文档文本内容
专题13
三角恒等变换压轴题
1.两角和与差的正余弦与正切
①sin(
)
sin
cos
cos
sin
；
②cos(
)
cos
cos
sin
sin
；
③
tan
tan
tan(
)
1
tan
tan
；
2.二倍角公式
①sin 2
2sin
cos
；
②
2
2
2
2
cos2
cos
sin
2cos
1
1
2sin
；
③
2
2tan
tan 2
1
tan
；
3.降次（幂）公式
2
2
1
1 cos2
1
cos2
sin
cos
sin 2 ;sin
;cos
;
2
2
2
4.辅助角公式
)
sin(
cos
sin
2
2
b
a
b
a
（其中
a
b
b
a
a
b
a
b
tan
cos
sin
2
2
2
2
，
，
）．
5.常见拆分方法
①
=2 2
；
=( + )
-
；②
(
)
；③
1[(
)
(
)]
2
；
④
1[(
)
(
)]
2
；⑤
(
)
4
2
4
．
注意特殊的角也看成已知角，如
(
)
4
4
．
题型一
给角求值
例1（1）下列化简不正确的是（
）
A．
2
2
3
cos 15
sin 15
2
B．tan 48
tan 72
3
1
tan 48 tan 72
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C．
1
cos82 sin52
sin82 cos128
2
o
o
o
o
D．
1
sin15 sin 30 sin 75
8
（2）化简cos 40 (1
3 tan10 )
的值为（
）
A．1
B．1
2
C．
3
D．2
练习题
（1）9tan10
2tan 20
4tan 40
tan80
等于（
）
A．0
B．
3
3
C．1
D．
3
（2）
1
1
2tan 20
2cos10
（
）
A．
2
B．
3
2
C．
3
D．2
（3）下列代数式的值为1
4 的是（
）
A．
2
2
cos 75
sin 75
B．
2
tan15
1
tan 15
C．cos36 cos72
D．2cos20 cos40 cos80
题型二
给值求值
例2．（1）已知π
3π
2
2
，且
2π
1
cos
3
3
，则sin的值为（
）
A．2 2
3
6
B．2 6
1
6
C．1
2 6
6
D．
3
2 2
6
（2）已知
π
0
2
，0
π
，
3
5
cos
，若
1
sin
3
，则cos 的值为（
）
A．4 2
6
15
B．4 2
6
15
C．6 2
4
15
D．6 2
4
15
（3）已知角是第一象限角，
3
cos
5
，则
π
cos
3
（
）
A．3
10
B．3
4 3
10
C．4 3
3
10
D．3
4 3
10
（4）已知
2 5
sin
,
5
为钝角，
1
tan
3
，则tan（
）
A．5
7
B．
5
7
C．7
D．7
（5）如图，在平面直角坐标系xOy 中，锐角和钝角的终边分别与单位圆交于
,
A B 两点．点A 的横坐标
是3
5 ，点B 的纵坐标是12
13 .
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(1)求cos2的值；
(2)求
sin
的值.
练习题
（1）已知为锐角，若
π
4
cos
6
5
，则
7π
sin 2
12
的值为（
）
A．
2
10
B．7 2
10
C．17 2
50
D．31 2
50
（2）已知
π
1
tan
6
2
，
π
1
tan 12
3
，则
)
t n(
a
2
（
）
A．
9
13
B．
2
11
C．10
11
D．2
5
（3）已知
π
1
sin 6
4
x
，则
π
sin 2
6
x
（
）
A．
7
8
B．
1
8
C．1
8
D．7
8
（4）已知
π π,
2
a
，
5
cos
5
．(1)求
π
cos
4
的值；(2)求
5π
sin 2
6
的值．
题型三
给值求角
例3（1）已知π
π
4
，
3π
π
2
，
4
sin 2
5
，
2
cos(
)
10
，则
（
）
A．π
4 或3π
4
B．π
4
C．3 π
4
D．5π
4
（2）若
1
5 3
cos
,sin(
)
,0
,0
7
14
2
2
，则角的值为（
）
A．3
B．5
12
C．6
D．4
（3）已知
cos
tan
1 sin
，
1 sin
tan
cos
，若
π
0, 2
，则（
）
A．π
12
B．π
6
C．4
D．π
3 （4）已知
9
tan(
)
13
，
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π
1
tan(
)
4
3
，
3 10
cos
10
其中，为锐角．
(1)求tan的值；
(2)求
2
的值．
练习题
（1）已知
2 5
cos
5
，
10
sin
10
，且
0, 2
，
0, 2
，则
的值是（
）
A．3
4
B．4
C．7
4
D．5
4
（2）已知，均为锐角，且
4 3
sin
7
，
11
cos(
)
14
，则等于（
）
A．3
B．4
C．6
D．12
（3）若
π ,0
2
，
π
0, 2
，且
1
tan
2
，
1
tan
7
，则2
的值为（
）
A．
3π
4
B．
π
4
C．π
4
D．3π
4
（4）已知
4
cos2
5
，
1
tan
7
，其中
π
0
4
，5π
π
6
．
(1)求
π
sin
4
的值；
(2)求
2
的值．
题型四综合应用题
例4（1）如图，在半径为R 、圆心角为π
3 的扇形AB 弧上任取一点P ，作扇形的内接矩形PNMQ，使点Q 在
OA 上，点M 、N 在OB 上，则这个矩形面积的最大值为（
）
A．
2
(2
3
R
）
B．
2
3
6 R
C．
2
3
4 R
D．
2
3
3 R
（2）某大学为了制作“迎新杯”篮球赛创意冠军奖杯，在全校学生中开展“迎新杯”篮球赛奖杯的创意设计征
集活动.同学甲设计的创意奖杯如图1 所示，从其轴截面中抽象出来的平面图形如图2 所示，若圆O 的半径
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为10cm，AB
BC
CD
，
//
BC
AD ，
120 .
