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第18 讲 线段的比较与运算
内容导航
01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向
02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理
03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解
题型1 两点之间线段最短
题型2 线段的数量问题的应用
题型3 线段的和与差
题型4 作线段（尺规作图）
题型5 线段中点的有关计算
题型6 线段n 等分点的有关计算
题型7 与线段有关的动点问题
04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固
关键词
学习目标导航
度量法、叠合法、线段
中点、尺规作图、等分
点、数形结合。
1. 掌握比较线段长短的两种方法：度量法（用刻度尺量长度）和叠合法（放
到同一直线上比较端点位置）。
2. 理解线段中点的概念，掌握中点将线段分成两条相等的线段，能进行相关
计算和推理。
3. 能用尺规作图作一条线段等于已知线段，并作线段的和与差。
4. 体会几何图形中数量关系和位置关系的相互转化，培养逻辑思维和几何直
观。
学习重点：用度量法和叠合法比较线段长短，理解线段中点的概念及作用，能用尺规作线段的和与差。
学习难点：叠合法中“重合端点”的操作与判断，以及用线段中点进行比例计算和符号表达（如 AM
= MB =
1
2AB），尺规作图的基本操作规范。
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知识点01 尺规作图
仅用圆规和没有刻度的直尺作图的方法叫做尺规作图.
【说明】（1）只使用圆规和直尺，并且只准许使用有限次，来解决不同的平面几何作图题．
（2）直尺必须没有刻度，无限长，且只能使用直尺的固定一侧.只可以用它来将两个点连在一起，不可以在
上面画刻度．
（3）圆规可以开至无限宽，但上面也不能有刻度.它只可以拉开成之前构造过的长度．
【易错提醒】
尺规作图易错警示：用无刻度直尺和圆规作图，保留作图痕迹。注意：直尺只能画直线，不能量长度；圆
规画弧或截取等长。作图后需写结论。基本作图（作相等线段、角、垂直平分线等）步骤要清晰，勿随意
增加刻度尺测量。
即时即练1．作图题：如图，平面上有四个点A，B，C，D，根据下列语句画图：
(1)做射线BC ；
知｜识｜框｜架
知｜识｜精｜讲
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(2)取一点P，使点P 既在直线AB 上又在直线CD 上；
(3)若A、C 两点之间的距离为4，B、D 两点之间的距离为3，点M 到A，B，C，D 四点距离之和最短．画
出点M 的位置，并写出该最短距离和是___________．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)图见解析，7
【分析】本题考查射线，直线和线段，以及线段的性质：
（1）根据射线的定义，作图即可；
（2）直线
,
AB CD 的交点即为点P ；
（3）两点之间线段最短，得到AC ，BD 的交点即为点M ，再进行求解即可．
【详解】（1）解：作射线BC ，如图；
（2）直线AB 和直线DC 的交点就是点P；
（3）连接AC ，BD 交于M，点M 即为所求，最短距离和是4
3
7
知识点02 线段大小比较
1.比较线段大小的方法：（1）目测法；（2）度量法；（3）叠合法
2.叠合比较法：利用直尺和圆规把线段放在同一条直线上，使其中一个端点重合，另一个端点位于重合端
点同侧，根据另一端点与重合端点的远近来比较长短．如下图：
【说明】线段的比较方法除了叠合比较法外，度量比较法也是常用的方法．
【易错提醒】
线段大小比较易错警示：可用度量法（统一单位）或叠合法（一端对齐，看另一端位置）。注意：叠合法
需考虑线段方向，比较的是长度而非位置。单位不一致时先换算。勿仅凭视觉判断（如弯曲线段）。中点
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将线段分为相等两部分。
即时即练1．如图，点E 、F 在线段AB 上，点M 、N 分别是AE 、BF 的中点，
12
AB
，且
:
:
1: 2:1
AE EF FB
，那么线段MN 的长是
．
【答案】9
【分析】本题考查了线段和差的计算以及线段中点的定义，比例的性质，根据题意得
3,
6,
3
AE
EF
FB
，根据中点的性质可得ME=1
2𝐴𝐸= 3
2,𝐹𝑁= 1
2𝐹𝐵= 3
2，进而根据MN
ME
EF
FN
，
即可求解．
【详解】解：∵
12
AB
，且
:
:
1: 2:1
AE EF FB
，
∴
3,
6,
3
AE
EF
FB
∵点M 、N 分别是AE 、BF 的中点，
∴ME=1
2𝐴𝐸= 3
2,𝐹𝑁= 1
2𝐹𝐵= 3
2
∴
3
3
6
9
2
2
MN
ME
EF
FN
，
故答案为：9．
知识点03 线段的性质
两点之间的所有连线中，线段最短.简单地：两点之间线段最短.我们把两点之间线段的长度，叫做这两点
之间的距离.
【易错提醒】
线段性质易错警示：两点之间线段最短。注意：是“线段”最短，不是直线或射线。两点间距离指线段长度，
非线段本身。比较线段长短可用度量或叠合法，勿与“直线无限延伸”混淆。中点定义需准确。
即时即练1．高速公路是指专供汽车高速行驶的公路．高速公路在建设过程中，通常要从大山中开挖隧道
穿过，把道路取直以缩短路程．其中的数学原理是（ ）
A．两点之间，线段最短
B．两点确定一条直线
C．平行线之间的距离最短
D．垂线段最短
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【答案】A
【分析】本题考查线段的性质，解题的关键是掌握：两点之间，线段最短．
【详解】解：在高速公路的建设中，通常从大山中开挖隧道穿过，把道路取直，以缩短路程，这是因为：
两点之间，线段最短．
故选A．
知识点04 线段的和与差
如下图：线段AB 上有一点C，则AC+BC=AB；AC=AB - BC； BC=AB - AC，
在这里线段AC、BC、AB 表示线段的长度，如AC+BC=AB 表示AC 长度与BC 长度之和等于AB 长度.
