《2026初高衔接》[第六讲]——集合的关系与运算_2026版高中《罗老师初升高讲义》十五讲（数学）_《初高衔接2026版》教师版

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集合的关系与运算
集合的关系与运算
[教学重难点]
[教学目标]
[核心素养]
集合的关系
理解元素、集合概念，准确判断元
素归属，规避互异性陷阱
数学抽象、逻辑推理
集合的运算
熟练选用合适形式描述集合，实现
两种表示法互相转换
数学抽象
一集合间的关系
根据上节课的学习, 我们可以设定集合A = {你, 爸爸, 妈妈}，集合B = {你, 爸爸, 妈妈, 爷爷, 奶奶}，集合
C = {堂哥，叔叔, 婶婶}，基于以上定义，可以发现集合间的基本关系：
子集
A 中的所有元素均属于集合B，我们称集合A 为集合B 的子集．记作A ⊆B(或B ⊇A)．
A
B
或
(A)
B
特别的：
集合相等
若集合A 是集合B 的子集(A ⊆B)，且集合B 是集合A 的子集(B ⊆A)，则此时两集合元素一样，那么就
说集合A 与集合B 相等，记作A = B．
真子集
若A ⊆B 且A ≠B，称集合A 是集合B 的真子集，记作A ⊊B 或(B ⊋A)．
上述集合的关系从集合的自然语言描述法中就可以理解，而我们在数学中引入集合其研究对象以数集为核
心．重点围绕的都是方程与不等式问题，方程与不等式有一类特殊的无解问题，为了对这一类无解问题做一定
的规范描述，我们引入空集的概念．
空集
不含任何元素的集合叫空集，用符号∅表示．
规定：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．
①当A 不是B 的子集时，记作
“A ⊈B”
②符号⊆可以用≤来辅助记忆
和理解．即A ⊆B 可理解为A
中元素范围比B 中元素范围小．
要点补注
要点补注
mathxiaoshu01
①空集就是方程与不等式的
无解，从这个维度出发可以
较好的理解为啥要引入空集．
②空集本身没有真子集．
要点补注
要点补注
mathxiaoshu01
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1 (★★★☆☆)已知集合A = {x ∣x2- 8x + 12 < 0}
(1) 若B = {x ∈Z ∣x ∈A}，写出B 的所有子集与真子集，思考子集、真子集个数与元素个数的关系；
(3) 设集合C = {x ∣m - 1 < x < 2m + 3}．
i


若A ⊆C，求m 的取值范围．
ii


若C ⊊A，求m 的取值范围．
x2- 8x + 12 < 0 (x - 2) (x - 6) < 0，解得2 < x < 6，即A = {x ∣2 < x < 6}
(1) B = {x ∈Z ∣x ∈A}，可得B = {3,4,5}
B 的所有子集：⌀,{3},{4},{5},{3,4},{3,5},{4,5},{3,4,5}
B 的所有真子集：⌀,{3},{4},{5},{3,4},{3,5},{4,5}
集合B 有3 个元素，子集共8 个，真子集共7 个．
规律：若一个集合含有n 个元素，则子集个数为2n，真子集个数为2n- 1．
(3) C = {x ∣m - 1 < x < 2m + 3}
(i) 若A ⊆C，区间(2,6) 包含于(m - 1,2m + 3)，列不等式组m-1≤2
2m+3≥6

解得3
2 ≤m ≤3，所以m 的取值范围是
3
2 ,3




。
(ii) 若CA，分两种情况讨论
①当C = ⌀时m - 1 ≥2m + 3 解得m ≤-4。
②当C ≠⌀时，需满足m - 1 < 2m + 3，即m >-4
同时(m - 1,2m + 3) ⊆(2,6)，列不等式组m-1≥2
2m+3≤6

