《2026初高衔接》[第二讲]——方程与因式分解_2026版高中《罗老师初升高讲义》十五讲（数学）_《初高衔接2026版》教师版

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夏• 2026 初高衔接
晓书
选择胜于努力，笃行成就未来
2
方程与因式分解
方程与因式分解
[教学重难点]
[教学目标]
[核心素养]
十字相乘法(必会) + 含参
因式拆解
熟练用十字相乘法分解多项式，快
速解方程
数学运算、逻辑推理
试根思想与乘法公式分解
因式
掌握试根法分解因式．初识方程函
数之间的关系．了解代数的局限性
数学抽象、数学运算
一一元二次方程与十字相乘法
一元二次方程ax2 + bx + c = 0
我们知道：Δ = b2 −4ac 叫做一元二次方程的根的判别式，可以用来判定一元二次方程的根是否存在.
①当Δ > 0 时，方程有2 个不相等的实数根：x1,2 = −b±
b2−4ac
2a
②当Δ = 0 时，方程有2 个相等的实数根：x = −b
2a
③当Δ < 0 时，方程没有实数根.
上述内容是初中阶段就要求掌握的．在初中的教学当中还讲了韦达定理，但是某些地区的中考不进行考
察，而韦达定理将在高中的学习中发挥重要作用．
ax2 + bx + c = 0
韦达定理

x1+x2=- b
a
x1x2= c
a

韦达定理
十字相乘法
利用十字交叉线分解二次三项式的系数，该分解因式的方法叫做十字相乘法．初中仅仅是停留在二次项系
数为1 的情况下的分解方法，高中将加入二次项系数不为1 的情况、含有参数的情况和部分无理数的拆解．
完整十字相乘法
3x2 + 11x + 10 =
(x+2)⋅(3x+5)
x
3x
5
2
①竖分二次项与常数项
②交叉相乘和为
一次项可用该方法
5
2
1 10
10 1
√
×
×
×
5x+6x=11x
确定
因数
③横向书写因式
由于初中停留在系数
为1 的分解，所以很
多学生以为书写也是
十字书写．一定要关
注这个误区．
要点补注
要点补注
mathxiaoshu01
方程的求根公式和判
别式在高中阶段仍然
很重要．还记不住的
同学，要抓紧了．
要点补注
要点补注
mathxiaoshu01
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1
(★★☆☆☆)利用十字相乘法求解下列方程
(1) x2- 2x - 3 = 0
x
x
1
-3
x2-2x-3=0
∴(x - 3) (x + 1) = 0，∴x1= 3，x2=-1
(3) 2x2- x - 1 = 0
2x
x
-1
1
2x2-x-1=0
∴(2x + 1) (x - 1) = 0 ∴x1=- 1
2 ，x2= 1
(5) 6x2- x - 12 = 0
2x
3x
4
-3
6x2-x-12=0
(2x - 3) (3x + 4) = 0，x1= 3
2 , x2=- 4
3
(7) 2x2- 3x - 2 2 = 0
2x
x
-2 2
1
2x2-3x-2 2=0
( 2x + 1) (x - 2 2) = 0,x1=-
2
2 , x2= 2 2
2
(★★☆☆☆)利用十字相乘法求解方程．
(1) x2+ (m - 1)x - m = 0
x
x
-1
m
x2+(m-1)x-m=0
(x + m) (x - 1) = 0
∴x1=-m，x2= 1
(3)2ax2+ (a - 2)x - 1 = 0
ax
2x
1
-1
2ax2+(a-2)x-1=0
(ax - 1) (2x + 1) = 0
∴x1= 1
a ，x2=- 1
2
(2) x2- 2x - 15 = 0
x
x
3
-5
x2-2x-15=0
(x - 5) (x + 3) = 0 ∴x1= 5，x2=-3
(4)3x2- 7x + 2 = 0
3x
x
-2
-1
3x2-7x+2=0
(3x - 1) (x - 2) = 0 ∴x1= 1
3 ，x2= 2
(6)2x2-
2x - 2 = 0
2x
x
- 2
2
2x2-
2x-2=0
∴(2x +
2) (x -
2) = 0 ∴x1=-
2
2 ，x2=
2
(8)2x2- 5 2x + 6 = 0
2x
x
- 2
-3 2
2x2-5 2x+6=0
∴(2x - 3 2) (x -
2) = 0 ∴x1= 3 2
2
，x2=
2
(2) x2+ (2a + 2)x + 4a = 0
x
x
2
2a
x2+(2a+2)x+4a=0
(x + 2a) (x + 2) = 0
∴x1=-2a，x2=-2
(4) 4ax2+ 2a+2