ABC
BCD
甲在奖杯的设计与制作的过程中发现，当OB
越长时，该奖杯越美观，则当该奖杯最美观时，AD （
）
A．10cm
B．10 2cm
C．10 3cm
D．5 6cm
（3）如图，某城市有一条公路从正西方沿MO 通过市中心O后转到北偏东30的ON 上，为了缓解城市交通
压力，现准备修建一条绕城高速公路L ，并在MO 、ON 上分别设置两个出口A 、B ．若要求市中心O与AB
的距离为10千米，则线段AB 最短为（
）
A．10 2 千米
B．20 2 千米
C．10 3 千米
D．20 3 千米
（4）设函数
π
4cos sin
3
3
f
x
x
x
，xR ．
(1)求函数
f
x 的单调增区间；
(2)当
π
0, 2
x
时，求函数
f
x 的值域；
(3)已知函数
y
f x
的图象与直线
1
y 有交点，求相邻两个交点间的最短距离．
练习题
（1）如图，以正方形的各边为底可以向外作四个腰长为1的等腰三角形，则正方形与四个等腰三角形面积
之和的最大值为（
）
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A．2 2
2
B．2
2 2
C．4 2
D．6
（2）有一块半径为2，圆心角为45°的扇形钢板，准备从这个扇形中切割出一个矩形（矩形的各个顶点都在
扇形的半径或弧上，且矩形的一边在扇形的半径上），则这个内接矩形的面积最大值为（
）
A．2 2
2
B．2
2
C．2
2
D．
2
1
（3）已知函数
2
2 3sin
cos
2cos
0
f x
x
x
x
的周期为π .
(1)求；
(2)求函数
f
x 的对称轴；
(3)已知
0
11
5
f x
，
0
π π
,
6 2
x
，求
0
cos2x 的值.
题型五创新提升能力题
1.在△ABC 中，
2
,
3
ACB
AB 边上的高
1,
,
CD
AD
x DB
y
，则x
y
的最小值为
.
2.某地拟建造一座大型体育馆，其设计方案侧面的外轮廓如图所示，曲线AB 是以点E 为圆心的圆的一部分，
其中
0,
0
25
E
t
t
；曲线BC 是抛物线
2
50
0
y
ax
a
的一部分；CD
AD
，且CD 恰好等于圆E 的
半径.假定拟建体育馆的高
50
OB
（单位：米，下同）.
（1）若
20
t
，
1
49
a
，求CD 、AD 的长度；
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（2）若要求体育馆侧面的最大宽度DF 不超过75米，求a 的取值范围；
（3）若
1
25
a
，求AD 的最大值.