【易错提醒】
线段和差易错警示：线段的和差是长度运算，结果仍为线段。注意：作图时需截取相等长度，并用圆规或
刻度尺准确。计算时注意单位统一，如AB+BC=AC 需验证点B 是否在AC 上。勿与角度运算混淆。
即时即练1．如图，点C
E
，
是线段AB 上两点，点D 为线段AB 的中点，
6
AB
，
1
CD ．
(1)图中共有_______条线段；
(2)求BC 的长；
(3)若
13
AE EC
∶
∶，求EC 的长．
【答案】(1)10；
(2) 2 ；
(3)3 ．
【分析】（1）根据线段的定义即可求解；
（2 ）根据线段中点定义及线段和差关系即可求解；
（3 ）利用线段和差关系求出AC ，再根据线段的比即可求解；
本题考查了线段，线段的和差，中点的定义，正确识图是解题的关键．
【详解】（1）解：由图可得，线段共有4
3
2 1
10
条，
故答案为：10；
（2）解：∵点D 为线段AB 的中点，
6
AB
，
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∴
1
3
2
BD
AB
，
∵
1
CD ，
∴
3 1
2
BC
BD
CD
；
（3）解：∵
6
AB
，
2
BC
∴
6
2
4
AC
，
∵
13
AE EC
∶
∶，
∴
3
3
4
3
4
4
EC
AC
．
知识点05 线段的中点
线段的中点：把一条线段分成两条相等线段的点，叫做线段的中点．如下图所示，点C 是线段AB 的中点，
则AC=CB= 2
1 AB，或AB=2AC=2BC．
【说明】若点C 是线段AB 的中点，则点C 一定在线段AB 上．
【易错提醒】
线段中点易错警示：中点将线段分为两条相等的线段（AM=MB=
1
2AB）。注意：点必须在线段上，且满足
等距。若只知AM=MB 而点不在线段上，则不是中点。中点公式在数轴上为 (x1+x2)/2，勿漏除以2。
即时即练1．线段AB 上，M 为AC 的中点，N 为DB 的中点，AB
a
=
，CD
b
，MN （ ）．
A．
1
2
a +
b
B．
1
2
a
b
C．1
1
2
2
a
b
D．1
1
2
2
a
b
【答案】D
【分析】本题考查与线段中点有关的计算，解题的关键是掌握线段中点的性质．先由AC
BD
a
b
，再
根据中点的性质得AM
MC
，BN
DN
，最后由线段的和差关系即可求出结果．
【详解】解：∵AB
a
=
，CD
b
，
∴AC
BD
a
b
，
∵点M 是AC 的中点，点N 是DB 的中点，
∴AM
MC
，BN
DN
，
∴
1
1
1
1
2
2
2
2
MN
MC
CD
DN
AC
BD
CD
a
b
b
a
b
．
故选：D．
2．如图，A ，B ，C ，D 是直线l 上的四个点，M ，N 分别是AB ，CD 的中点．
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(1)如果
2cm
MB
，
1.8cm
NC
，
5cm
BC
，则AD 的长为________cm；
(2)如果
10cm
MN
，
6cm
BC =
，则AD 的长为_________cm；
(3)如果MN
a
，BC
b
，求AD 的长，并说明理由．
【答案】(1)12.6
(2)14
(3)
2
AD
a
b
．
【分析】本题考查了两点间的距离，利用线段的和差得出(
)
MB
CN
的长，利用线段中点的性质，得出
2
AB
MB
，
2
CD
CN
．
（1）根据线段的和，可得
MB
CN
的长，根据线段中点的性质，可得AB 与MB 的关系，CD 与CN 的关系，
根据线段的和，可得答案；
（2）先根据线段的和与差，计算出BM
CN
的长，再根据线段中点的性质，可得AB 与MB 的关系，CD 与
CN 的关系，根据线段的和，可得答案；
（3）根据（2）的解题过程，即可解答．
【详解】（1）解：
2cm
MB
，
1.8cm
NC
，
3.8
MB
NC
，
M
，N 分别是AB ，CD 的中点，
2
AB
BM
，
2
CD
CN
，
2
2
2(
)
7.6
AB
CD
BM
CN
BM
CN
，
7.6
5
12.6 cm
AD
AB
CD
BC
，
故答案为：12.6；
（2）解：
10cm
MN
，
6cm
BC =
，
10
6
4
BM
CN
MN
BC
，
M
，N 分别是AB ，CD 的中点，
2
AB
BM
，
2
CD
CN
，
2
2
2(
)
8
AB
CD
BM
CN
BM
CN
，
8
6
14 cm
AD
AB
CD
BC
，
故答案为：14；
（3）解：
MN
a
，BC
b
，
BM
CN
a
b
，
M
，N 分别是AB ，CD 的中点，
2
AB
BM
，
2
CD
CN
，
2
2
2(
)
AB
CD
BM
CN
BM
CN
，
2(
)
AB
CD
a
b
，
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AD
AB
CD
BC
，
2(
)
2
2
2
AD
a
b
b
a
b
b
a
b
．
题型1 两点之间线段最短
【例1】如图，某同学用剪刀沿直线将一圆形的训练场剪掉一部分，发现剩下训练场的周长比原训练场的周
长要小，能正确解释这一现象的数学知识是_______________．
【答案】两点之间，线段最短
【详解】解：某同学用剪刀沿直线将一圆形的训练场剪掉一部分，发现剩下训练场的周长比原训练场的周
长要小，能正确解释这一现象的数学知识是：两点之间，线段最短．
【例2】湘超“火”爆岳阳，“看湘超，游岳阳”成为了当下最时尚的游玩选择．外地游客小智在观看完湘超比
赛后，准备打卡岳阳楼景区和君山岛景区．导航上显示两地之间的直线距离为12 km ，但实际导航时却显示
路长为22 km ，能解释这一现象的数学知识是_____．
【答案】两点之间，线段最短
【分析】本题考查了线段的性质，解题的关键是理解两点之间线段最短的几何意义，并能将其应用到实际
生活场景中．
分析直线距离与实际路线的本质区别，直线距离对应两点之间的线段长度，实际路线为连接两点的折线或
曲线，根据线段性质可知线段长度是连接两点的所有线中最短的，因此实际路长大于直线距离．
【详解】解：∵ 两点之间的所有连线中，线段最短．
∴ 两地之间的直线距离（线段长度）为最短距离，而实际导航的路线为非线段的路径，其长度必然大于线
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段长度．
故答案为：两点之间，线段最短．
【技巧归纳】
最短路径问题：化曲为直，利用两点之间线段最短。如蚂蚁在几何体表面爬行，展开成平面后连接两点。
实际中修路选最短。也可作对称点转化折线为直线。验证时，若路径为折线，则直接线段更短。结合三角
形两边之和大于第三边。常见于最短距离。
【变式1-1】如图，用直线l 表示一条公路，
,
A B 是公路l 两侧的两个村庄．现有一个公交站C 在公路l 上，
当公交站C 位于线段AB 与公路l 交点处时，它到
,
A B 两个村庄的距离之和最小，其中的原理可以用数学中
的_____这一基本事实来解释．
【答案】两点之间，线段最短
【分析】本题考查了线段的性质，利用线段的性质即可求解．
【详解】解：∵点C 在直线l 上，
∴当C 位于线段AB 与公路l 的交点时，AC
CB
的长度就是线段AB 的长度，这是A
B
、两点之间的最短距
离，
这里用到的数学基本事实是：两点之间线段最短．
故答案为：两点之间线段最短．
【变式1-2】在高速公路的建设过程中，通常要开挖隧道穿过山体，把道路取直以缩短路程，运用所学的数
学知识解释是_______．
【答案】两点之间，线段最短
【分析】此题主要考查了两点之间线段最短的性质，为数学知识的应用，由题意将把道路取直以缩短路程，
就用到两点之间线段最短的性质，正确将数学定理应用于实际生活是解题的关键．
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【详解】解：在高速公路的建设过程中，通常要开挖隧道穿过山体，把道路取直以缩短路程，
运用所学的数学知识解释是：两点之间，线段最短．
故答案为：两点之间，线段最短．
题型2 线段的数量问题的应用
【例3】如图是广深港高铁线路图，往返于广州南站和深圳北站的高铁列车中途停靠庆盛站、虎门站和光明
城站，则有
种不同的票价，要准备
种车票．
【答案】
10
20
【分析】本题主要考查了线段条数问题，分别用A、B、C、D、E 表示广州南站，深圳北站，庆盛站、虎门
站和光明城站，那么图中线段的条数即为票价种类数，由于两个站之间有往返票，则两个站之间有2 种票，
据此求解即可．