该不等式组无解．
综上，m 的取值范围是m ≤-4．
含n 个元素的集合，其子集和真子集个数具有如下规律：
子集个数
集
合
子集个数
真子集个数
非空子集个数
非空真子集个数
{a1,a2, ⋯,an}
2n
2n−1
2n−1
2n−2
1
(★☆☆☆☆)用适当的符号填空：
(1) R 　⊋　Q
(2) 0
　∉　∅
(3) 5
　∈　{1，3，5}
(4) {0，2} 　=　{x|x2= 2x}
(5) {x|1 < x < 5} 　⊊　{x|1 < x < 9}
(6)
3
　∉　Q
(7) {1，2，3} 　=　{3，2，1}
(8) ∅　⊊　{0}
(9) {3} 　⊊　{x|2 < x < 4}
(10) {x|x = 2n + 1，n ∈Z}
⊋
{x|x = 4n + 1，n ∈Z}
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2
(★☆☆☆☆)集合A = {x ∈N|1 < x < 4} 的子集个数为
( B )
A. 2
B. 4
C. 8
D. 16
∵A = {2，3}，∴A 的子集个数为22= 4．故选：B．
3
(2023 •新高考Ⅱ∙★★☆☆☆)集合A = {0，-a}，B = {1，a - 2，2a - 2}，A ⊆B，则a =
( B )
A. 2
B. 1
C. 2
3
D. - 1
依题意当a - 2 = 0 时a = 2，A = {0，-2}，B = {1，0，2}，不符合题意；
当2a - 2 = 0 时，解得a = 1，此时A = {0，-1}，B = {1，-1，0}，符合题意．
4 (多选•★★★☆☆)集合A = {1，2}，B = {x|mx = 1，m ∈R}，B ⊆A，m 的可能取值为
( ABC )
A. 0
B. 1
C. 1
2
D. 2
∵A = {1，2}，B = {x|mx = 1}，且B ⊆A，∴当m = 0 时，B = ∅，满足A ∪B = A；
当m ≠0 时，B =
1
m


，由A ∪B = A，得B ⊆A，∴B = {1} 或B = {2}，∴1
m = 1 或1
m = 2．
解得m = 1 或m = 1
2 ∴m 的取值集合为1，0，1
2


．
5
( 多选• ★★★☆☆) 已知集合M = { x x=m+ 1
2 ，m∈Z


，N = { x x=2n- 3
2 ，n∈Z


，P =
{x x= p
2 ，p∈Z


，则
(
AC
)
A. N ⊆P
B. P ⊆M
C. N ⊆M
D. M ⊆N
由题意M = {x x= 2m+1
2
，m∈Z


，N = {x x= 4n-3
2
，n∈Z


= {x x= 4k+1
2
，k∈Z


= x x= 2×2k+1
2
，k∈Z


，

∴N ⊆M ⊆P，故A，C 正确，B，D 错误．故选：AC．
6
(★★★☆☆)设集合P = {3，4，5}，Q = {6，7}，定义P ⊗Q = {(a，b)|a ∈P，b ∈Q}，则P ⊗
Q 中子集的个数为
( D )
A. 8
B. 16
C. 32
D. 64
由题意知，P ⊗Q = {(a，b)|a ∈P，b ∈Q} = {(3，6)，(3，7)，(4，6)，(4，7)，(5，
6)，(5，7)}，共有6 个元素，子集个数为2 6 = 64 个
7
(★★★☆☆)集合A = {x|x2- x - 2 > 0}，B = {x|ax > 1}，若B ⊆A，a ∈Z，a 的最大值是
( B )
A. - 1
B. 0
C. 1
D. 2
A = { x | x > 2 或x <- 1 } ，当a = 0 时，B = ∅，显然B ⊆A ；当a < 0 时，B =
x|ax>1}= -∞，1
a