x + 1 = 0
2ax
2x
1
1
4ax2+ 2a+2


x+1=0
(2ax + 1) (2x + 1) = 0 ∴x1=- 1
2a ，x2=- 1
2
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3
(★★☆☆☆)已知关于x 的一元二次方程ax2- (3a + 1)x + 2a + 1 = 0．
(1) 求证：无论a 为任何非零实数，此方程总有两个实数根；
(2) 若该方程的两个实数根分别为x1、x2，且x2- x1= 2，求a 的值．
(1) 证明：Δ = (3a + 1)2- 4a(2a + 1) = a2+ 2a + 1 = (a + 1)2≥0，
∴无论a 为任何非零实数，此方程总有两个实数根；
(2) 依题意得，x1 + x2 = 3a+1
a
，x1x2 = 2a+1
a
，
∵x2- x1= 2，∴(x1 + x2)2 - 4x1x2 = 4，∴
3a+1
a


2
- 4(2a+1)
a
= 4，
即3a2- 2a - 1 = 0，∴(3a + 1) (a - 1) = 0
得a1= 1，a2 =- 1
3 ．
4 (★★☆☆☆)已知x1，x2是一元二次方程(4k2+ 1)x2- (4k + 1)x + 1 = 0 的两个不相等的实数根．
(1) 若两根同号，求实数k 的取值范围；
(2) 求使得x1
x2
+ x2
x1
+ 4 的值为整数的整数k 的值．
(1) ∵两根同号，∴
x1x2=
1
4k2+1 >0，
Δ=(4k+1)2-4(4k2+1)>0，

k> 3
8 ．
(2) 由(1) 知，当k > 3
8 时，方程有两个实数根，
利用韦达定理可知x1 + x2 = 4k+1
4k2+1 ，x1x2 =
1
4k2+1 ，
于是x1
x2
+ x2
x1
+ 4 = (x1+x2)2
x1x2
+ 2 = (4k+1)2
4k2+1
+ 2 = 6 + 8k-3
4k2+1 ．
由k > 3
8 ，则8k - 3 > 0，则8k-3
4k2+1 > 0．即要使8k-3
4k2+1 的值为正整数，且k 为整数，则8k-3
4k2+1 ≥1，
则有4k2+ 1 ≤8k - 3，化简得(k - 1)2≤0，即k = 1，
令k = 1，此时8k-3
4k2+1 = 1 为整数，则k = 1 满足题意．．
5
(2022 ∙新高考Ⅰ卷改•★★★★☆)已知x1，x2 是方程(2k2- 1)x2+ 4kmx + 2m2+ 2 = 0 的两个根．
(1) 求x1 + x2，x1x2;
(2) 若m ≠1 - 2k．且2kx1x2+ (m - 1 - 2k) (x1+ x2) - 4(m - 1) = 0．求k．
(1) 由韦达定理可得x1 + x2 =- 4km
2k2-1 ，x1x2 = 2m2+2
2k2-1
2


2kx1x2+ (m - 1 - 2k) (x1+ x2) - 4(m - 1) = 0
2k(2m2+ 2) - 4km(m - 1 - 2k) - 4(m - 1) 2k2-1