【详解】解：如图所示，分别用A、B、C、D、E 表示广州南站，深圳北站，庆盛站、虎门站和光明城站，
∵一共有广州南站，深圳北站，庆盛站、虎门站和光明城站，共5 个站，且每两个站之间有一种票价，
∴图中线段的条数即为票价种类数，
∵图中有线段AC
AD
AE
AB
CD
CE
CB
DE
DB
BE
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，共10 条线段，
∴有10 种不同的票价，
∵两个站之间有往返票，
∴两个站之间有2 种票，
∴要准备10 2
20
种车票，
故答案为：10；20．
【例4】如图，点A ，B ，C 在直线l 上，则图中有
条线段，
条射线，有
条直线．
【答案】
3
6
1
【分析】本题考查了直线、射线和线段的认识，直线没有端点，是无限长的；射线有一个端点，可以向一
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端无限延伸，不能度量长度；线段有两个端点，可以度量长度．据此解答．
【详解】解：由图可知，直线上有A、B、C 三个点，
根据直线的特征可知，图中有1 条直线；
根据射线的特征可知，以A 为端点时，有2 条射线；以B 为端点时，有2 条射线；以C 为端点时，有2 条
射线，
所以一共有2
3
6
（条）射线；
根据线段的特征可知，图中有线段AB 、线段AC 、线段BC ，3 条线段．
即图中有1 条直线，6 条射线，3 条线段．
故答案为：1；6；3．
【技巧归纳】
若一条直线上有n 个点（含端点），则线段总数=C(n,2)=n(n-1)/2。若只数部分区间，按端点分类计数。也
可用“基本线段”累加法：先数最短的，再数长的。注意重复计数，按从左到右顺序。如4 个点有6 条。
适用于计数题型。
【变式2-1】如图，图中有线段
条，分别是线段
；图中有射线
条，分别是射
线
、
、
、
、
．
【答案】
6
,
,
,
,
,
AD AE AB DE DB EB
5
BC
AC
DF
EF
BF
【分析】此题考查了线段、射线的识别，根据线段和射线的定义进行解答即可．
【详解】解：如图，图中有线段6 条，分别是线段
,
,
,
,
,
AD AE AB DE DB EB ；图中有射线5 条，分别是射线
BC 、AC 、DF 、EF 、BF ．
故答案为：6，
,
,
,
,
,
AD AE AB DE DB EB ，5，BC 、AC 、DF 、EF 、BF
【变式2-2】湖南湘江新区大王山欢乐云巴对外运营．一张云巴票就能领略沿途10余个景点，感受大王山人
文风情，如图，乘云巴从山塘站出发，沿途经过7 个车站方可到达观音港站，那么运营公司在山塘站，观音
港站两站之间往返需要安排不同的车票
种．
01山
塘站
02 欢乐
雪域站
03欢
乐城站
04 华谊电
影小镇站
05大
王山站
06 桐溪
公园站
07 植物
公园站
08学
士站
09 观
音港站
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【答案】72
【分析】本题考查了如何求线段的条数的问题，设首尾两站为点A
B
、，点C
D
E
F
G
H
M
、、、、、、
是线段
AB 上的七个点，求出A
B
、之间的所有线段条数，进而即可求解，理解题意是解题的关键．
【详解】解：设首尾两站为点A
B
、，点C
D
E
F
G
H
M
、、、、、、
是线段AB 上的七个点，
则图中共有线段
9
9 1
36
2
条，
∵A 到B 与B 到A 车票不同，
∴从A 到B 的车票共有36 2
72
种，
故答案为：72 ．
题型3 线段的和与差
【例5】如图，线段
16
AB
，点C 是线段AB 上一点，且
3
AC
BC
，点D 为线段AC 的中点，则线段
CD
．
【答案】6
【分析】本题考查线段的和差，线段中点的定义，根据AB
AC
BC
，代入数据进行计算即可求出BC 的
长；再求出AC 的长，然后根据线段中点的定义求解即可．准确识图并掌握线段中点的定义是解题的关
键．
【详解】解：∵
16
AB
，
3
AC
BC
，
∴16
3
AB
AC
BC
BC
BC
，
∴
4
BC
，
∴
3
3 4
12
AC
BC
，
∵点D 为线段AC 的中点，
∴
1
1 12
6
2
2
CD
AC
．
故答案为：6 ．
【例6】已知线段AB ，在AB 的延长线上取一点C，使
2
BC
AB
，在AB 的反向延长线上取一点D，使
3
DB
AB
，则线段AC 的长度是线段DA 的长度的 倍．
【答案】3
2
【分析】本题考查了两点间的距离，线段的和差，掌握两点间的距离，线段的和差计算是解题的关键．根
据题意画出图形，由线段的和差倍分解答即可．
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【详解】解：如图所示，
∵
2
BC
AB
，
∴
2
3
AC
AB
BC
AB
AB
AB
，
∵
3
DB
AB
DA
AB
=
=
+
，
∴
3
2
DA
AB
AB
AB
=
-
=
，
∴
3
3
2
2
AC
AB
DA
AB
=
=
，
故答案为：3
2 ．
【技巧归纳】
线段和：AC=AB+BC（B 在A、C 之间）。差：AB=AC-BC。利用等量代换求未知线段。若给出比例，设
x 表示。注意中点：AM=MB=AB/2。结合图形，用线段和差表示目标线段。如AB=AC+CD+DB。常设未
知数列方程。折叠问题中利用相等关系。
【变式3-1】如图，C 、D 、E 为线段MN 上的三个点，
1
3
5
DE
MN
，线段MN 的长为
．
【答案】15
【分析】本题考查了线段之间的和差关系．根据1
3
5 MN
进行计算即可；
【详解】解：∵1
3
5 MN
，
∴
3 5
15
MN
，
故答案为：15．
【变式3-2】若点A ，B ，C 在同一条直线上，如果线段
7cm
AB
，线段
4cm
BC
，那么A ，C 两点之间
距离是
．
【答案】3cm 或11cm
【分析】本题考查两点间距离，分析两种情况求解：点C 可能在线段AB 上，也可能在线段AB 的延长线上，
进而即可求解．根据题意画出图形是解题的关键，同时渗透了分类讨论的数学思想．
【详解】解：若点C 在线段AB 上，如图，
∵
7cm
AB
，
4cm
BC
，
∴
7
4
3 cm
AC
AB
BC
；
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若点C 在线段AB 的延长线上，如图，
∵
7cm
AB
，
4cm
BC
，
∴
7
4
11 cm
AC
AB
BC
，
综上所述，A ，C 两点之间距离是3cm 或11cm ．
故答案为：3cm 或11cm ．
题型4 作线段（尺规作图）
【例7】如图，已知线段
,a b a
b
，用直尺和圆规画出线段c，使它等于2a
b
．（只写出作法）
解：（1）画射线OA；
（2）在射线OA上顺次截取OB
BD
______；
（3）在线段OD 上截取OC ______，线段______即为所求．
【答案】（2）a；（3）b；CD
【分析】本题主要考查了线段之间的关系作图，根据第一二步得到2a ，第三步截取后得2a
b
，线段CD 即
为所求．
【详解】解；（1）画射线OA；
（2）在射线OA上顺次截取OB
BD
a
；
（3）在线段OD 上截取OC
b
，线段CD 即为所求．
【例8】如图，平面上有四个点A，B，C，D，根据下列语句画图：
(1)画线段AC ，BD 交于E 点；
(2)作射线BC ；
(3)反向延长BC 至F，使得
3
BF
BC
BD
．（不写作法，保留作图痕迹）
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
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【分析】本题考查作图﹣复杂作图，直线，射线，线段，两点之间的距离等知识．
（1）根据线段的定义画出图形；
（2）根据射线的定义画出图形；
（3）在CB 的延长线上截取
3
BE
BC
，在线段EB 上，截取EF
BD
，线段BF 即为所求．
【详解】（1）解：如图，线段AC ，BD 交于E 点，点E 即为所求；
（2）解：如图，射线BC 即为所求；
（3）解：如图，线段BF 即为所求．
【技巧归纳】
用无刻度直尺和圆规。作线段等于已知线段：画射线，在射线上截取等长。作线段和差：依次截取或从长
线段中截取。作中点：作垂直平分线。注意保留作图痕迹，写清步骤。圆规截取长度不变。尺规作图不能
测量刻度，只能转移长度。用圆弧确定交点。
【变式4-1】如图，已知线段AB ，请用尺规按下列要求作图：
(1)延长线段AB 到C，使BC