，

因为B ⊆A，所以1
a ≤-1 ⇒a ≥-1 ⇒-1 ≤a < 0；
当a > 0 时，B = x|ax>1}=
1
a ，∞


，

B ⊆A，所以1
a ≥2 ⇒a ≤1
2 ⇒0 < a ≤1
2 ，综上：-1 ≤a ≤1
2
8
(★★★☆☆)设a，b 是实数，集合A = {x||x - a| < 1}，B = {x||x - b| > 3}，且A ⊆B，则|a - b| 的
取值范围为
( D )
A. [0，2]
B. [0，4]
C. [2，+∞)
D. [4，+∞)
∵A = {x|a - 1 < x < a + 1}，B = {x|x < b - 3 或x > b + 3}，
因为A ⊆B，所以a + 1 ≤b - 3 或a - 1 ≥b + 3，即a - b ≤-4 或a - b ≥4，即|a - b| ≥4．
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(多选•★★★★☆)已知集合A = {-1，1}，非空集合B = {x|x3 + ax2 + bx + c = 0}，下列条件能够使
得B ⊆A 的是
( ACD )
A. a =-3，b = 3，c =-1
B. a =-3，b =-3，c = 1
C. a =-1，b =-1，c = 1
D. a + b + c + 1 = 0 且(a + 1)2+ 4c < 0
A，x3- 3x2+ 3x - 1 = 0 (x - 1)3= 0 x = 1，B = {1}，满足B ⊆A，A 正确；
B，x3- 3x2- 3x + 1 = 0(x + 1) (x2- 4x + 1) = 0B = {-1，2 -
3，2 +
3}，不满足B ⊆A
C，x3- x2- x + 1 = 0 (x + 1) (x - 1)2= 0 B = {-1，1}，满足B ⊆A，所以选项C 正确；
D，a + b + c + 1 = 0，x = 1 是方程x3+ ax2+ bx + c = 0 的解(x - 1) [x2+ (a + 1)x - c] = 0
∵(a + 1)2+ 4c < 0 x2+ (a + 1)x - c = 0 无解(x - 1) [x2+ (a + 1)x - c] = 0 有唯一解x = 1
∴B = {1}，满足B ⊆A，选项D 正确．故选：ACD．
10 (★★★☆☆)已知集合A 为不等式2x-1
x+2 < 1 的解集．
(1) 求集合A；
(2) 若B = {x||x - a| < 3}，且A ⊆B，求实数a 的取值范围．
(1) 原不等式等价于2x-1
x+2 - 1 < 0
即x-3
x+2 < 0
得A = {x| -2 < x < 3}
(2)B = {x||x - a| < 3} = {x|a - 3 < x < a + 3}
若A ⊆B，则a - 3 ≤-2，a + 3 ≥3
得实数a 的取值范围是[0，1]．
11 (★★★☆☆)已知集合A = {x|(m - 1)x2+ 3x - 2 = 0}．
(1) 集合A 中有两个元素，试求实数m 的范围；
(2) 是否存在这样的实数m，使得集合A 有仅有两个子集？若存在，求出所有的m 的值组成的集合M；若
不存在，请说明理由．
(1) 若集合A 为两个元素的集合，
则关于x 的方程(m - 1)x2+ 3x - 2 = 0 有实数解，
则m - 1 ≠0，且Δ = 9 + 8(m - 1) > 0，
∴m >- 1
8 且m ≠1；
(2) 集合A 且仅有两个子集，
∴关于x 的方程恰有一个实数解，
讨论：①当m = 1 时，x = 2
3 ，满足题意；
②当m ≠1 时，Δ = 8m + 1 = 0，∴m =- 1
8 ．
综上所述，m = 1 或m =- 1
8 ．
∴M 的集合为- 1
8 ，1


