 时，等号成立．
基本不等式中我们应用最广泛的一类题型是求解正反比例和的最值．
形如y = ax + b
x 的函数结构，在ax > 0, b
x > 0 的条件下，可求解它的最值．即：
y = ax + b
x ≥2
ax× b
x = 2 ab，当且仅当ax = b
x ，即x =
b
a 时取等．
应用条件：一正ax>0且b
x >0


、二定结果为常数


、三相等仅当x=
b
a 时取等


．
正反比例和的最值
2 (★★☆☆☆)若正实数x，y 满足xy + 2x - 2 = 0，则4x + y 的最小值是
4 2-2
xy + 2x - 2 = 0 xy = 2 - 2x ∴y = 2
x - 2
∴4x + y = 4x + 2
x - 2 ≥2
4x⋅2
x - 2 = 4 2 - 2 当且仅当4x = 2
x ，即x =
2
2
时取“=”
12 (★★☆☆☆)求下列代数式最值，并点明最
值时的x．
1


x > 0，y = x + 1
x
∵x + 1
x ≥2
x⋅1
x = 2
当且仅当x = 1
x ，即x = 1 时取等号
2


x > 0，y = 4x + 1
x - 1
∵4x + 1
x - 1 ≥2
4x⋅1
x - 1 = 3，当
且仅当4x = 1
x ，即x = 1
2 等号成立．
A
B
C
D
H
O
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3


x > 1，y = x +
4
x-1
∵x > 1，∴x - 1 > 0 ∴y = x +
4
x-1
= x - 1 +
4
x-1 + 1 ≥2
(x-1)∙
4
x-1 + 1 = 5
当且仅当x - 1 =
4
x-1 即x = 3 时取等号．
5


x > 0，y = 2x2+1
x
y = 2x2+1
x
= 2x + 1
x
2x + 1
x ≥2
2x⋅1
x = 2 2
当且仅当2x = 1
x ，即x =
2
2
时取等号
7


x > 4，y = x2-7x+14
x-4
令t = x - 4，则t > 0，x = t + 4
y = (t+4)2-7(t+4)+14
t
= t2+8t+16-7t-28+14
t
= t2+t+2
t
= t + 2
t + 1 ≥2
t⋅2
t + 1 = 2 2 + 1
当且仅当t = 2
t ，即t =
2，x = 4 +
2 时取等号．
4


x >-3，y = 2x +
1
x+3
由x >-3，可得x + 3 > 0，2 x +
1
x+3
= 2(x + 3) +
1
x+3 - 6 ≥2
2(x+3)⋅
1
x+3 - 6 = 2 2
- 6，当且仅当2(x + 3) =
1
x+3 ，即x =-3 +
2
2
时取
等号．
6


x > 1，y = x2-2x+2
x-1
令t = x - 1，则t > 0，x = t + 1
y = (t+1)2-2(t+1)+2
t
= t2+1
t
= t + 1
t
t + 1
t ≥2
t⋅1
t = 2
当且仅当t = 1
t ，即t = 1，x = 2 时取等号．
8


x > 2，y = x2+5
x2-4
令t =
x2-4，则t > 0，且x2= t2+ 4
代入原式：y = (t2+4)+5
t
= t2+9
t
= t + 9
t ≥2
t⋅9
t
= 6 当且仅当t = 9
t ，即t =
x2-4 = 3 x =
13
等号成立．
13 (★★☆☆☆)设x > 0，则3 - 3x - 1
x 最大值是
( D )
A. 3
B. 3 - 2 2
C. - 1
D. 3 - 2 3
∵x > 0，∴3x + 1
x ≥2
3x⋅1
x = 2 3，当且仅当3x = 1
x ，x =
3
3
时取等成立
∴3 - 3x - 1
x = 3 - 3x+ 1
x


≤3 - 2 3
14 (★★☆☆☆)函数y = a - x - 3
x (x > 0) 在x = m 时有最大值为
3，则a - m 的值为
( C )
A. 4 3
B. 3 3
C. 2 3
D.
3
∵x > 0 时，x + 3
x ≥2
x⋅3
x = 2 3，当且仅当x = 3
x ，即x =
3 时取“=”，y = a -
x - 3
x = a - x+ 3
x