AB
；
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(2)延长线段BA 到D，使AD
AC
(3)如果
2cm
AB
，那么AC ______cm， BD ______cm，CD ______cm
【答案】(1)见解析
(2)画图见解析
(3)4，6，8
【分析】本题考查了两点间的距离，利用了线段中点的性质，线段的和差．
（1）根据BC
AB
，可得线段BC ；
（2）根据AD
AC
，可得线段AC ；
（3）根据线段中点的性质，可得AC 的长根据线段的和差，可得BD 的长，根据线段中点的性质，可得CD
的长．
【详解】（1）解：如图1 所示；
（2）解：如图2 所示；
（3）解：∵AD
AC
，BC
AB
，
2cm
AB
，
2
4(cm),
4
2
6(cm),
4
4
8(cm)
AC
AB
BD
AD
AB
CD
AD
AC
，
故答案为：4，6，8．
【变式4-2】（1）如图，已知线段a 、b ．请用尺规按要求作图：
①作线段AB
a
=
；
②在线段AB 的延长线上截取BC
b
；(不要求写画法，保留作图痕迹)
（2）若点D 是线段AC 的中点，用含a 、b 的式子表示线段BD 的长．
【答案】（1）①见解析；②见解析；（2）
2
a
b
BD
【分析】本题考查了作线段、与线段中点有关的计算、整式加减的应用，熟练掌握作线段和线段的运算是
解题关键．
（1）①根据作线段的方法，作线段AB
a
=
即可得；
②根据作线段的方法，在线段AB 的延长线上截取BC
b
即可得；
（2）先求出AC
a
b
，再根据线段中点的定义可得
2
a
b
AD
，然后根据BD
AB
AD
即可得．
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【详解】解：（1）①作线段AB
a
=
，如图所示：
②在线段AB 的延长线上截取BC
b
，如图所示：
（2）∵AB
a
=
，BC
b
，
∴AC
AB
BC
a
b
，
∵点D 是线段AC 的中点，
∴
1
2
2
a
b
AD
AC
，
∴
2
2
a
b
a
b
BD
AB
AD
a
．
题型5 线段中点的有关计算
【例9】如图，点C 为线段AB 的中点，点E 为线段AB 上的点，点D 为线段AE 的中点．
(1)若
:
5: 2
AE BE
，且
14
AB
，求CD 的长；
(2)若线段
16
AB
，
4
CE
，求AD 的长．
【答案】(1)2
(2)6
【分析】（1）已知
:
5: 2,
14
AE BE
AB
，可得AE
BE
、
的长，因为点C 为线段AB 的中点，点D 为线段AE
的中点，可得AC
AD
、
的长，因为CD
AC
AD
，可得CD 的长；
（2）因为点C 为线段AB 的中点，可得AC
BC
、
的长，因为BE
BC
CE
，求得BE 的长，可得AE 的长，
因为点D 为线段AE 的中点，可得AD 的长．
【详解】（1）解：
:
5: 2,
14
AE BE
AB
，
10,
4
AE
BE
，
∵点C 为线段AB 的中点，点D 为线段AE 的中点，
7,
5
AC
AD
，
2
CD
AC
AD
；
（2）解：
16
AB
，点C 为线段AB 的中点，
8
AC
BC
，
∵
4
CE
，
4
BE
BC
CE
，
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12
AE
AB
BE
，
∵点D 为线段AE 的中点，
6
AD
．
【例10】如图，已知线段
18
AB
cm
，点C 为AB 上的一个动点，点D 、𝐸分别是AC 和BC 的中点．
(1)若点C 恰好是AB 中点，则DE _____cm ；
(2)若
8
AC
cm
，求𝐷𝐸的长．
(3)说明不论AC 取何值（不超过18cm），𝐷𝐸的长不变．
【答案】(1)9cm
(2)9cm
(3)见解析
【分析】（1）由线段中点的定义可得
9cm
AC
BC
，同理可得
4.5cm
DC
，
4.5cm
CE
，然后根据线段
的和差求解即可；
（2）由线段的和差可得
10
BC
cm
，利用线段的中点定义可得
4cm
DC
，
5cm
CE
，然后根据线段的和
差求解即可；
（3）利用线段的中点定义可得
1
2
DC
AC
，
1
2
CE
BC
，然后根据线段的和差即可解答．
【详解】（1）解：∵点C 恰好是AB 中点，
18
AB
cm
，
∴
1
9cm
2
AC
BC
AB
，
∵点D 、𝐸分别是AC 和BC 的中点，
∴
1
4.5cm
2
DC
AC
，
1
4.5cm
2
CE
BC
，
∴
9cm
DE
DC
CE
．
（2）解：
8cm
AC
，
18
8
10cm
BC
AB
AC
，
D
、𝐸分别是AC 和BC 的中点
2
4cm
DC
AC
，
2
5cm
CE
BC
．
4
5
9cm
DE
DC
CE
．
（3）解：
D
、𝐸分别是AC 和BC 的中点
1
2
DC
AC
，
1
2
CE
BC
．
1
1
1
1
9cm
2
2
2
2
DE
DC
CE
DC
AC
BC
AC
BC
AB
．
∴不论AC 取何值（不超过18cm），𝐷𝐸的长不变．
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【技巧归纳】
中点将线段分为两等份。若M 是AB 中点，则AM=MB=AB/2。已知AB 求AM；已知AM 求AB=2AM。
多个中点：依次取半。也可用方程思想：设AM=x，则AB=2x，结合其他条件求x。注意中点必须在线段
上。分类讨论：若点在延长线上，则不是中点。常用“一半”关系。
【变式5-1】已知，C，D 为线段AB 上任意两点．
(1)如图1，图中共有 条线段；
(2)如图2，若AD
BC
，
13
AB
，
7
CD
，求BD 的长；
(3)如图3，M 为线段AB 上一点，
4
AM
，
9
BM
，C，D 分别为AM ，AB 中点，求CD 的长．
【答案】(1)6
(2)3
(3)4.5
【分析】（1）根据两点确定一条线段，数图中共有几组端点即可；
（2）运用整体思想，通过AD
BC
AB
CD
，先求出AD 和BC 的值，再计算BD 即可；
（3）运用中点定义，
1
2
AC
CM
AM
，
1
1
2
2
AD
AB
AM
BM
，分别求出AC 和AD ，再计算CD 即
可．
【详解】（1）解：图中共有AC ，CD ，BD ，AD ，AB ，BC ，6 条线段；
（2）解：由图可知，
20
AD
BC
AC
CD
CD
BD
AB
CD
，
又AD
BC
，
∴
1
10
2
AD
BC
AB
CD
，
∴
3
BD
BC
CD
；
（3）解：∵C，D 分别为AM ，AB 中点，
∴
1
2
2
AC
CM
AM
，
1
1
6.5
2
2
AD
AB
AM
BM
，
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∴
4.5
CD
AD
AC
．
【变式5-2】已知：直线m 上两点A 、B ，
25
AB
，O 是线段AB 上一点，AO
a
，OB
b
，且满足
10
15
0
a
b
．
(1)直接写出：a ______，b ______；
(2) D 是直线m 上点A 右侧一点，𝐸是直线m 上点O 右侧一点，满足3
2
6
AD
OE
t
，用含t 的整式表示线段
𝐷𝐸的长；
(3)在（2）的条件下，F 是直线m 上点B 左侧一点，
1
3
BF
OE
，M 是𝐷𝐸中点，N 是EF 中点，当
1
2
DM
MN
时，求t 的值．
【答案】(1)
10,
15
a
b
(2)10
t
(3)4 或17
【分析】（1）根据绝对值的非负性求解即可；
（2）由题意可得
2 ,
3
AD
t OE
t
，再分点D 在点O 的左侧时、点E 在点B 的左侧和点D 在点O 的右侧时、
点E 在点B 的右侧，两种情况分别画出图形，然后利用线段的中点以及线段的和差求解即可；
（3）先求得BF
t
，再分点D 在点O 的左侧时、点E 在点B 的左侧和点D 在点O 的右侧时、点E 在点B
的右侧，两种情况分别画出图形、线段的和差以及一元一次方程求解即可．
【详解】（1）解：∵
10
15
0
a
b
，
10
0
a
．
15
0
b
，
∴
10
0
a
．
15
0
b
，
∴
10,
15
a
b
．
（2）解：∵3
2
6
AD
OE
t
，
∴
2 ,
3
AD
t OE
t
，
如图：当点D 在点O 的左侧时，点E 在点B 的左侧，
∵
10
AO
a
，
15
OB
b
，
∴
10
2
OD
AO
AD
t
，
∴
10
2
3
10
DE
OD
OE