．
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12 (★★★★★)已知至少含两个元素的集合A 是N * 的子集，若对于A 中的任意两个元素a，b，都有|a
- b| ≠k(k 是正整数)，则称集合A 具有性质P(k)．
(1) 试判断集合B = {5，6，7} 和C = {1，6，11} 是否具有性质P(2)，并说明理由．
(2) 若集合A = {a1，a2，⋯，a9，a10} ⊆{1，2，⋯，16，17}，证明：A 不可能具有性质P(3)．
(3) 若集合A ⊆{1，2，⋯，247，248}，且A 具有性质P(5) 和P(8)，求A 中元素个数的最大值．
(1) 对于集合B = {5，6，7}，因为|7 - 5| = 2，
所以集合B 不具有性质P(2)；对于集合C = {1，6，11}，因为|6 - 1| = |11 - 6| ≠2，|11 - 1| ≠2，
所以集合C 具有性质P(2)；
(2) 证明：将集合{1，2，⋯，16，17} 中的元素分为如下9 个集合：
{1，4}，{2，5}，{3，6}，{7，10}，{8，11}，{9，12}，{13，16}，{14，17}，{15}，
从集合{1，2，⋯，16，17} 中取10 个元素，则前8 个集合至少要选9 个元素，
所以必有2 个元素取自前8 个集合中的同一集合，
即存在2 个元素，其差的绝对值为3，所以A 不可能具有性质P(3)；
(3) 先说明连续13 项中集合A 中元素的个数最多选取6 项，
以1，2，⋯，12，13 为例，构造集合{1，9}，{2，10}，{3，11}，{4，12}，{5，13}，{6}，
{7}，{8}，
①6，7，8 中选2 个，若只选6，7，则1，2，11，12，8 不可取，5，13 中只能取1 个，4，9 不能
同时取，5，10 不能同时取，
比如取3，4，6，7，10，13，故1，2，⋯，12，13 中属于集合A 中的元素不超过6 个；
若只选7，8，则2，3，12，13，6 不可取，1，9 中只能取1 个，4，9 不能同时取，5，10 不能同时
取，比如取1，4，5，7，8，11，故1，2，⋯，12，13 中属于集合A 中的元素不超过6 个；
若只选6，8，同理，比如取2，5，6，8，9，12，
故1，2，⋯，12，13 中属于集合A 中的元素不超过6 个；
②6，7，8 都选上，因为具有性质P(5) 和P(8)，
所以选6 则不选1 和11，选7 则不选2 和12，选8 则不选3 和13，
另外4，9 不能同时取，5，10 不能同时取，
所以选取的集合中的元素为4，5，6，7，8，
故1，2，⋯，12，13 中属于集合A 中的元素个数为5；
③6，7，8 中只选1 个，又5 个集合{1，9}，{2，10}，{3，11}，{4，12}，{5，13} 中每个集合至
多选1 个元素，所以1，2，⋯，12，13 中属于集合A 中的元素不超过6 个；
由①②③可知，连续13 项正整数中属于集合A 中的元素至多只有6 个，
比如取1，4，5，7，8，11．因为248 = 13 × 19 + 1，
所以把每13 个连续正整数分组，前19 组每组至多选取6 项，
给出如下选取方法：从1，2，⋯，12，13 中选取1，4，5，7，8，11，
然后在这6 个数的基础上每次累加13，构造19 次，
此时集合A 中的元素为1，4，5，7，8，11；14，17，18，20，21，24；⋯；235，238，239，
241，242，245；248，
共6 × 19 + 1 = 115 个元素．经检验可得该集合符合要求，故集合A 中元素个数的最大值为115．
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二集合的运算
设定集合A = {你, 爸爸, 妈妈, 爷爷, 奶奶}，集合B = {堂哥，叔叔，婶婶，爷爷, 奶奶}，集合C = {爷爷，
奶奶}，全集U = {你, 爸爸, 妈妈, 爷爷, 奶奶, 堂哥，叔叔, 婶婶}．基于以上定义，可以发现集合间的运算：
交集
集合A 与集合B 含有公共元素爷爷奶奶．一般地，由属于集合A 且属于集合B 的元素组成的集合称为集
合A 与B 的交集．记作A ∩B，读作：A 交B，即：A ∩B = {x

x ∈A 且x ∈B}
A
B
A∩B
并集
集合U 是由集合A 和集合B 所组合成的一个大家庭关系．一般地，由所有属于集合A 或属于集合B 的元
素共同组成的集合，称为集合A 与B 的并集, 记作A ∪B ，读作：A 并B，即A ∪B = {x

x ∈A 或x ∈B}
A
B
A⋃B
在研究具体的数学问题时，我们经常需要确定研究对象的范围．例如：方程x-2


x2-3


= 0 的解集，在
有理数范围内只有一个解2，即：x∈Q/ x-2


x2-3


=0


= 2


，在实数范围内有三个解：2，
3，- 3，
即：x∈R/ x-2


x2-3


=0


= 2, 3,- 3


．
全集
一般地，一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U．
补集
对于一个集合A，由全集U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U 的补集，简称
为集合A 的补集，记作∁UA，即：∁UA = {x