≤a - 2 3 =
3，解得a = 3 3，m =
3，所以a - m = 3 3 -
3 = 2 3．故选：C．
15 (★★☆☆☆)下列结论中正确的是
( B )
A. 当0 < x ≤2 时，x - 1
x 无最大值
B. 当x ≤-1 时，x + 1
x ≤-2
C. 当x > 1 时，x2+ 1
x2 ≥2
D. 当x ≥3 时，x +
1
x-1 的最小值为3
B：当x ≤-1 时，x + 1
x =- (-x)+ - 1
x






≤-2，当且仅当x = 1
x 即x =-1 时，取等；
C：当x > 1 时，x2+ 1
x2 ≥2
x2∙1
x2 = 2, 当且仅当x2= 1
x2 时，即x = 1 时，等号成立，故C 错误；
D：当x ≥3 时，x +
1
x-1 = (x - 1) +
1
x-1 + 1 ≥3，当且仅当x - 1 =
1
x-1 即x = 2 时，等号成立
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16 (★★☆☆☆)某厂家拟举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量(即该厂的年产量)x 万件与年
促销费用m 万元(m ≥0) 满足：x = 3 -
k
m+1 (k 为常数)，如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是1
万件．已知2004 年生产该产品的固定投入为8 万元，每生产1 万件该产品需要再投入16 万元，厂家将每件产
品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5 倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金)．
(1) 将该产品的利润y 万元表示为年促销费用m 万元的函数；
(2) 该厂家促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？
(1) 由题意知，当m = 0 时，x = 1，∴1 = 3 - k，即k = 2，∴x = 3 -
2
m+1 ；
每件产品的销售价格为1.5 × 8+16x
x
(万元)，
∴利润函数y = x 1.5× 8+16x
x




- (8 + 16x + m)
= 4 + 8x - m = 4 + 8 3-
2
m+1


- m
=-
16
m+1 +(m+1)




+ 29(m ≥0)．
(2) 因为利润函数y =-
16
m+1 +(m+1)




+ 29(m ≥0)，
所以，当m ≥0 时，
16
m+1 + (m + 1) ≥2 16 = 8，
∴y ≤-8 + 29 = 21，当且仅当
16
m+1 = m + 1，即m = 3(万元) 时，ymax = 21(万元)．
所以，该厂家2008 年的促销费用投入3 万元时，厂家的利润最大，最大为21 万元．
17 (★★☆☆☆)为了节能减排，某企业决定安装一个可使用10 年的太阳能供电设备，并接入本企业电
网．安装这种供电设备的费用(单位：万元) 与太阳能电池板的面积(单位：平方米) 成正比，比例系数约为1
2 ．
为了保证正常用电，安装后采用太阳能和电能互补供电的模式．设在此模式下，安装后该企业每年消耗的电费
C(单位：万元) 与安装的这种太阳能电池板的面积x(单位：平方米) 之间的函数关系是C(x) = 180
x+5 (x ≥0)．
记F(单位：万元) 为该企业安装这种太阳能供电设备的费用与10 年所消耗的电费之和．
(1) 要使F 不超过60 万元，求安装太阳能电池板的面积x 的取值范围；
(2) 当x 为多少平方米时，F 取得最小值？最小值是多少万元？
(1) 记安装这种太阳能供电设备费用为y，则y = 1
2 x，
所以F = y + 180
x+5 × 10 = 1
2 x + 1800
x+5 ，x ≥0；
令F ≤60，得1
2 x + 1800
x+5 ≤60，
化简得：x2- 115x + 3000 ≤0，
得：40 ≤x ≤75；
所以安装太阳能电池板的面积x 的取值范围是{x|40 ≤x ≤75}．
(2) 由F = 1
2 x + 1800
x+5 = 1
2 (x + 5) + 1800
x+5 - 5
2 ≥2
1
2 (x+5)⋅1800
x+5 - 5
2 = 2 × 30 - 5
2 = 115
2
，
当且仅当1
2 (x + 5) = 1800
x+5 ，即x = 55 时取等号；
所以当x = 55 平方米时，F 取得最小值，最小值为115
2
万元．
30
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晓书
选择胜于努力，笃行成就未来
三基本不等式与二元最值
除了正反比例函数的最值问题，高中阶段还常会接触到二元最值题型．这类题目的出题形式较为固定：已
知两个变量x、y 满足特定方程，继而求解相关表达式的最值．这中间我们最常见的是给分式求整式的最值或
给整式求分式最值．我们在前面例题1 当中提到了一个很重要的思想：消元代换．除了利用消元思想以外，我
们应用最多的还有一个就是“齐次构造和配凑”．
齐次构造
我们将代数式中分子与分母次数保持一致的结构称为齐次分式．给分式求整式或给整式求分式中，它的分
式不一定是个齐次分式，这个时候可以通过构造的方法将分式改写为一个齐次分式，这叫齐次构造．
齐次构造与改写中我们应用最多的是“1 的改写与配凑”．
若x,y 满足：x + y = m，求分式1
x + 1
3y
①改写1：x
m + y
m = 1，②凑1 形成齐次分式：1
x + 1
3y =
1
x + 1
3y