t
t
t
；
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如图：当点D 在点O 的右侧时，点E 在点B 的右侧，
∵
10
AO
a
，
15
OB
b
，
25
AB
∴
25
2 ,
3
15
DB
AB
AD
t BE
OE
OB
t
，
∴
25
2
3
15
10
DE
DB
BE
t
t
t
；
．
综上，线段𝐷𝐸的长10
t
．
（3）解：∵
1
3
BF
OE
，
3
OE
t
，
∴BF
t
，
如图：当点D 在点O 的左侧时，点E 在点B 的左侧，
∴
15
3
15
4
EF
OB
OE
BF
t
t
t
∵M 是𝐷𝐸中点，N 是EF 中点，
10
DE
t
，
∴
1
1
1
15
5
,
2
2
2
2
2
DM
ME
DE
t EN
NF
EF
t
，
∴
1
15
25
3
5
2
2
2
2
2
MN
ME
NE
t
t
t
，
∵
1
2
DM
MN
，
∴
1
25
3
1
5
2
2
2
2
t
t
，解得：
4
t
；
如图：当点D 在点O 的右侧时，点E 在点B 的右侧，
3
15
BE
OE
OB
t
，
∴
3
15
4
15
EF
BF
BE
t
t
t
，
∵M 是𝐷𝐸中点，N 是EF 中点，
10
DE
t
，
∴
1
1
1
15
5
,
2
2
2
2
2
DM
ME
DE
t EN
NF
EF
t
，
∴
15
1
3
25
2
5
2
2
2
2
MN
NE
ME
t
t
t
，
∵
1
2
DM
MN
，
∴
1
3
25
1
5
2
2
2
2
t
t
，解得：
17
t
．
综上，t 的值为4 或17．
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题型6 线段n 等分点的有关计算
【例11】已知线段
30
AB
，延长BA 至点C，使
4 3
CB AB =
:
:
，点D、E 均为线段BA 延长线上两点，且
3
BD
AE
，M、N 分别是线段DE
AB
、
的中点，当点C 是线段BD 的三等分点时，MN 的长为
．
【答案】40 或80
【知识点】线段的和与差、线段中点的有关计算、线段n 等分点的有关计算
【分析】本题考查了线段的和差问题，画出线段有助于更直观地解题，注意分情况讨论．分
2
3
BC
BD
时和
1
3
BC
BD
时两种情况，画出对应的图形分别讨论求解即可．
【详解】解：∵
30
AB
，
4 3
CB AB =
:
:
，N 是线段AB 的中点，
∴
40
CB
，
1
15
2
AN
BN
AB
=
=
=
，
①若
2
3
BC
BD
，如图1 所示：
∵
40
CB
，
∴
60
BD
，
∵
3
BD
AE
，
∴
20
AE
∴
60
30
20
10
DE
BD
AB
AE
=
-
-
=
-
-
=
，
∵M 是线段DE 的中点，N 是线段AB 的中点，
∴
5
DM
ME
，
1
15
2
BN
AB
=
=
，
∴
60
5 15
40
MN
BD
DM
BN
=
-
-
=
-
-
=
；
②若
1
3
BC
BD
，如图：
∴
3
120
BD
BC
=
=
，
∵
3
BD
AE
，
∴
40
AE
，
∴
120
30
40
70
DE
BD
AB
AE
=
-
-
=
-
-
=
，
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∵M 是线段DE 的中点，N 是线段AB 的中点，
∴
35
DM
ME
=
=
，
1
15
2
BN
AB
=
=
，
∴
120
35 15
80
MN
BD
DM
BN
=
-
-
=
-
-
=
；
故答案为：40 或80．
【例12】二等分点：又叫线段的
，把线段分成
的两部分．
即：如图，若点P 是线段AB 的中点，则
1
2
AP
BP
AB
或
2
2
AB
AP
BP
三等分点：把线段分成
的三部分．以此类推．
【答案】
中点
相等
相等
【知识点】线段之间的数量关系、线段n 等分点的有关计算
【分析】本题考查了线段的中点，线段的三等分点，正确理解定义是解题的关键．
【详解】二等分点：又叫线段的中点，把线段分成相等的两部分．
即：如图，若点P 是线段AB 的中点，
则
1
2
AP
BP
AB
或
2
2
AB
AP
BP
三等分点：把线段分成相等的三部分．以此类推．
故答案为：中点；相等；相等．
【技巧归纳】
n 等分点将线段分成n 等份。若点P 是AB 的m 等分点（AP:PB=m:(n-m)），则AP=m/n·AB。已知比例
可设每份为x，列方程。注意等分点位置：从A 起第k 个分点，AK=k/n·AB。多个等分点时，用比例关系
转化。常设份数法，避免分数运算。验证总和等于全长。
【变式6-1】如图，C 为线段AD 上一点，点B 为CD 的中点，已知
10,
6
AD
AC
．
(1)求BC 的长；
(2)若点P 是线段AC 上靠近点A 的三等分点，求BP 的长．
【答案】(1) 2
(2)6
【知识点】线段n 等分点的有关计算、线段中点的有关计算、线段的和与差
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【分析】本题考查的是线段的中点的含义，线段的和差关系，掌握以上知识是解题的关键．
（1）根据线段的和差，求得CD 的长，再根据线段中点的性质，可求出BD 的长；
（2）先求得AP 的长，再根据线段的和差，可得答案．
【详解】（1）解：因为
10,
6
AD
AC
，
所以
4
CD
AD
AC
，
因为点B 为CD 的中点，
所以
1
2
2
BC
CD
；
（2）解：因为
6
AC
，点P 是线段AC 上靠近点A 的三等分点，
所以
1
2
3
AP
AC
，
则
4
PC
AC
AP
．
所以
4
2
6
BP
PC
BC
．
【变式6-2】已知线段
90cm
AB
，C 是线段AB 上任意一点（不与点A，B 重合）．
(1)若M，N 分别是AC
BC
，
的中点，求MN 的长度；
(2)若
1
3
AM
AC
，
1
3
BN
BC
，求MN 的长；
(3)在（2）的条件下，若
30cm
BC
且G 点在直线AB 上，
15cm
GB
，求MG 的长度．
【答案】(1) 45cm
(2)60cm
(3)55cm 或85cm
【知识点】线段的和与差、线段中点的有关计算、线段n 等分点的有关计算
【分析】本题考查了线段的n 等分点有关的计算，线段的和差，理解线段n 等分点的定义是解答本题的关
键．
（1）由中点的定义可得
1
2
MC
AC
，
1
2
CN
BC
，然后根据MN
MC
CN
求解即可；
（2）由
1
3
AM
AC
，
1
3
BN
BC
可得
2
3
MC
AC
，
2
3
CN
BC
，然后根据MN
MC
CN
求解即可；
（3）先求出线段MB 的长，然后分点G 在线段AB 上和点G 在线段AB 的延长线上两种情况求解即可．
【详解】（1）∵M，N 分别是AC
BC
，
的中点，
∴
1
2
MC
AC
，
1
2
CN
BC
，
∴
1
1
1
2
2
2
MN
MC
CN
AC
BC
AB ．
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∵
90cm
AB
，
∴
45cm
MN
；
（2）∵
1
3
AM
AC
，
1
3
BN
BC
，
∴
2
3
MC
AC
，
2
3
CN
BC
，
∴
2
2
2
3
3
3
MN
MC
CN
AC
BC
AB
，
∵
90cm
AB
，
∴
60cm
MN
；
（3）∵
90cm
AB
，
30cm
BC
，
∴
60cm
AC
AB
BC
．
∵
1
3
AM
AC
，
∴
20cm
AM
，
∴
90
20
70cm
MB
．
当点G 在线段AB 上时，
70 15
55cm
MG
MB
GB
；
当点G 在线段AB 的延长线上时，
70 15
85cm
MG
MB
GB
．
综上可知，MG 的长度为55cm 或85cm ．
题型7 与线段有关的动点问题
【例13】已知线段AB ，点C 为线段AB 上的一个动点（点C 不与A、B 重合），点D、E 分别是AC 和BC
的中点
(1)若
5cm
DE
，求AB 的长；
(2)若点C 恰好是AB 的中点，且
6cm
AD
，求DE 的长．
【答案】(1)10cm
(2)12cm
【分析】本题考查了与线段中点有关的计算，线段的和差，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关
键．
（1）由题意可得
1
2
CD
AC
，
1
2
CE
BC
，再由
5cm
DE