x ∈U 且x ∉A}
A
U
∁UA
交集和并集性质必背


A ∪B = A B ⊆A
A ∩B = A A ⊆B
分配律
A ∩(B ∪C) = (A ∩B) ∪(A ∩C)
A ∪(B ∩C) = (A ∪B) ∩(A ∪C)
摩根定律
∁U(A ∪B) = (∁UA) ∩(∁UB)
∁U(A ∩B) = (∁UA) ∪(∁UB)
集合运算的性质
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2 (★★☆☆☆)已知全集U = R，集合A = {x ∣|x - 1| < 2}，集合B = {x ∣x2- 3x + 2 ≤0}
求：(1) A ∩B、A ∪B
(2) ∁UA、∁UB
(3) (∁UA) ∩B、A ∪(∁UB)、∁U(A ∪B)
解：由|x - 1| < 2，得-2 < x - 1 < 2，解得-1 < x < 3，即A = {x ∣-1 < x < 3}．
由x2- 3x + 2 ≤0，因式分解得(x - 1) (x - 2) ≤0，解得1 ≤x ≤2，即B = {x ∣1 ≤x ≤2}．
(1) A ∩B = {x ∣1 ≤x ≤2}，A ∪B = {x ∣-1 < x < 3}
(2) ∁ℝA = {x ∣x ≤-1 或x ≥3}，∁ℝB = {x ∣x < 1 或x > 2}
(3) (∁ℝA) ∩B = ∅，A ∪(∁ℝB) = ℝ，∁ℝ(A ∪B) = {x ∣x ≤-1 或x ≥3}
13 (2026 •北京•★☆☆☆☆)已知集合M = {x| -1 < x < 3}，N = {x|x ≥2}，则M ∪N =
( A )
A. {x|x >-1}
B. {x| -1 < x < 2}
C. {x| -1 < x < 3}
D. {x|x ≥2}
M ∪N = {x| -1 < x < 3} ∪{x| -1 < x < 3} = {x|x >-1}．
14 (2026 ∙新高考Ⅱ卷•★☆☆☆☆)集合A = {0，1，3，6，9}，B = {x| x = x}，则A ∩B =
( A )
A. {0，1}
B. {3，6}
C. {0，1，9}
D. {0，3，9}
集合A = {0，1，3，6，9}，B = {x| x = x} = {0，1}，
则A ∩B = {0，1}．A．
15 (2026 •天津•★☆☆☆☆)已知全集U = {-2，-1，0，1，2，3}，集合A = {-1，0，1，3}，集
合B = {-2，0，1}，则(∁UA) ∪B =
( D )
A. {-2}
B. {-2，2}
C. {0，1，2}
D. {-2，0，1，2}
∵U = {-2，-1，0，1，2，3}，A = {-1，0，1，3}，
∴∁UA = {-2，2}，∴(∁UA) ∪B = {-2，0，1，2}．
16 (2025 ∙新高考Ⅱ卷•★☆☆☆☆)集合A = {-4，0，1，2，8}，B = {x|x3= x}，则A ∩B =
( D )
A. {0，1，2}
B. {1，2，8}
C. {2，8}
D. {0，1}
由已知得：B = {0，1，-1}，
又A = {-4，0，1，2，8}，故A ∩B = {0，1}．
17 (2024 •甲卷•★☆☆☆☆)集合A = {1，2，3，4，5，9}，B = {x| x ∈A}，则∁A(A ∩B) = ( D )
A. {1，4，9}
B. {3，4，9}
C. {1，2，3}
D. {2，3，5}
因为A = {1，2，3，4，5，9}，B = {x| x ∈A} = {1，4，9，16，25，81}，
所以∁A(A ∩B) = {2，3，5}．
62
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18 (2023 •新高考Ⅰ•★★☆☆☆)已知集合M = {-2，-1，0，1，2}，N = {x|x2 - x - 6 ≥0}，则M
∩N =
( C )
A. {-2，-1，0，1}
B. {0，1，2}
C. {-2}
D. {2}
(x - 3) (x + 2) ≥0，∴x ≥3 或x ≤-2，N = (-∞，-2] ∪[3，+∞)，则M ∩N = {-2}．
19 (2021 •上海•★★☆☆☆)已知集合A = {x|x >-1，x ∈R}，B = {x|x2 - x - 2 ≥0，x ∈R}，则下
列关系中，正确的是
( D )
A. A ⊆B
B. ∁RA ⊆∁RB
C. A ∩B = ∅
D. A ∪B = R
B = {x|x ≥2 或x ≤-1，x ∈R}，∁RA = {x|x ≤-1，x ∈R}，∁RB = {x| -1 < x < 2}；
则A ∪B = R，A ∩B = {x|x ≥2}
20 (★★☆☆☆)设全集U = R，集合P = {y|y = 3x，-1 < x < 0}，Q = {x
x
x+2 ≥0