× 1 =
1
x + 1
3y


×
x
m + y
m


若x,y 满足：x + y = m，求分式1
x + x
3y
①改写1：x
m + y
m = 1，②代换1 凑齐次分式：1
x + x
3y =
x
m + y
m
x
+ x
3y = 1
m +
y
mx + x
3y
齐次构造的类型
分子分母齐次分式
也可用方法二代换1凑齐次分式
3 (★★★☆☆) x > 0，y > 0，且x + 2y = 2，则4
x +
x+3y
3y
的最小值
3+ 4 3
3
.
变形：x + 2y = 2 4 = 2x + 4y
4
x + x+3y
3y
= 2x+4y
x
+ x+3y
3y
= 3 + 4y
x + x
3y ≥3 + 2
4y
x × x
3y = 3 + 4 3
3
当且仅当
4y
x = x
3y
x+2y=2

，即：
x=1
y= 1
2

取等
18 (★★☆☆☆)设x > 0，y > 0，求下列最值
1


x + 2y = 1，求1
x + 1
y 最小值．
1
x + 1
y = (x + 2y) 1
x + 1
y


= 1
+ x
y + 2y
x + 2 = 3 + x
y + 2y
x ≥3 + 2 2
当x
y = 2y
x
取等．
2


x + 2y = 2，求4
x + 2
y 最小值．
4
x + 2
y = 1
2
4
x + 2
y


(x + 2y) =
1
2
8+ 8y
x + 2x
y


≥1
2
8+2
8y
x ⋅2x
y


= 8
当且仅当8y
x = 2x
y ，即y = 1
2 ，x = 1 时取等．
31
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晓书
选择胜于努力，笃行成就未来
3


1
x + 2
y = 1，求2x + y 最小值．
2x + y = (2x + y) 1
x + 2
y


= 2 + 4x
y
+ y
x + 2 = 4 + 4x
y + y
x ≥4 + 2
4x
y ⋅y
x = 8
当且仅当4x
y
= y
x ，结合1
x + 2
y = 1，解得x
= 2，y = 4 时取等号．
5


2x + y = 1，求2
x + x
2y 最小值．
变形：4x + 2y = 2
4x+2y
x
+ x
2y = 4 + 2y
x + x
2y
≥4 + 2
2y
x × x
2y = 6
当且仅当
x= 2
5
y= 1
5

取等
7


x + y = 1，求x2+1
2xy
最小值．
∵x + y = 1 , ∴
x2+1
2xy
=
x2+ x+y


2
2xy
= x2+ x+y


2
2xy
= 2x2+2xy+y2
2xy
= x
y +
y
2x + 1 ≥1 + 2
x
y × y
2x = 1 +
2
当且仅当x=
2-1
y=2-
2

取等
4


3x + y = xy，求x + 2y 的最小值．
两边除以xy 得3
y + 1
x = 1
x + 2y = (x + 2y) 1
x + 3
y


= 1 + 3x
y + 2y
x + 6 = 7 +
3x
y + 2y
x ≥7 + 2 6
当且仅当3x
y
= 2y
x ，即y =
3
2 x 结合条件1
x +
3
y = 1，得x = 1 +
6，y = 3 +
6
2
取等
6


x + y = 1，求1
x + 1
xy 最小值．
变形：1
x
+
1
xy
= x+y
x
+
(x+y)2
xy
= 1 + y
x + x2+y2+2xy
xy
= 2y
x + x
y + 3
≥3 + 2
2y
x × x
y = 3 + 2 2
当且仅当x=2-
2
y=
2-1