CD
CE
计算即可得解；
（2）由题意可得AC
BC
，
1
2
AD
CD
AC
，
1
2
CE
BC
，结合DE
CD
CE
计算即可得解．
【详解】（1）解：如图：
，
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∵点D、E 分别是AC 和BC 的中点，
∴
1
2
CD
AC
，
1
2
CE
BC
，
∵
5cm
DE
CD
CE
，
∴
2
2
2
10cm
AB
AC
BC
CD
CE
CD
CE
；
（2）解：∵点C 恰好是AB 的中点，
∴AC
BC
，
∵点D、E 分别是AC 和BC 的中点，
∴
1
2
AD
CD
AC
，
1
2
CE
BC
，
∴
6cm
CD
CE
AD
，
∴
12cm
DE
CD
CE
．
【例14】已知点C 为线段AB 上一动点，点D，E 分别是线段AC 和BC 的中点．
(1)如图，若线段
10cm,
4cm
AB
AC
，求线段DE 的长；
(2)若线段AB 的长为a ，则线段DE 的长为 （用含a 的代数式表示）．
【答案】(1)5cm
(2) 1
2 a
【分析】本题主要考查了线段的和差，线段中点的性质等知识点，解题的关键是熟练掌握线段中点的性
质．
（1）利用线段的和差表示出相关的线段，再利用线段中点的性质求解即可；
（2）假设线段AB 的长为a ，线段AC 的长为b ，则线段BC 的长为a
b
，利用线段中点的性质即可表示出
线段DE 的长．
【详解】（1）解：∵
10cm,
4cm
AB
AC
，
∴
6cm
BC
AB
AC
，
∵点D，E 分别是线段AC 和BC 的中点，
∴
1
1
2cm
3cm
2
2
DC
AC
CE
BC
，
，
5cm
DE
DC
CE
；
（2）解：假设线段AB 的长为a ，线段AC 的长为b ，则线段BC 的长为a
b
，
∵点D，E 分别是线段AC 和BC 的中点，
∴
1
1
1
1
1
2
2
2
2
2
DC
AC
b
CE
BC
a
b
，
，
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1
2
DE
DC
CE
a
，
故答案为：1
2 a ．
【技巧归纳】
设运动时间为t，用t 表示动点位置（如P 从A 出发速度为v，则AP=vt）。根据线段和差或中点条件列方
程。注意方向：向B 运动则AP+PB=AB；若往返需分段。解方程求t，检验是否在运动范围内。常用数轴
表示，设坐标法更简便。分类讨论相遇、追及。
【变式7-1】如图，已知线段
20cm
AB
，点M 从点A 出发以1cm / s 的速度沿A
B
的方向运动，同时点N
从点B 出发以3cm / s的速度沿B
A
的方向运动，其中一个点到达端点时，另一个点也同时停止，设运动
时间为st ．
根据题意回答下列问题：
(1)当
3s
t
时，MN ______；当
6s
t
时，MN ______．
(2)若C 为线段AB 上一点，当点M 与N 相遇时，设相遇的位置为点D ．
①若
2
3
AD
AC
，求线段BC 的长；
②若
4
BD
CD
，求线段AC 的长．
【答案】(1)8cm ，4cm
(2)①
12.5 cm ，②线段AC 的长为1.25cm 或8.75cm
【分析】本题考查代数式，一元一次方程，线段的运算，熟练掌握线段的运算是解题的关键；
（1）根据速度时间关系，可以求得相对应线段的长度，利用线段之间运算即可求解；
（2）①由题意，得
cm
AM
t
，
3 cm
BN
t
，根据相遇关系列方程，求得t 的值，求出AC 的值，进而求解；
②根据题意
4
BD
CD
，求得CD 的长度，进而分情况讨论，即可求解；
【详解】（1）解：当
3s
t
时，
3 3
9 cm
BN
，
1 3
3 cm
AM
20
20
9
3
8 cm
MN
BN
AM
，
当
6s
t
时，
20 18
2 cm
AN
，
20
6
14 cm
BM
，
20
20
2 14
4 cm
MN
AN
BM
，
故答案为：8cm ，4cm
（2））①由题意，得
cm
AM
t
，
3 cm
BN
t
，
当点M ，N 相遇时，
3
4
t
t
t
，4
20
t
，
则
5
t
，
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所以
5cm
AD
，
因为
2
3
AD
AC
，
所以
2
5
7.5 cm
3
AC
，
所以
20
7.5
12.5 cm
BC
AB
AC
；
②由①可得，
15cm
BD
AB
AD
，
因为
4
BD
CD
，
所以
15
4
3.75 cm
CD
，
当点C 在点D 左侧时，
5
3.75
1.25 cm
AC
AD
CD
，
当点C 在点D 右侧时，
5
3.75
8.75 cm
AC
AD
CD
，
故线段AC 的长为1.25cm 或8.75cm ．
【变式7-2】如图，已知数轴上点A 表示的数为a ，点B 表示的数为b ，满足
16
12
0
a
b
．动点P 从
点A 出发以每秒4 个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t 秒．
(1)数轴上点A 表示的数是_______，点B 表示的数是_______；
(2)若点P 从A 点出发向左运动，点Q 为AP 的中点，在点P 到达点B 之前，求证：BA
BP
BQ
为定值．
【答案】(1)16，12
(2)证明见解析
【分析】本题考查了绝对值的非负性、数轴、线段的中点等知识，熟练掌握数轴的性质是解题关键．
（1）根据绝对值的非负性可得
16,
12
a
b
，由此即可得；
（2）先根据数轴的性质可得
28
BA
，点P 表示的数是16
4t
，再求出
,
AP BP ，然后根据线段中点的定义
可得AQ ，则可得BQ ，代入计算即可得证．
【详解】（1）解：∵
16
12
0
a
b
，
16
0,
12
0
a
b
，
∴
16
0,
12
0
a
b
，
∴
16,
12
a
b
，
∵数轴上点A 表示的数为a ，点B 表示的数为b ，
∴数轴上点A 表示的数是16，点B 表示的数是12
，
故答案为：16，12
．
（2）证明：由（1）已得：数轴上点A 表示的数是16，点B 表示的数是12
，
∴
16
12
28
BA
，
∵动点P 从点A 出发以每秒4 个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，运动时间为t 秒，
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∴点P 表示的数是16
4t
，
∴在点P 到达点B 之前，
16
4
12
28
4
BP
t
t
，
16
16
4
4
AP
t
t
，
∵点Q 为AP 的中点，
∴
1
2
2
AQ
AP
t
，
∴
28
2
BQ
BA
AQ
t
，
∴
2 28
2
28
28
4
56
4
2
28
2
28
2
28
2
t
BA
BP
t
t
BQ
t
t
t
，
∴BA
BP
BQ
为定值．
一、单选题
1．下列说法中，能说明点C 一定是AB 中点的是（ ）
A．AB
AC
BC
B．AC
BC
C．
2
AB
AC
D．
2
2
AB
AC
BC
【答案】D
【分析】若点C 是线段AB 的中点，则点C 必须在线段AB 上，且满足
1
2
AC
BC
AB
．
【详解】解：A．AB
AC
BC
，可得点C 在线段AB 上，无法推出AC
BC
，点C 不一定是AB 的中点，
不符合题意；
B．AC
BC
，没有说明点C 在线段AB 上， 点C 不一定是AB 的中点，不符合题意；
C．
2
AB
AC
无法推出AC
BC
，也不能确定点C 在线段AB 上， 点C 不一定是AB 的中点，不符合题意；
D．
2
2
AB
AC
BC
，可得
1
2
AC
BC
AB
，可推出点C 在线段AB 上且平分AB ，点C 一定是AB 的中点，
符合题意．
2．下列4 个现象中，可用基本事实“两点之间，线段最短”来解释的有（ ）
①两个钉子可以把木条固定在墙上
②小狗看到远处的食物，总是径直奔向食物
③弯曲的河道改直，可缩短航程
④工人砌墙时，用细绳在墙的两端之间拉一条参照线，使砌的每一层砖在一条直线上
A．①②
B．①③
C．②③
D．③④
【答案】C
【分析】本题考查对直线和线段的两个基本事实的辨析，分清“两点确定一条直线”和“两点之间，线段最短”
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的应用场景即可解题．
【详解】解：∵①用两个钉子固定木条，④工人拉参照线使砖在一条直线上，都可以用基本事实“两点确定