，则P ∩∁UQ =
( B )
A. (-2，0)
B. [-2，0)
C. (-3，-2)
D. (-3，-2]
全集U = R，集合P = {y|y = 3x，-1 < x < 0} = (-3，0)，Q = {x
x
x+2 ≥0


= {x|x ≥0
或x <-2}，所以∁UQ = {x| -2 ≤x < 0}，则P ∩∁UQ = {x| -2 ≤x < 0}．
21 (★★★☆☆)已知集合P = {x|x2≤1}，M = {a}，若P ∩M = M，则实数a 的取值范围是
( B )
A. (-∞，-1]
B. [-1，1]
C. [1，+∞)
D. (-∞，-1] ∪[1，+∞)
P = {x| -1 ≤x ≤1}，M = {a}，P ∩M = M，∴M ⊆P，∴-1 ≤a ≤1．
22 (多选•★★★☆☆)设集合M = {x|a < x < 3 + a}，N = {x|x < 2 或x > 4}，则下列结论中正确的是
( ABC )
A. 若a <-1，则M ⊆N
B. 若1 ∈M，则-2 < a < 1
C. 若M ∪N = R，则1 < a < 2
D. 若M ∩N ≠∅，则1 < a < 2
A，若a <-1，则3 + a < 2，则M ⊆N，故A 正确；
B，1 ∈M，a<1
3+a>1

，得-2 < a < 1，B 正确；C，M ∪N = R，则a<2
3+a>4

，得1 < a < 2，C 正确
D，若M ∩N = ∅，则a≥2
3+a≤4

，不等式无解，则若M ∩N ≠∅，a ∈R，故D 错误．
23 (★★★★☆)设集合A = {x|x2 + 2x - 3 > 0}，集合B = {x|x2 - 2ax - 1 ≤0，a > 0}，若A ∩B 中含
有一个整数，则实数a 的取值范围是
( A )
A. 3
4 ≤a < 4
3
B. 0 < a < 3
4
C. a ≥3
4
D. a ≥1
集合A = {x|x <-3 或x > 1}，集合B = {x|x2 - 2ax - 1 < 0，a > 0}，设y = x2 - 2ax -
1，则对称轴为x = a > 0，又x =-3 处的函数值= 6a + 8 > 0，根据对称性可知，要使A ∩B 中含有一个整数，
则这个整数为2，所以x = 2 处的函数值≤0 且x = 3 > 0，即
a≥3
4
a< 4
3