取等
8


求2x2+xy+3y2
xy
最小值．
2x2+xy+3y2
xy
= 2x
y + 1 + 3y
x
令t = x
y > 0，原式化为2t + 3
t + 1．
由基本不等式：2t + 3
t ≥2
2t⋅3
t = 2 6
2t + 3
t + 1 ≥1 + 2 6
当且仅当2t = 3
t ，即t =
6
2 x =
6
2 y 时取等．
19 (★★☆☆☆)已知正数x，y 满足3
x + 2y = 1，则2x + 3
y 的最小值为
( B )
A. 36
B. 24
C. 18
D. 12
2x + 3
y = 2x+ 3
y


3
x +2y


= 12 + 4xy + 9
xy ≥12 + 2
4xy⋅9
xy = 24，
当且仅当4xy = 9
xy ，即y = 1
4 ，x = 6 时取等号．
20 (★★☆☆☆)已知x，y 为正实数，且x + y = 1，则x+2y+1
xy
的最小值为
( C )
A. 2 2 + 1
B. 2 2 - 1
C. 2 6 + 5
D. 2 6 - 5
因为x + y = 1，则x+2y+1
xy
= x+2y+x+y
xy
= 2x+3y
xy
= 2
y + 3
x ，
由于2
y + 3
x = (x + y) 2
y + 3
x


= 2x
y + 3 + 2 + 3y
x = 3y
x + 2x
y + 5 ≥2
3y
x ⋅2x
y
+ 5 = 2 6 + 5
当且仅当
3y
x = 2x
y
x+y=1

，即x=3-
6
y=-2+
6

时，等号成立，所以x+2y+1
xy
的最小值为2 6 + 5．
32
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选择胜于努力，笃行成就未来
21 (★★☆☆☆)已知m > 0，n > 0，m + n = 1，则1
m +
2
n+1 的最小值为
( C )
A. 1
B. 5
2 +
2
C. 3
2 +
2
D. 10
3
m + n + 1 = 2，则1
m +
2
n+1 = m+(n+1)
2
1
m +
2
n+1


= 1
2
1+2+ n+1
m
+ 2m
n+1


≥1
2 (3 + 2 2) = 3
2 +
2
22 (★★☆☆☆)若正实数x，y 满足x + y = 1，则
4
x+1 + 1
y 的最小值为
( B )
A. 3
B. 9
2
C. 4
D. 5
令m = x + 1，则x = m - 1．由x + y = 1，可得m + y = 2，即m
2 + y
2 = 1．
4
x+1 + 1
y = 4
m + 1
y =
4
m + 1
y


m
2 + y
2


= 2 + 2y
m + m
2y + 1
2 = 5
2 + 2y
m + m
2y ≥2
2y
m ⋅m
2y + 5
2 = 9
2
当且仅当2y
m = m
2y ，结合m + y = 2，解得x = 1
3 ，y = 2
3 时取等号．
23 (★★☆☆☆)若实数x>1,y> 1
2 ,x + 2y = 4，则
1
x-1 +
1
2y-1 的最小值为
( D )
A. 1
2
B. 1
C. 4
3
D. 2
令m = x - 1,n = 2y - 1，∴m + n = 2，
∴1
m + 1
n = 1
2 (m + n)
1
m + 1
n


= 1
2
1+ m
n + n
m +1


≥1
2
2+2
m
n ⋅n
m


= 2
当且仅当y = 1，x = 2 时取等号
24 (★★★☆☆)已知x > 0，y > 0，2x + y = 2，则
xy
x2+2y 的最大值为
( D )
A. 1
2
B. 2
9
C. 1
D. 1
4
因为x > 0，y > 0，且2x + y = 2，
所以
xy
x2+2y =
xy
x2+(2x+y)y =
xy
x2+2xy+y2 =
1
x
y +2+ y
x
≤
1
2+2
x
y ⋅y
x
= 1
4 ，
当且仅当x = y = 2
3 时等号成立．
25 (★★★★☆)已知x ∈(0，4)，则f(x) = 1
x +
16
4-x 的最小值为
( D )
A. 49
3
B. 17
2
C. 19
3
D. 25
4
x ∈(0，4)，-x ∈(-4，0)，4 - x ∈(0，4)，
则f(x) = 1
x +
16
4-x = 1
4
1
x + 16
4-x