一条直线”解释；
②小狗径直奔向食物，③把弯曲河道改直缩短航程，都可以用基本事实“两点之间，线段最短”解释．
∴符合要求的是②③，故选C．
3．如图，
12
AB
cm
，C 为AB 的中点，点D 在线段AC 上，且
:
1:3
AD CB
，则DB 的长度是（ ）
A．4cm
B．6cm
C．8cm
D．10cm
【答案】D
【分析】根据中点的定义，求出AC 、BC 的长，再根据题意求出AD ，结合图形计算即可．
【详解】解：∵
12
AB
cm
，C 是AB 中点，
∴
1
6
2
AC
BC
AB
cm ，
又∵
:
1:3
AD CB
，
∴
2 cm
AD
，
∴
10
DB
AB
AD
cm ．
4．如图，线段
24
AB
cm
，动点P 从A 出发，以2
/
cm s 的速度沿AB 运动，M 为AP 的中点，N 为BP 的
中点．以下说法正确的是（ ）
①运动4s 后，
2
PB
AM
；
②PM
MN
的值随着运动时间的改变而改变；
③2BM
BP
的值不变；
④当
6
AN
PM
时，运动时间为2.4s ．
A．①②
B．②③
C．②④
D．②③④
【答案】D
【分析】分别用代数式表示出
,
AP PB 的长，根据线段之间和差倍关系逐一判断即可．
【详解】解：运动4s 后，
2 4
8cm
AP
，
16cm
PB
AB
AP
，
∵ M 为AP 的中点，
1
4cm
2
AM
AP
，
4AM
PB
，故①错误；
设运动t 秒，则
2
AP
t
，
24
2
0
12
PB
t
t
，
∵ M 为AP 的中点，N 为BP 的中点，
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1
1
,
12
2
2
AM
PM
AP
t PN
BN
PB
t
，
∴
12
PM
MN
PM
PM
PN
t
，
∴PM
MN
的值随着运动时间的改变而改变，故②正确；
∵
24
BM
AB
AM
t
，
24
2
0
12
PB
t
t
，
∴
2
2 24
24
2
24
BM
BP
t
t
，
∴2BM
BP
的值不变，故③正确；
2
12
12
AN
AP
PN
t
t
t
，PM
t
，
∴12
6
t
t
，
解得：
12
2.4s
5
t
，故④正确．
综上可知，说法正确的是②③④．
5．如图，C 为射线AB 上一点，
30
AB
，AC 比BC 的1
4 多5，P，Q 两点分别从A，B 两点同时出发．分
别以2 单位/秒和1 单位/秒的速度在射线AB 上沿AB 方向运动，运动时间为t 秒，M 为BP 的中点，N 为QM
的中点，以下结论：①
2
BC
AC
；②
4
AB
NQ
；③当
1
2
PB
BQ
时，
12
t
，其中正确结论的个数是
（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】C
【分析】根据AC 比BC 的1
4 多5，可分别求出AC 与BC 的长度，以A 为原点建立数轴如下图，再利用数轴
上两点间的距离公式与中点对应的数，列代数式，一元一次方程，从而可得答案．
【详解】解：设BC
x
，
∴
1
5
4
AC
x
，
∵AC
BC
AB
，
∴
1
5
30
4
x
x
，
解得：
20
x
，
∴
20
BC
，
10
AC
，
∴
2
BC
AC
，故①符合题意，
以A 为原点建立数轴如下图，
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则A 对应的数为0 ，B 对应的数为30，
ts 后P 对应的数为2t ，Q 对应的数为30
t
，
∵M 为BP 的中点，N 为QM 的中点，
∴M 对应的数为
1 2
30
15
2
t
t
，N 对应的数为：
1 30
15
22.5
2
t
t
t
，
∴
30
22.5
7.5
NQ
t
t
，
∴4
4 7.5
30
NQ
AB
，
故②符合题意，
同理：
30
2
PB
t
，BQ
t
，
当
1
2
PB
BQ
时，
∴
1
30
2
2
t
t
，
∴
1
30
2
2
t
t
或
1
2
30
2
t
t
，
解得：
12
t
或
20
t
，
综上所述，当
1
2
PB
BQ
时，
12
t
或
20
t
，故③不符合题意；
综上，正确的个数为2，C 选项符合．
二、填空题
6．把弯曲的河道改直，能够缩短航程．这样做根据的道理是________．
【答案】两点之间，线段最短
【详解】根据线段的性质，两点之间所有连线中线段最短，将弯曲的河道改直后，两点间的路径变为线段，
长度小于弯曲河道的路径长度，因此可以缩短航程，因此这样做根据的道理是两点之间线段最短．
7．已知线段AB ，延长AB 至点C ，使
1
,
2
BC
AB D
是线段AC 的中点，如果
3
DC
cm
，那么AB 的长为______
cm ．
【答案】4
【分析】本题考查了线段中点的定义与线段的和差计算，解题的关键是利用中点的性质求出AC 的长度，再
根据线段间的数量关系建立方程求解．
先根据D 是AC 的中点，由DC 的长度求出AC 的长度；再根据
1
2
BC
AB
，将AC 用AB 表示，进而求出AB
的长度．
【详解】解：
D
是线段AC 的中点，
3
DC
cm
，
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2
6cm
AC
DC
，
1
2
BC
AB
，
1
3
2
2
AC
AB
BC
AB
AB
AB
，
3
6
2 AB
，
解得
4
AB
cm
．
故答案为：4 ．
8．在一条工厂流水线上从左到右依次有A ，B ，C 三个加工点，其中A ，B 两点相距20m ，B ，C 两点相
距10m，现要在流水线上设置一个材料供应站P ，分别往A ，B ，C 投放不同的原料，使得供应站P 到三
个加工点的距离之和最小，这个最小值为____________m ．
【答案】30
【详解】解：根据题意，得当点P 与点B 重合时，PA
PB
PC
取得最小值，且最小值为
20 10
30 m
PA
PC
AB
BC
，
则P 到三个加工点的距离之和最小，且最小为30m．
9．已知数轴上的A 、B 两点对应的数字分别为1、9，点P ，Q 同时分别从A ，B 出发沿数轴正方向运动，
点P 的运动速度为2 个单位/秒，点Q 的运动速度为n 个单位/秒，点C 是线段AQ 的中点，若运动过程中，
线段PC 的长度是一个固定的值，则n ______．
【答案】4
【分析】本题考查数轴上的动点表示，线段中点的性质，代数式的化简与恒定性分析，用代数式表示线段
是解题关键．
设两点运动的时间为t 秒，然后用含时间t 的代数式表示AP 、AQ ，进而表示PC 的长度，再根据PC 为固
定值的条件，令含t 的项的系数为0 ，即可求出n ．
【详解】解：设两点运动的时间为t 秒，已知
9 1
8
AB
，
则
2
AP
t
，
8
AQ
nt
，
∵点C 是AQ 的中点，
∴
1
8
1
4
2
2
2
nt
AC
AQ
nt
，
∴
1
1
4
2
4
4
2
2
PC
AC
AP
nt
t
t n
，
可知当
4
n
，PC 的长度固定为4 ，
故答案为：4 ．
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10．已知关于𝑚的方程
1
5
3
m
m
的解也是关于𝑥的方程
3
4
7
x
n
的解，线段
2
AB
m
，在射线AB
上取一点P ，恰好使AP
nPB
，点Q 为线段PB 的中点，AQ ____．
【答案】44
3 或18
【分析】先求解关于𝑚的一元一次方程得到𝑚的值，根据同解方程的定义得到关于𝑥的方程中𝑥的值，代入求
出n 的值，再分点P 在线段AB 上和点P 在线段AB 的延长线上两种情况，结合线段中点定义和线段和差关
系计算AQ 的长度．
【详解】解：
1
5
3
m
m
．
去分母得
3
1
15
m
m
．
去括号得3
1
15
m
m
．
合并同类项得2
16
m
．
系数化为1得
8
m
．
∵关于𝑚的方程的解也是关于𝑥的方程
3
4
7
x
n
的解．
8
x
m
．
将
8
x
代入
3
4
7
x
n
得∶
3 8
4
7
n
．
解得
5
n
．
由题意得
2
16
AB
m
，
5
AP
nPB
PB
，分两种情况讨论∶
①当点P 在线段AB 上时∶
AP
PB
AB
Q
．
5
16
PB
PB
，解得
8
3
PB
．
∵点Q 为PB 的中点．
1
4
2
3
QB
PB
．
4
44
16
3
3
AQ
AB
QB
．
②当点P 在线段AB 的延长线上时∶
AP
AB
PB
，
5
AP
PB
．
5
16
PB