3.已知ABC
为斜三角形．
(1)证明：tan
tan
tan
tan
tan
tan
A
B
C
A
B
C
；
(2)若ABC
为锐角三角形，sin
2sin
sin
C
A
B
，求tan
tan
tan
A
B
C
的最小值．
4.雨过天晴时，我们常能见到天空的彩虹，这种现象是阳光经空气中的水滴反射与折射综合产生的自然现
象．为研究方便将水滴近似视为一个球体．且各光线在球的同一截面大圆内．
Ⅰ．如图1，入射光线1l 经折射进入该球体内部，折射光线2l 经一次内部反射形成反射光线3l ，再折射出球
体外得到折射光线4l ．当
1l ∥4l 时，则称为光线4l 为虹；
Ⅱ．如图2，入射光线1l 经折射进入该球体内部，折射光线2l 经两次内部反射形成反射光线3l ，4l ．再折射
出球体外得到折射光线5l ，当
1l ∥5l 时则称为光线5l 为霓．
图1
图2
图3
可参考的物理光学反射与折射的知识，有如下定义与规律：
III．光被镜面反射时，过入射点与镜面垂直的直线称为法线，入射光线与反射光线与法线的夹角分别称为入
射角与反射角，则入射角等于反射角；
IV．从介质1 射入介质2 发生折射时，入射角与折射角折射光线与法线的夹角的正弦之比叫做介质2
相对介质1 的折射角，即
sin
sin
．
设球半径r=1．球为某种透光性较高的介质．空气相对该介质的折射率为．圆弧对光线入射或折射时，其
反射镜面为过入射（或反射）点的圆切线，法线为过该点的半径所在直线．
（1）图3 中，入射光线1l 经入射点P 进入球内得到折射光线2l ，过P 的圆O切线为l ，过点P 的半径所在
直线为法线，设入射角
3
，若球介质的折射率
3
，求折射角大小；
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（2）图1 中，设初始入射光线1l 的入射角为，球介质的折射率=1.5．折射光线4l 为虹，求cos；
（3）图2 中，设初始入射光线1l 的入射角为，球介质的折射率
46
39
，折射光线5l 为霓，求cos．
5.英国化学家、物理学家享利·卡文迪许被称为第一个能测出地球质量的人，卡文迪许是从小孩玩的游戏（用
一面镜子将太阳光反射到墙面上，我们只要轻轻晃动一下手中的镜子，墙上的光斑就会出现大幅度的移动，
如图1）得到灵感，设计了卡文迪许扭秤实验来测量万有引力，由此计算出地球质量，他在扭秤两端分别固
定一个质量相同的铅球，中间用一根韧性很好的钢丝系在支架上，钢丝上有个小镜子，用激光照射镜子，
激光反射到一个很远的地方，标记下此时激光所在的点，然后用两个质量一样的铅球同时分别吸引扭秤上
的两个铅球（如图2），由于万有引力作用，根秤微微偏转，但激光所反射的点却移动了较大的距离，他用
此计算出了万有引力公式中的常数G，从而计算出了地球的质量．在该实验中，光源位于刻度尺上点P 处，
从P 出发的光线经过镜面（点M 处）反射后，反射光线照射在刻度尺的点Q 处，镜面绕M 点顺时针旋转a
角后，反射光线照射在刻度尺的点Q处，若△PMQ 是正三角形．PQ
a
QQ
b
，
（如图3），则下列等式
中成立的是（
）
A．
3
tan
2
b
a
b
B．
3
tan
2
a
a
b
C．
3
tan 2
2
b
a
b
D．
3
tan 2
2
a
a
b
1.已知α为锐角，
1
cos
3
7
π
，则cos（
）
A．11
14
B．13
14
C．3 3
14
D．5 3
14
2．已知
π
3
sin
cos 6
3
，则
π
cos 2
3
（
）
A．
7
9
B．7
9
C．
1
3
D．1
3
3．已知锐角
、
满足
5
3 10
sin
,cos
5
10
，则
等于（
）
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A．3π
4
B．π
4 或3π
4
C．π
4
D．π
2
4．已知
π
0
2
，且
12
cos
13
，
3
cos2
5
，则
cos
（
）
A．16
65
B．33
65
C．56
65
D．63
65
5．已知，均为锐角，且tan
3
，
3
sin
5
，则cos （
）
A．13 10
50
B．
10
10
C．9 10
50
D．
10
10
或13 10
50
6．已知
3
cos
75
2
3
，则
cos
30
的值为（
）
A．1
3
B．
1
3
C．2
3
D．
2
3
7．已知
π
2
cos
4
3
，则sin 2等于（
）
A．1
3
B．
1
3
C．
1
9
D．1
9
8.已知
7π
π, 4
，
3π
π, 2
，
π
3
cos
4
5
，
π
5
sin
4
13
，则sin(
)
的值为（
）
A．16
65
B．
16
65
C．56
65
D．
56
65
9.若
5
sin 2
5
，
10
sin
10
，且
π ,π
4
，
3
π,
π
2
，则
（
）
A．7π
4
B．9
4
C．4π
3
D．5π
3
11.已知
0,π
，若
5π
sin2
cos
4
，则
π
tan 2
2
（
）
A．1
B．
3
3
C．
3
D．
3
12.设
π
0
2
，且
π
3
sin
6
5
，则
π
sin
12
．
13．已知α，β都是锐角，
5
cos
13
，
3
sin
5
=
，则sin
.
14.已知函数
2
π
π
3
sin
sin
3 cos
2
3
4
f x
x
x
x
，xR .
(1)求
f
x 的最小正周期，对称轴方程，对称中心坐标；
(2)求
f
x 在闭区间
π π
,
4 4
上的最大值和最小值，
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