(x + 4 - x)
= 1
4
17+ 4-x
x
+ 16x
4-x


≥1
4
17+2
4-x
x
× 16x
4-x


= 25
4 ，
当且仅当4-x
x
= 16x
4-x ，即x = 4
5 时等号成立，
所以f(x) = 1
x +
16
4-x 的最小值为25
4 ．
33
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选择胜于努力，笃行成就未来
1 (★☆☆☆☆)设“x 为不小于0 的实数”用区间可表示为
( B )
A. (0，+∞)
B. [0，+∞)
C. (-∞，0)
D. (-∞，0]
“x 为不小于0 的实数”是x 大于或等于0．用区间表示为[0，+∞)．
2 (多选•★★☆☆☆)已知1 ≤a ≤2，3 ≤b ≤5，则
(
BD
)
A. 4 ≤a + 2b ≤11
B. - 1 ≤b - 2a ≤3
C. 3 ≤ab ≤6
D. 1
5 ≤a
b ≤2
3
A：由1 ≤a ≤2，3 ≤b ≤5，得6 ≤2b ≤10，故7 ≤a + 2b ≤12，错；
B：由1 ≤a ≤2，3 ≤b ≤5，得-4 ≤-2a ≤-2，故-1 ≤b - 2a ≤3，对；
C：由1 ≤a ≤2，3 ≤b ≤5，得3 ≤ab ≤10，错；
D：由3 ≤b ≤5，而1 ≤a ≤2，得1
5 ≤1
b ≤1
3 ，则1
5 ≤a
b ≤2
3 ，对．
3 (多选•★★☆☆☆)下列结论正确的有
(
AD
)
A. 当x > 0 时，
x + 1
x ≥2
B. 当x > 2 时，x + 1
x 的最小值是2
C. 当x < 4
3 时，y = 3x - 2 +
1
3x-4 最小值为0
D. 当x > 0，y > 0 时，x
y + y
x ≥2
当x > 0 时，
x + 1
x ≥2
x⋅1
x = 2，当且仅当
x = 1
x ，即x = 1 时取等号，A 正
确；当x > 2 时y = x + 1
x 单增，y > 5
2 ，B 错；当x < 4
3 时，y = 3x - 2 +
1
3x-4 = 3x - 4 +
1
3x-4 + 2 =
- 4-3x+
1
4-3x


+ 2 ≤-2
(4-3x)⋅
1
4-3x + 2 = 1，当且仅当4 - 3x =
1
4-3x ，即x = 1 时取等号，此时
函数取得最大值1，C 错误；x > 0，y > 0 时，x
y + y
x ≥2
x
y ⋅y
x = 2，当且仅当x = y 时取等号，D 正确．
4 (多选•★★☆☆☆)已知a > b > 0 > c，则下列结论正确的是
( ACD )
A. a2+ bc > ac + ab
B. b
a > b-c
a-c
C.
a
b-c >
b
a-c
D. a + 1
b > 4 - b - 1
a
A：∵a2+ bc - (ac + ab) = (a2- ab) - (ac - bc) = a(a - b) - c(a - b) = (a - b) (a - c) > 0，
∴a2+ bc > ac + ab，故A 正确．
B：b
a - b-c
a-c = b(a-c)-a(b-c)
a(a-c)
= (a-b)c
a(a-c) < 0，所以b
a < b-c
a-c ，故B 错误．
C：∵a > b > 0 > c，0 <
1
a-c <
1
b-c ，又a > b > 0，所以
a
b-c >
b
a-c ，故C 正确．
D：a + 1
b - 4-b- 1
a