PB
，解得
4
PB
．
∵点Q 为PB 的中点．
1
2
2
BQ
PB
．
16
2
18
AQ
AB
BQ
．
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综上AQ 44
3 或18．
三、解答题
11．如图，已知点C 是线段AB 的中点，点D 是线段AB 上一点，若
10,
6
AB
BD
．
(1)求线段CD 的长；
(2)若点E 是线段AB 上一点，且
1
3
BE
BD
，点F 是BE 的中点，求线段CF 的长．
【答案】(1)1
(2)4
【分析】本题考查了线段的和差，两点间的距离，掌握线段的和差计算，两点间的距离是解题的关键．
（1）根据题意，由点C 是线段AB 的中点，
10
AB
，可得
5
BC
，再结合
6
BD
，由CD
BD
BC
计算即
可；
（2）求出
1
BF
EF
，根据CF
CB
BF
计算即可．
【详解】（1）解：∵
10,
6
AB
BD
，
∴
4
AD
，
∵C 是线段AB 的中点，
∴
5
BC
AC
，
∴
1
CD
AC
AD
；
（2）解：∵点E 是线段AB 上一点，且
1
3
BE
BD
，
∴
2
BE
，
∵F 是BE 的中点，
∴
1
BF
EF
，
∴
5 1
4
CF
CB
BF
．
12．如图，C 为线段AD 上一点，点B 为CD 的中点，且
13
AD
cm
，
3
BD
cm
．
(1)图中共有 条线段．
(2)求AC 的长．
(3)若点E 在直线AD 上，且
2
BE
cm
，求AE 的长．
【答案】(1)6
(2) AC 的长是7cm
(3) AE 的长是8cm 或12cm
【分析】（1）根据直线上线段的条数公式：直线上有n 个点，线段的条数是
1
1
2 n n
，可得答案；
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（2）根据线段中点的性质和线段的和差即可得到结论；
（3）根据线段的和差，可得答案．
【详解】（1）解：图中有四个点，线段有
1
4
4 1
6
2
．
故答案为：6；
（2）解：∵点B 为CD 的中点，
3
BD
cm
，
2
2 3
6 cm
CD
BD
，
13
6
7 cm
AC
AD
CD
，
答：AC 的长是7cm ；
（3）解：
13
3
10cm
AB
AD
BD
，
2
BE
cm
，
当点E 在线段BC 上时，
10
2
8 cm
AE
AB
BE
，
当点E 在线段DB 上时，
10
2
12 cm
AE
AB
BE
，
答：AE 的长是8cm 或12cm．
13．如图，已知线段a ，线段AB ，点C 在线段AB 的延长线上，且BC
AB
，点D 在线段BC 上，且CD
a
．
(1)用尺规作图在图中补全图形（不写作法，保留作图痕迹）；
(2)若
4
AC
，
1
CD ．
①点D 是线段BC 的中点吗？请说明理由．
②点E 在线段AD 上，若
:
3: 2
AE DE
，求BE 的长．
【答案】(1)见解析
(2)①是，见解析；②1
5
【分析】本题主要考查了线段的尺规作图，线段的和差计算，灵活运用所学知识是解题的关键．
（1）根据线段的尺规作图方法作图即可；
（2）①由于BC
AB
，
4
AB
BC
AC
，则
1
2
2
BC
AC
，
1
1
2
CD
BC
，故点D 是线段BC 的中点；
②因为
3
AD
，
:
3: 2
AE DE
，则
3
9
5
5
AE
AD
，故所以BE
AB
AE
，计算可得结果．
【详解】（1）解：（1）根据线段的尺规作图方法作图即可，如图，即为所作，
；
（2）解：①点D 是线段BC 的中点，
因为BC
AB
，
4
AB
BC
AC
．
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所以
1
2
2
BC
AC
．
又因为
1
1
2
CD
BC
，所以D 为BC 的中点；
②因为
4 1
3
AD
AC
CD
，
:
3: 2
AE DE
，
所以
3
9
5
5
AE
AD
，
所以
9
1
2
5
5
BE
AB
AE
．
14．如图1，数轴上的点A 表示数a ，点B 表示数b ，点B 在点A 的右侧．已知a ，b 满足
2
8
16
0
a
b
．
(1)a ___________，b ___________；
(2)如图2，动点P ，Q 分别从点A ，B 处同时向右移动，点P 的速度为4 个单位长度/秒，点Q 的速度为2
个单位长度/秒，设运动时间为t 秒．
①当点P ，Q 重合时，求运动时间t ；
②在运动过程中，点P 、B 、Q 三点中恰有一点是另外两点连线所得线段的中点，求运动时间t ．
【答案】(1) 8
，16；
(2)①
12
t
；②
4
t
或
8
t
【分析】（1）根据平方数与绝对值的非负性，两个非负数的和为0，则每个非负数均为0，由此可求出a 、
b 的值；
（2）①先表示出运动t 秒后点P 、Q 对应的数，根据两点重合时坐标相等列方程求解；
②分三种情况讨论：B 是P 、Q 的中点，P 是B 、Q 的中点，Q 是P 、B 的中点，分别利用中点性质列方
程，舍去无解的情况即可得到结果．
【详解】（1）解：∵
2
8
0
a
，
16
0
b
，且
2
8
16
0
a
b
，
∴
8
0
a
，
16
0
b
，
解得
8
a ，
16
b
．
（2）①解：运动t 秒后，点P 对应的数为8
4t
，点Q 对应的数为16
2t
．
点P 、Q 重合时，两点对应的数相等，
∴8
4
16
2
t
t
，解得
12
t
．
答：当点P 、Q 重合时，运动时间t 为12秒．
②解：分三种情况讨论：
当点B 是线段PQ 的中点时，根据中点的性质，中点对应的数是两端点对应数的平均数，
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∴
2 16
8
4
16
2
t
t
，
解得
4
t
．
当点P 是线段BQ 的中点时，同理可得：
2
8
4
16
16
2
t
t
，
解得
8
t
．
当点Q 是线段PB 的中点时，同理可得：
2
16
2
8
4
16
t
t
，该情况无解．
综上，满足条件的运动时间t 为4 秒或8 秒．
15．综合与探究：已知数轴上点A 表示的数为10，B 是数轴上在A 左侧的一点，且A，B 两点间的距离为
18．动点P 从点A 出发，以每秒6 个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为
0
t t
秒．
(1)数轴上点B 表示的数是______；当点P 运动到AB 的中点时，它所表示的数是______．
(2)动点Q 从点B 出发，以每秒2 个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P，Q 同时出发．求：
①当点P 运动多少秒时，点P 追上点Q?
②当点P 运动多少秒时，点P 与点Q 之间的距离为10 个单位长度？
③如果P，B，Q 中有一个点是另外两点所构成线段的中点，那么就称P，B，Q 为一组“幸福点”．当点P
运动多少秒时，P，B，Q 是一组“幸福点”？
【答案】(1) 8
；1；
(2)①4.5 秒；②2 秒或7 秒；③2.25 秒或3.6秒或9 秒．
【分析】（1）根据两点间的距离公式和中点公式求解即可；
（2）①根据P 的路程Q 的路程
18
解答即可；
②根据相遇前和相遇后两种情况讨论即可解答；
③分三种情况讨论即可解答．
【详解】（1）解：∵
18
AB
，点A 表示的数为10，
∴点B 表示的数是10 18
8
；
点P 表示的数是
10
8
1
2
．
（2）解：①根据题意，得6
2
18
t
t
，
解得
4.5
t
．
答：当点P 运动4.5 秒时，点P 追上点Q．
②当点P 与点Q 相遇前，距离10 个单位长度，
2
(18
6 )
10
t
t
，
解得
2
t
；·
当点P 与点Q 相遇后，距离10 个单位长度，
(6
18)
2
10
t
t
，
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解得
7
t
，
答：当点P 运动2 秒或7 秒时，点P 与点Q 之间的距离为10 个单位长度．
③根据题意，得当B 为PQ 的中点时，
8
8
2
10
6
8
t
t
解得
2.25
t
；
当点P 为BQ 的中点时，
8
10
6
10
6
8
2
t
t
t
解得
3.6
t
；
当点Q 为BP 的中点时，
8
8
2
8
2
10
6
t
t
t
，
解得
9
t
．
答：当点P 运动了2.25 秒或3.6秒或9 秒时，P，B，Q 是一组“幸福点”．