，即3
4 ≤a < 4
3
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24 (★★★☆☆)已知全集U = R，集合A = {x|x2- 3x + b = 0}，B = {x|(x - 2) (x2+ 3x - 4) = 0}．
(1) 若b = 4 时，存在集合M 使得A ⊊M ⊊B，求出所有这样的集合M；
(2) 集合A，B 能否满足(∁UB) ∩A = ∅？若能，求实数b 的取值范围；若不能，请说明理由．
(1) 当b = 4 时，可得A = {x|x2- 3x + 4 = 0}，
因为Δ = (-3)2- 4 × 4 < 0，所以A = ∅，
又由B = {x|(x - 2) (x2+ 3x - 4) = 0} = {-4，1，2}，
又∵A ⊊M ⊊B，∴M 共有如下6 个：{-4}，{1}，{2}，{-4，1}，{-4，2}，{1，2}．
(2) 能；由(∁UB) ∩A = ∅，可得A ⊆B，
若A = ∅时，此时满足A 是B 的一个子集，此时Δ = 9 - 4b < 0，解得b > 9
4 ；
若A ≠∅时，由(1) 知B = {-4，1，2}，
当-4 ∈A 时，b =-28，此时A = {-4，7}，此时A 不是B 的一个子集；
当1 ∈A 时，b = 2，此时A = {1，2}，此时A 是B 的一个子集；
当2 ∈A 时，b = 2，此时A = {1，2}，此时A 是B 的一个子集，
综上可得，当A = ∅或A = {1，2} 时，满足(∁UB) ∩A = ∅，
此时实数b 的取值范围为
9
4 ，+∞


∪{2}．
25 (★★★★☆)设集合A = {x|x2- 3x + 2 = 0}，B = {x|x2+ 2(a + 1)x + a2- 5 = 0}．
(1) 若A ∩B = {2}，求实数a 的值；
(2) 若集合B 中有两个元素x1，x2，求实数a 的取值范围，并用含a 的代数式表示|x1- x2|；
(3) 若A ∩B = B，求实数a 的取值范围．
(1) 由题意得A = {x|x2- 3x + 2 = 0} = {1，2}，因为A ∩B = {2}，所以2 ∈B，1 ∉B，
所以4 + 4a + 4 + a2- 5 = 0，解得a =-3 或a =-1，
检验：当a =-3 时，B = {x|x2- 4x + 4 = 0} = {2}，满足A ∩B = {2}，
当a =-1 时，B = {x|x2- 4 = 0} = {-2，2}，满足A ∩B = {2}，
所以a =-3 或a =-1．
(2) 因为B 集合中有两个元素x1，x2，所以方程x2+ 2(a + 1)x + (a2- 5) = 0 有两个根，
所以Δ = 4(a + 1)2- 4(a2- 5) = 8a + 24 > 0 且x1+ x2=-2(a + 1)，x1x2 = a2 - 5，
所以a >-3，|x1 - x2| =
(x1+x2)2-4x1x2 =
4(a+1)2-4(a2-5) =
8a+24．
(3) 因为A ∩B = B，所以B ⊆A，又A = {1，2}，
所以B = ∅或B = {1} 或B = {2} 或B = {1，2}，
当B = ∅时，Δ = 8a + 24 < 0，解得a <-3，符合题意；
当B = {1} 时，则Δ=4(a+1)2-4(a2-5)=8a+24=0
12+2(a+1)+(a2-5)=0