= a + 1
a + b + 1
b - 4 > 2
a⋅1
a + 2
b⋅1
b - 4 = 0，显然等号不成立，D 正确．
5 (★★★☆☆)已知x，y 为正实数，则y
x +
16x
2x+y 的最小值为
( C )
A. 4
B. 5
C. 6
D. 8
令t = y
x ，则t > 0，则y
x +
16x
2x+y = y
x +
16
2+ y
x
= t +
16
t+2 = t + 2 +
16
t+2 - 2 ≥
2
(t+2)⋅16
t+2 - 2 = 6，当且仅当t + 2 = 16
t+2 ，即t = 2 时取等号．
34
夏• 2026 初高衔接
晓书
选择胜于努力，笃行成就未来
6 (★★★☆☆)已知x ≥0，y > 2，且
1
x+1 +
1
y-2 = 1，则x + y 的最小值为
( A )
A. 5
B. 6
C. 7
D. 9
∵x ≥0，y > 2，则x + y = (x + 1) + (y - 2) + 1
= [(x + 1) + (y - 2)]
1
x+1 +
1
y-2


+ 1 = 3 + y-2
x+1 + x+1
y-2 ≥3 + 2
y-2
x+1 ⋅x+1
y-2 = 5，
当且仅当y-2
x+1 = x+1
y-2 ，即x = 1，y = 4 时等号成立．
7 (★★★☆☆)学习了不等式的内容后，老师布置了这样一道题：已知a > 0，b > 0，且a + b = 1，
求y = 1
a + 2
b 的最小值．李雷和韩梅梅两位同学都“巧妙地用了a + b = 1”，但结果并不相同．
李雷的解法：由于a + b = 1，∴y = 1
a + 2
b + 1 - 1 = 1
a + 2
b + a + b - 1 = a + 1
a + b + 2
b - 1，而a +
1
a ≥2
a⋅1
a = 2，b + 2
b ≥2
b⋅2
b = 2 2．那么y ≥2 + 2 2 - 1 = 1 + 2 2，则最小值为1 + 2 2．
韩梅梅的解法：由于a + b = 1，所以y = 1
a + 2
b =
1
a + 2
b


(a + b) = 3 + b
a + 2a
b ，而3 + b
a + 2a
b
≥3
+ 2
b
a ⋅2a
b
= 3 + 2 2，则最小值为3 + 2 2．
(1) 你认为哪位同学的解法正确，哪位同学的解法有错误？(错误的需说明理由)
(2) 为巩固学习效果，老师布置了另外两道题，请你解决：
(i) 已知a > 0，b > 0，c > 0，且a + b + c = 1，求证：1
a + 1
2b + 1
c ≥2 2 + 9
2 ．
(ii) 已知a > 0，b > 0，a + 2b = 1，求b2+2a+1
2ab
的最小值．
(1) 李雷的解法错误，韩梅梅的解法正确，
李雷的解法中，a + 1
a ≥2
a⋅1
a = 2，等号成立的条件是a = 1，
b + 2
b ≥2
b⋅2
b = 2 2，等号成立的条件是b =
2，
等号同时成立的条件是a = 1，b =
2，此时与已知a + b = 1 矛盾；
(2) 证明：(ⅰ) 1
a + 1
2b + 1
c = a+b+c
a
+ a+b+c
2b
+ a+b+c
c
= 5
2 + b
a + a
2b + c
a + a
c + c
2b + b
c ，
其中b
a + a
2b ≥2
b
a ⋅a
2b =
2，当a =
2b 时，等号成立，
c
a + a
c ≥2，当a = c 时，等号成立，c
2b + b
c ≥
2，当c =
2b 时，等号成立，
所以1
a + 1
2b + 1
c ≥5
2 + 2 2 + 2 = 9
2 + 2 2，
当a = c =
2b 时，等号成立．
(ⅱ) b2+2a+1
2ab
= b2+3a+2b
2ab
= b
2a + 3
2b + 1
a = b
2a + 3(a+2b)
2b
+ (a+2b)
a
= 5b
2a + 3a
2b + 4 ≥2
5b
2a ⋅3a
2b + 4 =
15 + 4，
当5b
2a = 3a
2b ，即
5b =
3a 时，等号成立，得
a= 2 15-5
7
b= 6-
15
7





，∴b2+2a+1
2ab
的最小值为
15 + 4．