= 0
4km2+ 4k - 4km2+ 4km + 8k2m - 8k2m + 4m + 8k2- 4 = 0
4(2k2+ km + k + m - 1) = 0
4(k + 1) (m + 2k - 1) = 0
(k + 1) (m + 2k - 1) = 0
∵m ≠1 - 2k
k =-1
该题建议必刷，体会初高中代数计
算、方程处理的核心差异：初中仅
停留在基础浅层的数的运算，高中
对代数式的变形、综合运算提出更
高、更深层次要求．该题还只是当
年高考解答第一问．结合上一讲第
10 页20 题、12 页中的23 题．感
受到高考中乘法公式的魅力了吗？
它并不是你以为的背背公式那么简
单，理解记住并且运用是关键．
要点补注
要点补注
mathxiaoshu01
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二乘法公式背景下的因式分解
立方和差公式与三次方程的因式分解
在上一节课中，我们学习了立方和：a3+ b3= (a + b) (a2- ab + b2) 立方差：a3- b3= (a - b) (a2+ ab + b2)
上一节课我们仅仅停留在这两个公式应用上，这一堂课，我们可以借助这些公式对代数式进行因式分解．
1 (2020 •新课标Ⅰ•★★★☆☆)解方程：1
2 x3 - x - 2 = 0
变形：x3- 2x - 4 = 0
配凑：x3- 23- 2x + 4 = 0
立方差：(x - 2) (x2+ 2x + 4) - 2(x - 2) = 0
分解(x - 2) (x2+ 2x + 2) = 0 解得：x = 2
从上面的解题过程能看出，运用立方和差公式因式分解，难点在于对代数式进行预判与配凑．不少同学会
卡在凑系数、凑项这一步，其实求解三次多项式，我们还有其他方法可以选用．
进入高中阶段，教材不再系统讲解各类高阶方程的解法．我们需要在初中一元一次、一元二次方程的基础
上，拓展出复杂方程的求解思路：借助数形结合思想，作出复杂方程对应函数的图(目的：通过看与x 轴的交点
判定根的个数)确定根存在可求时，优先采用“试根法”找出方程的根．初高衔接的阶段，我们先来介绍一元三
次方程的试根法．通过对一元三次方程试根的学习了解试根法本身．
有理根定理
若三次方程Ax3 + Bx2 + Cx + D = 0 存在有理根，则先将其变为系数为1 的三次方程：x3 + B
A x2 +
C
A x + D
A = 0，该系数为1 的方程有理根必为常数项的因数．
结合上述定理，求解一元三次方程时，先试常数项因数，确定方程的一个根，然后完成因式分解．
如(2020• 新课标Ⅰ) 中的三次方程1
2 x3 - x - 2 = 0
①先变形为：x3- 2x - 4 = 0
②明确常数项因数：±1、±2、±4，代入验证后知道x = 2 是上述方程的根，即一定有因式(x - 2)
③确定剩余因式
试根思想与因式分解
x-2
x² + 2x + 2
x3 + 0x2 - 2x - 4
x³ - 2x²
2x² - 2x
2x² - 4x
2x - 4
2x - 4
0




余式的次数必须小于除式次数
余式为0 时，除式是被除式的因式
长除法
x3-2x-4= (x-2)∙(x2+ax+2) = (x-2)∙(x2+2x+2)
②待定系数设出剩余因式，找一二


次项与原式对比可得：a=2
①代入4的因子±1，±2，±4可知：
x=2是方程根，由此确定因式: (x-2)
③检查一元二次代数式
能否继续因式分解
x3÷x
-4÷ -2