，无解；
当B = {2} 时，则Δ=4(a+1)2-4(a2-5)=8a+24=0
22+4(a+1)+a2-5=0

，所以a =-3；
当B = {1，2} 时，则
Δ=4(a+1)2-4(a2-5)=8a+24>0
1+2=-2(a+1)
2=a2-5





，无解，
综上，a 的范围为{a|a ≤-3}．
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1 (多选•★☆☆☆☆)下列表述正确的是
(
BC
)
A. {0} ∈{0，1，2}
B. {0，1，2} ⊆{2，1，0}
C. ∅⊆{0，1，2}
D. ∅= {0}
{0} ⊆{0，1，2}，A 错误；{0，1，2} ⊆{2，1，0}，B 正确；
∅⊆{0，1，2}，C 正确；{0} ≠∅，D 错误．故选：BC．
2 (★☆☆☆☆)已知集合A = {x|x2- 8x + 12 < 0}，B = {x ∈Z|1 < x ≤4}，则A ∩B =
( B )
A. {1，2}
B. {3，4}
C. {3}
D. ∅
集合A = {x|x2- 8x + 12 < 0} = {x|2 < x < 6}，B = {x ∈Z|1 < x ≤4} = {2，3，4}，
则A ∩B = {3，4}．
3 (2023 •乙卷•★★☆☆☆)设集合U = R，集合M = {x|x < 1}，N = {x| -1 < x < 2}，则{x|x ≥2}
=
( A )
A. ∁U(M ∪N)
B. N ∪∁UM
C. ∁U(M ∩N)
D. M ∪∁UN
由题意：M ∪N = {x|x < 2}，又U = R，∴∁U(M ∪N) = {x|x ≥2}．
4 (多选•★★☆☆☆)已知全集U = Z，集合A = {1，2，3}，B = {a + b|a，b ∈A}，则下列结论正确
的是
( BCD )
A. 集合B 中有6 个元素
B. A ∪B = {1，2，3，4，5，6}
C. (∁UA) ∩B = {4，5，6}
D. A ∩B 的真子集个数是3
A = {1，2，3}，B = {a + b|a，b ∈A} = {2，3，4，5，6}，共有5 个元素，A 错误；
A ∪B = {1，2，3，4，5，6}，B 正确；∵全集U = Z，∴(∁UA) ∩B = {4，5，6}，C 正确；
∵A ∩B = {2，3}，∴A ∩B 的真子集个数是3 个，D 正确．故选：BCD．
5 (多选•★★★☆☆)设A = {x ∈N
5
x-3 ∈N


，B = {x|mx - 4 = 0}，若A ∪B = A，则m 的值可以
为
( ABC )
A. 0
B. 1
2
C. 1
D. 2
A = x∈N
5
x-3 ∈N


={4，8}，

∵A ∪B = A，
当m = 0 时，B = ∅，符合；当m ≠0 时，B = x x= 4
m


，

∴4
m = 4 或4
m = 8，∴m = 1 或m = 1
2 ．故选：ABC．
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6 (★★★☆☆)设全集U = R，A = {x x-2
x-1 ≥0


，若m ∈∁UA，则实数m 的取值范围是
( B )
A. (1，2)
B. [1，2)
C. (1，2]
D. (-∞，1) ∪[2，+∞)
由x-2
x-1 ≥0 可得
(x-2)(x-1)≥0
x-1≠0

，解得x < 1 或x ≥2，则集合A = (-∞，1) ∪[2，
+∞)，则∁UA = [1，2)，因为m ∈∁UA，所以实数m 的取值范围是[1，2)
7 (★★☆☆☆)已知集合A = {x|kx2+ 8x - 16 = 0，k ∈R}．
(1) 若A 只有一个元素，试求实数k 的值，并用列举法表示集合A；
(2) 若A 至少有两个子集，试求实数k 的取值范围．
(1)k = 0 时A = {x|8x - 16 = 0，x ∈R}，解得A = {2} 符合题意；
k ≠0 时令Δ = 82- 4k × (-16) = 0 解得k =-1，
此时A = {x| -x2+ 8x - 16 = 0，x ∈R}，得A = {4} 符合题意，
故k = 0 或k =-1，A = {2} 或A = {4}
(2) 若A 至少有两个子集，则A 至少有一个元素．
由(1) 知k = 0 或k =-1 时符合题意．
由题意可知k ≠0 时若Δ > 0 也符合题意．
即64 - 4 × k(-16) > 0 解得k >-1 且k ≠0．综上实数k 的取值范围为[-1，+∞)．
8 (★★★☆☆)已知全集U = R，集合A = {x|x2 + x - 6 < 0}，B = {x
5
x-1 ≥1


，C = {x|a - 1 ≤x
≤2a + 1}．
(1) 求A ∩(∁UB)；
(2) 若C ⊆(A ∪B)，求实数a 的取值范围．
(1) 因为A = {x| -3 < x < 2}，B = {x|1 < x ≤6}，
所以∁UB = {x|x ≤1 或x > 6}，
故A ∩∁UB = {x| -3 < x ≤1}；
(2) 因为A ∪B = {x| -3 < x ≤6}，且C ⊆(A ∪B)，
①当C = ϕ 时，则a - 1 > 2a + 1，解得a <-2．
②当C ≠ϕ 时，则
a-1≤2a+1
a-1>-3
2a+1≤6





，解得-2 < a ≤5
2 ．
综上所述，实数a 的取值范围为(-∞，-2) ∪-2，5
2



．