=2
待定系数法
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(★★☆☆☆)根据课堂知识求解下列方程．
(1) x3- 3x2+ 4 = 0
常数项因数：±1, ±2, ±4，代入试根
可知x =-1 是根，含因式x + 1
(x + 1) (x2- 4x + 4)
= 0
(x + 1) (x - 2)2
= 0
解得：x1=-1, x2= x3= 2
(3) x3+ 2x2- 5x - 6 = 0
常数项因数：±1, ±2, ±3, ±6，
代入试根x = 2 是根，含因式x - 2
(x - 2) (x2+ 4x + 3)
= 0
(x - 2) (x + 1) (x + 3) = 0
解得：x1= 2, x2=-1, x3=-3
(5) x3- 9x + 8 = 0
常数项因数：±1, ±2, ±4, ±8，代入
试根x = 1 是根，含因式x - 1
(x - 1) (x2+ x - 8) = 0
解得：
x1= 1, x2= -1+
33
2
, x3= -1-
33
2
(2) x3- 7x + 6 = 0
常数项因数：±1，±2，±3，±6 代
入验证可得：1 是方程的一个根
(x - 1) (x2+ x - 6)
= 0
(x - 1) (x - 2) (x + 3) = 0
解得：x1= 1, x2= 2, x3=-3
(4)2x3+ x2- 5x + 2 = 0
两边同除2：x3+ 1
2 x2- 5
2 x + 1 = 0
有理根：±1，试根得x = 1 是根
(x - 1) (2x2+ 3x - 2) = 0
(x - 1) (2x - 1) (x + 2) = 0
(6) t3- 12t + 9 = 0
试根得t = 3 为根：
(t - 3) (t2+ 3t - 3) = 0
解得：t1= 3, t2= -3+
21
2
, t3= -3-
21
2
7
(★★★☆☆)设x3 + ax + b = 0，下列条件中，使得该三次方程仅有一个实根的是
( D )
A. a =-3，b = 2
B. a =-3，b =-2
C. a =-4，b = 3
D. a = 1，b = 2
A 中，方程为(x - 1) (x2 + x - 2) = 0，即(x - 1)2
(x + 2) = 0，可得方程有两个根1，-2，不符合题意，
B 中，方程为(x - 2) (x2 + 2x + 1) = 0，即(x + 1)2
(x - 2) = 0，可得方程有两个根-1，2，不符合题意
C 中，方程为(x - 1) (x2 + x - 3) = 0，即(x + 1)2
(x - 2) = 0，可得方程有三个根，不符合题意
D 中，方程为(x + 1) (x2 - x + 2) = 0，x2 - x + 2 = 0 无解，可得方程有一个根，符合题意
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(★★☆☆☆)已知多项式2x3- x2- 13x + k 有一个因式2x + 1，求k 的值，并把原式分解因式．
设2x3- x2- 13x + k = (2x + 1) (x2+ ax + b)
则2x3- x2- 13x + k = 2x3+ (2a + 1)x2+ (a + 2b)x + b
令
2a+1=-1
a+2b=-13
b=k





，解得
a=-1
b=-6
k=-6





，所以k =-6
2x3- x2- 13x - 6 = (2x + 1) (x2- x - 6) = (2x + 1) (x - 3) (x + 2)
9
(★★★☆☆)如图在底面半径为3、母线长为5 的圆锥中内接(圆柱与圆锥面相接) 一个高为2 的圆柱．
(1) 求圆柱的体积；
(2) 在该圆锥中是否存在另外一个内接的圆柱与(1) 中圆柱体积相等？若存在，求出另一个圆柱的高；若不
存在，请说明理由。
(1) 如图，已知OA = 3，PA = 5，BC = 2，
圆锥的高OP =
52-32 = 4，∵BC = 2，
∴BC = 1
2 OP，又OP ⊥OA，BC ⊥OA，
∴AB = 1
2 OA = 3
2 ，则OB = 3
2 ，
故圆柱的体积V = π ×
3
2


2
× 2 = 9π
2 ．
(2) 假设存在另一个符合题意的圆柱，设其高为h，底面半径为r，则
h
OP = 3-r
OA ，即h
4 = 3-r
3
，∴r
= 3 - 3
4 h，
则π × 3- 3
4 h


2
× h = 9π
2 ，
整理得(h2 - 6h + 4) (h - 2) = 0，
解得h = 2 或h = 3 ±
5，∵h = 3 +
5 > 4，
故不符合题意，舍去，故存在另外一个内接的圆柱与(1) 中圆柱体积相等，该圆柱的高为3 -
5．
A
B
O
C
P
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1 (★☆☆☆☆)多项式3x2- 12x - 36 分解正确的是
( A )
A. 3(x - 6) (x + 2)
B. 3(x - 3) (x + 4)
C. 3(x2- 4x - 12)
D. 3(x + 6) (x - 2)
3x2- 12x - 36 = 3(x2- 4x - 12) = 3(x - 6) (x + 2)，故选：A．
2 (★★☆☆☆)若x3+ a3= (x - 3) (x2+ 3x + 9) 对任意实数x 都成立，则实数a 的值是
( C )
A. - 9
B. 9
C. - 3
D. 3
因为x3+ a3= (x + a) (x2- ax + a2)，
又x3+ a3= (x - 3) (x2+ 3x + 9)，可得a =-3．故选：C．
3 (★★☆☆☆)实数a,b 满足a2- 3a + 1 = 0，b2- 3b + 1 = 0，且a ≠b，则1
a + 1
b 的值为
( A )
A. 3
B. - 3
C. 1
D. - 1
由题意，a、b 是方程x2- 3x + 1 = 0 的两个不相等实数根。
根据韦达定理：a + b = 3,
ab = 1，∴1
a + 1
b = a+b
ab
= 3
1 = 3
4 (★★☆☆☆)请求解下列方程．
(1) ax2+ (a - 1)x - 1 = 0
ax
x
1
-1
ax2+(a-1)x-1=0
(ax - 1) (x + 1) = 0
∴x1= 1
a ，x2=-1
(3) 3x2- (a + 3)x + a = 0
3x
x
1
-a
3x2-(a+3)x+a=0
(3x - a) (x - 1) = 0
∴x1= 1
3 ，x2= 1
(5) x3- 2x2+ 5x - 4 = 0
常数项因数：±1, ±2, ±4，代入
试根故x = 1 是根，含因式x - 1
(x - 1) (x2- x + 4) = 0
判别式Δ = (-1)2- 4 × 1 × 4 =-15 < 0，无实根
实数解：x1= 1
(2) -2ax2+ (a2- 2)x + a = 0
ax
-2x
a
1
-2ax2+(a2-2)x+a=0
(ax + 1) (-2x + a) = 0
∴x1=- 1
a ，x2= a
2
(4) -2ax2 + (a - 2)x + 1 = 0
-ax
2x
-1
-1
-2ax2+(a-2)x+1=0
(-ax - 1) (2x - 1) = 0
∴x1=- 1
a ，x2= 1
2
(6) 2x3- 7x2+ 4x + 4 = 0
两边除2：x3- 7
2 x2+ 2x + 2 = 0
常数项因数±1, ±2，x = 2 是根．
2x3- 7x2+ 4x + 4 = (x - 2)2(2x + 1) = 0
x1=- 1
2 ，x2= 2
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5 (★★☆☆☆)已知关于x 的一元二次方程x2- mx + 4m2- 3 = 0 的两个实根分别为x1，x2．
(1) 若x1、x2均为正根，求实数m 的取值范围；
(2) 若x1、x2满足：x1+ x2= x1x2，求实数m 的值．
(1) 关于x 的一元二次方程x2- mx + 4m2- 3 = 0 的两个实根分别为x1，x2，
若x1、x2均为正根，则有
Δ=m2-4(4m2-3)≥0
x1+x2=m>0
x1⋅x2=4m2-3>0





．
求得
3
2
< m ≤2 5
5
，
即实数m 的取值范围为
3
2 ，2 5
5



．
(2) 若x1、x2满足：x1+ x2= x1x2，即m = 4m2- 3．
求得m = 1(舍去，不满足Δ ≥0) 或m =- 3
4 ．
故实数m 的值为- 3
4 ．
6 (★★★☆☆)已知关于x 的一元二次方程x2- (k + 4)x + 4k = 0．
(1) 求证：无论k 为任何实数，此方程总有两个实数根；
(2) 若方程的两个实数根为x1、x2，满足1
x1
+ 1
x2
= 3
4 ，求k 的值；
(3) 若Rt△ABC 的斜边为5，另外两条边的长恰好是方程的两个根x1、x2，求Rt△ABC 的内切圆半径．
(1) 证明：对于关于x 的一元二次方程x2- (k + 4)x + 4k = 0
∵它的判别式Δ = (-k - 4)2- 4 × 4k = (k - 4)2≥0，
∴无论k 为任何实数，此方程总有两个实数根．
(2) 若方程的两个实数根为x1、x2，由韦达定理可得x1+ x2= k + 4，x1•x2= 4k
∴1
x1
+ 1
x2
= x1+x2
x1⋅x2
= k+4
4k
= 3
4 ，求得k = 2．
(3) ∵Rt△ABC 的斜边为5，另外两条边的长恰好是方程的两个根x1、x2，
∴x2
1 + x2
2 = (x1 + x2)2 - 2x1•x2= (k + 4)2- 8k = 52，∴k = 3 或k =-3(舍去)，
故两个根x1、x2，中一个为3，另一个为4．
设三角形ABC 的内切圆的半径为r，
则由△ABC 的面积为1
2 × 3 × 4 = 1
2 (3 + 4 + 5)r，求得r = 1，
即Rt△ABC 的内切圆半径为1．